применение различных систем в истории
Применение различных систем в истории
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
На современном этапе границы счета мы определяем термином «бесконечность». Числа и цифры окружают нас везде. Различные системы счисления используются постоянно: начиная числовыми расчетами в школе и заканчивая вычислениями на суперкомпьютерах. Таким образом, изучение применения систем счисления очень актуальная на сегодняшний день тема.
Цель нашего исследования: изучить основные сферы применения систем счисления в современной жизни.
Для достижения цели нашего исследования были поставлены следующие задачи:
Рассмотреть основные определения, связанные с системами счисления, и дать краткие исторические справки по их появлению
Изучить применение систем счисления в информатике и математике
Исследовать возможности применения систем счисления для решения прикладных задач.
Необходимо отметить, что в математике системы счисления изучаются подразделом «Теория чисел» и системы счисления изучены обширно.
Методологической основой исследования явились следующие источники: методическое пособие по теоретическим основам информатики Кубрякова Е.А. и книга Г.Б. Гашкова «Применение систем счисления».
§ 1. Основные понятия и история развития систем счисления
Для записи и выполнения математических операций над величинами необходима некоторая система обозначений. Такая система обозначений и называется системой счисления.
Все ныне существующие системы счисления традиционно делятся на две группы:
Непозиционные. Цифра всегда обозначает одну и ту же величину вне зависимости от того, в каком месте числа при записи она встречается. Величина, обозначаемая числом, получается в результате сложения или вычитания цифр, образующих запись этого числа. Типичным примером является римская система счисления.
Римская система использует для записи чисел следующие цифры I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000). Кроме того, при записи чисел необходимо учитывать следующие правила:
Цифры I, X, C, M можно использовать в записи числа не более 3 раз подряд, а V, L, D не более одного раза.
Если цифра с меньшим значением встречается слева от цифры с большим значение, то из большей цифры вычитается меньшая, в противном случае они складываются.
Цифры должны записываться только по убыванию этого порядка. Нарушение этого порядка возможна только в соседних цифрах (см. предыдущее правило)
Таким образом, данные правила ограничивают возможное максимальное число, которое можно записать в римской системе счисления. Таким числом является MMMCMXCIX (1000+1000+1000-100+1000-10+100-1+10=3999). Судя по всему, этой величины вполне хватало для практических нужд древних римлян [2].
Примером непозиционной системы счисления может послужить славянская система счисления. В этой системе счисления нумерации для записи чисел использовались все буквы алфавита, правда, с некоторым нарушением алфавитного порядка. Буквам старой славянской азбуки были присвоены цифровые значения: от 1 до 10, затем через 10 до 100 и через 100 до 1000. Используя не более трех букв можно было записать любое натуральное число от 1 до 1110 (Таблица 1) [4].
Таблица 1. Славянская система счисления
Позиционные. Величина, обозначаемая цифрой, зависит от позиции этой цифры в записи числа. При получении величины числа выполняются операции сложения и умножения над цифрами, входящими в состав числа. Типичным примером является арабская система счисления, используемая всеми математиками. В позиционной системе число, записанное из двух единиц (11), обозначает величину одиннадцать, т.е. одна единица обозначает единицу, а вторая обозначает десять. В римской же системе счисления такое число (II) обозначало бы величину два. Несмотря на ограниченное количество цифр, позиционные системы позволяют записать любые величины, т.к. нет ограничений на количество использований цифр и разрядов числа. Кроме того, благодаря математику аль Хорезми существуют универсальные алгоритмы выполнения арифметических действий над любыми числами в арабской системе счисления, т.к. они сводятся к манипуляциям над отдельными разрядами числа.
Рассматривая произвольную систему счисления с основанием n>1, отметим, что число позиционных систем бесконечно. Для систем с основанием, не превышающем число 10, алфавит системы счисления будет состоять из соответствующих первых n цифр десятичной системы счисления начиная с 0. Для систем с основаниями, превышающимися 10, необходимо предложить способ записи каждой цифры в виде одного знака. Как правило, для этого используют букву латинского алфавита. В математическом отношении давно найден простой выход – каждая цифра, занимающая больше одного разряда, просто записывается в скобках. Например число A4F в шестнадцатеричной системе может быть записано как (10)4(15).
