Как построить натуральную величину сечения
Как построить натуральную величину сечения
Контрольные задания по теме:
Рабочая тетрадь задача 68, задача 69
Натуральную величину сечения можно определить способом вращения. Ось вращения выбираем в точке 1 и вращаем секущую плоскость до положения, параллельного горизонтальной плоскости. На горизонтальной плоскости получим эллипс, который будет являться натуральной величиной сечения цилиндра.
Рисунок 49
Разверткой цилиндра является прямоугольник с высотой, равной высоте цилиндра, и длиной, равной длине окружности основания 2πR. Для того, чтобы построить развертку усеченной части, основание цилиндра делят на равные части, тем самым аппроксимируя цилиндрическую поверхность призматической. Разделим окружность основания на 12 равных частей и отложим их вдоль горизонтальной линии развертки, по вертикали отложим высоту цилиндра (рис. 50).
Затем на полученных образующих отметим высоты точек сечения. Пристроим окружность основания и натуральную величину сечения.
Рисунок 50
Натуральную величину сечения находим способом вращения. Ось вращения выбираем в точке D и поворачиваем секущую плоскость до положения, параллельного горизонтальной плоскости проекций. Из горизонтальных проекций точек проводим линии, перпендикулярные оси вращения. Натуральной величиной сечения будет являться эллипс.
Рисунок 51
Развертка конуса является круговым сектором с радиусом, равным длине образующей конуса и длиной дуги, равной длине окружности основания конуса. Делим основание конуса на 12 равных частей и откладываем их по дуге на развертке. Затем на соответствующих образующих нужно отложить натуральные величины высот точек сечения. Чтобы получить полную развертку усеченной части, пристраиваем основание и натуральную величину сечения. На рисунке 52 показано построение развертки конуса.
Рисунок 52
1. Как образуется цилиндрическая поверхность?
2. Если секущая цилиндр плоскость фронтально проецирующая, то где будут лежать горизонтальные проекции точек сечения?
3. Какими способами можно определять натуральную величину фигуры сечения?
4. Какой геометрической фигурой является развертка боковой поверхности цилиндра? Конуса?
5. Для чего нужно разбивать окружность основания на некоторое количество равных частей?
6. Как построить развертку конической поверхности?
7. Как получить из полной развертки поверхности развертку ее усеченной части?
© ФГБОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет
Как построить натуральную величину сечения
Контрольные задания по теме:
Рабочая тетрадь задача 68, задача 69
Натуральную величину сечения можно определить способом вращения. Ось вращения выбираем в точке 1 и вращаем секущую плоскость до положения, параллельного горизонтальной плоскости. На горизонтальной плоскости получим эллипс, который будет являться натуральной величиной сечения цилиндра.
Рисунок 49
Разверткой цилиндра является прямоугольник с высотой, равной высоте цилиндра, и длиной, равной длине окружности основания 2πR. Для того, чтобы построить развертку усеченной части, основание цилиндра делят на равные части, тем самым аппроксимируя цилиндрическую поверхность призматической. Разделим окружность основания на 12 равных частей и отложим их вдоль горизонтальной линии развертки, по вертикали отложим высоту цилиндра (рис. 50).
Затем на полученных образующих отметим высоты точек сечения. Пристроим окружность основания и натуральную величину сечения.
Рисунок 50
Натуральную величину сечения находим способом вращения. Ось вращения выбираем в точке D и поворачиваем секущую плоскость до положения, параллельного горизонтальной плоскости проекций. Из горизонтальных проекций точек проводим линии, перпендикулярные оси вращения. Натуральной величиной сечения будет являться эллипс.
Рисунок 51
Развертка конуса является круговым сектором с радиусом, равным длине образующей конуса и длиной дуги, равной длине окружности основания конуса. Делим основание конуса на 12 равных частей и откладываем их по дуге на развертке. Затем на соответствующих образующих нужно отложить натуральные величины высот точек сечения. Чтобы получить полную развертку усеченной части, пристраиваем основание и натуральную величину сечения. На рисунке 52 показано построение развертки конуса.
Рисунок 52
1. Как образуется цилиндрическая поверхность?
2. Если секущая цилиндр плоскость фронтально проецирующая, то где будут лежать горизонтальные проекции точек сечения?
3. Какими способами можно определять натуральную величину фигуры сечения?
4. Какой геометрической фигурой является развертка боковой поверхности цилиндра? Конуса?
5. Для чего нужно разбивать окружность основания на некоторое количество равных частей?
6. Как построить развертку конической поверхности?
7. Как получить из полной развертки поверхности развертку ее усеченной части?
© ФГБОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет
Задание 3. Многогранники
4.1. Краткие теоретические сведения
Типовой задачей для многогранников является задача о пересечении многогранников плоскостями частного и общего положения. Для построения фигуры сечения многогранника плоскостью используют следующие приемы:
Чаще применяется первый из заданных приемов, второй же целесообразно применять в тех случаях, когда грани многогранника являются проецирующими плоскостями, линии пересечения которых с секущей плоскостью общего положения строятся очень просто.
а б
Рисунок 4.1 – Пересечение пирамиды плоскостью (а — задание, б — результат)
В методе ребер несколько раз (по числу пересекаемых ребер) решается задача о пересечении прямой (ребра) с плоскостью (секущей плоскостью). В этом случае находятся точки 1, 2, 3 (рис. 4.1). Найденные точки являются вершинами сечения пирамиды плоскостью.
В методе граней несколько раз решается типовая задача о пересечении двух плоскостей (граней многогранника и секущей плоскости), в которой находят линии 1-2, 2-3, 3-1, являющиеся сторонами многоугольника (в данном примере, треугольника сечения). Если секущая плоскость является плоскостью частного положения, то задача решается упрощенно.
4.2. Способ перемены плоскостей проекций
Сущность способа перемены плоскостей проекций заключается в том, что положение геометрических элементов (точек, прямых, фигур, тел) в пространстве остается неизменным, а система плоскостей проекций заменяется новой, по отношению к которой эти элементы занимают положение, наиболее удобное для решения той или иной задачи.
В ряде случаев для решения задачи бывает достаточно заменить новой плоскостью одну из основных плоскостей проекций – фронтальную или горизонтальную. В других же случаях замена лишь одной плоскости проекций вопроса не разрешает и бывает необходимо последовательно заменить новыми плоскостями обе основные плоскости проекций.
При замене основной плоскости проекций новой плоскостью эта последняя должна располагаться по отношению к остающейся основной плоскости проекций перпендикулярно.
Рассмотрим способ перемены плоскостей проекций на примерах.
Для того чтобы данная прямая общего положения m=АВ оказалась линией уровня, следует ввести новую плоскость проекций π4, которая была бы ей параллельна (рис. 4.2 и 4.3).
Рисунок 4.2 Рисунок 4.3
На Рисунке 4.2 введена плоскость π4, параллельная прямой m и перпендикулярная к плоскости π1; по новым линиям связи от оси π1/π4 откладываем расстояния от точек А и В до плоскости π1 (отмеченное штрихом и D1). В новой системе плоскостей проекций π1/π4 прямая m является линией уровня.
На Рисунке 4.3 плоскость π4 параллельна прямой m=АВ и перпендикулярна к плоскости π2. Прямая m в системе π2/π4 является линией уровня.
Для того чтобы прямая линия была проецирующей прямой вводится плоскость проекций, перпендикулярная к ней. Для прямой общего положения требуется провести две замены плоскостей проекций. На Рисунке 4.4 прямая m=АВ спроецирована на параллельную ей плоскость π4. Затем вводится плоскость проекций π5, перпендикулярная m4. В системе плоскостей проекций π5/π4 прямая m проецируется в точку.
Рисунок 4.4 – Проецирование отрезка прямой в точку
Чтобы определить натуральную величину плоской фигуры общего положения (Рисунок 4.5), требуется сначала ввести такую плоскость проекций π4, чтобы образовалась система, в которой плоскость α, заданная треугольником АВС будет проецирующей. Данную подзадачу можно решить, введя дополнительную плоскость проекций π4 перпендикулярно либо горизонтальной проекции горизонтали, либо фронтальной проекции фронтали. Затем вводится дополнительная плоскость π5, перпендикулярная к плоскости π4 и параллельная плоскости α .
Рисунок 4.5 – Определение натуральной величины треугольника
4.3. Развертывание поверхностей
Разверткой называется плоская фигура, получаемая путем совмещения с плоскостью чертежа поверхности тела.
Построение разверток имеет большое значение в таких областях техники, как котлостроение, судостроение, кровельное и жестяночное дело, продукция которых изготовляется из листового материала.
Точные развертки могут быть построены лишь для линейчатых поверхностей, смежные положения образующих которых параллельны (цилиндрическая поверхность) или пересекаются (коническая поверхность).
Для нелинейчатых поверхностей, образующей которых является кривая линия (например, сферическая поверхность), можно построить развертки лишь приближенные. С этой целью такие поверхности разбиваются на небольшие элементы, и каждая такая часть кривой поверхности заменяется плоскостью. Это означает, что данная кривая поверхность заменяется вписанным в нее многогранником, развертка которого приближенно принимается за развертку кривой поверхности.
Развертка боковой поверхности пирамиды (Рисунок 4.7) состоит из трех треугольников, представляющих в истинном виде боковые грани пирамиды.
