Как построить касательную к двум окружностям
Построение касательных к двум окружностям
При вычерчивании контуров предметов сравнительно часто приходится строить общие касательные к двум дугам окружностей. Общая касательная к двум окружностям может быть внешней, если обе окружности расположены с одной стороны от нее, и внутренней, если окружности расположены с разных сторон касательной.
Построение общей внешней касательной к двум окружностям радиусами R и r (рисунок 47). Из центра окружности большего радиуса – точки O1 описывают окружность радиусом R – r (рисунок 47, а). Находят середину отрезка O2O1 – точку O3 и из нее проводят вспомогательную окружность радиусом O3O2 или O3O1. Обе проведенные окружности пересекаются в точках A и В. Точки O1 и B соединяют прямой и в пересечении ее с окружностью радиусом R определяют точку касания D (рисунок 47, б). Из точки O2 параллельно прямой O1D проводят линию до пересечения с окружностью радиусом r и получают вторую точку касания C. Прямая CD является искомой касательной. Так же строится вторая общая внешняя касательная к этим окружностям (прямая EF).
Построение общей внутренней касательной к двум окружностями радиусов R и r (рисунок 48). Из центра любой окружности, например: точки O1, описывают окружность радиусом R + r (рисунок 48, а). Разделив отрезок O2O1 пополам, получают точку O3. Из точки O3 как из центра описывают вторую вспомогательную окружность радиусом O3O2 = O3О1 и отмечают точки A и В пересечения вспомогательных окружностей. Соединив прямой точки A и O1 (рисунок 48, б), в пересечении ее с окружностью радиуса R получают точку касания D. Через центр окружности радиуса r проводят прямую, параллельную прямой O1D, и в пересечении ее с заданной окружностью определяют вторую точку касания С. Прямая CD – внутренняя касательная к заданным окружностям. Аналогично строится и вторая касательная EF.
Построение касательной к двум окружностям
Задача в следующем: имеется 2 окружности разного диаметра, произвольно расположенные в пространстве, надо провести линию являющуюся касательной к обеим окружностям.
Метод последовательных приближений не предлагать.
П.С. Задача должна быть решена средствами акада в т.ч. и посредством лиспа.
1. Имеем две окружности: малая О1, большая О2.
2. Строим отрезок С, соединяющий центры О1,О2.
3. Точку пересечения С и О2 именуем Т1.
4. Откладываем на отрезке С от точки Т1 к центру О2 величину радиуса О1. Это точка Т2.
5. Из центра О2 строим окр. через Т2. Это окружность О3.
6. Из центра О1 проводим касательную K к О2. Точка пересечения К и О3 это Т3.
7. Прводим луч Л из центра О2 и точку Т3. Точка пересечения данного луча с О2 это Т4.
8. Копируем К в точку Т4. Последний примитив и будет касательной к двум окружностям.
проверка правильности построений:
1. Строим перпиндикуляры к отрезку С в его концах.
2. Измеряем углы:
— между С и К;
— между Л и перпиндикуляром к отр. С,
убеждаемся, что они равны.
1. Имеем две окружности: малая О1, большая О2.
2. Строим отрезок С, соединяющий центры О1,О2.
3. Точку пересечения С и О2 именуем Т1.
4. Откладываем на отрезке С от точки Т1 к центру О2 величину радиуса О1. Это точка Т2.
5. Из центра О2 строим окр. через Т2. Это окружность О3.
6. Из центра О1 проводим касательную K к О2. Точка пересечения К и О3 это Т3.
7. Прводим луч Л из центра О2 и точку Т3. Точка пересечения данного луча с О2 это Т4.
8. Копируем К в точку Т4. Последний примитив и будет касательной к двум окружностям.
проверка правильности построений:
1. Строим перпиндикуляры к отрезку С в его концах.
2. Измеряем углы:
— между С и К;
— между Л и перпиндикуляром к отр. С,
убеждаемся, что они равны.
>Asys
Ну ващето nmr все правильно написал (спасибо), но уж очень сложно.
Тему можно считать закрытой.
Конструктор, инженер-механик на пенсии
Дороги, Конструкции, Тоннели
РОВНО ЗА 7 ЩЕЛЧКОВ МЫШИ.