Для умножения числа на основание системы достаточно в целом числе справа дописать 0, в дробном – передвинуть разделитель на одну позицию вправо.
Для деления числа на основание системы нужно отбросить последнюю цифру (целочисленное деление) или же перенести разделитель на одну позицию влево [2].
§ 2. Перевод чисел из одной позиционной системы в другую.
Уже достаточно давно разработаны алгоритмы перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую. Но прежде чем мы поговорим о них, дадим определение развернутой формы числа.
Возьмем для примера число 257,45 в десятичной система счисления и представим его в следующем виде:
Такая форма записи числа называется его развернутой формой. Вообще любое число в любой позиционной системе счисления можно записать в виде:
Запись расширенной формы числа в своей основе имеет так называемую схему Горнера. Схема Горнера это алгоритм для вычисления частного и остатка от деления многочлена p(x) на х−a.
Перевод числа из n-ричной системы счисления в десятичную осуществляется записью и вычислением развернутой формы числа. Например, для перевода числа 403,155 в десятичную записываем развернутую форму числа:
Обратный перевод (из десятичной системы в любую другую) осуществляется для целой и дробной части отдельно.
Перевод целой части осуществляется путем деления по правилам десятичной системы счисления переводимого числа на основание системы, в которую осуществляется перевод. Перевод продолжается до получения неполного частного меньшего, чем основание системы. Результат записывается как последнее неполное частное, и все остатки, получаемые при делении в обратном порядке.
Заметим, что при переводе чисел в системы, основание которых превышает 10, каждая цифра очередного остатка или последнее неполное частное должно быть записано в один разряд.
Перевод дробной части осуществляется путем последовательного выполнения операций: умножения числа на основание системы, в которую выполняется перевод, и выделения в полученном результате целой части. Процесс продолжается до тех пор, пока после выделения целой части не останется число 0. Если процесс невозможно завершить, то говорят о том, что он выполнен с определенной степенью точности [2].
§ 3. Использование систем счисления в технике и жизни.
По мере нашего исследования было замечено, что наиболее распространенной является десятичная система счисления. Это обусловлено силой традиции, которая, вероятно, основывается на том, что число пальцев на обеих руках равно обычно 10. Как писал Паскаль, десятичная система ничем не лучше систем с другими основаниями. С некоторых точек зрения более удобны другие системы. На сегодняшний момент также очень часто в практической деятельности используется и двоичная система счисления.
Некоторые идеи, лежащие в основе двоичной системы, по существу были известны в Древнем Китае и Древней Индии. Пропагандистом двоичной системы был знаменитый Г. В. Лейбниц. Он отмечал особую простоту алгоритмов арифметических действий в двоичной арифметике в сравнении с другими системами и придавал ей определённый философский смысл. Известный современный математик Т. Данциг о нынешнем положении дел сказал: «Увы! То, что некогда возвышалось как монумент, очутилось в чреве компьютера». Причина такой метаморфозы не только уникальная простота таблицы умножения в двоичной системе, но и особенности физических принципов, на основе которых работает элементная база современных ЭВМ.
Примерами практического применения двоичной системы счисления в современной технике могут послужить пленочные фотокамеры и шрих-коды.
Как автоматические фотоаппараты узнают светочувствительность заправленной в них плёнки? Её измеряют в некоторых единицах, и вся выпускаемая сейчас в мире плёнка имеет одно из 24 стандартных значений светочувствительности. Эти значения кодируются некоторым стандартным образом наборами из нулей и единиц, естественно, длины 5. На поверхности кассеты для плёнки нанесены 12 квадратиков чёрного или серебристого цвета, образующих прямоугольник 2×6. Квадратики его верхней части мысленно занумеруем от 1 до 6, начиная слева. Квадратики нижней части аналогично занумеруем от 7 до 12. Серебристые квадратики — это просто металлическая поверхность кассеты, она проводит ток, который с контакта внутри аппарата подаётся на первый квадрат (он всегда серебристый). Чёрные квадраты покрыты краской, не проводящей ток.