Построив по трем сторонам S2 A 2, S2 B 2 и A1B1 грань пирамиды ASB (Рисунок 4.7), пристраиваем к ней смежную грань – треугольник BSC, а к последнему – грань CSA. Полученная фигура представит собою развертку боковой поверхности данной пирамиды.
Для получения полной развертки к одной из сторон основания пристраиваем основание пирамиды – треугольник АВС.
Для построения на развертке линии, по которой поверхность пирамиды пересечется плоскостью α (Рисунок 4.7), следует нанести на ребра SA, SB и SC, соответственно, точки 1, 2 и 3, в которых эта плоскость пересекает ребра, определив истинные длины отрезков S1, S2 и S3.
Рисунок 4.6 – Определение истинных длин ребер 
Рисунок 4.7 – Построение развертки
4.4. Задание 3. Построение натурального вида сечения пирамиды плоскостью
4.4.1. Условие задания
Задание следует выполнять в соответствии с алгоритмом:
4.4.2. Рекомендации по выполнению задания № 2
Порядок выполнения задачи следующий:
Способ ребер заключается в том, что ребро пирамиды (например, 1S) заключается во фронтально-проецирующую плоскость γ: γπ2≡12S2. Затем выполняется построение точки 8 пересечения ребра 1S с плоскостью γ:
Аналогично выполняется построение остальных точек искомого сечения.
Способом граней строятся линии пересечения с помощью плоскостей-посредников;
Рисунок 4.8 – Построение сечения
Сущность способа перемены плоскостей проекций состоит в том, что положение геометрического образа (прямой, плоскости, поверхности) в пространстве остается неизменным, а система плоскостей проекций π1/π2 дополняется плоскостями, образующими с π1 или π2, либо между собой системы двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций. Расположение новой плоскости проекций по отношению к геометрическим образам выбирается в зависимости от условия задачи.
В данной задаче необходимо дважды ввести новые плоскости проекций: в системе плоскостей π1/π4 сечение 56789 станет проецирующей плоскостью, а в системе плоскостей проекций π4/π5 – плоскостью уровня;
Рисунок 4.9 – Пересечение пирамиды плоскостью общего положения
Видеопример выполнения задания №3
4.5. Варианты задания 3
| S | 1 | 2 | 3 | 4 | |
|---|---|---|---|---|---|
| X | 50 | 90 | 30 | 10 | 70 |
| Y | 50 | 50 | 5 | 70 | 80 |
| Z | 90 | 10 | 10 | 10 | 10 |
| S | 1 | 2 | 3 | 4 | |
|---|---|---|---|---|---|
| X | 50 | 90 | 30 | 10 | 70 |
| Y | 50 | 50 | 5 | 70 | 80 |
| Z | 90 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| S | 1 | 2 | 3 | 4 | |
|---|---|---|---|---|---|
| X | 50 | 100 | 25 | 5 | 80 |
| Y | 50 | 50 | 5 | 70 | 80 |
| Z | 100 | 10 | 10 | 10 | 10 |
| Вариант | Координаты (x, y, z) точек | Вариант | Координаты (x, y, z) точек | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| А | В | С | А | В | С | ||
| 1 | 100;15;30 | 35; 85; 90 | 10; 45; 30 | 16 | 90; 0; 0 | 100; 50; 70 | 5; 55; 40 |
| 2 | 65; 10; 0 | 100; 50; 80 | 20; 80; 80 | 17 | 95; 35; 40 | 50; 35; 0 | 5; 65; 50 |
| 3 | 100; 25;40 | 15; 90; 90 | 50; 15; 0 | 18 | 50; 50; 45 | 0; 55; 0 | 100; 20; 5 |
| 4 | 30; 80; 90 | 20; 25; 0 | 100; 25; 40 | 19 | 30; 90; 60 | 90; 30; 20 | 0; 35; 0 |
| 5 | 100; 15; 20 | 100; 60; 90 | 10; 45; 20 | 20 | 95; 15; 0 | 5; 60; 20 | 70; 85; 80 |
| 6 | 90; 0; 0 | 100; 50; 80 | 5; 55; 40 | 21 | 100;15;30 | 35; 85; 90 | 10; 45; 30 |
| 7 | 95; 35; 50 | 50; 35; 0 | 5; 65; 50 | 22 | 65; 10; 0 | 100; 50; 80 | 20; 80; 80 |
| 8 | 50; 50; 55 | 0; 55; 5 | 100; 20; 5 | 23 | 100; 25;40 | 15; 90; 90 | 50; 15; 0 |
| 9 | 30; 90; 70 | 90; 30; 30 | 0; 35; 0 | 24 | 30; 80; 90 | 20; 25; 0 | 100; 25; 40 |
| 10 | 95; 15; 10 | 5; 60; 30 | 70; 85; 80 | 25 | 100; 15; 20 | 100; 60; 90 | 10; 45; 20 |
| 11 | 100;15;20 | 35; 85; 80 | 10; 45; 30 | 26 | 90; 0; 0 | 100; 50; 80 | 5; 55; 40 |
| 12 | 65; 10; 0 | 100; 50; 70 | 20; 80; 80 | 27 | 95; 35; 50 | 50; 35; 0 | 5; 65; 50 |
| 13 | 100; 25;30 | 15; 90; 80 | 50; 15; 0 | 28 | 50; 50; 55 | 0; 55; 5 | 100; 20; 5 |
| 14 | 30; 80; 80 | 20; 25; 0 | 100; 25; 40 | 29 | 30; 90; 70 | 90; 30; 30 | 0; 35; 0 |
| 15 | 100; 15; 10 | 100; 60; 80 | 10; 45; 20 | 30 | 95; 15; 10 | 5; 60; 30 | 70; 85; 80 |
Рисунок 4.10 – Пример оформления задания 3
Чертежик
Метки
Натуральная величина сечения конуса.
