Как построить круг по точкам

Как построить окружность?

Как построить окружность?

Окружностью называется фигура которая состоит из всех точек плоскости равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности.

Радиусом называется любой отрезок соединяющей точку окружности с ее центром.

Чтобы построить окружность необходимо знать уравнение окружности:

(х – а) 2 + (у – b) 2 = R 2

Точка С(а;b) центр окружности, радиус R, х и у – координаты произвольной точки окружности.

И так, чтобы построить окружность необходимо знать цент окружности и радиус. Рассмотрим пример:

Пример №1:
(х – 1) 2 + (у – 2) 2 = 4 2

Найдем центр окружности:
х – 1=0
x=1

Центр окружности будет находится в точке (1;2)

Найдем радиус окружности:
R 2 =4
R 2 =2 2
R=2

Построим окружность. Отметим сначала центр окружности, а потом отложим с четырех сторон (вверх, вниз, влево и право) длину радиуса и отметим эту длину точками. Потом проведем окружность.

Пример №2:
х 2 + (у + 1) 2 =1

Можно представить уравнение окружности ввиде:
(х-0) 2 + (у + 1) 2 =1 2

Найдем центр окружности:
х=0

Центр окружности будет находится в точке (0;–1)

Найдем радиус окружности:
R 2 =1
R 2 =1 2
R=1

Построим окружность.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Источник

Как построить круг по точкам

Пусть нам даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой (см. рис.).

Соединим эти точки отрезками АВ и ВС. Чтобы найти точки равноудалённые от точек А и В разделим отрезок АВ пополам и через середину (точку М) проведём прямую перпендикулярную к АВ. Каждая точка этого перпендикуляра одинаково удалена от точек А и В.

Чтобы найти точки, равноудалённые от точек В и С, разделим отрезок ВС пополам и через его середину (точку N) проведемпрямую, перпендикулярную ВС. Каждая точка этого перпендикуляа одинаково удалена от точек В и С.

Точка О пересечения этих перпендикуляров будет находиться на одинаковом расстоянии от данных точек А, В и С (АО = ВО = СО). Если мы, приняв точку О за центр круга, радиусом, равным АО, проведём окружность, то она пройдёт через все данные точки А, В и С.

Точка О является единственной точкой, которая может служить центром окружности, проходящей через три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, так как два перпендикуляра к отрезкам АВ и ВС могут пересечься только в одной точке. Значит, задача имеет единственное решение.

Примечание. Если три точки А, В и С будут лежать на одной прямой, то задача не будет иметь решения, так как перпендикуляры к отрезкам АВ и ВС будут параллельны и не будет существовать точки, одинаково удаленной от точек А, В, С, т. е. точки, которая могла бы служить центром искомой окружности.

Если соединить отрезком точки А и С и середину этого отрезка (точку К) соединить с центром окружности О, то ОК будет перпендикулярна к АС (рис.), так как в равнобедренном треугольнике АОС ОК является медианой, поэтому ОК ⊥ АС.

Следствие. Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведённые через их середины пересекаются в одной точке.

Источник

Урок 3. Окружность в перспективе. Как нарисовать кружку и вазу

В этом уроке мы разберемся, как изображать объекты, в основе которых лежат окружности: чайник, вазу, бокал, кувшин, колонну, маяк. Сложность их изображения в пространстве заключается в том, что принцип равноудаленности точек окружности от центра срабатывает, только когда мы смотрим на плоскость прямо (то есть направление взгляда перпендикулярно ей). Например, мы видим круглый циферблат часов перед собой или чашку и блюдце, когда наклонились над ними. В других случаях (взгляд падает на плоскость под углом) мы видим искажение формы окружности, ее превращение в овал (эллипс).

Содержание:

Ненадолго вернемся к коробкам из прошлого урока. Только теперь рассмотрим кубическую форму. Обратите внимание, как квадраты плоскостей, уходящих вдаль, сплющиваются. Верхние и нижние грани превращаются в трапеции. И тем сильнее они сужаются по вертикальной оси, чем ближе находятся к уровню глаз (к линии горизонта).