Когда плёнка вставляется в фотоаппарат, шесть его контактов соприкасаются с шестью первыми квадратиками, и с квадратиков со 2-го по 6-й снимается информация — нуль, если квадратик чёрный и ток по соответствующему контакту не идёт, и единица в противном случае. Вся информация о светочувствительности плёнки заключена в квадратиках со 2-го по 6-й. В остальных квадратиках заключена информация о числе кадров в плёнке и т. п.
Ещё на поверхности кассеты можно увидеть штрих-код. Это так называемый универсальный код продукта, он сейчас ставится на всех продаваемых товарах.
Нужен он только для автоматического занесения информации в кассовый аппарат. Сам штрих-код состоит из тридцати чёрных полос переменной толщины, разделённой промежутками тоже переменной толщины. Толщина полос может принимать четыре значения от самой тонкой до самой толстой. Такую же толщину могут иметь и промежутки. Когда по сканеру проводят штрих-кодом, он воспринимает каждую чёрную полоску как последовательность единиц длины от одной до четырёх, и также воспринимает промежутки между полосами, но при этом вместо единиц сканер видит нули. Полностью весь штрих-код сканер воспринимает как последовательность из 95 цифр 0 или 1 (их давно уже принято называть битами). Что же содержит этот код? Он кодирует 13-разряд-ное десятичное число, совершенно открыто написанное под самим штрих-кодом. Если сканер не смог распознать штрих-код, то это число кассир вводит в аппарат вручную. Штрих-код нужен лишь для облегчения распознавания сканером изображения. Распознавать цифры, к тому же повёрнутые боком, может только сложная программа распознавания на универсальном компьютере, а не кассовый аппарат.
Какую же информацию содержит это 13-значное число? Этот вопрос к математике никакого отношения не имеет. Первая цифра задаёт тип товара, например, у товаров переменного веса она равна 2.Следующие пять цифр — это код производителя, а следующие пять цифр — код самого продукта в принятой этим производителем кодировке. Последняя цифра — это код проверки. Он однозначно вычисляется по предыдущим 12 цифрам следующим образом. Нужно сложить все цифры с нечётными номерами, утроить сумму, к ней прибавить сумму оставшихся цифр, а полученный результат вычесть из ближайшего (большего) кратного 10 числа.
А вот 95-битный код, соответствующий штрих-коду, более интересен. Он содержит в себе только указанное 12-значное число (контрольная цифра в самом штрих-коде не содержится), но с большой избыточностью. Первые три бита в нём, так же, как и последние — это всегда 101. Они нужны только для того, чтобы сканер смог определить ширину полосы, соответствующей одному биту (ведь размеры штрих-кода на разных упаковках могут быть разными) и настроиться на распознавание. В центре кода всегда стоит комбинация 01010, а левая и правая части кода состоят каждая из шести блоков по семь битов и содержат информацию о левых шести и правых шести из данных 12 десятичных цифр. Центральная комбинация позволяет, в частности, отличать поддельные или плохо напечатанные коды. Цифры 13-значного кода кодируются в левой и правой частях штрих-кода по-разному. В левой половине каждая цифра кодируется семёркой битов, начинающейся с 0 и заканчивающейся 1.
Цифры 13-значного кода кодируются в левой и правой частях штрих-кода по-разному. В левой половине каждая цифра кодируется семёркой битов, начинающейся с 0 и заканчивающейся 1, согласно таблице, представленной ниже.
В правой половине каждая цифра кодируется семёркой битов, начинающейся с 1 и заканчивающейся 0, которая получается из вышеприведённой, если в ней нули заменить на единицы и единицы на нули (это переход к дополнительному коду). Можно заметить, что каждый из кодов в таблице содержит нечётное число единиц и ровно две группы рядом стоящих единиц и ровно две группы рядом стоящих нулей. Это означает, что каждая цифра соответствует двум соседним полосам на штрих-коде. Но более важно то обстоятельство, что все десять кодов таблицы, будучи прочитанными не слева направо, а справа налево, будут отличаться от любого из кодов таблицы, прочитанного правильным образом. Очевидно, таблица для правой половины кода обладает теми же свойствами, только число единиц в каждом коде чётное. Такая избыточная (не четырёхбитовая, а семибитовая) таблица кодов нужна для того, чтобы сканер мог правильно прочитать штрих-код и в случае, когда код направляют в него «вверх ногами». Как сканер может отличать одно направление от другого? По чётности или нечётности числа единиц в первом же прочитанном семибитовом блоке, идущем после комбинации 101. При правильном направлении оно будет нечётным, а при обратном направлении — чётным. Перепутать же коды, прочитанные слева, и коды, прочитанные справа, согласно свойству таблицы, невозможно. Если же в каком-то из семибитовых блоков нарушено правильное чередование нулей и единиц в первом и последнем битах или ему не соответствует чётность числа единиц, то штрих-код признаётся поддельным или плохо пропечатанным [1].