В статье рассмотрим вопрос: «Как чертится натуральная величина сечения конуса»
Первоначально необходимо начертить сечение конуса, полученное в результате секущей плоскости, и отобразить на трех видовых проекциях.
Определение точек сечения определяется с помощью секущих плоскостей.
1.) Отмеряем размер от оси Х до осевой линии вида сверху и откладывается от точки до оси строящегося сечения;
2.) Также как и в 1 пункте отмеряем длину от оси Х до оси вида сверху;
3.) Чертим центральную ось сечения под углом 90 0 ;
4.) Отмеряют расстояние согласно рисунку;
5.) Подобным образом переносятся остальные точки;
6.) Соединяем и обводим полученное сечение.
Вы также можете ознакомиться с построение в видео.
Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами
Содержание:
К метрическим задачам относятся задачи на определение натуральной величины отрезков, расстояний углов, площадей плоских фигур.
Если необходимо определить угол наклона отрезка АВ к плоскости 
то построение прямоугольного треугольника ведется на фронтальной проекции.
Решение метрических задач методами преобразовании проекций
Положении геометрических образов, при которых расстоянии и углы не искажаются на плоскостях проекций
Метрические характеристики объектов на чертежах не искажаются, если геометрические образы занимают частное положение относительно плоскостей проекций.
Приведем некоторые из них.
1. Прямая проецируется в натуральную величину, если она параллельна плоскости проекций (рисунок 3.2).
— угол наклона к плоскости
2. Расстояние от точки до прямой проецируется в натуральную величину, если прямая проецирующая (рисунок 3.3).
3. Расстояние между параллельными прямыми проецируется в натуральную величину, если прямые проецирующие (рисунок 3.4).
4. Расстояние между скрещивающимися прямыми проецируется в натуральную величину, если одна из прямых проецирующая (рисунок 3.5).
5. Угол между плоскостями (двугранный угол) проецируется в натуральную величину, если ребро угла проецирующее (рисунок 3.6).
6. Угол наклона плоскости к плоскости проекций проецируется в натуральную величину, если плоскость проецирующая (рисунок 3.7) 
7. Расстояние от точки до плоскости проецируется в натуральную величину, если плоскость проецирующая (рисунок 3.8)
8. Любая плоская фигура проецируется в натуральную величину, если она параллельна плоскости проекций (рисунок 3.9а,б)
Таким образом, для решения метрических задач целесообразно данный объект привести в частное положение с тем, чтобы на одной из новых проекций получить более простое решение задачи.
Для такого перехода и служат способы преобразования проекций.
Существует несколько способов преобразовании проекций: способ вращения вокруг осей перпендикулярных плоскостям проекций, способ плоскопараллельного перемещения, способ замены плоскостей проекций и др.
Четыре основных задачи преобразовании проекций
Этими способами решаются четыре основные задачи:
Решение 1-ой и 2-ой задачи преобразовании проекций методом вращении, плоскопараллельного перемещении и замены плоскостей проекций
Способ вращения
На рисунке 3.10 вокруг оси
вращаем отрезок ЛВ до положения параллельного плоскости
(1 задача). Далее вращением вокруг оси
полученный отрезок до положения перпендикулярного плоскости 
На 
отрезок с проецируется в точку 
Способ плоскопараллельного перемещения
Способ плоскопараллельного перемещения является разновидностью способа вращения (вращение без закрепленных осей), т.е. положение объекта можно преобразовывать путем перемещения его параллельно одной плоскости проекций, одновременно изменяя его положение относительно другой плоскости проекций до занятия им какого-либо частного положения.