То же самое происходит и с окружностями. Чем дальше от линии горизонта они находятся, тем больше они открываются (обратите внимание на верхние и нижние плоскости этих спилов). А на уровне глаз окружность сужается до линии. Мы видим лишь переднюю грань предмета.

Принципы рисования эллипсов:

Принцип 1. У эллипса есть две оси симметрии: большая и малая. Они перпендикулярны. Здесь будем работать с наиболее частым случаем – когда предмет расположен прямо, то есть вертикальная ось (малая) находится под углом в 90°, а горизонтальная (большая) – под углом в 180°.

Принцип 2. У эллипса 4 вершины (они лежат на пересечении с осями). Эти точки в наибольшей степени удалены от центра. Форма эллипса выглядит искаженной, если соседние с вершинами точки смещены на тот же уровень (на эллипсе справа показано красным цветом).

Принцип 3. Другая крайность – это заострение боков эллипсов. Они должны быть скругленными. В бока можно вписать окружности. И чем больше раскрыт эллипс, тем больше диаметр этой окружности относительно высоты эллипса (на примере ниже это сравнение показано бледно-голубым цветом).

Принцип 4. Центр эллипса смещен вдаль (вверх) относительно геометрического центра из-за перспективного искажения. То есть ближняя половина эллипса больше дальней. Однако обратите внимание, что это смещение очень незначительно. Разберем, почему. Начнем с квадратов, поскольку круг вписывается в эту форму. Ниже показаны кубы, справа их верхние квадратные грани в перспективе. Проведены оси красным. Сравните, насколько их ближние половины больше дальних. Разница очень небольшая. То же самое будет и для эллипсов, вписанных в них. Ошибочно преувеличивать в рисунках эту разницу между ближней и дальней половинками эллипсов.

Рисуем эллипсы

Шаг 1. Для начала проведем две перпендикулярных оси.

Шаг 2. Отметим границы произвольного эллипса симметрично по горизонтальной оси. А для вертикальной верхнюю половину (дальнюю) сделаем чуть-чуть меньше нижней.

Шаг 3. Нарисуем по этим отметкам прямоугольник, в который будем вписывать эллипс.

Шаг 4. Наметим легкие дуги в местах пересечения осей и прямоугольника.

Шаг 5. Соединим легкими линиями эти дуги, стараясь изобразить эллипс более симметрично.

Шаг 6. По обозначенному пути проведем более четкую линию. Смягчим ластиком лишнее.

Более правильно было бы при рисовании эллипса вписывать его в квадратную плоскость в перспективе, то есть в трапецию. Однако, во-первых, сложно точно построить такую трапецию, зная лишь вершины эллипса. А во-вторых, овал, вписанный в квадрат в перспективе, мало отличается от вписанного в прямоугольник по тем же самым вершинам.

Рисуем кружку

Шаг 1. Начинаем с общих пропорций предмета. Измеряем, сколько раз ширина кружки (ее верха) умещается в высоте. Можно пока не учитывать ручку, однако надо оставить для нее достаточно места на листе. Намечаем общие габариты. Находим середину предмета по ширине и проводим через нее вертикальную ось. Чтобы нарисовать ее ровно, удобно сделать 2-3 вспомогательные отметки по высоте предмета на том же расстоянии от ближнего края листа, что и первая отметка середины предмета.

Шаг 2. Найдем высоту верхнего эллипса. Для этого измерим, сколько раз она умещается в его ширине (которую мы нашли ранее). Отметим нижнюю границу эллипса от верхнего края кружки. Легкими линиями нарисуем прямоугольник по намеченным крайним точкам.

Шаг 3. Проведем горизонтальную ось и впишем эллипс в прямоугольник. Затем найдем ширину нижней части кружки, сравнив ее с шириной верха. Высоту нижнего эллипса мы найдем, измерив расстояние по вертикали от самой нижней отметки кружки до нижней отметки ее бока (до точки, через которую пройдет горизонтальная ось этого эллипса). Найденное расстояние – это половина искомой высоты. Удвоим его и отложим от самой нижней точки кружки. Здесь важно не запутаться: в данном случае ось надо провести через нижнюю точку бока кружки, а не через низ самой кружки. Иначе пропорции нарушатся. Зная высоту нижнего эллипса, проверим, соблюдается ли принцип их постепенного раскрытия по мере удаления от уровня глаз. Верхний эллипс расположен ближе к уровню наших глаз, чем нижний, поэтому должен быть уже. Найдем, сколько раз высота нижнего овала помещается в его ширине – около четырех раз. Для верхнего овала было соотношение примерно 5 к 1. Таким образом нижний овал шире, то есть раскрыт в большей степени. Принцип соблюдается.