Отметим также и тот факт, что в основе таких известных вещей как шрифт Брайля и азбука Морзе также лежит двоичная система счисления.
Шрифт Брайля был создан двенадцатилетним слепым мальчиком по имени Луи. В нём символы языка (буквы, знаки препинания и цифры) кодируются комбинациями от одной до шести выпуклых точек, расположенных в виде таблицы стандартного размера с тремя строчками и двумя столбцами. Элементы (точки) таблицы нумеруются числами 1, 2, 3 в первом столбце сверху вниз и 4, 5, 6 во втором столбце сверху вниз. Каждая точка либо продавливается специальной машинкой (или даже шилом) или остаётся целой. Всего различных способов продавить выпуклые точки в этой таблице 64 (в том числе и тот, в котором ни одна из точек не вдавлена).
Азбука Морзе изобретена Сэмюэлем Морзе. Она сопоставляет каждой букве алфавита последовательность из точек и тире. Естественней всего использовать такие последовательности длины 6, их всего 64 и хватит даже на русский алфавит. Но Морзе понимал, что длину сообщения желательно уменьшить, насколько возможно, поэтому он решил использовать последовательности длины не более 4, их всего 2+4+8+16=30. В русском алфавите пришлось не использовать буквы «э» и «ё» и отождествить мягкий и твёрдый знаки. Кроме того, наиболее часто используемым буквам он предложил давать самые короткие коды, чтобы уменьшить среднюю длину передаваемого сообщения [1].
Рассказывая о системах счисления, нельзя обойти вниманием признаки делимости. Напомним широко известные признаки делимости в случае использования десятичной системы счисления.
Подобный же признак можно предложить и для делимости на число 9. 9, состоящее из n девяток: надо разбить испытуемое число на n-разрядные блоки, начиная с младших разрядов, и всех их сложить (блок, образованный старшими разрядами, может быть короче); у полученного числа будет тот же остаток от деления, что и у исходного. Так как 99 делится на 11, то таким способом можно найти и остаток от деления на 11. Учитывая, что 999 делится на 111 и, следовательно, на 37, получаем признаки делимости на эти числа. Но есть более эффективный признак делимости на 11: надо складывать цифры числа, начиная с младших, чередуя знаки (первая цифра берётся со знаком плюс) — полученное число имеет тот же остаток от деления на 11, что и исходное.
Аналогичный признак делимости имеется и для числа 10. 01, запись которого, кроме двух единиц, содержит n нулей. Испытуемое число разбивается на (n+1)-разрядные блоки, начиная с младших разрядов (блок, образованный старшими разрядами, может быть короче), и все они складываются с чередующимися знаками (первое число берётся со знаком плюс). Полученный результат имеет тот же остаток от деления, что и испытуемое число. Поскольку 1001=11·7·13, мы попутно получаем таким путём признаки делимости на 7, 13, 91, 77, 143.
При применении рассмотренных признаков к большим числам получаются меньшие, но всё же достаточно большие числа, имеющие те же остатки от деления, что и исходные. К ним нужно применить ещё раз тот же признак делимости и т. д. Часто эффективность этих признаков при применении к большим числам всё же ненамного выше простого деления.
Есть, однако, случаи, когда только применение признаков делимости позволяет найти остаток, так как непосредственное деление практически невозможно ввиду колоссальной вычислительной сложности.
Заключение
Различные системы счисления используются всегда, когда появляется потребность в числовых расчетах.
Системой счисления называется некая знаковая система, которая используется для записи цифр. Исторически сложилось, что все существующие системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Чаще всего используются позиционные системы счисления.
В нашей работе были приведены алгоритмы перевода чисел из одной позиционной системы в другую и обратно.
