Как посчитать количество подмножеств множества

Как найти все подмножества множеств

На простом примере напомним, что называется подмножеством, какие бывают подмножества (собственные и несобственные), формулу нахождения числа всех подмножеств, а также калькулятор, который выдает множество всех подмножеств.

Пример 1. Дано множество А = <а, с, р, о>. Выпишите все подмножества
данного множества.
Решение:

Несобственные: <а, с, р, о>, Ø.

Всего: 16 подмножеств.

Пояснение. Множество A является подмножеством множества B если каждый элемент множества A содержится также в B.

• пустое множество ∅ является подмножеством любого множества, называется несобственным;
• любое множество является подмножеством самого себя, также называется несобственным;
• У любого n-элементного множества ровно 2 n подмножеств.

Последнее утверждение является формулой для нахождения числа всех подмножеств без перечисления каждого.

Для математиков сформулируем теорему и приведем строгое доказательство.

1. Для n = 1 (база индукции) (и даже для n = 2, 3) теорема доказана.

Следовательно, всех подмножеств множества B: 2 k + 2 k = 2 ⋅ 2 k = 2 k+1 штук.
Теорема доказана.

В примере 1 множество А = состоит из четырех элементов, n=4, следовательно, число всех подмножеств равно 2 4 =16.

Если вам необходимо выписать все подмножества, или составить программу для написания множества всех подмножеств, то имеется алгоритма для решения: представлять возможные комбинации в виде двоичных чисел. Поясним на примере.

Калькулятор множества всех подмножеств.

Источник

Калькулятор расчета подмножеств в множестве

Множество — это набор элементов, которые обладают общим свойством. В каждом неупорядоченном множестве существует определенное количество подмножеств, которые можно рассчитать при помощи онлайн-калькулятора.

Множество

Множество представляет собой набор элементов, сгруппированных по определенному признаку. В математике это может быть множество натуральных, целых или рациональных чисел. В природе это множества яблок на дереве, песчинок в пустыне или звезд в космосе. На практике множество может представлять собой набор данных, массивы результатов измерений или входных воздействий. Множество — это простейший математический объект, поэтому с ним можно осуществлять простые арифметические действия, то есть складывать, вычитать или разбивать на составляющие — подмножества.

Несобственные подмножества

Каждое множественный объект имеет два несобственных подмножества: само множество и пустое. Согласно канторовской теории, любое множество считается подмножеством самого себя. Пустое множество — это своеобразный нуль теории множеств, и такой набор не содержит ни одного элемента. Потребность в пустом множестве обусловлена аксиомой, что любой результат операции между множествами также должен быть множеством. Пустой набор элементов также считается подмножеством для любого набора чисел.

Собственные подмножества

Помимо самого себя и пустого множества, набор чисел может иметь определенное количество собственных подмножеств. Их численность определяется мощностью множества, то есть количеством его элементов. Для объекта A, которое состоит из n-ного числа элементов, существует количество собственных подмножеств, которое определяется по формуле:

Из этого следует, что для набора из 3 элементов существует 2 3 — 2 = 6 собственных подмножеств, из 4 членов — 2 4 — 2 = 14 собственных подмножеств и так далее. К примеру, для множества существуют следующие подмножества:

Если не разделять подмножества на собственные и несобственные, то для каждого множества существует подмножества, количеством:

где n — количество элементов.

Это означает, что для того же набора добавятся также пустое множество и оно само.

Подмножества и парадоксы

Канторовская теория множеств зашла в тупик, когда ее постулаты породили парадоксы. Наиболее известной проблемой наивной теории множеств считается парадокс Рассела. Известный британский философ и ученый Бертран Рассел рассмотрел бесконечные множества как абстрактные объекты. Если любое множество считается подмножеством самого себя, то верно выражение A Î A. Допустим, существует глобальное множество S, содержащее в себе все наборы объектов, которые не включают самих себя.

Далее возникает вопрос, верно ли, что S Î S? Если верно, то выходит, что S не содержит самого себя, так как изначально набор S содержит все множества, не содержащие себя, следовательно, S Î S. Если неверно, значит, набор S не соответствует первичному определению, следовательно, S Î S.