На рисунке 3.11 сначала АВ переводим из общего положения в положение горизонтальное. При этом 
должно быть равно по величина 
находим в пересечении вертикальных линий связи и линий 
параллельных оси 
(1 задача). Далее отрезок 
перемещаем до положения перпендикулярного оси 
При этом 
На фронтальной проекции отрезок с проецируется в точку 
(2 задача).
Способ замены плоскостей проекций
Сущность способа замены плоскостей проекций заключается в том, что старая система плоскостей проекций заменяется на новую, с таким расчетом, чтобы относительно новой системы плоскостей, геометрический образ занял какое-то частное положение. При этом нужно помнить, что линии связи будут перпендикулярны относительно новой оси проекций и расстояния от новой оси проекций до новой проекции точки равно расстоянию от старой проекции точки до старой оси.
На рисунке 3.12 произведена первая замена плоскость 
заменена на новую фронтальную плоскость 
параллельную прямой АВ. При этом новая ось 
проводится параллельно проекции 
Линии связи проводятся перпендикулярно оси 
и на них от 
откладываются координаты z точек А и В (1 задача).
Далее прямую АВ преобразуем в проецирующую. Для этого проводим новую ось 
перпендикулярно проекции
. Т.к. 
параллельна оси 
, расстояние до проекций 
будет одинаковое и прямая спроецируется в точку 
(2 задача)
Решение 3-ой и 4-ой задачи преобразовании проекций методом плоскопараллельного перемещения и замены плоскостей проекций
Так как метод вращения является более громоздким, рассмотрим решение 3-ей и 4-ой задачи преобразования методом плоскопараллельного перемещения и методом замены плоскостей проекций.
Способ плоскопараллельного перемещения
Для того чтобы плоскость из общего положения перевести в проецирующее, нужно иметь ввиду, что при этом ее горизонталь или фронталь должна быть перпендикулярна плоскости проекций. Поэтому на рисунке 3.13 проведена горизонталь 
Далее 
располагаем перпендикулярно оси 
Откладываем на ней отрезок 
и циркулем строим треугольник 
равный по величине 
На фронтальной проекции треугольник проецируется в линию (3 задача).
Чтобы плоскость треугольника перевести в положение плоскости уровня, достаточно полученную фронтальную проекцию 
расположить параллельно оси 
при этом на горизонтальной проекции треугольник проецируется в натуральную величину (4-я задача)
Способ замены плоскостей проекций
При решении задачи методом замены (рисунок 3.14) новую ось 
проводим перпендикулярно горизонтали 
тогда на новую фронтальную плоскость 
треугольник спроецируется в линию, т.е. станет перпендикулярным (3-я задача). Чтобы плоскость перевести в положение плоскости уровня, необходимо новую ось 
провести параллельно плоскости 
На новую плоскость 
треугольник спроецируется в натуральную величину.
Для того, чтобы методами преобразования решить любую метрическую задачу, необходимо определить какую из четырех основных задач преобразования необходимо решать в каждом конкретном случае.
Метрические задачи
Главным вопросом метрических задач является вопрос о построении перпендикуляра к прямой или плоскости. Построение взаимно перпендикулярных прямых было рассмотрено ранее.
Из элементарной геометрии известно, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости. В качестве этих пересекающихся прямых наиболее целесообразно использовать горизонталь и фронталь плоскости. Это объясняется тем, что только в этом случае прямой угол будет проецироваться в натуральную величину на соответствующие плоскости проекций. На рисунке 5.1 приведен пространственный чертеж, на котором из плоскости а (из точки А) восстановлен перпендикуляр АВ. Из приведенного изображения можно выяснить методику построения проекций перпендикуляра к плоскости: горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости проводится перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали или горизонтальному следу плоскости, а фронтальная проекция перпендикуляра проводится перпендикулярно фронтальной проекции фронтали или фронтальному следу плоскости. Таким образом, необходимо выполнить следующий алгоритм проведения проекций перпендикуляра к плоскости:
На рисунке 5.2 показано решение прямой (а) и обратной (б) задач. В прямой задаче из точки A треугольника AВС восстановлен перпендикуляр, в обратной задаче через точку К проведена плоскость, перпендикулярная прямой АВ. Плоскость задана пересекающимися горизонталью и фронталью.
Определение расстояний между геометрическими объектами
Среди этих задач можно выделить следующие задачи: расстояние от точки до плоскости, расстояние от точки до прямой, расстояние между двумя параллельными прямыми, расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, расстояние между двумя параллельными плоскостями и другие. В общем случае все задачи сводятся к определению расстояний между двумя точками.
