Как построить внешний угол треугольника
Внешний угол треугольника
Углы треугольника бывают внутренние и внешние. Что такое внешний угол треугольника? Как его найти?
Внешний угол треугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине.
Как построить внешний угол треугольника? Нужно продлить сторону треугольника.
∠3 — внешний угол при вершине А,
∠2 — внешний угол при вершине С,
∠1 — внешний угол при вершине В.
Сколько внешних углов у треугольника?
При каждой вершине треугольника есть два внешних угла. Чтобы построить внешний угол при вершине треугольника, можно продлить любую из двух сторон, на которых лежит данная вершина. Таким образом получаем 6 внешних углов.
Внешние углы каждой пары при данной вершины равны между собой (как вертикальные):
Поэтому, когда говорят о внешнем угле треугольника, не важно, какую из сторон треугольника продлили.
Чему равен внешний угол?
Теорема (о внешнем угле треугольника)
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Дано : ∆АВС, ∠1 — внешний угол при вершине С.
∠1 и ∠С (∠АСВ) — смежные, поэтому их сумма равна 180º, значит, ∠1=180º-∠С=180º-(180º-(∠А+∠В))=180º-180º+(∠А+∠В)=∠А+∠В.
Внешний угол треугольника
Внешний угол треугольника — это угол, смежный с любым из внутренних углов треугольника.
При каждой вершине треугольника может быть построено по два равных внешних угла. Например, если продолжить все стороны треугольника ABC, то при каждой его вершине получится по два внешних угла, которые равны между собой, как вертикальные углы:
Из данного примера можно сделать вывод, что внешние углы, построенные при одной вершине, будут равны.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.
Так как внешний угол (∠1) дополняет внутренний угол (∠4) до развёрнутого угла, то их сумма равна 180°:
Сумма внутренних углов углов любого треугольника тоже равна 180°, значит:
Из этого следует, что
Сократив обе части полученного равенства на одно и тоже число (∠4), получим:
Из этого можно сделать вывод, что внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
Сумма внешних углов
Сумма трёх внешних углов треугольника, построенных при разных вершинах, равна 360°
Рассмотрим треугольник ABC:
Каждая пара углов (внутренний и смежный с ним внешний) в сумме равны 180°. Все шесть углов (3 внутренних и 3 внешних) вместе равны 540°:
(∠1 + ∠4) + (∠2 + ∠5) + (∠3 + ∠6) = 180° + 180° + 180° = 540°.
Значит чтобы найти сумму внешних углов, надо из общей суммы вычесть сумму внутренних углов:
Геометрия
План урока:
Сумма углов треугольника
Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Точки А, В и С не лежат на одной прямой, а потому через В можно провести прямую a, параллельную АС. При этом прямые СВ и АВ окажутся секущими для двух параллельных прямых:
Известно, что секущие образуют пары накрест лежащие углы, причем они равны. Отметим на рисунке эти пары и обозначим их как ∠1, ∠2, ∠3 и ∠ 4.
Равные углы (∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4) отметим одним цветом. Также обозначим ∠АВС как ∠5:
С одной стороны, углы 2, 4 и 5 вместе образуют развернутый угол, то есть их сумма равна 180°:
В результате мы получили, что сумма углов треугольника АВС в точности равна 180°! В итоге мы можем сформулировать следующую теорему:
Задание. В треуг-ке один угол равен 50°, а второй – 60°. Чему равен третий угол этого треуг-ка?
Решение. Обозначим углы треугольника как ∠1, ∠2 и ∠3.
Получили обыкновенное уравнение с одной переменной. Для его решения просто перенесем слагаемые 50° и 60° из левой части в правую:
Задание. Докажите, что у любого треуг-ка есть хотя бы один угол, который не превосходит 60°.
Решение. Докажем это утверждение методом «от противного». Пусть существует такой треуг-к, у которого каждый из углов больше 60°. Это можно записать в виде трех неравенств:
В итоге имеем, что в сумме эти углы больше 180°, а это невозможно. Это противоречие, следовательно, треуг-к с тремя углами, каждый из которых больше 60°, не существует.
Задание. Основанием рав-бедр. ∆АВС является сторона АС. Известно, что ∠В = 40°. Чему равны ∠А и ∠С этого треуг-ка?