Шаг 4. Рисуем стенки кружки, соединяя боковые вершины верхнего и нижнего эллипсов. Для большей объемности покажем толщину стенки. Нарисуем второй овал внутри верхнего. При этом учитываем, что из-за перспективного искажения толщина стенок выглядит не одинаковой. Передняя и дальняя стенки визуально сужаются сильнее боковых примерно в два раза. Отметим вершины внутреннего овала на некотором расстоянии от вершин первого овала. Делаем этот отступ чуть больше для боковых вершин. Ставим отметки симметрично относительно вертикальной и горизонтальной осей. Нарисуем новый эллипс через эти вершины.

Шаг 6. Уточним контур ручки, сделаем его более плавным. По необходимости подправим очертания кружки. Смягчим немного ластиком линии построения. Выделим более сильным нажимом на карандаш контуры, расположенные ближе к нам. Кружка готова!

Рисуем вазу

В этом упражнении поработаем с воображением. Придумаем свою вазу и потренируемся рисовать эллипсы.

В прошлом задании для построения кружки было достаточно нарисовать два эллипса. Две ключевые окружности (верхняя и нижняя) определяли ее форму. Диаметр кружки равномерно уменьшался от верха к низу. А, например, форма вазы из рисунка ниже зависит от четырех окружностей (причем верхняя находится на уровне глаз, поэтому превратилась в линию).

Перейдем к рисованию. И помним важный принцип: чем дальше эллипс от уровня глаз, тем более он раскрыт.

Шаг 1. Проведем вертикальную ось. От нее симметрично отложим горизонтальные оси будущих эллипсов. Длину вертикальной и горизонтальных осей, а также количество эллипсов и расстояние между ними выбирайте сами.

Шаг 2. Обозначим боковые вершины эллипсов симметрично относительно вертикальной оси. Теперь перейдем к обозначению верхних и нижних вершин. И здесь пользуемся принципом постепенного раскрытия эллипсов по мере удаления от линии горизонта. Например, здесь мы рисовали вазу, расположенную в целом ниже уровня глаз. Для первого эллипса взяли высоту, примерно в пять раз меньше ширины. Измеряли это карандашом. Для последующих эллипсов постепенно увеличивали степень раскрытия. Так высота среднего эллипса укладывается в ширине примерно четыре раза, а для самого нижнего – примерно три раза. Чем ближе друг к другу эллипсы, тем ближе они по степени раскрытия. Чем дальше – тем больше разница. Намечая вершины, нижнюю половинку (ближнюю) делаем чуть-чуть больше верхней (дальней).

Шаг 3. Через вершины легкими линиями рисуем прямоугольники. А затем вписываем в них эллипсы.

Шаг 4. Теперь самое интересное: надо соединить боковые вершины эллипсов линиями. Вам решать, какими они будут, прямыми или округлыми, вогнутыми или выпуклыми. Можно сделать пару вариантов. Постарайтесь наиболее симметрично повторить форму внешнего контура для двух половинок вазы. Чтобы проверить симметрию, пробуйте перевернуть работу вверх ногами. Взглянув на предмет по-новому, проще увидеть расхождения.

Шаг 5. Так же, как мы делали для кружки, здесь можно показать толщину стенки. Нарисуем внутри верхнего эллипса еще один поменьше, предварительно наметив его вершины. Смягчим ластиком оси и дальние половинки эллипсов. Можно чуть высветлить те эллипсы, в которых изменение формы вазы более плавное. Рисунок готов!

Проверьте свои знания

Если вы хотите проверить свои знания по теме данного урока, можете пройти небольшой тест, состоящий из нескольких вопросов. В каждом вопросе правильным может быть только 1 вариант. После выбора вами одного из вариантов, система автоматически переходит к следующему вопросу. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что вопросы каждый раз разные, а варианты перемешиваются.

