Как построить гиперболу в маткаде

Гипербола

Гипербола – геометрическое место точек M, разность расстояний которых до двух заданных точек F и F’ имеет постоянное значение 2a:

|FM — F’M| = 2a

точки F и F’ – фокусы гиперболы;

расстояние FF’ – фокусное расстояние и равно FF’=2с;

точка (+a;0) и точка (-a;0) – точки вершины гиперболы.

Рисунок 1 — Гипербола

AA’ = 2a – действительная ось гиперболы;

BB’ = 2b – мнимая ось гиперболы;

DD’ — директриса гиперболы, т.е. две прямые заданные линейным уравнением

Директрисы DD’ гиперболы параллельны оси Oу и пересекают ось Ох между вершинами гиперболы.

На рисунке 1 прямые обозначенные пунктирной зеленые линией – это асимптоты гиперболы, т.е. прямые заданные уравнениями

называются асимптотами гиперболы

Каноническое уравнение гиперболы

c 2 = a 2 + b 2

Гипербола называется равносторонней (равнобочной), если a=b, тогда уравнение примет вид

Полуоси a, b и полуфокусное расстояние c гиперболы выражаются через следующим образом:

Эксцентриситет гиперболы

Если каноническое уравнение гиперболы вида

, то график гиперболы будет выглядеть примерно следующим образом

Источник

Реферат: Построение поверхностей в Mathcad и Maple

Mathcad. Построение поверхностей.

Быстрое построение является наиболее легким способом построения поверхностей. Для этого необходимо:

1. На лист Mathcad ввести формулу z(x,y):=…;

2. Выбрать команду главного меню «Вставка», «График», выбрать вид графика «поверхность» на панели инструментов «Графики».

3. В шаблон трехмерного графика ввести имя функции без указания аргументов.

Построение поверхностей по матрице аппликат.

Самый «правильный» способ построения графика поверхности, заданной функцией от двух переменных z = f(x,y), является заполнение матрицы значениями этой функции. При этом строки и столбцы матрицы интерпретируются как абсциссы и ординаты. Пример:

Число линий для построения графика и масштаба N:=40 M:=40

Определение индексов i:=0..N j:=0..N

Определение массивов абсцисс и ординат x_i := y_j :=

В шаблон трехмерного графика вводим название массива аппликат:

Построение с помощью функции CreateMesh.

Функция CreateMesh относится к категории Vectorandmatrix (Векторы и матрицы), так как результатом работы функции будет матрица координат.

Формат вызова функции:

Параметры функции CreateMesh:

Mesh – количество линий в сетке функции;

F – вид функции (может быть или формула, или трёхмерный вектор, задающий каждую координату в параметрической форме, или три отдельные функции, задающие координаты в параметрическом виде);

— x1 – нижняя граница переменной x;

— x2 – верхняя граница переменной x;

— y1 – нижняя граница переменной y;

— y2 – верхняя граница переменной y;

— xgrid – количество точек переменной х;

— ygrid – количество точек переменной y.

В одной системе координат можно построить несколько поверхностей, для этого достаточно определить их, а затем в шаблон графика ввести их имена без аргументов через запятую:

Построение одного и того же графика в декартовой, цилиндрической

и сферической системах координат

Пусть задана какая-нибудь функция, например z(x,y)=const. В различных системах координат эта функция имеет различные графики. В декартовой системе координат это плоскость, параллельная плоскости Оху, в цилиндрической – прямой круговой цилиндр с основанием радиуса const, в сферической – шар радиуса const. Для изменения системы координат, надо по шаблону графика щелкнуть правой кнопкой мыши, в появившемся перечне выбрать «Свойства», затем «Данные QuickPlot» и указать нужную систему координат. Пример:

Для построения многогранников в Mathcad есть функция Polyhedron. Её можно использовать двумя способами:

1) по имени, тогда обращение к функции будет Polyhedron(“имя многогранника”);

2) по коду, тогда обращение к функции будет Polyhedron(“#номер многогранника”).

