развитие навыков быстрого счета
Эффективный счёт в уме или разминка для мозга
Эта статья навеяна топиком «Как и насколько быстро вы считаете в уме на элементарном уровне?» и призвана распространить приёмы С.А. Рачинского для устного счёта.
Рачинский был замечательным педагогом, преподававшим в сельских школах в XIX веке и показавшим на собственном опыте, что развить навык быстрого устного счёта можно. Для его учеников не было особой проблемой посчитать подобный пример в уме:
Используем круглые числа
Один из самых распространённых приёмов устного счёта заключается в том, что любое число можно представить в виде суммы или разности чисел, одно или несколько из которых «круглое»:
Т.к. на 10, 100, 1000 и др. круглые числа умножать быстрее, в уме нужно сводить всё к таким простым операциям, как 18 x 100 или 36 x 10. Соответственно, и складывать легче, «отщепляя» круглое число, а затем добавляя «хвостик»: 1800 + 200 + 190.
Еще пример:
Упростим умножение делением
При устном счёте бывает удобнее оперировать делимым и делителем нежели целым числом (например, 5 представлять в виде 10:2, а 50 в виде 100:2):
Аналогично выполняется умножение или деление на 25, ведь 25 = 100:4. Например,
Теперь не кажется невозможным умножить в уме 625 на 53:
Возведение в квадрат двузначного числа
Оказывается, чтобы просто возвести любое двузначное число в квадрат, достаточно запомнить квадраты всех чисел от 1 до 25. Благо, квадраты до 10 мы уже знаем из таблицы умножения. Остальные квадраты можно посмотреть в нижеприведённой таблице:
Приём Рачинского заключается в следующем. Для того чтобы найти квадрат любого двузначного числа, надо разность между этим числом и 25 умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить квадрат дополнения данного числа до 50 или квадрат избытка его над 50-ю. Например,
В общем случае (M — двузначное число):
Попробуем применить данный трюк при возведении в квадрат трёхзначного числа, разбив его предварительно на более мелкие слагаемые:
Хм, я бы не сказала, что это сильно легче, чем возведение в столбик, но, возможно, со временем можно приноровиться.
И начинать тренировки, конечно, следует с возведения в квадрат двузначных чисел, а там уже и до дизассемблирования в уме можно дойти.
Умножение двузначных чисел
Этот интересный приём был придуман 12-летним учеником Рачинского и является одним из вариантов добавления до круглого числа.
Пусть даны два двузначных числа, у которых сумма единиц равна 10:
Составив их произведение, получим:
Например, вычислим 77 x 13. Сумма единиц этих чисел равна 10, т.к. 7 + 3 = 10. Сначала ставим меньшее число перед большим: 77 x 13 = 13 x 77.
Чтобы получить круглые числа, мы забираем три единицы от 13 и добавляем их к 77. Теперь перемножим новые числа 80 x 10, а к полученному результату прибавим произведение отобранных 3 единиц на разность старого числа 77 и нового числа 10:
У этого приёма есть частный случай: всё значительно упрощается, когда у двух сомножителей одинаковое число десятков. В этом случае число десятков умножается на следующее за ним число и к полученному результату приписывается произведение единиц этих чисел. Посмотрим, как элегантен этот приём на примере.
48 x 42. Число десятков 4, последующее число: 5; 4 x 5 = 20. Произведение единиц: 8 x 2 = 16. Значит,
99 x 91. Число десятков: 9, последующее число: 10; 9 x 10 = 90. Произведение единиц: 9 x 1 = 09. Значит,
Ага, то есть, чтобы перемножить 95 x 95, достаточно посчитать 9 x 10 = 90 и 5 x 5 = 25 и ответ готов:
Тогда предыдущий пример можно вычислить немного проще:
Вместо заключения
Казалось бы, зачем уметь считать в уме в 21 веке, когда можно просто подать голосовую команду смартфону? Но если задуматься, что будет с человечеством, если оно будет взваливать на машины не только физическую работу, но и любую умственную? Не деградирует ли оно? Даже если не рассматривать устный счёт как самоцель, для закалки ума он вполне подходит.