Чтобы определить расстояние от точки до плоскости, необходимо выполнить ряд логических действий:
Задача на определение расстояния от точки до прямой решается по следующему плану:
Пространственная модель решения второй задачи представлена на рисунке 5.3. Рассмотренная задача относится также к задачам на перпендикулярность двух прямых.
Другие упомянутые задачи на определение расстояний легче решаются методами преобразования эпюра, которые будут рассмотрены в последующих разделах.
Перпендикулярность плоскостей
Плоскость перпендикулярна другой плоскости, если она содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости (рисунок 5.4а). Таким образом, для того, чтобы провести плоскость, перпендикулярную другой, необходимо сначала провести перпендикуляр к заданной плоскости, а затем через него провести искомую плоскость. На рисунке 5.46 представлена задача: через точку К провести плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника AВС. Искомая плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, одна из которых перпендикулярна заданной плоскости.
Если две плоскости являются одноименными плоскостями частного положения (например, горизонтально- или фронтально-проецирующими), то при перпендикулярности плоскостей их собирательные следы будут перпендикулярны друг другу (рисунок 5.4в,г).
Если плоскости являются плоскостями общего положения, то при их перпендикулярности одноименные следы не будут взаимно перпендикулярны. Другими словами, перпендикулярность одноименных следов плоскостей общего положения не является достаточным условием для перпендикулярности самих плоскостей.
Определение углов между прямой и плоскостью и между двумя плоскостями
Определение углов между геометрическими объектами является трудоемкой задачей, если её решать традиционными геометрическими способами. Так, например, задачу на определение угла между прямой и плоскостью (рисунок 5.5) можно решить способом, алгоритм которого содержит следующие операции:
Однако задача может быть значительно упрощена, если использовать способ решения задачи с помощью дополнительного угла. Дополнительным углом назовем угол между заданной прямой АВ и перпендикуляром BN, обозначенный через 
Из приведенного рисунка видно, что, если из точки В прямой построить на плоскость перпендикуляр, определить НВ дополнительного угла 
то искомый угол определится по формуле:
которую можно решить графически, достроив угол 
до 90°.
То же самое можно сказать о задаче на определение двугранного угла, то есть угла между двумя плоскостями (рисунок 5.66). Первый способ (геометрический) достаточно трудоемок. Он заключается в пересечении угла вспомогательной плоскостью а, перпендикулярной ребру АВ, построении линий пересечения KN и KL и определении натуральной величины угла NKL.
С помощью дополнительного угла задача решается следующим образом. В растворе двугранного угла (рисунок 5.6в) берут любую точку К и строят из неё перпендикуляры на обе плоскости двугранного угла, которые образуют дополнительный угол 
Далее определяют НВ дополнительного угла и дополняют его (графически) до 180 градусов, исходя из формулы:
Дополненный угол будет искомым.
Натуральную величину дополнительного угла 
в обеих задачах наиболее целесообразно определять методом вращения вокруг горизонтали или фронтали, который будет изложен в последующих темах.
Пример: Из любой вершины треугольника АВС восстановить перпендикуляр длиной 40 мм.
Решение: Сначала необходимо в плоскости треугольника АВС провести горизонталь и фронталь для того, чтобы построить проекции восстановленного перпендикуляра. Далее из точки С проводим проекции перпендикуляра согласно рассмотренному выше алгоритму о перпендикуляре к плоскости. Для того, чтобы отложить 40 мм, необходимо определить НВ ограниченного отрезка перпендикуляра CF (точку F берем произвольно). НВ отрезка CF определяем методом прямоугольного треугольника на горизонтальной проекции CF. Полученную точку К возвращаем на проекции по теореме Фалеса. Получаем проекции перпендикуляра длиной 40 мм (рисунок. 5.7).
Пример: Найти расстояние от точки А до плоскости, заданной следами
Решение: Из точки А строим перпендикуляр на заданную плоскость. Проекции перпендикуляра проводим перпендикулярно следам. Далее находим точку встречи перпендикуляра с заданной плоскостью с помощью вспомогательной фронтально-проецирующей плоскости 
Находим линию пересечения плоскостей 
(линия 1-2) и точку встречи 
в месте пересечения горизонтальной проекции перпендикуляра с линией 1-2. Методом прямоугольного треугольника определяем НВ расстояния АК (рисунок 5.8).
Пример: Определить расстояние от точки К до прямой AВ.
Решение: Через точку К проводим плоскость, перпендикулярную заданной прямой. Плоскость задаем пересекающимися горизонталью и фронталью. Их проекции проводим согласно алгоритму о перпендикуляре к плоскости (обратная задача). Далее находим точку встречи прямой AВ с проведенной плоскостью (точка М). Определяем натуральную величину КМ методом прямоугольного треугольника (рисунок 5.9).