1 Нажимаем чертить линию
2 При нажатом CTRL щелкаем правой кнопкой мыши
3 Щелкаем КАСАТЕЛЬНАЯ
4 Щелкаем на 1-й окружности
5 см щелчек 2
6 см щелчек 3
7 Щелкаем на 2-й окружности
Время 10 сек. максимум.
РОВНО ЗА 7 ЩЕЛЧКОВ МЫШИ.
1 Нажимаем чертить линию
2 При нажатом CTRL щелкаем правой кнопкой мыши
3 Щелкаем КАСАТЕЛЬНАЯ
4 Щелкаем на 1-й окружности
5 см щелчек 2
6 см щелчек 3
7 Щелкаем на 2-й окружности
Время 10 сек. максимум.
Именно так.
Нет никаких вторых точек и вторых окружностей.
Нужна просто касательная (неважна её длина и направление от точки на окружности).
В итоге, она предназначена как вспомогательная для определения углов между ней (касательной) и другими линиями.
Ещё касательную можно построить след. образом
Так-же строится перпендикуляр
Хмурый,
все мои потуги сделать касательную, ну ни к чему не приводят.
С перпендикуляром всё нормально. Спасибо.
Нужно просто мышкой подвигать вне окружности после п. 3
[ATTACH]1163596619.jpg[/ATTACH]
Примеры выполнения контрольной работы
Построение касательных к двум окружностям
При вычерчивании контуров предметов сравнительно часто приходится строить общие касательные к двум дугам окружностей. Общая касательная к двум окружностям может быть внешней, если обе окружности расположены с одной стороны от нее, и внутренней, если окружности расположены с разных сторон касательной.
Построение общей внешней касательной к двум окружностям радиусов R и r (рис. 180). Из центра окружности большего радиуса – точки O1 описывают окружность радиусом R – r (рис 180 а). Находят середину отрезка O2O1 – точку O3 и из нее проводят вспомогательную окружность радиусом O3O2 или O3O1. Обе проведенные окружности пересекаются в точках A и В. Точки O1 и B соединяют прямой и в пересечении ее с окружностью радиуса R определяют точку касания D (рис. 180 б). Из точки O2 параллельно прямой O1D проводят линию до пересечения с окружностью радиуса r и получают вторую точку касания C. Прямая CD является искомой касательной. Так же строится вторая общая внешняя касательная к этим окружностям (прямая EF).
Построение общей внутренней касательной к двум окружностями радиусов R и r (рис. 48). Из центра любой окружности, например: точки O1, описывают окружность радиусом R + r (рис. 181 а). Разделив отрезок O2O1 пополам, получают точку O3. Из точки O3, как из центра, описывают вторую вспомогательную окружность радиусом O3O2 = O3О1 и отмечают точки A и В пересечения вспомогательных окружностей. Соединив прямой точки A и O1 (рис. 181 б), в пересечении ее с окружностью радиуса R получают точку касания D. Через центр окружности радиуса r проводят прямую, параллельную прямой O1D, и в пересечении ее с заданной окружностью определяют вторую точку касания С. Прямая CD – внутренняя касательная к заданным окружностям. Аналогично строится и вторая касательная EF.
СОПРЯЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ДУГИ ОКРУЖНОСТИ
Сопряжение двух прямых дугой окружности
Все задачи на сопряжение дугой могут быть сведены к двум видам. Сопряжение осуществляется либо заданным радиусом сопрягающей дуги, либо через точку, заданную на одной из сопрягаемых линий. В том и другом случае необходимо построить центр сопрягающей дуги.
Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданного радиуса Rc (рис. 182 а). Так как сопрягающая дуга должна касаться заданных прямых, то центр ее должен быть удален от каждой прямой на величину равную радиусу Rc. Сопряжение строят так. Проводят две прямые, параллельные заданным и удаленные от них на величину радиуса Rc и в пересечении этих прямых отмечают точку O – центр сопрягающей дуги. Из точки О опускают перпендикуляр на каждую из заданных прямых. Основания перпендикуляров – точки A и B – являются точками касания сопрягающей дуги. Такое построение сопряжения справедливо для двух пересекающихся прямых, составляющих любой угол. Для сопряжения сторон прямого угла можно воспользоваться также способом указанным на рисунке 182 б.