Использованная литература:
«1001 задача для умственного счёта в школе С.А. Рачинского».
Статья «Формирование навыков быстрого счета»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Формирование навыков быстрого счета
Одной из главных задач начального обучения всегда была задача формирования у школьников прочных вычислительных навыков. В ФГОС НОО сказано, что, изучая математику, «учащиеся овладевают основами логического мышления, пространственного воображения и математической речи, измерения, пересчета, приобретают необходимые вычислительные навыки». Так как, навыки вычисления, наряду с навыками письма, чтения, являются межпредметными, используемыми не только при овладении математическим материалом, но и при изучении других школьных предметов. Также, вычислительные навыки необходимы в практической деятельности человека.
Проблема формирования у учащихся вычислительных умений и навыков всегда привлекала особое внимание психологов, дидактов, методистов, учителей. В методике математики известны исследования Е.С.Дубинчук, А.А. Столяра, С.С. Минаевой, Н.Л. Стефановой, Я.Ф. Чекмарева, М.А. Бантовой, М.И. Моро, Н.Б. Истоминой, С.Е. Царевой и др.
быть решена в ходе обучения детей в начальной школе. Эти навыки должны
формироваться осознанно и прочно, так как на их базе строится весь начальный курс
обучения математике, который предусматривает формирование вычислительных навыков на основе сознательного использования приемов вычислений.
Важнейшими вычислительными умениями и навыками, которыми должны овладеть учащиеся начальной школы является:
— в первом классе учащиеся должны усвоить на уровне автоматизированного навыка таблицу сложения чисел в пределах 10 и соответствующие случаи вычитания;
— в третьем классе учащиеся должны уметь выполнять устно арифметические действия в пределах ста; выполнять письменно сложение и вычитание двухзначных и трехзначных чисел в пределах тысячи; уметь вычислять значения числовых выражений;
— в четвертом классе учащиеся должны уметь записывать и вычислять значения числовых выражений, содержащих 3-4 действия (со скобками и без них), выполнять устные вычисления в пределах ста, выполнять письменные вычисления (умножение и деление многозначных чисел, сложение и вычитание многозначных чисел).
Вычислительные навыки рассматриваются как один из видов учебных навыков,
функционирующих и формирующихся в процессе обучения. Они входят в структуру
учебно-познавательной деятельности и существуют в учебных действиях, которые
выполняются посредством определенной системы операций. Полноценный
вычислительный навык обучающихся характеризуется следующими показателями:
правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщенностью, автоматизмом и прочностью.
Правильность –ученик правильно находит результат арифметического действия над
данными числами, т.е. правильно выбирает и выполняет операции, составляющие прием.
Осознанност ь–ученик осознает, на основе каких знаний выбраны операции и
установлен порядок их выполнения. Это для ученика своего рода доказательство
правильности выбора системы операции. Осознанность проявляется в том, что ученик в
любой момент может объяснить, как он решал пример и почему можно так решать. Это,
конечно, не значит, что ученик всегда должен объяснять решение каждого примера. В
процессе овладения навыком объяснение должно постепенно свертываться.
Рациональность –ученик, сообразуясь с конкретными условиями, выбирает для
данного случая более рациональный прием, т. е. выбирает те из возможных операций,
выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического
действия. Разумеется, что это качество навыка может проявляться тогда, когда для
данного случая существуют различные приемы нахождения результата, и ученик,
используя различные знания, может сконструировать несколько приемов и выбрать более рациональный. Как видим, рациональность непосредственно связана с осознанностью навыка.
Обобщенность –ученик может применить прием вычисления к большему числу
случаев, т. е. он способен перенести прием вычисления на новые случаи. Обобщенность
так же, как и рациональность, теснейшим образом связана с осознанностью
вычислительного навыка, поскольку общим для различных случаев вычисления будет
Автоматизм(свернутость)– ученик выделяет и выполняет операции быстро и в
свернутом виде, но всегда может вернуться к объяснению выбора системы операции.
