Каноническое уравнение гиперболы
Вы будете перенаправлены на Автор24
Для того чтобы составить каноническое уравнение гиперболы, нужно привести квадратное уравнение к каноническому виду.
Вывод канонического уравнения гиперболы
Рисунок 1. Рис. 1.Вывод канонического уравнения гиперболы
Сложим уравнения (1) и (2), получим:
Возведём (3) в квадрат:
$\frac
$\frac
Готовые работы на аналогичную тему
Каноническое уравнение параболы и гиперболы немного похожи между собой.
Уравнение параболы выглядит следующим образом:
Каноническое уравнение гиперболы примеры решения
Ниже небольшая инструкция о том, как найти каноническое уравнение гиперболы.
Запишем знаменатели в виде степеней:
Теперь вы знаете, как написать каноническое уравнение гиперболы. Дальше мы расскажем о том, как строить гиперболу по каноническому уравнению.
Построение гиперболы по каноническому уравнению
Теперь давайте рассмотрим, как построить гиперболу по каноническому уравнению.
Рисунок 2. Рис. 2. Построение гиперболы по каноническому уравнению
Найдём точки для положительной части гиперболы:
Теперь можно отложить все эти точки и построить график гиперболы.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 30 11 2021
Способы построения гиперболы самостоятельно
Гипербола в математике — что это такое
Гипербола представляет собой линию, определяемую в некой декартовой прямоугольной системе координат каноническим уравнением:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Ось ординат не имеет общих точек с гиперболой. В состав гиперболы входят две части, которые не связаны между собой. Они носят название ветвей гиперболы. Числа «a» и «b» являются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.
Ветви гиперболы — это две отдельные кривые, из которых состоит гипербола.
Ближайшие друг к другу точки двух ветвей гиперболы являются вершинами гиперболы.
Большая ось гиперболы — наименьшее расстояние между двумя ее ветвями.
Центр гиперболы — это середина ее большой оси.
Большая полуось гиперболы — расстояние, на которое удалены центр и одна из вершин, обозначается «а».
Фокальное расстояние гиперболы — расстояние, на которое удалены друг от друга центр и один из фокусов, обозначается «с».
Оба фокуса гиперболы расположены на продолжении большой оси и равноудалены от центра гиперболы.
Прямая, включающая в себя большую ось гиперболы, носит название действительной, или поперечной, оси гиперболы.
Прямая в виде перпендикуляра к действительной оси, которая пересекает центр гиперболы — мнимая, или сопряженная ось гиперболы.
Отрезок между фокусом гиперболы и гиперболой, который перпендикулярен к действительной оси, — это фокальный параметр.
Прицельный параметр — расстояние от фокуса до асимптоты гиперболы, обозначается «b».
Перечисленные характеристики гиперболы взаимосвязаны. Справедливы следующие соотношения:
Оси симметрии гиперболы представляют собой оси канонической системы координат, а начало канонической системы является центром симметрии.
Когда требуется исследовать форму гиперболы, следует начать с поиска ее пересечения с произвольной прямой, пересекающей начало координат. Уравнение прямой можно задать в виде:
Такой выбор связан с тем, что прямая \(x=0 \) не пересекает гиперболу. Абсциссы точек пересечения можно вычислить с помощью уравнения:
Таким образом, при \(b^<2>-a^<2>k^ <2>> 0\) получим:
Полученное равенство позволит рассчитать координаты точек пересечения:
Руководствуясь свойством симметрии, можно проанализировать смещение первой из точек при изменении k, как показано на рисунке.
Прямая \(y=bx/a\) с угловым коэффициентом \(b/a\) не имеет точек пересечения с гиперболой, как и прямые с большими угловыми коэффициентами. Какая-либо прямая, обладающая меньшим положительным угловым коэффициентом, пересекает гиперболу.
К прямой \(y=-bx/a\) относится все, что было сказано о \(y=bx/a\) : она не пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее, от не пересекающих. Из вышесказанного следует вывод, что гипербола имеет вид, изображенный на рисунке.
Асимптоты гиперболы являются прямыми, описываемыми уравнениями \(y=bx/a\) и \(y=-bx/a \) в канонической системе координат.
Предположим, что уравнения асимптот имеют вид:
Расстояния от точки \(M(x, y)\) до асимптот составят
В том случае, когда точка M расположена на гиперболе:
Из данного определения можно вывести ключевое свойство, которым обладают асимптоты гиперболы.