Сопряжение двух пересекающихся прямых, на одной из которых задана точка касания А сопрягающей дуги (рис. 183). Известно, что геометрическим местом центров дуг, сопрягающих две пересекающиеся прямые, является биссектриса угла, образованного этими прямыми. Поэтому построив биссектрису угла, из точки касания A восставляют перпендикуляр к прямой до пересечения его с биссектрисой и отмечают точку O – центр сопрягающей дуги. Опустив из точки О перпендикуляр на другую: прямую, получают вторую точку касания В и радиусом Rc = OA = OB осуществляют сопряжение двух прямых, на одной из которых была задана точка касания.
Сопряжение дуги и прямой дугой окружности заданного радиуса
Могут встретиться два случая такого сопряжения: внешнее касание сопрягающей дуги с заданной и внутреннее касание. В обоих случаях задача сводится к определению центра сопрягающей дуги и точек касания.
При внешнем касании (рис. 185 а) из центра заданной дуги – точки O1 проводят вспомогательную дугу радиусом R + Rс. На расстоянии, равном радиусу Rc сопрягающей дуги, параллельно заданной прямой проводят прямую. Точка О пересечения вспомогательной дуги и прямой есть центр сопрягающей дуги. На пересечении прямой, соединяющей точки О и O1 с заданной дугой, отмечают точку касания A. Вторую точку касания В определяют как точку пересечения заданной прямой с перпендикуляром, опущенным на нее из точки О.
При внутреннем касании (рис. 185 б) определение центра сопрягающей дуги и точек касания аналогичны предыдущему случаю с той лишь разницей, что радиус вспомогательной дуги равен Rc – R,
Сопряжение двух дуг дугой окружности заданного радиуса
Различают три вида такого сопряжения:
1) внешнее сопряжение при внешнем касании сопрягающей дуги с двумя заданными;
2) внутреннее сопряжение при внутреннем касании сопрягающей дуги с двумя заданными;
3) смешанное сопряжение при внешнем касании сопрягающей дуги с одной заданной и внутреннем касании с другой.
При внешнем сопряжении (рис. 186 а) центр сопрягающей дуги точка O располагается в точке пересечения вспомогательных дуг радиусов r + Rc и R + Rc, проведенных соответственно из центров сопрягаемых дуг – точек O2 и O1. Точки касания A и B определяются как точки пересечения заданных дуг с прямыми OO1 и OO2.
Внутреннее сопряжение дуг радиусов r и R дугой радиус Rc показано на рисунке 186 б. Для определения центра сопрягающей дуги – точки О проводят вспомогательные дуги радиусами Rc – r и Rc – R соответственно из центров заданных дуг – точек O2 и O1. Точка О пересечения этих дуг и явится центром сопрягающей дуги. Из точки О через точки O1 и O2 проводят прямые до пересечения с заданными дугами и получают соответственно две точки касания – A и B.
При смешанном сопряжении центр сопрягающей дуги – точка О определяется как точка пересечения двух вспомогательных дуг радиусов Rc + R и Rс – r (рис. 186 в) или Rс – R и Rс + r, проведенных соответственно из центров заданных дуг – точек O1 и O2. Для определения точек касания сопрягающей дуги с заданными проводят две прямые: одну через точки О и O1, другую через точки О и O2. Точки пересечения каждой из них с заданными дугами дают искомые точки касания A и B.
Сопряжения Очертания многих предметов представляют собой сочетание ряда: линий, в большинстве своем плавно переходящих одна в другую. Примером плавных переходов могут служить контуры различных видов художественных изделий, посуды, рисунки орнаментов и т.п.
Вычерчивание контуров деталей Последовательность вычерчивания контуров деталей, в основном, зависит от их формы. Поэтому можно указать только на некоторые общие положения, справедливые для всех случаев.
Плоские кривые Кривые, у которых все точки расположены в одной плоскости, называют плоскими. Часть плоских кривых, состоящих из дуг окружностей, образует группу циркульных кривых. Дуги циркульных кривых касаются друг друга, поэтому построение их основано на правилах сопряжения и выполняется при помощи циркуля.
Построение общей внутренней касательной к двум окружностям
Даны две окружности (а это значит, что даны и их центры O1 и O2). Требуется провести общую внутреннюю касательную к ним, то есть такую касательную, от которой данные окружности лежат по разные стороны.