Решение. Сначала необходимо вспомнить важное свойство – углы равнобедренного треугольника при его основании равны друг другу. В нашем случае это значит, что ∠А = ∠С:
Задание. Один из углов при основании рав-бедр. треуг-ка равен 50°. Найдите два других угла.
Решение. Построим рисунок по условию задачи:
Отдельного внимания заслуживает равносторонний треуг-к. Напомним, что у него равны все три стороны. Построим его:
Теперь подумаем о том, чему равны его углы. С одной стороны, мы можем рассматривать ∆АВС как рав-бедр. с основанием АС, ведь AB = BC. Тогда∠А = ∠С. Но с другой стороны, всё тот же ∆АВС мы можем одновременно считать и рав-бедр. с основанием АВ, ведь АС = ВС. Из этого следует, что ∠А = ∠С. В итоге получаем, что все три угла ∆АВС равны:
Итак, получили удивительный факт – в равностороннем треуг-ке все углы равны 60°!
Рассмотрим чуть более сложную задачу, где неизвестен ни один из углов треуг-ка, однако известны некоторые соотношения между ними.
Задание. Первый угол треуг-ка больше второго в 2 раза, а третий равен сумме первых двух углов. Чему равны углы треуг-ка?
Решение. Для большей наглядности примем первый угол треуг-ка за неизвестную величину, то есть за х. Тогда второй угол будет равен 2х, а третий окажется равным их сумме:
Внешние углы треугольника
Построим некоторый треуг-к, а потом продлим одну из его сторон. На рисунке мы продлили сторону АС. В результате образуется угол, который называют внешним углом треугольника:
На рисунке видно, что ∠ВСD является внешним. Но одновременно можно утверждать и ещё один факт – углы ∠АСВ и ∠ВСD являются смежными. Это позволяет нам дать следующее определение:
В итоге мы доказали, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треуг-ка, которые с ним не смежны.
Задание. У ∆АВС ∠А = 50°, ∠В = 75°. Найдите величину внешнего угла, смежного с ∠С.
Решение. В данном случае, согласно доказанному нами правилу, достаточно просто сложить ∠А и ∠B:
Рассмотрим ещё несколько более тяжелых задач.
Задание. В ∆АВС проведены биссектрисы угловА и B. Они пересекаются в точке М. Известно, что ∠А = 58°, ∠B = 96°. Найдите ∠АМB.
Решение. Устно такую задачу не решить, поэтому построим рисунок:
АМ – это биссектриса, а она разбивает∠ВАС на два равных угла. Поэтому мы можем вычислить ∠ВАМ:
Отметим найденные углы на рисунке:
Обратите внимание на ∆АВМ, который выделен красным цветом. Теперь мы знаем два угла в нем. Значит, можно найти и третий! Запишем для ∆АВМ сумму его углов:
Задание. Построен внешний угол равнобедренного треугольника, который смежен с вершиной, лежащей против основания. Далее построили биссектрису этого внешнего угла. Докажите, что эта биссектриса будет параллельна основанию.
Решение. Выполним построение:
Пусть АС – это основание рав-бедр. ∆АВС. Тогда внешний угол должен быть проведен к вершине В, ведь именно она лежит против основания. Обозначим внешний угол как ∠СВD (для этого мы просто добавили точку Dна продолжение отрезка АВ). Далее проводим биссектрису ВК. Нам требуется доказать, что ВК||АС.
Поступим очень просто – обозначим неизвестную нам величину угла при основании как х. То есть
В результате мы получили, что и ∠С, и ∠CBK равны х, то есть они равны и друг другу. Однако эти углы являются накрест лежащими для прямых АС и ВК и секущей ВС. Из равенства накрест лежащих углов следует, что АС||ВК.
Задание. В ∆АВС проведена медиана АМ, причем ее длина равна ВМ. Найдите ∠А.