Осознанность и автоматизм вычислительных навыков не являются противоречивыми
качествами. Они всегда выступают в единстве: при свернутом выполнении операции
осознанность сохраняется, но обоснование выбора системы операции происходит
свернуто в плане внутренней речи. Благодаря этому ученик может в любой момент дать
развернутое обоснование выбора системы операции. Высокая степень автоматизации
должна быть достигнута по отношению к табличным случаям (5+3, 8-5,9+6, 15-9, 7-6,
42:6). Здесь должен быть достигнут уровень, характеризующийся тем, что ученик сразу
же соотносит с двумя данными числами третье число, которое является результатом
арифметического действия, не выполняя отдельных операций.
Прочность–ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время.
Формирование вычислительных навыков, обладающих названными качествами,
обеспечивается построением курса математики и использованием соответствующих
На современном этапе развития образования необходимо выбирать такие способы организации вычислительной деятельности школьников, которые способствуют не только формированию прочных вычислительных умений и навыков, но и всестороннему развитию личности ребенка.
Одной из форм работы по формированию вычислительных навыков являются устные упражнения. Овладение навыками устных вычислений имеет большое образовательное, воспитательное и практическое значение.
Устный счет имеет широкое применение в обыденной жизни; он развивает сообразительность учащихся, ставя их перед необходимостью подбирать приемы вычислений, удобные для данного конкретного случая, кроме того, устный счет облегчает письменные вычисления.
Устный счет на уроках математики представляю разнообразными формами работы: математический, арифметический и графический диктанты, математическое лото, ребусы, кроссворды, тесты, беседы, опрос, разминка, «круговые» примеры и многое другое. Использую задания на развитие и совершенствование внимания (найди закономерность и реши пример, продолжи ряд), задания на развитие восприятия, пространственного воображения (нарисуй орнамент, узор; посчитай, сколько линий), задания на развитие наблюдательности (найди закономерность, что лишнее?). В устный
счет входит алгебраический и геометрический материал, решение простых
задач и задач на смекалку, рассматриваются свойства действий над числами и
величинами и другие вопросы, с помощью устного счета можно создать проблемную ситуацию и др.
Беглость в устных вычислениях достигается достаточным количеством упражнений. Ввиду этого почти каждый урок начинается с устного счета (в течение 7 – 10 минут) и, кроме того, устный счет применяется во всех подходящих случаях не только на небольших числах, но также и на больших, но удобных для устного счета (например,18000:2, 15000:4 и т. п.). В большинстве случаев продолжительность устных вычислений определяет сам учитель, т. к. время, отводимое на устный счет, зависит от многих причин: активности и подготовки учащихся, характера материала.
Предлагаю ознакомиться с технологией устного счета и видами работ, используемых в моей практике:
Упражнения по формированию навыков быстрого счета
Среди заданий для быстрого счета я применяю в работе следующие группы заданий:
Обыкновенные примеры на 1-2 действия, поданные в устной или зрительной форме;
Задания уплотненного характера, которые даю на основе таблиц, структурных записей;
Задания с элементами игры;
Задания с терминологическим аспектом.
Выполнить необходимы вычисления и показать ответы с помощью цифровой кассы.
Из 28 вычесть 4; 56 уменьшить на 44; 17 увеличить на 62; и т.д.
Назвать ответы примеров в порядке их записи в рядах.
20 – 3 х 6 100 – 3 х 3 3 х 2 + 44 38 + 3 х 7
Задания уплотненного характера
Каждое из чисел 5, 8, 20, 23, 37, 40 дополнить до 45.
Каждое из чисел 37, 30, 7, 14, 28, 55 увеличить на 36.
К числу 12 прибавлять последовательно число 6, пока не получим число 66.