Как уже говорилось выше, системы счисления используются при возникновении потребности в расчетах. Но одной лишь математикой их применение не ограничено. В ходе исследования было выявлено, что числа в двоичной системе используются, например, в фотокамерах и штрих-коде. Также на основе двоичных чисел были созданы азбука Морзе и шрифт Брайля.
Но все-таки это понятие математическое. В ходе нашей работы было изучено использование систем счисления для формулирования признаков делимости.
Список использованной литературы
Гашков С.Б. Применение систем счисления. / С.Б. Гашков. – Москва : Издательство Московского центра непрерывного математического образования, 2004. – 54 с.
Кубряков Е.А. Элементы теории информации и ее представления в памяти компьютера: учебно-методическое пособие по курсу «Теоретические основы информатики» Е.А. Кубряков. – Воронеж : ВГПУ, 2009. – 71 с.
Исследовательская работа «Система счисления и их применение»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Министерство образования Республики Башкортостан
Отдел образования администрации МР Илишевский район
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя образовательная школа № 4
Системы счисления и их применение
Автор: Аглямова Алия,
учащаяся 10 класса
Руководитель: Аглямова Г.М.,
1.2.1 Египетская система счисления. 7
1.2.2 Африка каменного века. 8
1.2.3 История римской системы счисления. …. 9
1.3 Проведение анкетирования. 14
2. Проведение исследования. 15
2.1 Первый этап исследования. 15
2.2 Второй этап исследования. 18
2.3 Заключительный этап исследования…………. 22
Заключение. 23
Список литературы. 24
Числа сопровождают нашу жизнь повсюду. В самые древние времена люди считали на пальцах, т. е. понятие число, в котором мы привыкли его понимать, у них не было.
П амять человечества не сохранила, не донесла до нас имя изобретателя колеса или гончарного круга. Это и неудивительно: более 10 тысяч лет прошло с тех пор, как люди всерьез занялись земледелием, скотоводством и производством простейших товаров. Назвать же имя гения, впервые задавшего вопрос «Сколько?», тем более невозможно.
Поштучно считать предметы удобно тогда, когда их не очень много, т. к. чем большее число надо записать, тем длиннее будет строка из палочек.
Поэтому нам интересно знать, как появились числа, как их записывали и какими цифрами пользуемся мы сейчас.
Сейчас в большинстве стран мира, несмотря на то, что там говорят на разных языках, считают одинаково, «по-арабски». Но так было не всегда. Еще каких-то пятьсот лет назад ничего подобного и в помине не было даже в просвещенной Европе, не говоря уже о какой-нибудь Африке или Америке.
Данная тема была выбрана, потому что стало интересно узнать, кто стоит у истоков различных систем счисления, как давно и где их начали применять, почему двоичная система счисления сохранилась до наших дней.
Была поставлена следующая цель: изучить роль двоичной системы счисления и познакомиться с иными системами счисления.
Для достижения поставленной цели сформулировали следующие задачи:
изучить литературу о различных системах счисления,
провести анкетирование учащихся
подробнее рассмотреть двоичную систему счисления,
узнать чем удобна двоичная система счисления и где она используется.
Описание объекта и предмета исследования
Предмет исследования : исследование темы «Системы счисления и их применение»
Методы исследования:
1. теоретический: теоретический анализ литературных источников;
2. эмпирический: сравнение, социологический опрос-анкетирование.
Теоретическая значимость моего исследования заключается в том, что многие подростки и не только, возможно обратят внимание на моё исследование, и сделают выводы, подтверждая их действиями.
Практическая значимость исследования состоит в том, что оно может быть использовано школьниками для повышения образовательного уровня, учителем математики и информатики для объяснения тем и проведения занимательных уроков.
1. Подготовка к исследованию
1.1. Исторические сведения
В начале, немного из истории возникновения чисел:
В каменном веке, когда люди собирали плоды, ловили рыбу и охотились на животных, потребность в счете возникла так же естественно, как и потребность в добывании огня. Об этом свидетельствуют находки археологов на стоянках первобытных людей. Например, в 1937 году в Вестонице (Моравия) на месте одной из таких стоянок найдена волчья кость с 55 глубокими зарубками. Позже в других местах ученые находили столь же древние каменные предметы с точками и черточками, сгруппированными по три или по пять.