В том случае, когда точка совершает движение по гиперболе таким образом, что ее абсцисса по абсолютной величине неограниченно возрастает, расстояние от точки до одной из асимптот стремится к нулю.
В действительности получим, что хотя бы одно из расстояний \(h_<1>\) или \(h_<2>\) при этих условиях должно неограниченно увеличиваться. Если предположить, что утверждение не справедливо, то произведение не было бы постоянной величиной.
Введем такое число с, что:
Фокусы гиперболы — точки \(F_<1>\) и \(F_<2>\) с координатами \((c, 0)\) и \((-c, 0)\) в канонической системе координат.
Расстояния от произвольной точки \(M(x, y)\) на гиперболе до каждого из фокусов определяются абсциссой \(x\) :
Следует отметить, что равенства \eqref
Директрисы расположены поблизости от центра в отличие от вершин. Из этого можно сделать вывод, что директрисы не имеют точек пересечения с гиперболой. Директриса и фокус, которые расположены по одну сторону от центра, считаются соответствующими друг другу.
Для того чтобы точка \(M\) была расположена на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы разность ее расстояний до фокусов по абсолютной величине равнялась вещественной оси гиперболы 2a.
С целью доказательства достаточности данного условия его следует записать в виде:
Следующие действия отличаются от доказательства соответствующего утверждения для эллипса только тем, что нужно воспользоваться равенством:
Можно доказать, к примеру, необходимость условия для фокуса \(F_<2>(-c, 0).\) Предположим, что \(M'(x, y)\) является точкой гиперболы. Расстояние от \(M’\) до директрисы с уравнением \(x=-a/\varepsilon\) равно:
Касательная к гиперболе в точке \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\) представляет собой биссектрису угла между отрезками, которые соединяют рассматриваемую точку с фокусами.
Как построить гиперболу самостоятельно
Построение графика гиперболы следует начать с изображения прямоугольной системы координат Декарта. Алгоритм действий:
Гипербола представляет собой график функции, которая задана формулой:
где \(k\) — является каким-то коэффициентом, не равным нулю;
\(x\) — представляет собой независимую переменную.
Принцип построения гиперболы можно рассмотреть на примере, когда функция задана следующей формулой:
Полученные 6 точек с координатами необходимо отложить на системе координат. Далее точки соединяют с помощью кривых линий, как изображено на рисунке. В итоге получилась гипербола.
Построение гиперболы по фокусам
Построение графика гиперболы по каноническому уравнению
Гипербола — множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.
Предположим, что плоскость имеет пару точек F1 И F2. Данные точки удалены друг от друга на расстояние 2С. При этом имеется число А, которое меньше, чем С. В этом случае, гипербола является множеством точек той же плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до точек F1 и F2, называемых фокусами гиперболы, есть число постоянное, равное 2А.
Вывести каноническое уравнение гиперболы можно, если выбрать на плоскости ортонормированную систему координат с помощью графика, следующим образом:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Согласно свойству из определения, гиперболе удовлетворяют те, и только те точки М плоскости, для которых справедливо равенство:
Получить уравнение гиперболы, как и параболы, можно, если записать первое равенство в координатах. В рассматриваемой системе координат фокусы гиперболы соответствуют следующим координатам: F1 (–C; 0); F2 (C; 0). Координаты произвольной (или текущей) точки M множества всегда обозначаются через X и Y следующим образом: M(X; Y).
Так как:
Первое уравнение является равносильным второму уравнению:
Записанное равенство, в свою очередь, равносильно третьему уравнению:
Представленные равенства представляют собой уравнения гиперболы. Можно заметить, что они имеют громоздкий вид, не являются удобными для использования и для запоминания. В связи с этим, следует преобразовать их для получения более простого вида. С этой целью можно выполнить ряд преобразований:
Необходимо учитывать условие:
Далее нужно разделить последнее уравнение на следующее выражение:
В результате получим четвертое уравнение:
Исходя из того, что
Следовательно, существует такое положительное число b, что:
Далее можно преобразовать четвертое уравнение:
В результате получилось доказать, что если точка принадлежит гиперболе, то ее координаты удовлетворяют третьему или четвертому уравнениям. Далее можно представить доказательства обратного: если координаты точки удовлетворяют третьему или четвертому уравнению, то она принадлежит гиперболе.
M (X; Y) удовлетворяет уравнению (4)
По аналогии получим:
Разность расстояний можно определить следующим образом:
В результате вычислений можно заключить, что четвертое уравнение является уравнением гиперболы и называется ее каноническим уравнением.
Исследование формы гиперболы по ее уравнению
В первую очередь необходимо проанализировать симметрию. Так как координаты X и Y в уравнении
входят только в четных степенях, то:
На основании записи можно сделать вывод о симметричности гиперболы относительно координатных осей и начала координат. Оси симметрии гиперболы являются осями гиперболы, центр симметрии — ее центром.
Далее необходимо исследовать пересечение гиперболы с осями. В том случае, когда Y = 0, получим:
Таким образом, гипербола пересекает ось ОХ в точках A1 (–A; 0) и A2 = (A; 0). Данные точки являются вершинами гиперболы. Когда X = 0, уравнение гиперболы не имеет решений, т. е. ось не пересечена гиперболой. Та ось гиперболы, которую она пересекает, представляет собой ее действительную ось, а та, которую не пересекает — мнимую. Числа A и B называют полуосями гиперболы, действительной и мнимой соответственно.
Исходя из симметрии гиперболы, достаточно начертить ее в первой координатной четверти, а затем, продолжить рисунок по симметрии. При условии, что:
из уравнения гиперболы можно выразить Y:
В том случае, когда X = A:
можно заключить, что
Далее необходимо вычислить производную:
Таким образом, можно сделать вывод о наличии касательной в вершине гиперболы.
Асимптоты гиперболы представляют собой прямые:
Можно рассмотреть асимптоту, которая расположена в первой четверти:
Если сравнить записанное уравнение с уравнением
В результате можно сказать, что гипербола расположена ниже своей асимптоты. В том случае, когда М является точкой гиперболы, Р представляет собой точку ее асимптоты с такой же первой координатой, \(\rho\) определяется, как расстояние от М до гиперболы, то:
Таким образом, при неограниченном удалении от начала координат гипербола бесконечно близко приближается к своей асимптоте, не пересекая ее.
Как построить гиперболу по каноническому уравнению
Существует стандартный алгоритм, с помощью которого строят гиперболу:
Примеры решения уравнения
Требуется записать уравнение гиперболы, если длина действительной оси соответствует единице, а точка (1,3) расположена на гиперболе.
Согласно условиям задачи, длина действительной оси равна единице. В таком случае, параметр а:
Далее необходимо выполнить подстановку полученного значения в каноническое уравнение гиперболы:
Затем следует определить, чему равна характеристика b, путем подстановки в уравнение координаты точки (1,3):
\(4\cdot 1^ <2>-\frac <3^<2>>
Если подставить полученное значение в уравнение гиперболы, получим:
Ответ: уравнение гиперболы имеет вид: \(4x^ <2>-\frac
\(2a=10 \Rightarrow a=5\)
\(2c=12 \Rightarrow c=6\)
Можно рассчитать значение параметра \( b\) :
Далее следует записать искомое уравнение гиперболы:
Ответ: уравнение гиперболы имеет вид: \(\frac
Что такое гипербола
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие гиперболы
Гипербола — это множество точек на плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух точек (они же — «фокусы») — величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение гиперболы в алгебре выглядит так:
, где a и b — положительные действительные числа.
Кстати, канонический значит принятый за образец.
В отличие от эллипса, здесь не соблюдается условие a > b, значит а может быть меньше b. А если a = b, то гипербола будет равносторонней.
Мы помним, что гипербола в математике выглядит так y = 1/x, что значительно отличается от канонической записи.
Вспомним особенности математической гиперболы:
Если гипербола задана каноническим уравнением, то асимптоты можно найти так:
Чтобы получить «единицу» в правой части, обе части исходного уравнения делим на 20:
Данная гипербола имеет вершины A1(2; 0), A2(-2; 0).
В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для одной координатной четверти.
Способ такой же, как при построении эллипса. Из полученного канонического уравнения
на черновике выражаем:
Уравнение распадается на две функции:
— определяет верхние дуги гиперболы (то, что ищем);
— определяет нижние дуги гиперболы.
Далее найдем точки с абсциссами x = 3, x = 4:
Может возникнуть техническая трудность с иррациональным угловым коэффициентом √5/2 ≈ 1,12, но это вполне преодолимая проблема.
Действительная ось гиперболы — отрезок А1А2.
Расстояние между вершинами — длина |A1A2| = 2a.
Действительная полуось гиперболы — число a = |OA1| = |OA2|.
Мнимая полуось гиперболы — число b.
В нашем примере: а = 2, b = √5, |А1А2| = 4. И если такую гиперболу повернуть вокруг центра симметрии или переместить, то значения не изменятся.
Форма гиперболы
Повторим основные термины и узнаем, какие у гиперболы бывают формы.
Гипербола симметрична относительно точки О — середины отрезка F’F. Она также симметрична относительно прямой F’F и прямой Y’Y, проведенной через О перпендикулярно F’F. Точка О — это центр гиперболы.
Прямая F’F пересекает гиперболу в двух точках: A (a; 0) и A’ (-a; 0). Эти точки — вершины гиперболы. Отрезок А’А = 2a — это действительная ось гиперболы.
Несмотря на то, что прямая Y’Y не пересекает гиперболу, на ней принято откладывать отрезки B’O = OB = b. Такой отрезок B’B = 2b (также и прямую Y’Y) можно назвать мнимой осью гиперболы.
Так как AB^2 = OA^2 + OB^2 = a^2 + b^2, то из равенства следует: AB = c, то есть расстояние от вершины гиперболы до конца мнимой оси равно полуфокусному расстоянию.
Мнимая ось 2b может быть больше, меньше или равна действительной оси 2а. Если действительная и мнимая оси равны (a = b) — это равносторонняя гипербола.
Отношение F’F/А’А фокусного расстояния к действительной оси называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается e. Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен √2.
Гипербола лежит целиком вне полосы, ограниченной прямыми PQ и RS, параллельными Y’Y и отстоящими от Y’Y на расстояние OA =A’O = a. Вправо и влево от этой полосы гипербола продолжается неограниченно.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.
Фокальное свойство гиперболы
Точки F1 и F2 называют фокусами гиперболы, расстояние 2c = F1F2 между ними — фокусным расстоянием, середина O отрезка F1F2 — центром гиперболы, число 2а — длиной действительной оси гиперболы (соответственно, а — действительной полуосью гиперболы).
Отрезки F1M и F2M, которые соединяют произвольную точку M гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки M. Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.
Геометрическое определение гиперболы, которое выражает ее фокальное свойство, аналогично ее аналитическому определению — линии, которая задана каноническим уравнением гиперболы:
Рассмотрим, как это выглядит на прямоугольной системе координат:
Воспользуемся геометрическим определением и составим уравнение гиперболы, которое выразит фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F1(-c, 0) и F2(c, 0). Для произвольной точки M(x, y), принадлежащей параболе, имеем:
Запишем это уравнение в координатной форме:
Избавимся от иррациональности и придем к каноническому уравнению гиперболы:
, т.е. выбранная система координат является канонической.
Директориальное свойство гиперболы
Директрисы гиперболы — это две прямые, которые проходят параллельно оси.
ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии (a^2)/c от нее. Если а = 0, гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, и директрисы совпадают.
Директориальное свойство гиперболы звучит так:
Гиперболу с эксцентриситетом e = 1 можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки F (фокуса) к расстоянию до заданной прямой d (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету e.
Здесь F и d — один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.
На самом деле для фокуса F2 и директрисы d2 условие
можно записать в координатной форме так:
Построение гиперболы
Чтобы запомнить алгоритм построения гиперболы, рассмотрим чертёж и комментарии к нему.
Построим основной прямоугольник гиперболы и проведем его диагонали. Если продолжим диагонали прямоугольника за его пределы, получим асимптоты гиперболы.
В силу симметрии достаточно построить гиперболу в первой четверти, где она является графиком функции:
Важно учесть, что данная функция возрастает на промежутке [a; ∞], при x = a, y = 0 и ее график приближается снизу к асимптоте y = (b/a) * x. Рисуем график:
Далее построенный в первой четверти график симметрично отображаем относительно оси Ох и получаем правую ветвь гиперболы. Теперь отобразим правую ветвь гиперболы относительно оси Оу.
По определению эксцентриситет гиперболы равен 
Зафиксируем действительную ось 2а и начнем изменять фокусное расстояние 2с.
Равносторонняя гипербола это такая гипербола, у которой эксцентриситет равен √2. Ее еще называют равнобочной.