Счетные многоугольники 30
Постановка комплексных заданий на основе выборки.
— найти и записать те примеры, ответы которых равны числам 9, 17, 20, 31.
25-0 81+9 18-9 40-25 17-9 16+4 12+5 6+6 42+6 35-34
— прочитать каждое из выражений, числовое значение которого больше 25.
25+3 44-20 40-13 51-31 32-16 13+13 16+9 43-7 14-7
— вычислить значение тех выражений, которые являются разностями.
3+8 13-8 42:6 93-6 48+16-9 43-25+4
— устно решить уравнения, в которых неизвестным является делитель.
34-х=7 16:х=8 х:4=16 36:х=4 х-7=17
65+30=68 37+3=40 67-20=65 80-4=86 24+6=20
— назвать значение выражений в порядке возрастания, убывания.
— прочитать выражения, у которых одинаковые значения.
Устный счет: техника быстрого счета в уме
Секреты устного счёта
Существуют приемы устного счета — простые алгоритмы, которые желательно довести до автоматизма. После овладения простыми приёмами можно переходить к освоению более сложных.
Прибавляем числа 7,8,9
Для упрощения вычислений числа 7,8,9 сначала надо округлять до 10, а затем вычитать прибавку. К примеру, чтобы прибавить 9 к двузначному числу, надо сначала прибавить 10, а затем вычесть 1 и т.д.
Быстро складываем двузначные числа
Если последняя цифра двузначного числа больше пяти, округляем его в сторону увеличения. Выполняем сложение, из полученной суммы отнимаем «добавку».
Если слагаемые поменять местами, то сначала можно округлить число 57 до 60, а потом вычесть из общей суммы 3:
Складываем в уме трехзначные числа
Особенности вычитания: приведение к круглым числам
Вычитаемые округляем до 10, до 100. Если надо вычесть двузначное число, надо округлить его до 100, вычесть, а затем к остатку прибавить поправку. Это актуально если поправка невелика.
Вычитаем в уме трехзначные числа
Если в свое время был хорошо усвоен состав чисел от 1 до 10, то вычитание можно производить по частям и в указанном порядке: сотни, десятки, единицы.
Умножить и разделить
Хотя на мой взгляд достаточно знать таблицу от 1 до 10, чтобы мочь перемножать бо´льшие числа. Например:
Умножаем и делим на 4, 6, 8, 9
Овладев таблицей умножения на 2 и на 3 до автоматизма, сделать остальные расчеты будет проще простого.
Для умножения и деления двух- и трехзначных чисел применяем простые приёмы:
Как умножать и делить на 5
Еще проще правило деления на 5. Сначала умножаем на 2, а затем полученное делим на 10.
Умножение на 9
Чтобы умножить число на 9, необязательно его дважды умножать на 3. Достаточно его умножить на 10 и вычесть из полученного умножаемое число. Сравним, что быстрее:
Счет на пальцах
Например, в защиту «пальчиковой» методики приводится приём умножения на 9. Хитрость приёма такова:
Также существует еще множество подобных приемов с применением пальцев для каких-то единичных математических операций, но это актуально пока вы этим пользуетесь и тут же забывается при прекращении применения. Поэтому лучше выучить стандартные алгоритмы, которые останутся на всю жизнь.
Устный счёт на автомате
Во-первых, необходимо хорошо знать состав числа и таблицу умножения.
Во-вторых, надо запомнить приемы упрощения расчётов. Как выяснилось, таких математических алгоритмов не так уж много.
Как быстро считать в уме: приемы устного счета больших чисел
Устный счет – занятие, которым в наше время себя утруждает все меньшее количество людей. Гораздо проще достать калькулятор на телефоне и вычислить любой пример.
Но так ли это на самом деле? В этой статье мы представим математические лайфхаки, которые помогут научиться быстро складывать, вычитать, умножать и делить числа в уме. Причем оперируя не единицами и десятками, а минимум двухзначными и трехзначными числами.
