Как построить параболу и прямую
Квадратичная функция. Парабола
Прежде чем перейти к разбору квадратичной функции рекомендуем вспомнить, что называют функцией в математике.
Если вы прочно закрепите общие знания о функции (способы задания, понятие графика) дальнейшее изучение других видов функций будет даваться значительно легче.
Что называют квадратичной функцией
Квадратичная функция — это функция вида
Другими словами можно сказать, что если в функции старшая (то есть самая большая) степень, в которой стоит « x » — это « 2 », то перед нами квадратичная функция.
Рассмотрим примеры квадратичных функций и определим, чему в них равны коэффициенты « a », « b » и « с ».
Как построить график квадратичной функции
График квадратичной функции называют параболой.
Парабола выглядит следующим образом.
Также парабола может быть перевернутой.
Существует четкий алгоритм действий при построении графика квадратичной функции. Рекомендуем при построении параболы всегда следовать этому порядку действий, тогда вы сможете избежать ошибок при построении.
Чтобы было проще понять этот алгоритм, сразу разберем его на примере.
Построим график квадратичной функции « y = x 2 −7x + 10 ».
Если « a > 0 », то ветви направлены вверх. 
Если « a », то ветви направлены вниз. 
В нашей функции « a = 1 », это означает, что ветви параболы направлены вверх.
Чтобы найти « x0 » (координата вершины по оси « Ox ») нужно использовать формулу:
Найдем « x0 » для нашей функции « y = x 2 −7x + 10 ».
Теперь нам нужно найти « y0 » (координату вершины по оси « Oy »). Для этого нужно подставить найденное значение « x0 » в исходную функцию. Вспомнить, как найти значение функции можно в уроке «Как решать задачи на функцию» в подразделе «Как получить значение функции».
Выпишем полученные координаты вершины параболы.
(·) A (3,5; −2,25) — вершина параболы.
Отметим вершину параболы на системе координат. Проведем через отмеченную точку ось симметрии, так как парабола — это симметричный график относительно оси « Oy ».
Для начала давайте разберемся, что называют нулями функции.
Нули функции — это точки пересечения графика функции с осью « Ox » (осью абсцисс).
Наглядно нули функции на графике выглядят так:
Свое название нули функции получили из-за того, что у этих точек координата по оси « Oy » равна нулю.
Теперь давайте разберемся, как до построения графика функции рассчитать координаты точек нулей функции.
Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо « y = 0 ».
0 = x 2 −7x + 10
x 2 −7x + 10 = 0
x1;2 =
| 7 ± √ 49 − 4 · 1 · 10 |
| 2 · 1 |
x1;2 =
| 7 ± √ 9 |
| 2 |
x1;2 =
| 7 ± 3 |
| 2 |
x1 =
| x2 =
| ||||
x1 =
| x2 =
| ||||
| x1 = 5 | x2 = 2 |
Мы получили два корня в уравнении, значит, у нас две точки пересечения с осью « Ox ». Назовем эти точки и выпишем их координаты.
Отметим полученные точки («нули функции») на системе координат.
Возьмем четыре произвольные числовые значения для « x ». Целесообразно брать целые числовые значения на оси « Ox », которые наиболее близки к оси симметрии. Числа запишем в таблицу в порядке возрастания.
Для каждого выбранного значения « x » рассчитаем « y ».
Запишем полученные результаты в таблицу.
| x | 1 | 3 | 4 | 6 |
| y | 4 | −2 | −2 | 4 |
Отметим полученные точки графика на системе координат (зеленые точки).
Теперь мы готовы построить график. На забудьте после построения подписать график функции.
Краткий пример построения параболы
Рассмотрим другой пример построения графика квадратичной функции. Только теперь запишем алгоритм построения коротко без подробностей.
Пусть требуется построить график функции « y = −3x 2 − 6x − 4 ».
x0 =
| −b |
| 2a |
x0 =
| −(−6) |
| 2 · (−3) |
=
| 6 |
| −6 |
= −1
y0(−1) = (−3) · (−1) 2 − 6 · (−1) − 4 = −3 · 1 + 6 − 4 = −1
(·) A (−1; −1) — вершина параболы.
Точки пересечения с осью « Ox » ( y = 0 ).
x1;2 =
| −6 ± √ 6 2 − 4 · 3 · 4 |
| 2 · 1 |
x1;2 =
| −6 ± √ 36 − 48 |
| 2 |
x1;2 =
| −6 ± √ −12 |
| 2 |
Ответ: нет действительных корней.
Так как корней нет, значит, график функции не пересекает ось « Ox ».
Отметим вспомогательные точки. Отмечаем на системе координат только те точки, которые не выходят за масштаб нашей системы координат, то есть точки « (−2; −4) » и « (0; −4) ». Построим и подпишем график функции.
Как решать задачи на квадратичную функцию
В предыдущем уроке мы подробно разобрали, как построить параболу. В этом уроке мы разберем, как решать типовые задачи на квадратичную функцию.
Как найти нули квадратичной функции
Подставим в исходную функцию вместо « y » ноль и решим полученное квадратное уравнение.
0 = x 2 − 3
x 2 − 3 = 0
x1;2 =
| 0 ± √ 0 2 − 4 · 1 · (−3) |
| 2 · 1 |
x1;2 =
| ± √ 12 |
| 2 |
x1;2 =
| ± √ 4 · 3 |
| 2 |
x1;2 =
| ± 2√ 3 |
| 2 |
x1;2 = ±√ 3
| x1 = √ 3 | x2 = − √ 3 |
Как найти при каких значениях « x » квадратичная функция принимает заданное числовое значение
Чтобы найти при каких значениях « x » квадратичная функция принимает заданное числовое значение, нужно:
При каких значениях « x » функция принимает значение « −3 ».