Примеры метрических задач
Перпендикулярность является частным случаем пересечения прямых, прямой и плоскости или двух плоскостей. Необходимо установить соотношения, по которым строятся проекции перпендикулярных прямых и плоскостей.
Теорема о проекциях прямого угла
Прямой угол проецируется на плоскость без искажения, если одна из его сторон параллельна этой плоскости (рис. 10.1).
Рис. 10.1. Теорема о проекциях прямого угла
Дано :
BAC = 90°; AB || П’
Доказать, что C’A’
A’B’
Доказательство: если AB||П’, то A’B’||AB, но AA’П’^AA’A’B’ значит ABAA,AB плоскости CAA’C’, тогда и A’B’ CAA’C’. Следовательно,CA’A’B’.
Условие перпендикулярности скрещивающихся прямых (рис. 10.2,б) сводятся к условиям перпендикулярности пересекающихся прямых, поведенных через произвольную точку и соответственно параллельных скрещивающимся прямым. Таким образом, понятие перпендикулярности можно отнести как к пересекающимся, так и к скрещивающимся прямым.
Линии наибольшего наклона плоскости
Угол между линией наибольшего наклона и ее проекцией на соответствующую плоскость равен углу наклона плоскости к плоскости проекций (см. рис. 9.15). 
Перпендикулярность прямой и плоскости
Рис. 10.4. Перпендикулярность прямой и плоскости:
Аналогично решается задача о построении плоскости, перпендикулярной прямой общего положения (рис. 10.4,б)
Если плоскость проецирующая, проекции линий уровня совпадают со следом плоскости, перпендикулярность устанавливается по отношению к следу плоскости. Горизонтальная проекция перпендикуляра к горизонтально-проецирующей плоскости строится перпендикулярно горизонтальному следу плоскости (рис. 10.5,а). Прямая, перпендикулярная горизонтально-проецирующей плоскости, занимает положение горизонтальной линии уровня.
Аналогично, фронтальная проекция перпендикуляра к фронтально-проецирующей плоскости строится перпендикулярно фронтальному следу плоскости (рис. 10.5,б). Прямая, перпендикулярная фронтально-проецирующей плоскости, занимает положение фронтали.
Взаимная перпендикулярность плоскостей
Рис. 10.6. Перпендикулярность двух плоскостей
Дано: α(h × 
) ; A (A1, A2).
Определение метрических задач
Традиционно задачи, связанные с измерением длин, углов, площадей и объемов относят к метрическим. В основе решения этих задач лежит определение длины отрезка и, как производной от этого, площади плоской фигуры.
Определение длины отрезка
Одним из наиболее распространенных методов (рисунок 5.1) является метод прямоугольного треугольника (так его называют в начертательной геометрии) или метод ортогональных дополнений (название, принятое в линейной алгебре). 
На комплексном чертеже возможно решение как на плоскости 
так и на плоскости 
При правильных построениях 
. Углы а и 
-углы наклона отрезка прямой АВ к плоскости 
соответственно.
Определение площади треугольника
Определение площади треугольника и величины плоского угла можно свести к известной задаче построения треугольника по трем сторонам.
Для этого достаточно, используя рассмотренный выше способ прямоугольного треугольника, найти по порядку истинные величины сторон 
(в соответствии с рисунком 5.2), а затем на свободном месте построить треугольник по трем сторонам.
Величина плоского угла между двумя любыми сторонами этой фигуры может быть измерена на истинной величине треугольника.
Проецирование прямого угла
Решение многих задач Начертательной геометрии связано с необходимостью построения на чертеже взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей. Базой для этого служит умение строить прямые углы на комплексном чертеже.
Известная в теории чертежа теорема (приведем ее без доказательства) утверждает, что прямой угол (в соответствии с рисунком 5.3) проецируется на
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Выше уже отмечалось, что в трехмерном Евклидовом пространстве отсутствует полная параллельность, то же самое можно сказать и о перпендикулярности. Понятие перпендикулярности так же, как и параллельности, вводится через определение.
Перпендикулярность прямой и плоскости
Считают, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся (любым) прямым этой плоскости.
При решении задачи возможны два варианта: проведение перпендикулярной прямой к плоскости из внешней точки и из точки, лежащей в плоскости.
Рассмотрим возможность проведения перпендикуляра из точки К, лежащей в плоскости общего положения Р, заданной следами (рисунок 5.4).
В плоскости Р (через точку К) проводятся горизонталь h и фронталь f. Прямые, перпендикулярные соответствующим проекциям линий уровня 
в соответствии с теоремой о проецировании прямого угла и данным выше определением, могут быть приняты за проекции прямой 
.
