Как построить график дробно рациональной функции
Дробная линейная функция на занятиях с репетитором по математике
Со временем к репетитору по математике приходит мастерство объяснений сложных понятий простым языком не в ущерб математической полноте и точности. Вырабатывается индивидуальный стиль подачи материала, речи, визуального сопровождения и оформления записей. Любой опытный репетитор расскажет урок с закрытыми глазами, ибо наперед знает, какие проблемы возникают с пониманием материала и что нужно для их разрешения. Важно подобрать правильные слова и записи, примеры для начала урока, для середины и конца, а также грамотно составить упражнения для домашнего задания.
О некоторых частных приемах работы с темой пойдет речь в данной статье.
С построения каких графиков начинает репетитор по математике?
Нужно начать с определения изучаемого понятия. Напоминаю, что дробной линейной функцией называют функцию вида 
. Ее построение сводится к построению самой обычной гиперболы путем известных несложных приемов преобразования графиков. 
На практике, несложными они оказываются только для самого репетитора. Даже если к преподавателю приходит сильный ученик, с достаточной скоростью вычислений и преобразований, ему все равно приходится рассказывать эти приемы отдельно. Почему? В школе в 9 классе строят графики только путем сдвига и не используют методов добавления числовых множителей (методов сжатия и растяжения). Какой график используется репетитором по математике? 
С чего лучше начать? Вся подготовка проводится на примере самой удобной, на мой взгляд, функции 
. А что еще использовать? Тригонометрию в 9 классе изучают без графиков (а в переделанных учебниках под условия проведения ГИА по математике и вовсе не проходят). Квадратичная функция не имеет в данной теме такого же «методического веса», какой имеет корень. Почему? В 9 классе квадратный трехчлен изучается досконально и ученик вполне способен решать задачи на построение и без сдвигов. Форма 
мгновенно вызывает рефлекс к раскрытию скобок, после которого можно применить правило стандартного построения графика через вершину параболы и таблицу значений. С 
такой маневр выполнить не удастся и репетитору по математике будет легче мотивировать ученика на изучение общих приемов преобразований. Использование модуля y=|x| тоже не оправдывает себя, ибо он не изучается так же плотно, как корень и школьники панически его боятся. 
К тому же, сам модуль (точнее его «навешивание») входит в число изучаемых преобразований.
Итак, репетитору не остается ничего более удобного и эффективного, как провести подготовку к преобразованиям с помощью квадратного корня. Нужна практика построений графиков примерно такого вида 
. Будем считать, что эта подготовка удалась на славу. Ребенок умеет сдвигать и даже сжимать/растягивать графики. Что дальше?
Далее стоит напомнить о том, как выглядит обратная пропорциональность 
и в каких четвертях располагается ее график в зависимости от знака коэффициента k.
Напомню, что для построения графика необходимо преобразовать дробь к виду 
. Именно к такому, а не к 
, сохраняя знаменатель. Почему? Сложно выполнять преобразования того графика, который не только состоит из кусочков, но еще и имеет асимптоты. Непрерывность используется для того, чтобы соединить две-три более-менее понятно передвинутые точки одной линией. В случае разрывной функции не сразу разберешь, какие именно точки соединять. Поэтому сжимать или растягивать гиперболу – крайне неудобно. Репетитор по математике просто обязан научить школьника обходиться одними сдвигами.
Для этого помимо выделения целой части нужно еще удалить в знаменателе коэффициент c.
Выделение целой части у дроби
Как научить выделению целой части? Репетиторы по математике не всегда адекватно оценивают уровень знаний школьника и, несмотря на отсутствие в программе подробного изучения теоремы о делении многочленов с остатком, применяют правило деления уголком. Если преподаватель берется за уголочное деление, то придется потратить на его объяснение (если конечно все аккуратно обосновывать) почти половину занятия. К сожалению, не всегда это время у репетитора имеется в наличии. Лучше вообще не вспоминать ни о каких уголках.
Существует две формы работы с учеником:
1) Репетитор показывает ему готовый алгоритм на каком-нибудь примере дробной функции.
2) Преподаватель создает условия для логического поиска этого алгоритма.
Реализация второго пути мне представляется наиболее интересной для репетиторской практики и чрезвычайно полезной для развития мышления ученика. С помощью определенных намеков и указаний часто удается подвести к обнаружению некой последовательности верных шагов. В отличие от машинального выполнения кем-то составленного плана, школьник 9 класса учится самостоятельно его искать. Естественно, что все пояснения необходимо проводить на примерах. Возьмем для этого функцию 
и рассмотрим комментарии репетитора к логике поиска алгоритма. Репетитор по математике спрашивает: «Что мешает нам выполнить стандартное преобразование графика , при помощи сдвига вдоль осей? Конечно же, одновременное присутствие икса и в числителе и в знаменателе. Значит необходимо удалить его из числителя. Как это сделать при помощи тождественных преобразований? Путь один – сократить дробь. Но у нас нет равных множителей (скобок). Значит нужно попытаться создать их искусственно. Но как? Не заменишь же числитель на знаменатель без всякого тождественного перехода. Попробуем преобразовать числитель, чтобы в него включалась скобка, равная знаменателю. Поставим ее туда принудительно и «обложим» коэффициентами так, чтобы при их «воздействии» на скобку, то есть при ее раскрытии и сложении подобных слагаемых, получался бы линейный многочлен 2x+3.