Решение. Напомним, что медиана – это прямая, разбивающая сторону на два равных отрезка. То есть ВМ = МС. По условию АМ = ВМ, значит, имеет место двойное равенство:
Посмотрите на рисунок – здесь есть сразу два рав-бедр. треуг-ка! Это ∆АВМ (с основанием АВ) и ∆АМС (с основанием АМС). Обозначим∠В как х, а ∠С – как у. Углы при основании рав-бедр. треуг-ков одинаковы, а потому
Сравнение сторон и углов треугольника
Докажем следующую теорему:
Построим ∆АВС, в котором сторона АВ будет длиннее, чем АС. Нам надо доказать, что ∠С >∠B:
Выполним дополнительное построение – отметим на прямой АВ такую точку D, что AD = АС. Точка D будет располагаться на отрезке АВ, ведь АВ больше АС, а, значит, и больше АD. Также соединим C и D отрезком:
Теперь рассмотрим ∆ADC. Он является рав-бедр., ведь AD = AC. Из этого следует, что ∠ADC = ∠ACD.
Можно заметить, что ∠АDС является внешним углом для ∆BDC. Это значит, что
Мы доказали только первую часть теоремы. Теперь надо доказать обратное утверждение – против большего угла находится большая сторона треугольника. Предположим обратное, что существует ∆АВС, в котором ∠С>∠B, но не выполняется условие АВ >AC. Тогда либо АВ = ВС, либо АВ AC.
Задание. В ∆АВС известны углы:
Запишите стороны этого треуг-ка в порядке возрастания.
Решение. Всё очень просто – чем больше сторона, тем против большего угла она лежит. Поэтому самая большая сторона – это АВ, вторая по длине – АС, а наименьшая сторона – ВС. То есть BС
Доказанная теорема помогает сформулировать важный признак рав-бедр. треуг-ка:
Действительно, против равных углов должны лежать равные стороны, в противном случае сложится ситуация, когда в треуг-ке против сторон разной длины будут лежать равные углы, что невозможно.
Задание. В рав-бедр. ∆АВС основанием является АС. Из точек А и С проведены биссектрисы, которые пересеклись в точке О. Докажите, что ∆АОС также является рав-бедр.
Ясно, что ∠ВАС = ∠ВСА, так как это углы при основании рав-бедр. ∆АВС. С другой стороны, ∠ОАС равен половине ∠ВАС, ведь АО – биссектриса:
В итоге имеем, что ∠ОАС и ∠АСО равны. Но тогда в ∆АОС есть два одинаковых угла, а потому он является рав-бедр. (АО = ОС).
Неравенство треугольника
Следующая важная теорема называется неравенством треугольника:
Попробуем доказать неравенство треугольника. Возьмем произвольный ∆АВС и покажем, что сторона АВ меньше, чем величина ВС + АС. Для этого «дорисуем» к отрезку АС ещё один отрезок СD, равный BC, при этом АС и СD должны лежать на одной прямой:
Так как AD = АС + СD, то нам достаточно показать, что АВ
Получается, что в ∆АВD сторона АВ лежит против меньшего угла по сравнению со стороной АD. Значит, эта сторона должна быть меньше АD, что мы и пытаемся доказать.
Доказанная теорема означает, что не всякий треуг-к можно построить по его сторонам. Так, у нас никогда не получится построить треуг-к, у которого стороны равны 2, 3 и 7 см, так как одна из этих длин больше, чем сумма двух других:
Верно обратное утверждение – если все заданные длины удовлетворяют неравенству, то треуг-к построить можно.
Задание. Известны две стороны равнобедренного треугольника, они равны 25 и 10 см. Какая из них является основанием?
Решение. Рассмотрим сперва случай, когда основание равно 25 см. Тогда две другие стороны имеют длину 10 см. Их сумма (10 см + 10 см = 20 см) меньше основания. Такая ситуация невозможно из-за неравенства треуг-ка.
Ситуация же, при которой основание имеет длину 10 см, вполне допустима. Тогда две другие стороны равны 25 см, и для каждой стороны неравенство треуг-ка выполняется:
Внешний угол треугольника
Что такое угол? Угол – это два луча с началом в одой точке. Величиной угла зовется степень поворота одного луча относительно другого. Минимальный угол получится при совпадении двух лучей. Такой угол считается нулевым. Углы бывают полными, развернутыми, прямыми, острыми и тупыми.
Смежные и вертикальные углы
Для понимания темы внешнего угла нужно обговорить понятия смежных и вертикальных углов. Вертикальными углами зовутся углы, стороны которых являются продолжением друг друга. Такие угла всегда равны. При пересечении двух прямых образуется две пары вертикальных углов.
