Как посчитать геометрическую прогрессию на калькуляторе

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Сумма геометрической прогрессии.
Дано: b₁, q, n
Найти: S_n

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Числа \( b_1 \) и \( q \) можно задать не только целые, но и дробные.
Число \( n \) может быть только целым положительным.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5 или так 2,5

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

Введите числа b₁, q, n Найти сумму S_n

Немного теории.

Числовая последовательность

В повседневной практике часто используется нумерация различных предметов, чтобы указать порядок их расположения. Например, дома на каждой улице нумеруются. В библиотеке нумеруются читательские абонементы и затем располагаются в порядке присвоенных номеров в специальных картотеках.

Геометрическая прогрессия

Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 4 см. Построим треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. По свойству средней линии треугольника сторона второго треугольника равна 2 см. Продолжая аналогичные построения, получим треугольники со сторонами \( 1, \; \frac<1><2>, \; \frac<1> <4>\) см и т.д. Запишем последовательность длин сторон этих треугольников: \( 4, \; 2, \; 1, \; \frac<1><2>, \; \frac<1><4>, \; \frac<1><8>, \dots \)

В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число \( \frac<1> <2>\)

Из этой формулы следует, что \( \frac< b_>=q \). Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

По определению геометрической прогрессии
\( b_ = b_n q, \quad b_=\frac, \)
откуда
\( b_n^2 = b_b_, \quad n>1 \)

Если все члены геометрической прогрессии положительны, то \( b_n=\sqrtb_> \), т.е. каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «геометрическая» прогрессия.

Отметим, что если b₁ и q заданы, то остальные члены геометрической прогрессии можно вычислить по рекуррентной формуле b_n+1 = b_nq. Однако для больших n это трудоёмко. Обычно пользуются формулой n-го члена.

Вообще,
\( b_n = b_1q^ \)
так как n-й член геометрической прогрессии получается из первого члена умножением (n-1) раз на число q.
Эту формулу называют формулой n-го члена геометрической прогрессии.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Источник

Калькулятор геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия — ненулевая числовая последовательность, образованная в результате умножения каждого последующего члена на заданный коэффициент не равный нулю.

Определение последовательности

Прежде чем разбираться с прогрессией, следует понять определение числовой последовательности и закона, которым она задается. Вспомним натуральный ряд — первую числовую последовательность, которую мы изучаем еще в детском саду. Это целые числа, используемые для пересчета предметов. Начало выглядит так:

Если каждому числу натурального ряда поставить в соответствие другое число, образованное согласно определенной формуле, мы получим новую последовательность:

Число an — общий член последовательности и закон, образующий элементы ряда. Очевидно, что формула задания натурального ряда это просто n. Для последовательности четных чисел каждый элемент и общий член задается формулой 2n, а для нечетных — 2n − 1.

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Рассмотрим для начала арифметическую прогрессию, которая также является числовой последовательностью. Каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, суммированному с постоянным коэффициентом. Формула арифметической прогрессии представляет собой закон:

где a1 — первое число ряда, d — разность прогрессии.

Простыми словами, каждый член прогрессии больше предыдущего на какое-либо число. К примеру, последовательность натуральных чисел является арифметической прогрессией с разностью d = 1.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, каждый последующий член которой равен предыдущему, умноженному на постоянный коэффициент q. Формула такого ряда выглядит как:

где b1 — первый элемент ряда, q — знаменатель прогрессии.

Проще говоря, каждый последующий член прогрессии больше предыдущего в q раз. К примеру, логарифмическая шкала для отображения графика величин на больших промежутках выглядит как:

1, 10, 100, 1000, 10000, 100000.

Очевидно, что каждый последующий элемент больше предыдущего в 10 раз. Кроме того, к геометрическим прогрессиям относятся последовательности квадратных (q = 2) и кубических (q = 3) чисел.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Если знаменатель геометрической прогрессии находится в диапазоне 0

Источник

Геометрическая прогрессия онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сумму первых n членов геометрической прогрессии при разных начальных данных. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которого начиная со второго равен произведению предыдующего числа и некоторого постоянного q.