Репетитор по математике вставляет пропуски для коэффициентов в виде пустых прямоугольников (как это часто используют пособия для 5 – 6 классов) и ставит задачу — заполнить их числами. Подбор следует вести слева направо, начиная с первого пропуска. Ученик должен представить себе, как он будет раскрывать скобку. Так как ее раскрытия получится только одно слагаемое с иксом, то именно его коэффициент должен быть равным старшему коэффициенту в старом числителе 2х+3. Поэтому, очевидно, что в первом квадратике оказывается число 2. Он заполнен. Репетитору по математике следует взять достаточно простую дробную линейную функцию, у которой с=1. Только после этого можно переходить к разбору примеров с неприятным видом числителя и знаменателя (в том числе и с дробными коэффициентами).
Идем дальше. Преподаватель раскрывает скобку и подписывает результат прямо над ней. 
Можно заштриховать соответствующую пару множителей. К «раскрытому слагаемому», необходимо добавить такое число из второго пропуска, чтобы получить свободный коэффициент старого числителя. Очевидно, что это 7.
Итог подбора: 
Далее дробь разбивается на сумму отдельных дробей (обычно я обвожу дроби облачком, сравнивая их расположение с крылышками бабочки). И говорю: «Разобьем дробь бабочкой». Школьники хорошо запоминают эту фразу.
Репетитор по математике показывает весь процесс выделения целой части до вида, к которому уже можно применить алгоритм сдвига гиперболы 
:
Если знаменатель имеет не равный единице старший коэффициент, то ни в коем случае не нужно его там оставлять. Это принесет и репетитору и ученику лишнюю головную боль, связанную с необходимостью проведения дополнительного преобразования, Причем самого сложного: сжатия — растяжения. Для схематического построения графика прямой пропорциональности не важен вид числителя. Главное знать его знак. Тогда к нему лучше перебросить старший коэффициент знаменателя. Например, если мы работаем с функцией 
, то просто вынесем 3 за скобку и «поднимем» ее в числитель, конструируя в нем дробь 
. Получим значительно более удобное выражение для построения: 
Останется сдвинуть 
на 
вправо и на 2 вверх.
Если между целой частью 2 и оставшейся дробью 
возникает «минус», его тоже лучше занести в числитель. Иначе на определенном этапе построения придется дополнительно отображать гиперболу относительно оси Oy. Это только усложнит процесс.
Золотое правило репетитора по математике:
все неудобные коэффициенты, приводящие к симметриям, к сжатиям или растяжениям графика нужно перебросить в числитель.
Трудно описывать приемы работы с любой темой. Всегда остается ощущение некоторой недосказанности. Насколько удалось рассказать о дробной линейной функции — судить Вам. Присылайте Ваши комментарии и отзывы к статье (их можно написать в окошке, которое Вы видите внизу страницы). Я обязательно их опубликую.
Колпаков А.Н. Репетитор по математике Москва. Строгино. Методики для репетиторов.
Как построить график дробно рациональной функции
Построение графиков дробно-линейных функций
Рассмотрим специальный класс функций, графиками которых будут гиперболы.
Дробно-линейной называют всякую функцию вида
1. ПР6: `f_1(x)=1/(x+d/c)`;
2. ПР4: `f_2(x)=((bc-ad)/c^2)/(x+d/c)`;
3. ПР5: `f_3(x)=a/c+((bc-ad)/c^2)/(x+d/c)`.
на втором – сжать его или растянуть и, возможно, отразить в зависимости от коэффициента `(bc-ad)/c^2`, а
Покажем на примере, как это нужно делать.
Построим график функции `y=-2/x` (ветви гиперболы лежат во 2-ой и 4-ой четвертях) (рис. 25).
Далее, необходимо, воспользовавшись преобразованием ПР6, сдвинуть график `y=-2/x` на две единицы влево вдоль оси абсцисс (рис. 26). Получим график `y=-2/(x+2)`. Теперь используем преобразование ПР5 и поднимаем график на рис. 26 на единицу вверх. Получим необходимый график функции
Постройте график функции
Будем выполнять построения в таком порядке:
1) Преобразуем данную функцию:
2) Построим график функции
`y=1/(x+6//5)` (ПР6, см. рис. 28).
Далее, построим график `y=(2//25)/(x+6//5)`, сжав график относительно оси абсцисс в `2//25` раз (ПР4, см. рис. 29).
3) Осталось сдвинуть график на `3//5` единиц вверх и получим окончательный график (ПР6, см. рис. 30)
Построим график функции
Будем решать данный пример в таком порядке:
1. Построим гиперболу `y=2/x` (рис. 31).
2. Воспользовавшись преобразованием ПР6, сдвинем эту гиперболу на единицу вправо (вдоль оси абсцисс) и получим график функции `y=2/(x-1)` (рис. 32).
3. Теперь воспользуемся преобразованием ПР1 для построенного в п. 2. графика. Получим график функции `y=2/(|x|-1)` (рис. 33).
4. Воспользуемся преобразованием ПР2 и получим график искомой функции `y=|2/(|x|-1)|` (рис. 34).