Подставим в исходную функцию вместо « y = −3 » и найдем « x ».
−3 = x 2 − x − 3
x 2 − x − 3 = −3
x 2 − x − 3 + 3 = 0
x 2 − x = 0
x1;2 =
| 1 ± √ 1 2 − 4 · 1 · 0 |
| 2 · 1 |
x1;2 =
| 1 ± √ 1 |
| 2 |
x1;2 =
| 1 ± 1 |
| 2 |
x1 =
| x2 =
| ||||
x1 =
| x2 =
| ||||
| x1 = 1 | x2 = 0 |
Как найти координаты точек пересечения параболы и прямой
Чтобы найти точки пересечения параболы с прямой нужно:
Найти координаты точек пересечения параболы « y = x 2 » и прямой « y = 3 − 2x ».
Приравняем правые части функций и решим полученное уравнение относительно « x ».
x 2 = 3 − 2x
x 2 − 3 + 2x = 0
x 2 + 2x − 3 = 0
x1;2 =
| 2 ± √ 2 2 − 4 · 1 · (−3) |
| 2 · 1 |
x1;2 =
| 2 ± √ 4 + 12 |
| 2 |
x1;2 =
| 2 ± √ 16 |
| 2 |
x1;2 =
| 2 ± 4 |
| 2 |
x1 =
| x2 =
| ||||
x1 =
| x2 =
| ||||
| x1 = 3 | x2 = −1 |
Теперь подставим в любую из заданных функций (например, в полученные числовые значения « x », чтобы найти координаты « y » точек пересечения.
1) x = 3
y = 3 − 2x
y(3) = 3 − 2 · 3 = 3 − 6 = −3
(·) A (3; −3) — первая точка пересечения.
2) x = −1
y = 3 − 2x
y(−1) = 3 − 2 · (−1) = 3 + 2 = 5
(·) B (−1; 5) — вторая точка пересечения.
Запишем полученные точки пересечения с их координатами в ответ.
Как определить, принадлежит ли точка графику функции параболы
Чтобы проверить принадлежность точки параболе нет необходимости строить график функции.
Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси « Ox » вместо « x », а координату по оси « Oy » вместо « y ») и выполнить арифметические расчеты.
Как найти точки пересечения параболы с осями координат
Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат.
Сначала определим точки пересечения функции с осью « Ox ». На графике функции эти точки выглядят так:
Как видно на рисунке выше, координата « y » точек пересечения с осью « Ox » равна нулю, поэтому подставим « y = 0 » в исходную функцию « y = x 2 −3x + 2 » и найдем их координаты по оси « Ox ».
0 = x 2 −3x + 2
x 2 −3x + 2 = 0
x1;2 =
| 3 ± √ 3 2 − 4 · 1 · 2 |
| 2 · 1 |
x1;2 =
| 3 ± √ 9 − 8 |
| 2 |
x1;2 =
| 3 ± √ 1 |
| 2 |
x1;2 =
| 3 ± 1 |
| 2 |
x1 =
| x2 =
| ||||
x1 =
| x2 =
| ||||
| x1 = 2 | x2 = 1 |
Теперь найдем координаты точки пересечения с осью « Oy ».
Как видно на рисунке выше, координата « x » точки пересечения с осью « Oy » равна нулю.
Подставим « x = 0 » в исходную функцию « y = x 2 −3x + 2 » и найдем координату точки по оси « Oy ».
y(0) = 0 2 − 3 · 0 + 2 = 2
Выпишем координаты полученной точки: (·) C (0; 2)
Запишем в ответ все координаты точек пересечения параболы с осями.
Как определить при каких значениях x функция принимает положительные или отрицательные значения
Чтобы по графику функции определить, где функция принимает положительные или отрицательные значения нужно:
С помощью графика квадратичной функции, изображенного на рисунке, ответить: При каких значениях « x » функция принимает 1) положительные значения; значения.
Проведем через точки, где график функции пересекает ось « Ox » прямые.
Определим области, где функция принимает отрицательные или положительные значения.
Подпишем над каждой полученной областью, какие значения принимает « x » в каждой из выделенных областей.
Ответ: при « x » и « x > 2 » функция принимает отрицательные значения; при функция принимает положительные значения.
Содержание:
Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения 
, т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.
Возможны два вида задач:
Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.
Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:
Эллипс
Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек 
, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между 
).
Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:
(7.5)
Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку 
координаты которой задаются формулами 
будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением 
Число 
называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет 
характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении 
становится более вытянутым
Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е. 
Гипербола
Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек 
есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между 
).
Тогда 
А расстояние 
Подставив в формулу r=d, будем иметь
. Возведя обе части равенства в квадрат, получим
или
(9.4.1)
Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения 
также определяют параболы.
Легко показать, что уравнение 
, определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а 
О. Для этого выделим полный квадрат:
и сделаем параллельный перенос по формулам
Пример:
Кривые второго порядка на плоскости
Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:
где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю 
Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.
Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.
Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению
которое называют каноническим уравнением эллипса.
Число а называют большей полуосью эллипса, число 
— мень-
Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.
В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид 
и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.
Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:
Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы 
и характеризует форму эллипса. Для окружности 
Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.
Пример:
Показать, что уравнение
является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.
Решение:
Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:
— каноническое уравнение эллипса с центром в точке 
большей полуосью а=3 и меньшей полуосью 
Найдем эксцентриситет эллипса:
Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке 
а оси 
параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е. 
В новой системе координат координаты 
вершин и фокусов гиперболы будут следующими:
Переходя к старым координатам, получим:
Построим график эллипса.
Задача решена.
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.
Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.