Из определения следует, что q≠0.

Пусть − геометрическая прогрессия. Тогда частное () при любом n равно одному и тому же числу q. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.

При q>0 все члены геометрической прогрессии имеют тот же знак, что и первый член, а при q 0 и q>1, то (a_n) является возрастающей последовательностью, а при 0 1, то геометрическая прогрессия является убывающей последовательностью, а при 0 Утверждение 1. Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда n— ый член последовательности задана формулой

где c и u некоторые отличные от нуля числа, причем u является знаменателем геометрической прогрессии.

Рассмотрим, далее, свойство геометрической прогрессии. Из определения геометрической прогрессии следует:

,

где отличные от нуля числа. Тогда

, .

Таким образом имеет место следующее свойство:

Свойство 1. Если последовательность является геометрической прогрессией, то квадрат каджого ее члена, начиная со второго равен произведению предыдующего и последующего членов.

Справедливо и обратное:

Свойство 2. Пусть задана последовательность (a_n) с членами, отличными от нуля. Если для членов последовательности (a_n) справедливо равенство , (), то данная последовательность является геометрической прогрессией.

Действительно. Пусть выполнено равенство (4) при любом n, причем отличные от нуля числа. Тогда . Последнее означает, что отношение любого члена последовательности к предыдующему члену равно одному и тому же числу. А это означает, что эта последовательность геометрическая прогрессия.

Равенство (4) равносильно равенству

т.е. модуль любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, есть среднее геометрическое предыдующего и последующего членов.

Из вышеизложенного можно сформулировать необходимое и достаточное для того,чтобы последовательность являлся геометрической прогрессией:

Свойство 3. Числовая последовательность, члены которой отличны от нуля, является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда модуль любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, есть среднее геометрическое предыдующего и последующего членов (или квадрат каджого ее члена, начиная со второго равен произведению предыдующего и последующего членов).

Свойство 3 называется характеристическим свойством геометрической прогрессии. Это свойство объясняет название «геометрическая прогрессия».

Пример 1. Последовательность a_n геометрическая прогрессия. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

Решение. Так как a_n геометрическая прогрессия, то имеет место следующее равенство:

Для последовательности (5) можем записать:

, .

(7)

Из (6) и (7), следует, что

т.е. последовательность (5) является геометрической прогрессией.

Пример 2. Последовательность a_n геометрическая прогрессия. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

Решение. Так как a_n геометрическая прогрессия, то имеет место следующее равенство:

Для последовательности (8) можем записать:

, .

(10)

Из (9) и (10), следует, что

т.е. последовательность (8) является геометрической прогрессией.

Решение. Знаменатель данной геометрической прогрессии равно

n-ый член геометрической прогрессии вычисляется формулой:

Подставим значения первого члена, знаменателя и число 486 в качестве n-го члена в (11):

Рассмотрим, существует ли натуральное число n такое, что выполнено (12). Подставляя n=6, в (12) получим тождество. Следовательно число 486 встречается среди членов геометрической прогрессии.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

В этом параграфе мы выведем формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии. Пусть (a_n) геометрическая прогрессия и пусть q знаменатель этой прогрессии. Обозначим через S_n сумму первых n членов геометрической прогрессии, т.е.

Умножим обе части равенства (13) на q:

Из определения 1 следует:

Тогда, учитывая (15), равенство (14) можно записать так:

Вычтем из (16) равенство (13):

Мы получили формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии для q≠1. Формулу (17) можно записать и в другом виде, учитывая, что :

При q=1 все члены геометрической прогрессии равны первому члену a₁, следовательно, в этом случае

Пример 4. Найти сумму первых n членов геометрической прогрессии, если , , .

Решение. Воспользуемся формулой (17′):

.

Ответ: .

Пример 5. Сколько членов геометрической прогрессии

надо сложить, чтобы полученная сумма была 3066?

Решение. Во первых найдем знаменатель геометрической прогрессии:

Поскольку в данной геометрической прогрессии , то используя формулу для вычисления суммы первых n членов геометрической прогрессии:

, .

Ответ: .