В том случае, когда точка К не лежит в плоскости Р, решение задачи аналогично (рисунок 5.5).
Поскольку положение точки пересечения искомого перпендикуляра не определено, решение соответствует следующей схеме:
а) в плоскости проводятся горизонталь h (через точку В) и фронталь f (через точку A), в случае задания плоскости следами за фронталь и горизонталь принимаются соответствующие следы плоскости 
б) из внешней точки К к соответствующим проекциям линий уровня (следам) проводятся перпендикулярные прямые
— Линия t принимается за перпендикуляр, опущенный из точки К к плоскости Р;
в) определяется точка S пересечения этого перпендикуляра t и плоскости.
Расстояние от точки до плоскости
Задачу на определение расстояние от точки до плоскости (рисунок 5.6) можно свести к решению уже известных задач на построение перпендикуляра к плоскости (рисунок 5.5) и определения натуральной величины отрезка прямой (рисунок 5.1)
Перпендикулярность плоскостей
Считают, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости.
Задача может ставиться, как проведение плоскости, перпендикулярной заданной, проходящей через точку или прямую.
При проведении искомой плоскости через точку, как и в предыдущем случае, возможны два варианта проведения плоскости перпендикулярной заданной: через точку, лежащую в плоскости и через точку вне ее (рисунок 5.7).
Точно такой же вариант возникает и при проведении перпендикулярной плоскости через прямую (лежащую в исходной плоскости или не лежащую).
Рассмотрим вариант построения плоскости, проходящей через точку. Пусть точка А лежит в плоскости Р. Линии 
перпендикулярные соответствующим проекциям линий уровня (следам), определят перпендикуляр t к плоскости Р.
Если точка А лежит вне плоскости Р, то решение аналогично. Проведение через точку А перпендикуляра t и произвольной прямой s определит плоскость Q, которая также, по определению, будет перпендикулярна плоскости Р.
Решение задачи на проведение плоскости через прямую аналогично решению задачи по проведению плоскости через точку. Достаточно вместо произвольной прямой s использовать заданную прямую АВ. И тогда, в соответствии с рисунком 5.8, задача сведется к проведению перпендикуляра t к плоскости Р (из точки, лежащей в плоскости или лежащей вне ее). 
Определение натуральных величин геометрических элементов
1. Определить натуральную величину отрезка общего положения:
2. Определить натуральную величину плоскости общего положения (замкнутого отсека):
Определение расстояния между геометрическими элементами (образами)
1. Определить расстояние от точки до прямой общего положения:
2. Определить расстояние между параллельными прямыми:
3. Определить расстояние между скрещивающимися прямыми, преобразовав одну из прямых в проецирующую (задачи 1 и 2 преобразования).
4. Определить расстояние от точки до плоскости:
5. Определить расстояние от точки до поверхности вращения:
Определение углов наклона геометрических элементов к плоскостям проекций H и V
1. Определить углы наклона прямой общего положения к плоскостям проекций H и V:
2. Определить угол наклона прямой к заданной плоскости общего положения:
3. Определить величину двухгранного угла, если на чертеже есть линии пересечения плоскостей, образующих двухгранный угол (ребро):
4. Определить угол между двумя плоскостями общего положения, если на чертеже нет линии пересечения заданных плоскостей (ребра):
Структуризация материала тринадцатой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 13.1 (лист 1). На последующих листах 2–7 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального повторения изученного материала при его повторении (рис. 13.2–13.7).
Метрические задачи:
Определение натуральной величины геометрических элементов:
1. Определение длины отрезка
Способ прямоугольного треугольника
Способ замены плоскостей проекций (задача 1)
Способ вращения вокруг проецирующей оси
2. Определение площади замкнутого отсека
Способ замены плоскостей проекций (задачи 3 и 4)
Способ вращения вокруг прямой уровня (горизонтали)
Способ вращения вокруг проецирующей оси i(i 
V)
Способ плоско-параллельного перемещения (переноса)
Определение расстояний:
а. Прямой путь (перпендикулярность)
б. Способ замены плоскостей проекций: определить натуральную величину плоскости, которую определяют точка и прямая (см.рис. 13.2, г)
в. Способ вращения вокруг прямой уровня: определить натуральную величину плоскости, которую определяют точка и прямая (см.рис.13.2, д)
г. Способ плоскопараллельного переноса: определить натуральную величину плоскости, которую определяют точка и прямая (см.рис.13.2, ж)
а. Прямой путь (перпендикулярность)
8. Расстояние от точки до поверхности
a. Cпособ вращения вокруг проецирующей оси
б. Способ замены плоскостей проекции
Определение величин углов:
Способ вращения вокруг линии уровня
ребро АВ двугранного угла преобразовать двумя заменами в проецирующую прямую.
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.