Построение поверхностей вращения.

Для построения поверхностей вращения в Mathcad удобно использовать функцию CreateMesh.

Параметры функции CreateMesh:

— x1, y1,z1 – матрицы значений для каждой координаты;

— 5 – верхняя граница переменной u;

— 0 – нижняя граница переменной v;

— 2π – верхняя граница переменной v;

— 30 – количество линий в сетке графика.

Параметрические уравнения для поворота вокруг оси Ох:

Параметрические уравнения для поворота вокруг оси Oy:

Пример: рассмотрим гиперболу y 2 – x 2 = 1. При вращении этой гиперболы вокруг оси Ох получается однополостный гиперболоид, при вращении вокруг оси Оу – двуполостный гиперболоид. Построим эти поверхности вращения:

Построение пространственных линий.

Линия в пространстве, рассматриваемая как след движущейся точки, представляется системой трёх уравнений: x = x(t); y = y(t); z = z(t), выражающих координаты точки t. Эти уравнения называются параметрическими уравнениями пространственной линии. Для построения пространственных линий в Mathcad существует функция CreateSpace.

Функция CreateSpace относится к категории Vector and matrix (Векторы и матрицы), так как результатом работы функции будет матрица координат. Работает аналогично CreateMesh. Главное отличие в том, что параметрические уравнения должны быть функциями одной переменной, а не двух, как в CreateMesh. Вызов функции: CreateSpace(F, t1, t2, tgrid). Параметры функции:

— F – вектор параметрических уравнений координат;

— t1 – нижняя граница переменной;

— t2 – верхняя граница переменной;

— tgrid – число линий сетки; не обязательный параметр; чем больше этот параметр, тем более гладкая получается линия; если он не достаточно велик, линия получается с изломами.

Maple. Построение поверхностей и пространственных линий.

График поверхности, заданной явной функцией.

График поверхности, заданной неявно.

Трехмерный график поверхности, заданной неявно уравнением , строится с помощью команды пакета plot: implicitplot3d(F(x,y,z)=c, x=x1..x2, y=y1..y2, z=z1..z2), где указывается уравнение поверхности и размеры рисунка по координатным осям.

Пример: построим поверхность Очевидно, что функция задана неявно, поэтому используем алгоритм, описанный выше.

График поверхности, заданной параметрически.

График пространственных кривых.

Пример: построить пространственную кривую, заданную параметрически х = arctg(t),

В Maple также существует возможность построения нескольких графиков одновременно. Для этого необходимо задать каждую поверхность, а затем использовать команду display. Пример:

Для построения поверхностей вращения в Maple есть функция Surface of revolution. Чтобы ей воспользоваться нужно во вкладке «Tools» выбрать раздел «Tutors», затем подраздел «Сalculus – SingleVariablе», функцию «Surface of revolution». В появившемся окне надо ввести функцию, интервал на котором будет произведено построение, выбрать ось вращения и параметры графика. Окно графика появляется при нажатии кнопки «Close».

Пример: построим поверхности, полученные вращением графика функции y=sin x на интервале от 0 до π вокруг оси Ох и Оу. Вызываем функцию Surface of revolution как описано выше. В поле «f(x)» вводим sin(x), указываем границы интервала, в поле Line of Revolution в одном случае выбираем Vertical, в другом Horizontal, нажимаем Сlose.

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра прикладной математики

Семестровая работа за I семестр

Тема: «Построение трехмерных графиков в Mathcad и Maple»

Выполнил: студент группы ХТ-142 Долгачев А. С.