Рис. 1. Смежные и вертикальные углы.
Смежными углами зовутся углы, одна из сторон которых является продолжением другой, а вторая является общей. Два таких угла вместе образуют развернутый угол в 180 градусов. Значит, сумма смежных углов равняется 180 градусам.
Вертикальные углы часто используются в доказательствах, а смежные можно применять при решении задач с дополнительным построением.
Внешний угол
Внешний угол существует не только у треугольника. Такой угол можно достроить к любой фигуре. Для этого необходимо продолжить одну из сторон фигуры, тогда другая сторона образует с этим продолжением два смежных угла.
Рис. 2. Внешний угол пятиугольника.
В любой вершине фигуры всегда пересекается 2 стороны. Значит, можно получить две прямые, которые являются продолжением этих сторон и внешних углов при каждой вершине может быть 2.
Внешний угол треугольника
Внешний угол треугольника единственный из всех внешних углов обладает набором специфических свойств, которые могут помочь в решении задач.
Рис. 3. Внешний угол треугольника.
Но прежде всего, стоит сказать, что редко когда в решении вам понадобятся два внешних угла при одной вершине. Это особо сложные, зачастую олимпиадного уровня, задачи. Поэтому в общем случае, не стоит загромождать чертеж и строить две пары смежных углов.
Теперь перечислим свойства внешних углов треугольника:
Что мы узнали?
Мы досконально разобрали тему внешнего угла треугольника. Разделили понятие смежных и вертикальных углов, указали, какой из углов для внешнего угла будет смежным, а какой вертикальным. Поговорили об известных и неизвестных свойствах внешнего угла и обсудили особенности построения внешних углов в треугольнике.
Внешний угол треугольника
Всего получено оценок: 92.
Всего получено оценок: 92.
Внешний угол треугольника – это тема, которая помогает воспринимать треугольник комплексно. При изучении внешних углов, учении понимает, что можно использовать дополнительные построения для облегчения решении задачи.
Что такое угол? Угол – это два луча с началом в одой точке. Величиной угла зовется степень поворота одного луча относительно другого. Минимальный угол получится при совпадении двух лучей. Такой угол считается нулевым. Углы бывают полными, развернутыми, прямыми, острыми и тупыми.
Смежные и вертикальные углы
Для понимания темы внешнего угла нужно обговорить понятия смежных и вертикальных углов. Вертикальными углами зовутся углы, стороны которых являются продолжением друг друга. Такие угла всегда равны. При пересечении двух прямых образуется две пары вертикальных углов.
Смежными углами зовутся углы, одна из сторон которых является продолжением другой, а вторая является общей. Два таких угла вместе образуют развернутый угол в 180 градусов. Значит, сумма смежных углов равняется 180 градусам.
Вертикальные углы часто используются в доказательствах, а смежные можно применять при решении задач с дополнительным построением.
Внешний угол
Внешний угол существует не только у треугольника. Такой угол можно достроить к любой фигуре. Для этого необходимо продолжить одну из сторон фигуры, тогда другая сторона образует с этим продолжением два смежных угла.
Рис. 2. Внешний угол пятиугольника.
В любой вершине фигуры всегда пересекается 2 стороны. Значит, можно получить две прямые, которые являются продолжением этих сторон и внешних углов при каждой вершине может быть 2.
Внешний угол треугольника
Внешний угол треугольника единственный из всех внешних углов обладает набором специфических свойств, которые могут помочь в решении задач.
Рис. 3. Внешний угол треугольника.
Но прежде всего, стоит сказать, что редко когда в решении вам понадобятся два внешних угла при одной вершине. Это особо сложные, зачастую олимпиадного уровня, задачи. Поэтому в общем случае, не стоит загромождать чертеж и строить две пары смежных углов.
Теперь перечислим свойства внешних углов треугольника:
Что мы узнали?
Мы досконально разобрали тему внешнего угла треугольника. Разделили понятие смежных и вертикальных углов, указали, какой из углов для внешнего угла будет смежным, а какой вертикальным. Поговорили об известных и неизвестных свойствах внешнего угла и обсудили особенности построения внешних углов в треугольнике.