После освоения методов из этой статьи идея лезть в телефон за калькулятором уже не покажется такой хорошей. Ведь можно не тратить время и посчитать все в уме гораздо быстрее, а заодно размять мозги и произвести впечатление на окружающих (противоположного пола).
Итак, добро пожаловать в увлекательный мир вычислений! Мы собрали советы от наших авторов о том, как улучшить устный счет и стать математическим героем и гением. Кстати, если вам интересна математика, вы можете почитать статью «Пределы для чайников» в нашем блоге.
Предупреждаем! Если вы обычный человек, а не вундеркинд, то для развития навыка счета в уме понадобятся тренировки и практика, концентрация внимания и терпение. Сначала все может получаться медленно, но потом дело пойдет на лад, и вы сможете быстро считать в уме любые числа.
Гаусс и устный счет
Карл Фридрих Гаусс
Одним из математиков с феноменальной скоростью устного счета был знаменитый Карл Фридрих Гаусс (1777-1855). Да-да, тот самый Гаусс, который придумал нормальное распределение.
По его собственным словам, он научился считать раньше, чем говорить. Когда Гауссу было 3 года, мальчик взглянул на платежную ведомость своего отца и заявил: «Подсчеты неверны». После того как взрослые все перепроверили, выяснилось, что маленький Гаусс был прав.
В дальнейшем этот математик достиг немалых высот, а его труды до сих пор активно используются в теоретических и прикладных науках. До самой смерти большую часть вычислений Гаусс производил в уме.
Здесь мы не будем заниматься сложными расчетами, а начнем с самого простого.
Сложение чисел в уме
Чтобы научиться складывать в уме большие числа, нужно уметь безошибочно складывать числа до 10. В конечном счете любая сложная задача сводится к выполнению нескольких тривиальных действий.
Чаще всего проблемы и ошибки возникают при сложении чисел с «переходом через 10». При сложении (да и при вычитании) удобно применять технику «опоры на десяток». Что это? Сначала мы мысленно спрашиваем себя, сколько одному из слагаемых не хватает до 10, а потом прибавляем к 10 оставшуюся до второго слагаемого разность.
Например, сложим числа 8 и 6. Чтобы из 8 получить 10, не хватает 2. Затем к 10 останется прибавить 4=6-2. В итоге получаем: 8+6=(8+2)+4=10+4=14
Основная хитрость со сложением больших чисел – разбить их на разрядные части, а потом сложить эти части между собой.
Пусть нам нужно сложить два числа: 356 и 728. Число 356 можно представить как 300+50+6. Аналогично, 728 будет иметь вид 700+20+8. Теперь складываем:
356+728=(300+700)+(50+20)+(8+6)=1000+70+14=1084
Вычитание чисел в уме
Вычитание чисел тоже будет даваться легко. Но в отличие от сложения, где каждое число разбивается на разрядные части, при вычитании «разбить» нужно только то число, которое мы отнимаем.
Например, сколько будет 528-321? Разбиваем число 321 на разрядные части и получаем: 321=300+20+1.
Теперь считаем: 528-300-20-1=228-20-1=208-1=207
Попробуйте визуализировать процессы сложения и вычитания. В школе всех учили считать в столбик, то есть сверху вниз. Один из способов перестроить мышление и ускорить счет – считать не сверху вниз, а слева направо, разбивая числа на разрядные части.
Умножение чисел в уме
Умножение – это многократное повторение числа. Если нужно умножить 8 на 4, это значит, что число 8 нужно повторить 4 раза.
Так как все сложные задачи сводятся к более простым, нужно уметь умножать все однозначные числа. Для этого существует отличный инструмент – таблица умножения. Если вы не знаете эту таблицу на зубок, то мы настоятельно рекомендуем первым делом выучить ее и только потом приниматься за практику устного счета. К тому же учить там, по сути, нечего.