Источник

Как построить гиперболу в маткаде

Построение графиков в Mathcad

Для построения графиков в Mathcad можно воспользоваться функцией Вставка > График > Тип графика или панелью инструментов График (рис. 1.11). Поддерживаются следующие типы графиков:

При выборе режима построения двумерного графика в координатных осях Х-У на рабоче листе создается шаблон (на рис. 1.12 слева) с полями-заполнителями для задания отображаемых данных по осям абсцисс и ординат (имена аргументов и функций или выражения для них, а также диапазоны изменения значений). Заполнитель у середины оси координат предназначен для переменной или выражения, отображаемого по этой оси. Заполнители для граничных значений появляются после ввода аргумента и/или функции. Граничные значения по осям выбираются автоматически в соответствии с диапазоном изменения величин, но их можно задать, щелкнув в области соответствующих полей-заполнителей и изменив значения в них.

В правом фрагменте рис. 1.12 показан заполненный параметрами шаблон, причем диапазоны значений по осям определены вручную. Отметим, что эти значения видны только в режиме редактирования графика (наличие углового курсора на рисунках свидетельствует, что блок с графиком в данный момент выделен).

По оси абсцисс можно отложить простую переменную, задав для нее граничные значения (как на рис. 1.12), диапазон (о формировании диапазонов см. раздел «Работа с матрицами»), вектор значений. В заполнителях у оси ординат обычно помещают функции, выражения или векторы. На рис. 1.13 значения аргументов и трех функций размещены в столбцах двумерной ьатрицы. На графике отображены значения элементов из соответствующих столбцов.

В одной графической области можно построить несколько графиков. Для этого надо у соответствующей оси перечислить несколько выражений через запятую (см. рис. 1.13).

Аналогичным образом строится и форматируется график в полярных координатах, а для графиков других типов предварительно следует создать матрицы значений координат точек.

Для построения простейшего трехмерного графика, необходимо задать матрицу значений. Отобразить эту матрицу можно в виде поверхности, столбчатой диаграммы или линий уровня. Для отображения векторного поля значения матрицы должны быть комплексными. В этом случае в каждой точке графика отображается вектор с координатами, равными действительной и мнимой частям элемента матрицы. Во всех этих случаях после создания области графика необходимо указать вместо заполнителя имя матрицы, содержащей необходимые значения.

Для построения параметрического точечного графика командой требуется задать три вектора с одинаковым числом элементов, которые соответствуют х-, у- и z-координатам точек, отображаемых на графике. В области графика эти три вектора указываются внутри скобок через запятую. Аналогичным образом можно построить поверхность, заданную параметрически. Для этого надо задать три матрицы, содержащие, соответственно, х-, у- и z-координаты точек поверхности. В шаблоне в области графика эти три матрицы указываются в скобках через запятую.

Таким образом, можно построить практически любую криволинейную поверхность, в том числе с самопересечениями.

Источник

Трехмерные графики функций в MathСad

Графики, которые включают две переменные, в Mathcad схожи с 2D-графиками, но есть отличия, которые необходимо знать. В Mathcad существует два вида таких графиков: контурный и 3D-график поверхности в трех осях.

Контурный график

Давайте пропишем построение графика параболоида:

Такая функция имеет минимум в начале осей координат и возрастает при отходе от начала осей. Цвет нашего графика будет зависим от величины z.

3D-график

Давайте вначале выясним, какие есть элементы у 3D-графика.

График имеет три оси: X, Y, Z. Обычно ось зет имеет вертикальное направление. Сам график, который изображен розовой сеткой на примере выше, ограничен прямоугольной областью, сторонами которой являются оси координат. Если в 2D-графиках были места для заполнения как для оси X, так и для оси Y, то здесь есть только одно место заполнения для оси Z.

Если вы посмотрите на правый верхний угол, то увидите кнопку выбора осей. При нажатии на нужную ось, она подсветится как на кнопке, так и на графике. Вы можете менять для каждой оси значение первой, второй и последней метки. Все это справедливо настолько же, насколько и для 2D-графика. Кроме того, можно изменять диапазоны как по осям, так и по числу меток.