Развитие чисел тесно связано с потребностями общества в измерениях, контроле, особенно в областях аграрной, промышленной и налогообложения. Первые области применения чисел были связаны с созерцанием звезд и земледелием. Изучение звездного неба позволило проложить торговые морские пути, караванные дороги в новые районы и резко увеличить эффект торговли между государствами. Обмен товарами приводил к обмену культурными ценностями, к развитию толерантности как явления, лежащего в основе мирного сосуществования различных рас и народов. Понятие числа всегда сопровождалось и нечисловыми понятиями. Например, один, два, много. Эти нечисловые понятия всегда ограждали числа. Числа придавали законченный вид всем наукам, где они применялись.
Язык чисел, как и обычный язык, имеет свой алфавит. В том языке чисел, которым сейчас пользуются практически на всём земном шаре, алфавитом служат десять цифр от 0 до 9. Этот язык называется десятичной системой счисления. Однако не во все времена и не везде люди пользовались десятичной системой счисления. С точки зрения чисто математической она не имеет специальных преимуществ перед другими возможными системами счисления, и своим повсеместным распространением эта система обязана вовсе не общим законам математики, а причинам совсем иного характера. О свойствах, истории возникновения и применения различных систем счисления будет рассказано в нашей работе.
Потребность в записи числа появилась в очень древние времена, как только люди начали считать.
Представим себе то далекое время, когда люди только начали изобретать числа. В те времена для счета человеку хватало четырех слов: один, два три и много. Именно так считают и сейчас некоторые племена, живущие в джунглях Южной Америки. С развитием человечества этих слов стало не хватать. Земледельцу надо было подсчитать урожай, скотоводу животных, строителю количество бревен Умение считать и производить операции с числами высоко ценилось. Числа вызывали удивление, потому что они могли обозначать количество любых предметов, например, два пальца, две руки, два человека или два камня.
Со времени их происхождение сформировалось большое количество отличных систем счисления: пятеричная, десятичная, мультипликативная
1.2. Сбор информации
Ученые считают, что история возникновения чисел зародилась еще в доисторические времена, когда человек научился считать предметы. Но знаки для обозначения чисел появились значительно позже: их изобрели шумеры — народ, живший в 3000—2000 гг. до н. э. в Месопотамии (ныне в Ираке). История гласит, что на табличках из глины они выдавливали клинообразные черточки. Вавилоняне, пришедшие в Месопотамию после шумеров, унаследовали многие достижения шумерской цивилизации — сохранились клинописные таблички с переводом одних единиц измерения в другие.
1.2.1. Египетская система счисления
Расшифровка системы счисления, созданной в Египте во времена первой династии (ок. 2850 до н.э.), была существенно облегчена тем, что иероглифические надписи древних египтян были аккуратно вырезаны на каменных монументах. Из этих надписей нам известно, что древние египтяне использовали только десятичную систему счисления. Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. Чтобы записанные таким образом числа было легко узнавать, вертикальные штрихи иногда объединялись в группы из трех или четырех черт. Для обозначения числа 10, основания системы, египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели новый коллективный символ, напоминающий по своим очертаниям подкову или крокетную дужку. Множество из десяти подковообразных символов, т.е. число 100, они заменили другим новым символом, напоминающим силки; десять силков, т.е. число 1000, египтяне обозначили стилизованным изображением лотоса. Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем, десять согнутых пальцев – волнистой линией и десять волнистых линий – фигуркой удивленного человека. В итоге древние египтяне могли представлять числа до миллиона. Самые древние из дошедших до нас математических записей высечены на камне, но наиболее важные свидетельства древнеегипетской математической деятельности запечатлены на гораздо более хрупком и недолговечном материале – папирусе. Два таких документа – папирус Ринда, или египетского писца Ахмеса (ок. 1650 до н.э.) и московский папирус, или папирус Голенищева (ок. 1850 до н.э.) – служат для нас основными источниками сведений о древнеегипетских арифметике и геометрии. В этих папирусах более древнее иероглифическое письмо уступило место скорописному иератическому письму, и это изменение сопровождалось использованием нового принципа обозначения чисел. Группа одинаковых символов заменялись более простой по начертанию пометой или знаком. В этой записи число 6789 имело вид, причем знаки более высокого порядка располагались справа, а не слева. Иероглифическая запись чисел использовалась преимущественно в официальных документах и текстах. Еще позднее иератическая система обозначения чисел уступила место демотическим системам записи.