Таблица умножения
Умножение многозначных чисел на однозначные
Сначала потренируйтесь в умножении многозначных чисел на однозначные. Пусть нужно умножить 528 на 6. Разбиваем число 528 на разряды и идем от старшего к младшему. Сначала умножаем, а потом складываем результаты.
528=500+20+8
528*6=500*6+20*6+8*6=3000+120+48=3168
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Умножение двузначных чисел
Здесь тоже нет ничего сложного, только нагрузка на краткосрочную память немного больше.
Перемножим 28 и 32. Для этого сведем всю операцию к умножению на однозначные числа. Представим 32 как 30+2
28*32=28*30+28*2=20*30+8*30+20*2+8*2=600+240+40+16=896
Еще один пример. Умножим 79 на 57. Это значит, что на нужно взять число «79» 57 раз. Разобьем всю операцию на этапы. Сначала умножим 79 на 50, а потом – 79 на 7.
Умножение на 11
Вот хитрый прием быстрого устного счета, который поможет умножить любое двузначное число на 11 с феноменальной скоростью.
Проверим и умножим 54 на 11.
Возведение в квадрат
С помощью другого интересного приема устного счета можно легко и быстро возводить двузначные числа в квадрат. Особенно просто это делать с числами, которые заканчиваются на 5.
Результат начинается с произведения первой цифры числа на следующую за ней по иерархии. То есть, если эту цифру обозначить через n, то следующей за ней по иерархии цифрой будет n+1. Результат заканчивается на квадрат последней цифры, то есть квадрат 5.
Проверим! Возведем в квадрат число 75.
Раньше все считали без калькуляторов
Деление чисел в уме
Осталось разобраться с делением. По сути, это операция, обратная умножению. С делением чисел до 100 никаких проблем вообще возникать не должно – ведь есть таблица умножения, которую вы знаете на зубок.
Деление на однозначное число
При делении многозначных чисел на однозначное необходимо выделить максимально большую часть, которую можно разделить с помощью таблицы умножения.
Например, есть число 6144, которое нужно разделить на 8. Вспоминаем таблицу умножения и понимаем, что на 8 будет делиться число 5600. Представим пример в виде:
6144:8=(5600+544):8=700+544:8
Далее из числа 544 также выделяем максимально большое число, которое делится на 8. Имеем:
544:8=(480+64):8=60+64:8
Осталось разделить 64 на 8 и получить результат, сложив все результаты деления
6144:8=700+60+8=768
Деление на двузначное число
При делении на двузначное число нужно пользоваться правилом последней цифры результата при умножении двух чисел.
При умножении двух многозначных чисел последняя цифра результата умножения всегда совпадает с последней цифрой результата умножения последних цифр этих чисел.
Например, умножим 1325 на 656. По правилу, последняя цифра в получившемся числе будет 0, так как 5*6=30. Действительно, 1325*656=869200.
Теперь, вооружившись этой ценной информацией, рассмотрим деление на двузначное число.
Сколько будет 4424:56?
Первоначально будем пользоваться методом «подгона» и найдем пределы, в которых лежит результат. Нам нужно найти число, которое при умножении на 56 даст 4424. Интуитивно попробуем число 80.
56*80=4480
Значит, искомое число меньше 80 и явно больше 70. Определим его последнюю цифру. Ее произведение на 6 должно заканчиваться цифрой 4. Согласно таблице умножения, нам подходят результаты 4 и 9. Логично предположить, что результатом деления может быть либо число 74, либо 79. Проверяем:
79*56=4424
Готово, решение найдено! Если бы не подошло число 79, второй вариант обязательно оказался бы верным.
Картина Н.П. Богданова-Бельского «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского»
Полезные советы
В заключение приведем несколько полезных советов, которые помогут быстро научиться устному счету:
Польза устного счета неоспорима. Тренируйтесь, и с каждым днем вы будете считать все быстрее и быстрее. А если вам понадобится помощь в решении более сложных и многоуровневых задач, обращайтесь к специалистам студенческого сервиса за быстрой и квалифицированной помощью!
Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.