Пример 6. Найти сумму в которых слагаемые составляют геометрическую прогрессию:

Решение. Найдем знаменатель геометрической прогрессии:

Найдем, далее, количество членов в прогрессии (18). Так как

Найдем, наконец, сумму n членов геометрической прогрессии:

.

Ответ: .

Источник

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение геометрической прогрессии.
Дано: b₁, q, n
Найти: b_n и первых n членов.

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Числа \( b_1\) и \( q \) можно задать не только целые, но и дробные.
Число \( n\) может быть только целое положительное.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5 или так 2,5

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

Немного теории.

Числовая последовательность

В повседневной практике часто используется нумерация различных предметов, чтобы указать порядок их расположения. Например, дома на каждой улице нумеруются. В библиотеке нумеруются читательские абонементы и затем располагаются в порядке присвоенных номеров в специальных картотеках.

Геометрическая прогрессия

Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 4 см. Построим треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. По свойству средней линии треугольника сторона второго треугольника равна 2 см. Продолжая аналогичные построения, получим треугольники со сторонами \( 1, \; \frac<1><2>, \; \frac<1> <4>\) см и т.д. Запишем последовательность длин сторон этих треугольников: \( 4, \; 2, \; 1, \; \frac<1><2>, \; \frac<1><4>, \; \frac<1><8>, \dots \)

В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число \( \frac<1> <2>\)

Из этой формулы следует, что \( \frac< b_>=q \). Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

По определению геометрической прогрессии
\( b_ = b_n q, \quad b_=\frac, \)
откуда
\( b_n^2 = b_b_, \quad n>1 \)

Если все члены геометрической прогрессии положительны, то \( b_n=\sqrtb_> \), т.е. каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «геометрическая» прогрессия.

Отметим, что если b₁ и q заданы, то остальные члены геометрической прогрессии можно вычислить по рекуррентной формуле b_n+1 = b_nq. Однако для больших n это трудоёмко. Обычно пользуются формулой n-го члена.

Вообще,
\( b_n = b_1q^ \)
так как n-й член геометрической прогрессии получается из первого члена умножением (n-1) раз на число q.
Эту формулу называют формулой n-го члена геометрической прогрессии.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Источник

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение геометрической прогрессии.
Дано: b₁, b_n, q
Найти: n

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Числа \( b_1, b_n \) и \( q \) можно задать не только целые, но и дробные.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5 или так 2,5

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

Введите числа b₁, b_n, q Найти число n

Немного теории.

Числовая последовательность

В повседневной практике часто используется нумерация различных предметов, чтобы указать порядок их расположения. Например, дома на каждой улице нумеруются. В библиотеке нумеруются читательские абонементы и затем располагаются в порядке присвоенных номеров в специальных картотеках.

Геометрическая прогрессия

Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 4 см. Построим треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. По свойству средней линии треугольника сторона второго треугольника равна 2 см. Продолжая аналогичные построения, получим треугольники со сторонами \( 1, \; \frac<1><2>, \; \frac<1> <4>\) см и т.д. Запишем последовательность длин сторон этих треугольников: \( 4, \; 2, \; 1, \; \frac<1><2>, \; \frac<1><4>, \; \frac<1><8>, \dots \)

В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число \( \frac<1> <2>\)

Из этой формулы следует, что \( \frac< b_>=q \). Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

По определению геометрической прогрессии
\( b_ = b_n q, \quad b_=\frac, \)
откуда
\( b_n^2 = b_b_, \quad n>1 \)

Если все члены геометрической прогрессии положительны, то \( b_n=\sqrtb_> \), т.е. каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «геометрическая» прогрессия.

Отметим, что если b₁ и q заданы, то остальные члены геометрической прогрессии можно вычислить по рекуррентной формуле b_n+1 = b_nq. Однако для больших n это трудоёмко. Обычно пользуются формулой n-го члена.

Вообще,
\( b_n = b_1q^ \)
так как n-й член геометрической прогрессии получается из первого члена умножением (n-1) раз на число q.
Эту формулу называют формулой n-го члена геометрической прогрессии.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Источник