Напоминаем, что для полноценной работы сайта вам необходимо включить cookies, javascript и iframe. Если вы ввидите это сообщение в течение долгого времени, значит настройки вашего браузера не позволяют нашему порталу полноценно работать.

Источник

Урок 31 Бесплатно Окружность и круг

Плоской геометрической фигурой называют множество точек на плоскости, которые ограничены конечным числом линий.

Самыми простыми геометрическими фигурами являются луч, отрезок, ломаная прямая и др.

Объединение нескольких геометрических фигур так же является геометрической фигурой.

Так, например, часть плоскости, ограниченная замкнутой ломанной линией, называют многоугольником.

Нам уже хорошо известны такие многоугольники, как треугольник, квадрат, прямоугольник и другие.

Существуют геометрические фигуры, отличные от многоугольников, образованные замкнутой кривой линией.

К таким фигурам относятся круг и окружность.

Сегодня на уроке постараемся выяснить, что такое окружность, а что называют кругом.

Определим, какими элементами описывают данные геометрические фигуры, в чем их сходство и различие, рассмотрим, какими свойствами они обладают.

Разберем правило построения окружности и круга на плоскости.

Окружность и круг

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Многие из вас слышали такие устойчивые выражения и научные понятия:

«Круглый отличник»- учащийся, который имеет только отличные оценки.

«Круглый стол»- собрание заинтересованных сторон, целью которых является обсуждение проблемной ситуации, вопроса.

Все участники такого собрания высказывают свое мнение по рассматриваемому вопросу, выслушивают чужую точку зрения.

Участники круглого стола имеют равные права.

Считают, что выражение «собраться за круглым столом» произошло из мифологии старой Британии.

По легендам король-воин Артур был окружен свитой доблестных и отважных рыцарей.

Все заседания и пиршества рыцарей проходили за большим круглым столом, за которым рыцари были равны между собой и перед своим королем.

Круглый стол был символом равенства и братства.

В раннем средневековье круговая порука заключалась в ответственности всей общины за правонарушение, совершенное одним из его членов или на территории этой общины.

В крестьянской общине круговая порука обязывала крестьян к совместной имущественной ответственности по уплате податей и налогов.

«Ходить по кругу» означает выполнять различные действия и операции, постоянно возвращаясь к исходному результату (в начальную точку), другими словами, это бесполезный поиск выхода из сложившейся ситуации.

«Круглое число»- это число, оканчивающееся на нуль, например, 120, 30, 650 и т.д.

Существует мнение, что такие числа стали называть круглыми, так как нуль, на который оканчивалось число, имеет округлую форму (похож на круг).

«Малый и большой круги кровообращения»- это замкнутая сосудистая система, обеспечивающая непрерывный ток крови в организме, несущий клеткам питание и осуществляющий газообмен в них.

«Круговорот воды в природе»- это непрерывное циклическое перемещение воды в географической оболочке Земли, которое базируется на двух взаимосвязанных процессах: увлажнение земной поверхности и испарение из нее влаги в атмосферу.

Все перечисленные примеры устойчивых выражений и научных понятий имеют нечто общее, их объединяет слово «круг».

Причем можно заметить, что многие из них несут смысл цикличности (повторяемости), равенства, бесконечности.

Давайте выясним, что же такое окружность и круг с математической точки зрения.

Окружность- это замкнутая кривая, все точки которой удалены на одинаковые расстояния от заданной точки, называемой центром окружности.

Центр окружности— это точка, которая находится на одинаковом расстоянии (равноудаленная) от любой точки окружности.

Обозначается центр окружности обычно заглавной буквой О.

Окружность делит плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю.

Чтобы получить полное представление о том, как выглядит окружность, можно обвести карандашом стакан или блюдце, или намочить водой край стакана и поставить его вверх дном, оставшийся след и будет окружностью.

Известно, что все окружающие нас тела имеют некоторый объем. Сама окружность не имеет объема и даже площади, однако окружность может являться математической моделью реальных объектов, например, обруча, кольца и т.д.

Круг— это внутренняя часть плоскости, ограниченная окружностью.

Круг- плоская геометрическая фигура.