Введение египтянами цифровых обозначений ознаменовало один из важных этапов в развитии систем счисления, так как дало возможность существенно сократить записи. Однако их операции с дробями продолжали оставаться на примитивном уровне, так как они знали лишь аликвотные дроби (т.е. дроби с числителем 1) и каждую дробь записывали в виде суммы аликвотных дробей, например, дробь 2/43 они записали бы так: 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301. В этих системах счисления над символом, обозначающим знаменатель, ставился специальный знак. В искусстве оперирования дробями египтяне значительно уступали жителям Месопотамии.
1.2.2. Арифметика каменного века
Несколько десятков лет назад ученые-археологи обнаружили стойбище древних людей. В нем они нашли волчью кость, на которой 30 тысяч лет тому назад какой-то древний охотник нанес 55 зарубок. Видно, что, делая эти зарубки, он считал по пальцам. Узор на кости состоял из 11 групп, по 5 зарубок в каждой. При этом первые 5 групп он отделил от остальных длинной чертой. Позднее в Сибири и других были найдены сделанные в ту далекую эпоху каменного века (каменные орудия) и украшения, на которых тоже были черточки и точки, сгруппированные по 3, по 5 или по 7.
После счета по зарубкам люди изобрели особые символы, названные цифрами. Они стали применяться для обозначения различных количеств каких-либо предметов. Разные цивилизации создавали свои собственные цифры. Так, например, в древней египетской нумерации, зародившейся более 5000 лет назад, существовали особые знаки (иероглифы) для записи чисел 1, 10, 100, 1000, … Для того чтобы изобразить, например, целое число 23145, достаточно записать в ряд два иероглифа, изображающие десять тысяч, затем три иероглифа для тысячи, один – для ста, четыре – для десяти и пять иероглифов для единицы.
1.2.3. История римской системы счисления
История римской системы счисления берет свое начало, естественно, в Древнем Риме, во время расцвета Римской империи. Она применялась более двух с половиной тысяч лет назад и используется по сей день. Римскими цифрами, как основными пользовались очень долго. Еще двести лет назад во всех деловых бумагах цифры нужно было писать только римские, так как считалось, что арабские цифры гораздо проще подделать.
Сущность римской системы счисления в том, что для обозначения цифр в ней используются заглавные латинские буквы. Но немногие знают, что эти буквы выбраны неслучайно. I – обозначает один, это один палец. V- это пять, раскрытая ладонь, на которой у нас 5 пальцев. X – это десять, две скрещенные ладони, на которых у нас десять пальцев.
1.2.4 Система счисления Древней Руси
Кириллическая система счисления — система счисления Древней Руси, основанная на алфавитной записи чисел с использованием кириллицы или глаголицы.
Большинство букв древнерусского алфавита имели числовое соответствие. Так, буква «Аз» означала «один», «Веди» — «два», и т.д. Некоторые буквы числовых соответствий не имели. Числа писались и произносились слева направо за исключением чисел от 11 до 19 (например, 17 — сем-на-дцать).
По такому же принципу строилась глаголическая система счисления, в которой использовались буквы глаголицы.
В основных чертах схожа с греческой системой счисления.
Использовалась в России до начала XVIII века, когда была заменена на систему счисления, основанную на арабских цифрах.
В настоящее время используется в книгах на церковнославянском языке.
1.2.5. Различия системы счисления
Системой счисления мы будем называть способ представления числа символами некоторого алфавита, которые называют цифрами.
Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Десять пальцев рук – вот аппарат для счета, которым человек пользуется с доисторических времен.
Довольно широкое распространение имела двенадцатеричная система счисления. Происхождение ее тоже связано со счетом на пальцах. Считали большой палец руки и фаланги остальных четырех пальцев: всего их 12.
Особый интерес представляет так называемая «вавилонская», или шестидесятеричная, система счисления, весьма сложная система, существовавшая в Древнем Вавилоне.
Также существовали римская система счисления, египетская система счисления, китайская система счисления и другие.
Системы счисления различают:
— Анатомического происхождения: д есятеричная, пятеричная, двенадцатеричная, двадцатеричная.
— Машинные: д воичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.
— Прочие: Р имская, Вавилонская, Египетская нумерация, Китайская нумерация и другие.
Различают позиционные и н епозиционные системы счисления .
Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных.
Позиционные системы счисления. В позиционных системах счисления величина, обозначается цифрой, зависит от места цифры в числе. Так в числе 222 цифра 2 встречается трижды. Но самая правая означает две единицы, вторая справа – два десятка и, наконец, третья – две сотни.
Непозиционные системы счисления. В непозиционных системах счисления значение числа определяется как сумма или разность цифр в числе. В непозиционных системах счисления считать трудно. Древние греки построили геометрию, которую сегодня изучают в школе, доказали важные теоремы теории чисел, но считать они не умели. Примером непозиционный системы счисления является римская система счисления.
1.2.6. Машинная группа систем счисления
Перед математиками и конструкторами 50-х годов встала проблема отыскания таких систем счисления, которые отвечали бы требованиям, как разработчиков ЭВМ, так и создателей программного обеспечении. Одним из итогов этих исследований стало значительное изменение представлений о системах счисления и о методах вычислений. Оказалось, что арифметический счет, которым человечество пользуется с древнейших времен, может совершенствоваться, подчас весьма неожиданно и на удивление эффективно.
Специалисты выделили так называемую «машинную» группу систем счисления и разработали способы преобразования чисел этой группы. К «машинной» группе систем счисления относятся: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная. Однако на начальном этапе развития информационных технологий использовалась троичная система счисления.
Некоторые идеи, лежащие в основе двоичной системы, по существу были известны в Древнем Китае. Об этом свидетельствует классическая книга ( ), о которой речь пойдёт позже.
Идея двоичной системы была известна и древним индусам.
В Европе двоичная система, видимо, появилась уже в новое время. Об этом свидетельствует система объёмных мер, применяемая английскими виноторговцами: два джилла = полуштоф, два полуштофа =пинта, две пинты= кварта, две кварты= потл, два потла= галлон, два галлона = пек, два пека = полубушель, два полубушеля == бушель, два бушеля = килдеркин, два килдеркина = баррель,два барреля = хогзхед, два хогзхеда = пайп, два пайпа = тан.
Двоичная система проста, так как для представления информации в ней используются всего два состояния или две цифры. Такое представление информации принято называть двоичным кодированием. Представление информации в двоичной системе использовалось человеком с давних времен. Так, жители островов Полинезии передавали необходимую информацию при помощи барабанов: чередование звонких и глухих ударов. Звук над поверхностью воды распространялся на достаточно большое расстояние, таким образом «работал» полинезийский телеграф. В телеграфе в Х1Х-ХХ веках информация передавалась с помощью азбуки Морзе — в виде последовательности из точек и тире.
В конце XX века, века компьютеризации, Человечество пользуется двоичной системой ежедневно, так как вся информация, обрабатываемая современными ЭВМ, хранится в них в двоичном виде. Каким же образом осуществляется это хранение? Каждый регистр арифметического устройства ЭВМ, каждая ячейка памяти представляет собой физическую систему, состоящую из некоторого числа однородных элементов. Каждый такой элемент способен находиться в нескольких состояниях и служит для изображения одного из разрядов числа. Именно поэтому каждый элемент ячейки называют разрядом. Нумерацию разрядов в ячейке принято вести справа налево, самый левый разряд имеет порядковый номер 0. Если при записи чисел в ЭВМ мы хотим использовать обычную десятичную систему счисления, то мы должны получать 10 устойчивых состояний для каждого разряда, как на счетах при помощи костяшек. Такие машины существуют. Однако конструкция элементов такой машины чрезвычайно сложна. Наиболее надежным и дешевым является устройство, каждый разряд которого может принимать два состояния: намагничено — не намагничено, высокое напряжение — низкое напряжение и т. д. В современной электронике развитие аппаратной базы ЭВМ идет именно в этом направлении. Следовательно, использование двоичной системы счисления в качестве внутренней системы представления информации вызвано конструктивными особенностями элементов вычислительных машин.