Радиус большей окружности называем R, радиус меньшей окружности — r. Сначала вокруг меньшей окружности построим вспомогательную окружность с тем же центром и с радиусом, равным сумме радиусов двух данных окружностей (R + r). Затем построим из центра большей окружности вспомогательную касательную к вспомогательной окружности. Требуемая внутренняя касательная будет параллельна вспомогательной касательной. Отложим первый вспомогательный луч с началом в точке A. Замерим циркулем радиус большей окружности, и тем же раствором циркуля от начала первого луча отложим отрезок AB, равный R. Теперь циркулем замерим радиус меньшей окружности, и тем же раствором циркуля от точки B отложим отрезок BC, равный r. Получился отрезок AC, равный сумме радиусов двух данных окружностей (R + r). Замерим AC циркулем, и тем же раствором циркуля построим первую вспомогательную окружность с центром в O1. Теперь соединим отрезком центры O1 и O2. Произвольным раствором циркуля строим вторую вспомогательную дугу окружности с центром O1. И тем же раствором циркуля строим третью вспомогательную дугу окружности с центром O2 — так, чтобы третья дуга пересекала вторую в двух точках (называем их D и E). Соединяем D и E отрезком, который пересекает O1O2 в середине — эту точку называем F. Теперь замерим циркулем FO1 и этим раствором циркуля строим четвёртую вспомогательную окружность с центром в F на отрезке O1O2, как на диаметре. Эта четвёртая окружность пересекает первую вспомогательную окружность в двух точках (называем их G и H). Выбираем из этих двух точек ту, которая нам больше нравится (в данном построении это точка H), и соединяем прямой с точкой O2. Прямая HO2 — это касательная к первой вспомогательной окружности, проходящая через центр большой данной окружности. Прямая HO2 пересекла большую окружность в двух точках (называем их K и L). Эти точки равно отстоят от O2 и помогут нам построить перпендикуляр к HO2. Произвольным раствором циркуля проводим пятую вспомогательную дугу окружности с центром в K. Тем же раствором циркуля проводим шестую вспомогательную дугу окружности с центром в L — так, чтоб шестая дуга пересекала пятую в некоторой точке (называем точку M). Соединяем O2 и M прямой — эта прямая (перпендикуляр к HO2) пересекает большую данную окружность в некоторой точке (называем её N). Теперь через N проведём прямую, параллельную вспомогательной касательной HO2. Произвольным раствором циркуля строим седьмую вспомогательную окружность с центром в точке N — так, чтоб седьмая окружность пересекала HO2 в двух точках (точки называем P и Q). Тем же раствором циркуля строим восьмую вспомогательную окружность с центром в Q, и восьмая окружность пересекает вспомогательную касательную HO2 в двух точках (точки называем Z и S). Тем же раствором циркуля проводим девятую вспомогательную дугу окружности с центром в S — так, чтобы девятая дуга пересекала седьмую окружность в некоторой точке (точку называем T). Соединяем N и Т прямой — эта прямая NT и будет требуемой общей внутренней касательной к двум данным окружностям. И вот почему. NT проходит через конец радиуса O2N, лежащий на окружности. Также по построению NT параллельна HO2 и перпендикулярна радиусу O2N — следовательно, NT — касательная к большой данной окружности. Теперь проведём радиус O1H и точку его пересечения с прямой TN называем U. Радиус O1H перпендикулярен касательной O2H — значит, угол O2HU — прямой. Получилось, что в четырёхугольнике UHO2N есть три прямых угла — значит, и четвёртый угол HUN прямой, и UHO2N — прямоугольник, в котором сторона HU равна противоположной стороне O2N, то есть радиусу R. Теперь можем найти длину отрезка O1U (составляющего вместе с UH отрезок O1H). Длина равна разности длин O1H и HU, то есть (r + R) — R = r. Выходит, что U отстоит от O1 на r, то есть U лежит на меньшей данной окружности, а это значит, что TN, проходящая через U — проходит через конец радиуса O1U, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то есть TN — касательная к меньшей данной окружности. Построение закончено.
Построение касательной к окружности
Построение касательной к окружности
Касательную из точки А к окружности можно провести следующим образом:
1. На отрезке ОА как на диаметре строят окружность радиуса R=0,5[OA];
2. Точки 1 и 2 пересечения полученной окружности с заданной определяют положение точек касания;
3. Отрезки [1A] и [2A] определяют положение касательных t1 и t2 проведенных из точки А к окружности.