Данный парадокс так же известен как проблема цирюльника. Некий брадобрей заявляет, что будет брить только тех, кто не бреет сам себя. Тех, кто сами справляются с бритвой, цирюльник брить отказывается. Возникает парадокс: кто побреет цирюльника? Если он бреется сам, то он не должен себя брить, а если не бреется, то брить себя обязан. Для решения подобных парадоксов в теорию множеств была внесен раздел о типах объектов. Согласно теории типов, подмножества всегда должны быть низшего порядка по отношению к своему надмножеству.

Наша программа позволяет сгенерировать все возможные подмножества для любого заданного набора чисел. Для этого вам достаточно ввести числа через запятую в форму онлайн-калькулятора, после чего программа рассчитает все подмножества для выбранного набора, включая собственные и несобственные. Рассмотрим пример генерации подмножеств.

Пример работы калькулятора

Допустим, у нас есть множество последовательных натуральных чисел мощностью 4. Это означает, что наш объект выглядит как А = <1, 2, 3, 4,>. Согласно формуле, для A существует 2 4 = 16 подмножества: 14 собственных и 2 несобственных. При помощи калькулятора рассчитаем эти составляющие. Мы получим:

Точно также вы можете рассчитать количество подмножеств для множества произвольной мощности.

Заключение

Множество — это элементарный математический объект, с которым можно осуществлять разные арифметические операции. Используйте наши онлайн-калькуляторы для работы с множественными объектами.

Источник

Калькулятор определения подмножества из множества

Подмножество множества A — это такой набор B, все члены которого принадлежат A. Существует знакомое всем с детства множество натуральных чисел N, а наборы четных E и нечетных O элементов являются подмножествами N.

Теория множеств

Проблема отображения бесконечности действительных чисел волновала математиков с самой древности. Натуральные числа люди использовали при счете, рациональные, то есть дроби – при операциях с частями целого, а действительные числа нашли свое применение в измерениях. Первым действительным и иррациональным числом, о котором узнали древние математики, было число, отображающее длину диагонали квадрата. Затем появилось Пи (отношение диаметра круга к его окружности), позднее и другие числа.

При измерении длины стороны фигуры или ее диагонали мы можем постоянно повышать точность измерений и получать все новые и новые числа. Например, диагональ единичного квадрата равна корню из двух. Мы можем выразить ее длину как 1,4 или 1,41 или 1,4142 или 1,41421356237. И это все разные действительные числа. Можно ли создать список всех действительных чисел от 0 до 1? Нет, так как каждый раз будет находиться еще одно число, отличное от всех, представленных в этом списке.

Именно с этой проблемой работал Георг Кантор, который создал наивную теорию множеств. Наивной его теория стала в результате образования нескольких логических парадоксов, которые были успешно решены при трансформации канторовской теории в аксиоматическую теорию множеств.

Подмножество

Давайте начнем с самого простого – множество натуральных чисел. Это бесконечная последовательность целых положительных чисел, которые мы используем при счете предметов. В отличие от измерений, мы не можем повышать точность счета. Если мы видим 5 яблок, то точнее мы выразить их количество никак не сможем. Кроме того, мы без проблем можем перечислить все натуральные числа в диапазоне от 1 до 10. Все натуральные числа могут быть как четными, так и нечетными, следовательно, натуральное множество содержит в себе четное и нечетное подмножества.

Целые числа – это продолжение натуральной последовательности в отрицательную область. К целым относится ноль, все натуральные числа, а также противоположные натуральным, то есть со знаком минус. Очевидно, что натуральное множество является подмножеством целых чисел.

Рациональное множество – это набор всех дробных чисел, которые возможно представить в виде обыкновенной дроби. В виде дроби мы можем выразить 0,25 – 1/4, 0,5 – 1/2, 1 – 1/1. В качестве дроби легко записать любое целое или натуральное число, например: 5/5 или 50/50. Таким образом, рациональное множество содержит два подмножества – наборы целых и натуральных чисел.

Действительное множество – это все числа на числовой оси. К ним относятся натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа, которые формируют соответствующие подмножества во множестве действительных чисел. Множество действительных чисел – это самое мощное множество, которое стремится в бесконечность. Кроме того, пустое множество, которое не содержит ни одного элемента, является подмножеством любого выбранного набора чисел. Но и это еще не все. Каждое множество является подмножеством самого себя.