Так как круг- это часть плоскости, то фигура имеет площадь.

Наглядно представить круг можно, закрасив внутреннюю область, ограниченную окружностью, или вырезав его из бумаги по контуру окружности.

Особенность формы круга и окружности заключается в том, что у данных фигур отсутствуют прямые линии, отрезки и углы.

В каждой точке окружность устроена одинаково и представляет собой бесконечную линию без начала и конца, будто движется непрерывно сама по себе.

Благодаря своей форме окружность и круг являются с древних времен символом бесконечности, цикличности, знаком единства и совершенства.

Движение по кругу выражает идею вечности, возвращение к самому себе, к первоначальному состоянию.

Так, например, циферблат часов и круговая шкала на компасе олицетворяют эту идею.

Окружность циферблата разделена на 12 равных больших деления, каждое такое деление равняется одному часу.

Между каждым большим делением находится по 5 маленьких делений. Итого по окружности равномерно распределены 60 делений, соответствующие минутам и секундам.

Стрелки, закрепленные в центре циферблата, вращаясь по кругу, указывают часы, минуты, секунды.

В античном мире время определяли по Солнцу.

Самыми первыми часами, по которым можно было определять примерное время, были солнечные часы.

Устройство представляло собой круг с начертанными по окружности делениями и наклонным стержнем в центре.

Время по таким часам определяли по положению тени на циферблате от наклонного стержня.

Циферблат располагали так, чтобы тень от стержня в полдень была направлена на север.

Тень перемещалась по циферблату вслед за Солнцем и меняла свою длину с каждым часом.

Солнечные часы работали при ясной погоде и днем, указывая время только в часах.

Круговую шкалу можно увидеть на другом измерительном приборе- компасе.

Компас- это устройство, которое позволяет ориентироваться на местности по магнитным полюсам Земного шара и сторонам света.

Шкала компаса представляет собой диск, на который нанесены по кругу метки и цифры.

Круговая шкала компаса называется лимб.

Магнитная стрелка, закрепленная в центре компаса, может свободно вращаться по кругу, поворачиваться в определенном направлении, реагируя на магнитное поле Земли.

Компас показывает неверные данные в том случае, если поблизости есть магниты или месторождения железа и другие подобные материалы, обладающие магнитными свойствами.

Считается, что компас был изобретен в 200 г. до н.э. в Китае.

В Европе компас появился гораздо позже, лишь в XII в. н.э.

Долгое время правила навигации по компасу было таинственно-загадочным для многих, а секрет использования прибора знали только избранные.

Окружность (круг) является моделью еще одного величайшего человеческого изобретения- колеса.

Все полезные свойства колеса основаны на геометрии окружности (круга).

Колесо- это устройство круглой формы, которое может вращаться вокруг своей оси.

До изобретения колеса люди волоком по земле перемещали грузы.

Чтобы облегчить эту работу, груз укладывали на бревна или деревянные полозья и запрягали в них животных.

При этом почву обильно поливали водой, облегчая тем самым скольжение.

Был хорошо известно, что перемещать круглые предметы по земле легче, чем тащить груз волоком или просто толкать его по земле.

Первые изобретенные колеса были сплошными, полностью состояли из глины и мели большой вес.

Использовали эти колеса в гончарном деле.

Позже такое колесо стали использовать для транспортировки груза, прикрепляя колесо к некоторой платформе.

Затем колесо стало деревянным (использовали срез бревна, позже применяли три доски, соединенные деревянной поперечиной).

Деревянные колеса быстро истирались, и их стали обивать металлическим ободом, но такие колеса были громоздкими и тяжелыми.

Чтобы облегчить колесо, в нем делали прорези.

В конечном счете колесо стало выглядеть как обод со спицами, сходящимися к центру колеса, обеспечивая тем самым прочность конструкции.

Вместо металлической оковы стали использовать резину для лучшей амортизации колеса.

Колеса претерпевали различные изменения. Совершенствуются они и по сей день, однако форма этого устройства в виде круга остается неизменной.

Изобретение колеса стало мощным толчком в развитии техники.

Колесо явилось основой для многих изобретений: мельницы, прялки, различных транспортных средств, зубчатого колеса и др.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник