Как построить угол зная косинус

Из определения sin α и cos α следует, что синус и косинус острого угла α – положительные числа, меньшие единицы.

где α – острый угол.

Каково бы ни было положительное число у , меньшее единицы, существует, и притом только один, острый угол α , синус которого равен у :

Каково бы ни было положительное число р , существует, и притом только один, острый угол α , тангенс которого равен р :

На одной стороне прямого угла МО N,

Каково бы ни было положительное число q , существует, и притом только один, острый угол α , котангенс которого равен q :

Построить угол α , котангенс которого равен 3 .

На сторонах прямого угла LKM,

Выражение тригонометрических функций через одну из них с помощью острого угла.

Найдём значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла

Таким же путём можно найти приближённые значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого острого угла.

При этом степень приближения будет зависеть только от точности наших измерений.

Построение углов по данному значению его тригонометрической функции с помощью единичной окружности.

Построить угол (дугу) α , синус которого равен m .

Рассмотрим три случая.

На положительной оси Ох откладываем от точки О отрезок, равный 3 / ₄ радиуса единичной окружности.

Введём на плоскости прямоугольную систему координат.

Построить углы α , для которых tg α = 1,5 .

Геометрический вывод значений тригонометрических функций.

Источник

Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

0 °30 °45 °60 °90 °sin α01 22 23 21cos α13 22 21 20tg α03 313нетctg αнет313 30

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β :

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

Источник

Теорема косинусов и синусов

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула Теоремы Пифагора:

a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.

Что и требовалось доказать.

Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.

С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

Приравниваем правые части уравнений:

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны b и c:

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.

Косинусы углов треугольника

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Примеры решения задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.

Источник

Алгебра

Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке

Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера

. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке

Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке

План урока:

Синус и косинус угла на единичной окружности

Впервые мы познакомились с синусом, косинусом и другими тригонометрическими функциями ещё в 8 класс на уроках геометрии, при изучении прямоугольного треугольника. Пусть есть некоторый треуг-ник АВС, у которого∠ С – прямой, а ∠ВАС принимается за α. Тогда sinα – это отношение ВС к АВ, а cosα– это отношение АС к АВ. В свою очередь tgα– это отношение ВС к АС:

С помощью тригонометрических функций удобно было находить стороны прямоугольного треугол-ка. Например, пусть известно, что гипотенуза АВ равна 5, а sinα = 0,8. Тогда из формулы sinα = ВС/АВ легко получить, что

ВС = АВ•sinα = 5•0,8 = 4

Если известно, что cosα = 0,6, то мы сможем найти и второй катет:

АС = АВ•cosα = 5•0,6 = 3

Отдельно заметим, что тангенс угла может быть рассчитан не как отношение двух катетов, а как отношение синуса к косинусу:

tgα = ВС/ АС = (АВ•sinα)/(АВ•cosα) = (sinα)/(cosα)

Отметим на единичной окружности произвольную точку А, которой соответствует некоторый угол α. У этой точки есть свои координаты х_А и у_А:

Попытаемся определить, чему равны координаты точки А. Для этого обозначим буквой B точку, в которой перпендикуляр, опущенный из А, пересекает горизонтальную ось Ох, и рассмотрим треугольник ОАВ:

Ясно, что ОАВ – это прямоугольный треугольник, ведь∠ АОВ = 90°. Значит, отрезок АВ можно рассчитать по формуле

Но ОА – это радиус единичной окружности. Это значит, что ОА = 1. Тогда

АВ = sinα•ОА = sinα•1 = sinα

С другой стороны, видно, что величина отрезка АВ равна координате у_А. Получается, что у_А = АВ = sinα, или

Отрезок ОВ также можно найти из прямоугольного треугольника АОВ, используя косинус:

Учитывая, что ОА = 1, а длина ОВ равна координате х_А, мы получим следующее:

х_А = ОВ = cosα•ОА = cosα•1 = cosα

то есть координата х_А равна cos α:

Итак, мы выяснили, что координаты точки, лежащей на единичной окружности, равны синусу и косинусу угла, соответствующего этой точке.

Таким образом, нам удалось дать новое определение синусу и косинусу угла:

Заметим, что в прямоугольном треугольнике углы, помимо самого прямого угла, могут быть только острыми. Поэтому предыдущее определение синуса и косинуса, данное в 8 классе в курсе геометрии, было пригодно лишь для углов из диапазона 0 1 I и II четверть

Источник

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемДарья Наточиева

Похожие презентации

Презентация на тему: » Синус, косинус и тангенс угла Подготовила: учитель математики МОУ сош 30 имени А.И.Колдунова Кутоманова Е.М. 2010-2011 учебный год.» — Транскрипт:

1 Синус, косинус и тангенс угла Подготовила: учитель математики МОУ сош 30 имени А.И.Колдунова Кутоманова Е.М учебный год

2 1.Определение тригонометрических функций Синусом угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin = ВС:АВ Косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos = АС:АВ Тангенсом угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему: tg = ВС:АС Котангенсом угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему: ctg = АС:ВС Пример. Дано:а = 5, b = 12, c = 13. Найти: sinA, cosA, tgA, ctgA Решение: sinA = а:с, sinA = 5:13, cosA = в:с, cosA = 12:13, tgA = а:в, tgA = 5:12, ctgA = в:а, ctgA = 12:5. AC B

3 2.Синус, косинус, тангенс Введём прямоугольную систему координат Оху. Построим полуокружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1. Эту полуокружность назовём единичной полуокружностью. α-угол между лучом h и положительной полуосью Ох. Из ΔОМD-прямоугольного имеем: sinα=МD:ОМ, соsα=ОD:ОМ. Т.к. ОМ=1, МD=у, ОD=х, то sinα=у, соsα=х. Выполним у С (0;1) h М(х,у)М(х,у) В (-1;0) 0 α D А (1;0) х

5 Тангенсом угла α называется отношение sinα к соsα, т.е.tgα=sinα:соsα. При α=90° tgα не определён, т.к. соs90°=0. Т.к. sin0°=0 и соs0°=1, то tg 0°=0. Т.к. sin180°=0 и соs180°=1, то tg 180°=0

6 Котангенсом угла α называется отношение соsα к sinα, т.е.сtgα=соsα :sinα. При α=0° сtgα не определён, т.к. sin0°=0. При α=180° сtgα не определён, т.к. sin180°=0.

7 3.Основное тригонометрическое тождество Единичная полуокружность АСВ с центром О является дугой окружности, уравнение которой имеет вид х²+у²=1. Выполним 1012 (для точек М и М). Т.к. sinα=у, соsα=х, то sin ² α+ соs ² α=1. Данное равенство выполняется для любого α, 0°α180°. sin ² α+ соs ² α=1 – основное тригонометрическое тождество Выполним 1013а, 1014а, 1015а.

9 Построение угла, если известно значение тригонометрической функции этого угла. 1.Построим угол α, если sin α =0,25. Построение: 1)В системе координат Оху построим единичную полуокружность с центром в начале координат. 2)Проведём прямую у=0,25. 3)Прямая пересекла полуокружность в точках М и Р. 4)Проведём лучи ОР и ОМ. Углы АОР и АОМ – искомые. Задача имеет два решения. у у МР ОАх

10 2.Построим угол α, если соs α =0,25. Построение: 1)В системе координат Оху построим единичную полуокружность с центром в начале координат. 2)Проведём прямую х=0,25. 3)Прямая пересекла в точке М полуокружность. 4)Проведём луч ОМ. Угол АОМ – искомый. Задача имеет одно решение. уМ ОАх

11 2.Построим угол α, если соs α =-0,5. Построение: 1)В системе координат Оху построим единичную полуокружность с центром в начале координат. 2)Проведём прямую х=-0,5. 3)Прямая пересекла в точке М полуокружность. 4)Проведём луч ОМ. Угол АОМ – искомый. Задача имеет одно решение. у М ОАх

13 Самостоятельная работа 1 вариант2 вариант Постройте угол А, если 1) sinА=3/51) sinА=2/5 2) соsА=3/42) соsА=-3/4 3) соsА=-2/33) соsА=2/3 1018(а)1018(б) Домашнее задание §1, п.95, 1017, 1018(в), 1019(б)

Источник