Мы перечислили глобальные примеры подмножеств, однако на практике нам может потребовать определить является ли один набор чисел подмножеством другого набора? К примеру, если у нас есть пара значений <3, 11>, то является ли она подмножеством набора <1, 3, 5, 7, 11, 13>? Очевидно, что ответ положительный, так как и 3, и 11 встречаются во множестве <1, 3, 5, 7, 11, 13>. Однако это верно только для множеств с неразличимыми элементами, то есть для обычного набора чисел. Если же важен порядковый номер элементов множества, то результат противоположный и <3, 11>не является подмножеством <1, 3, 5, 7, 11, 13>.

Наш калькулятор определения подмножеств позволяет выяснить, является набор чисел B подмножеством набора A. Программа использует алгоритм для надежно различимых элементов множества, для которых важен порядок расположения членов.

Пример определения подмножества

Выше мы выяснили, что четное множество – это подмножество натурального ряда. Для неразличимых элементов объект B = <2, 4, 6>является подмножеством набора A = <1, 2, 3, 4, 5, 6>. Однако представим, что это база данных, и n-ному элементу множества соответствует свое значение. Выходит, что первый член объекта B имеет значение 2, а первый элемент набора A равен 1. Второй элемент множества B равен 4, а второй элемент объекта A = 2. По такой логике это совершенно разные объекты, следовательно, множество B не является подмножеством набора A.

Заключение

Множество – это набор математических объектов, каждый из которых обладает определенным свойством. Каждое множество имеет минимум два подмножества: пустое и свое собственное. Для поиска других подмножеств используйте наш калькулятор, который позволяет определить принадлежность одного набора чисел к другому.

Источник

Поиск всех подмножеств множества

Изменить. У меня возникли проблемы с пониманием ответов, предоставленных до сих пор. Я хотел бы получить пошаговое объяснение того, как работают ответы, чтобы найти подмножества.

Откуда вы знаете, что <1>и <1,2>являются подмножествами?

Может ли кто-нибудь помочь мне с простой функцией в c++ найти подмножества

ОТВЕТЫ

Ответ 1

Это очень просто сделать это рекурсивно. Основная идея заключается в том, что для каждого элемента множество подмножеств можно разделить на те, которые содержат этот элемент, и те, которые этого не делают, и эти два набора в противном случае равны.

Изменить Чтобы сделать его кристально чистым:

Ответ 2

Слишком поздно, чтобы ответить, но итеративный подход здесь звучит легко:

4) Выполните объединение всех подмножеств, найденных на шаге 3. Вернитесь. Например:
Simple union of above sets!

Ответ 3

В случае, если кто-то еще приходит и все еще задавался вопросом, здесь функция, использующая объяснение Майкла в С++

Примите во внимание, что это вернет набор размеров 2 ^ N со ВСЕМИ возможными подмножествами, то есть там, возможно, будут дубликаты. Если вы этого не хотите, я бы предложил использовать set вместо vector (который я использовал, чтобы избежать итераторов в коде).

Ответ 4

Если вы хотите перечислить все возможные подмножества, посмотрите этот документ. Они обсуждают различные подходы, такие как лексикографический порядок, серое кодирование и последовательность банкиров. Они приводят пример реализации последовательности банкиров и обсуждают различные характеристики решений, например. производительность.

Ответ 5

Здесь я подробно объяснил это. Сделайте upvote, если вам нравится blogpost.

В любом случае, если вы не можете найти мой блог, это объяснение.

Его проблема, рекурсивная по своей природе.

По существу для элемента, присутствующего в подмножестве, есть 2 варианта:

1) Он присутствует в наборе

2) В наборе отсутствует.

Вот почему набор из n чисел имеет 2 ^ n подмножеств (2 варианта на элемент)

Ответ 6

Вот простой рекурсивный алгоритм в python для нахождения всех подмножеств множества:

Посмотрите следующее видео из Стэнфорда для приятного объяснения этого алгоритма:

Ответ 7

Вот реализация решения Майкла для любого типа элемента в std::vector.