Вам будет доступно расширение, перемещение и сжатие области, где размещен график. Для этого существуют специальные кнопки, которые размещены на границе области. Кнопки слева сверху предназначены для перемещения, вращения или масштабирования графика. А также есть кнопка «Сбросить график», которая оп своим функциям напоминает кнопку «Отменить».

Параболоид

Поэкспериментируйте с кнопками управления видом графика, а когда получите достаточно опыта, нажмите на кнопку «Сброс вида».

Нажмите на ось Z справа сверху на кнопке выбора оси. Поменяйте обозначение последней метки с 200 на 400, а потом нажмите на любое пустое место вне графика, чтобы изменения применились. Если вам нужно будет вернуться в исходную позицию, то придется заново вручную поменять значение на 200, так как кнопка вида здесь работать не будет.

Две функции

Для графиков лучше использовать отличные друг от друга цвета, чтобы их пересечение было более заметно. Вы можете повращать график, чтобы разобраться в форме этого пересечения.

Использование вектора

Мы производили построение 2D-графиков с использованием вектора. Что-то подобное можно использовать и для 3D-графиков, но нам потребуется вектор с осями X, Y, Z. Изобразим примером функцию, которая известна среди математиков под названием «мексиканская шляпа».

Сфера

Построение параметрической поверхности требует более серьезного подхода, чем 2D-графика. Все из-за того, что значение Z можно добавлять только непосредственно на графике. Расскажем, как это выполнить, используя пример построения графика сферы с помощью функции CreateMesh. Параметрические уравнения сферы выглядят так:

При использовании функции CreateMesh нам понадобится такая матрица:

Пропишите имя переменной матрицы в метозаполнитель 3D-графика и нажмите на любую пустую область вне его.

Резюме

3D-графики имеют некоторые отличия от двухмерных графиков, которые мы уже рассматривали:

Источник

Как построить график в «Маткаде»? Советы и рекомендации

Mathcad является универсальным инструментом у тех людей, которые плотно связали свою жизнь с вычислениями. «Маткад» способен производить сложные математические расчеты и мгновенно выдавать ответ на экране. Студенты или те, кто в первый раз столкнулся с этой программой, задают множество вопросов, на которые не могут дать ответ самостоятельно. Один из них, затрудняющий дальнейшее обучение: как построить график в «Маткаде»? На самом деле, это не так сложно, как может показаться. Постараемся разобраться также в том, как в «Маткаде» построить график функции, как строить несколько функций, узнаем о некоторых элементах отображение графика на экране.

Быстрый график в Mathcad

Возьмем одну функцию и будем проводить все ниже перечисленные операции с ней. Допустим, имеем следующее техническое задание: построить график функции f(x) = (e^x/(2x-1)^2)-10 на интервале [-10;10], исследовать поведение функции.

Итак, перед тем как построить график в «Маткаде», нужно переписать нашу функцию в математическую среду. После этого просто прикинем возможный график без масштабирования и всего прочего.

Построение дополнительных графиков

График, построенный по набору значений

Перед тем как построить график в «Маткаде» по точкам, необходимо создать диапазон значений. Сразу отметим, что график, построенный по точкам, иногда бывает неточным, так как может найтись такая точка, которая не попадет в диапазон значений, но в оригинальном графике в ней происходит разрыв. В этом примере специально будет показан этот случай.

Нам необходимо задать диапазон значений. Для этого присвоим значения переменной (x:=-10,-8.5.. 10). Когда пользователь будет задавать диапазон, ему следует знать, что двоеточие ставится через символ «;». Теперь для визуального восприятия отобразим все значения «х» и «f(x)» в программе. Для этого необходимо ввести «х=» и, соответственно, «f(x)=». Теперь заново построим график функции, только в этот раз по точкам.

Мы видим, что на графике, построенном по точкам, не отображается та точка, которая осуществляет разрыв на исходном графике. То есть можно сделать вывод о том, что построение по точкам может не учитывать значения функции, которые создают разрыв.

Настройка отображения графика

Источник