Ответ 8

Ответ 9

Вот решение в Scala:

Ответ 10

Здесь некоторый псевдокод. Вы можете вырезать одни и те же рекурсивные вызовы, сохраняя значения для каждого вызова по ходу и до того, как рекурсивный вызов проверяет, присутствует ли уже значение вызова.

Следующий алгоритм будет иметь все подмножества, исключающие пустое множество.

Ответ 11

Вот рабочий код, который я написал некоторое время назад

Ответ 12

Внизу с пространственным решением O (n)

Ответ 13

одним простым способом может быть следующий псевдокод:

Ну, я не уверен, что это правильно, но все выглядит нормально.

Ответ 14

вот мое рекурсивное решение.

Ответ 15

простая битовая маска может сделать трюк, как обсуждалось ранее. by rgamber

Ответ 16

Для тех, кому нужна простая реализация с использованием std::vector и std:: set для алгоритма Майкла Боргвардта:

Ответ 17

Этот вопрос старый. Но там простое изящное рекурсивное решение проблемы OP.

Ответ 18

Элегантное рекурсивное решение, которое соответствует объяснению лучшего ответа выше. Основной вектор операции составляет всего 4 строки. Автор книги «Руководство по конкурентному программированию» Лааксонена, Антти.

Источник

Множество и его элементы. Подмножества

Понятие множества

Что такое «множество», мы понимаем интуитивно. В этом смысле это понятие первично, так же как «точка» или «плоскость».

Создатель теории множеств Г.Кантор описывал множество как «многое, мыслимое нами как единое».

Приведём примеры множеств:

Множество людей в салоне самолёта

Множество деревьев в парке

Множество планет Солнечной системы

Множество электронов в атоме

Множество натуральных чисел

Множество «синих-синих презелёных красных шаров»

Конечное, бесконечное и пустое множества

Людей в салоне самолёта легко посчитать, это множество конечно.

С деревьями в парке, планетами и электронами – сложней. Скорее всего, мы не сможем назвать точное количество элементов этих множеств в данный момент времени. Однако, и эти множества конечны.

Натуральное число – это идеальный объект, абстракция. Множество натуральных чисел бесконечно. Как оказалось, человек может оперировать и абстракциями, и бесконечностями.

Можно себе представить даже то, «чего на свете вообще не может быть». Поскольку таких объектов нет, их множество будет пустым. Пустое множество является частью любого другого множества.

Помидоры на грядке

Числа (натуральные, рациональные, действительные и т.д.)

Количество рациональных чисел на отрезке [0;1]

Полосатые летающие слоны

Все точки пересечения двух параллельных прямых на плоскости

Способы задания множеств

1) Перечисление – в списке задаются все элементы множества.

Множество всех континентов Земли:

Множество букв слова «математика»:

Множество натуральных чисел меньших 5:

2) Характеристическое свойство – указывается особенность элементов множества.

D = – множество всех материков планеты Земля

3) Графическое изображение – визуальное моделирование с помощью различных диаграмм (круги Эйлера, интервалы, графики и т.п.)

Подмножества

Говорят, что B содержит A, или B покрывает A.

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Множество людей является подмножеством приматов, живущих на Земле.

Множество квадратов является подмножеством прямоугольников.

Множество всех подмножеств данного множества A называют булеаном или степенью множества A.

Примеры

Пример 1. Запишите данное множество с помощью перечисления элементов:

Задано множество целых чисел, квадрат которых меньше 5. Перечисляем:

Задано множество целых чисел, модуль которых не больше 3. Перечисляем:

Задано множество рациональных чисел, являющихся корнями уравнения

(x-1)(2x+5) = 0. Перечисляем:

Пример 2. Запишите данное множество с помощью характеристического свойства:

а) Множество всех натуральных чисел меньше 10

б) Множество всех действительных чисел, кроме 0

в) Множество всех точек с целыми координатами, принадлежащих прямой y = 2x+1

Пример 3. Изобразите на графике в координатной плоскости данное множество:

Задано конечное множество точек, которое можно представить перечислением:

Пример 4. Укажите и запишите с помощью перечисления одно из непустых конечных подмножеств для данного множества:

Источник