делители нуля в поле
Делители нуля в поле
Теорема 1. Поле не имеет делителя нуля (определение 2), т. е. если ab = 0, то либо a = 0, либо b = 0.
Итак, поле является кольцом без делителей нуля. Утверждение, обратное этому, вообще неверно: существуют кольца без делителей нуля (например, кольцо целых чисел), не являющиеся полями. Однако для конечных колец обратная теорема также верна. А именно:
Теорема 2. Всякое конечное кольцо без делителей нуля, содержащее более одного элемента, является полем.
Доказательство. Достаточно проверить свойство VII. Пусть a ≠ 0. Каждому элементу x кольца поставим в соответствие элемент y = ax. Если x1 ≠ x2, то также y1 ≠ xy, т. к. иначе ax1 = ax2 и x1 = x2 (теорема 2). Значит, x → y есть взаимно однозначное отображение всего кольца R на некоторое его подмножество M, т. е. R
M. Но по теореме 1 конечное множество R не равномощно своему собственному подмножеству. Поэтому R = M, т. е. для любого элемента 
существует в R элемент q такой, что q → b, т. е. aq = b, что и доказывает VII.
Для частного элементов любого поля верны те же правила оперирования, что и для обыкновенных дробей.
Теорема 3. (Свойства частного)
а) Если b ≠ 0, d ≠ 0, то 
тогда и только тогда, когда ad = bc;
б) Если b ≠ 0, d ≠ 0, то 
;
в) Если b ≠ 0, d ≠ 0, то 
;
г) Если b ≠ 0, с ≠ 0, d ≠ 0, то 
.
Кольца, тела, поля
Определение 2.5. Кольцом называют алгебру сигнатура которой состоит из двух бинарных и двух нульарных операций, причем для любых выполняются равенства:
Операцию называют сложением кольца, операцию умножением кольца, элемент — нулем кольца, элемент — единицей кольца.
Равенства 1–7, указанные в определении, называют аксиомами кольца. Рассмотрим эти равенства с точки зрения понятия группы и моноида.
Связь между сложением кольца и умножением кольца устанавливает аксиома 7, согласно которой операция умножения дистрибутивна относительно операции сложения.
Замечание 2.2. В литературе встречается иной состав аксиом кольца, относящихся к умножению. Так, могут отсутствовать аксиома 6 (в кольце нет 1) и аксиома 5 (умножение не ассоциативно). В этом случае выделяют ассоциативные кольца (к аксиомам кольца добавляют требование ассоциативности умножения) и кольца с единицей. В последнем случае добавляются требования ассоциативности умножения и существования единицы.
Определение 2.6. Кольцо называют коммутативным, если его операция умножения коммутативна.
Пример 2.12. а. Алгебра есть коммутативное кольцо. Отметим, что алгебра кольцом не будет, поскольку — коммутативный моноид, но не группа.
в. Алгебра — коммутативное кольцо, что следует из свойств пересечения и симметрической разности множеств.
г. Пример некоммутативного кольца дает множество всех квадратных матриц фиксированного порядка с операциями сложения и умножения матриц. Единицей этого кольца является единичная матрица, а нулем — нулевая.
д. Пусть — линейное пространство. Рассмотрим множество всех линейных операторов, действующих в этом пространстве.
Основные аксиомы и тождества кольца
Аксиомы кольца называют также основными тождествами кольца. Тождество кольца — это равенство, справедливость которого сохраняется при подстановке вместо фигурирующих в нем переменных любых элементов кольца. Основные тождества постулируются, и из них затем могут быть выведены как следствия другие тождества. Рассмотрим некоторые из них.
Напомним, что аддитивная группа кольца коммутативна и в ней определена операция вычитания.
Теорема 2.8. В любом кольце выполняются следующие тождества:
Докажем третью пару тождеств. Рассмотрим первое из них. С учетом доказанного выше имеем
т.е. тождество справедливо. Второе тождество этой пары доказывается аналогично.
Первые два тождества из доказанных в теореме 2.8 выражают свойство, называемое аннулирующим свойством нуля в кольце. Третья же пара тождеств указанной теоремы выражает свойство дистрибутивности операции умножения кольца относительно операции вычитания. Таким образом, производя вычисления в любом кольце, можно раскрывать скобки и менять знаки так же, как и при сложении, вычитании и умножении действительных чисел.
Кольца и делители нуля
При отличных от нуля и приведенные матрицы являются делителями нуля.
Если в кольце имеются делители нуля, то подмножество всех ненулевых элементов кольца не образует группы по умножению уже хотя бы потому, что это подмножество не замкнуто относительно операции умножения, т.е. существуют ненулевые элементы, произведение которых равно нулю.
Кольцо, в котором множество всех ненулевых элементов по умножению образует группу, называют телом, коммутативное тело — полем, а группу ненулевых элементов тела (поля) по умножению — мультипликативной группой этого тела (поля). Согласно определению, поле есть частный случай кольца, в котором операции обладают дополнительными свойствами. Выпишем все свойства, выполнение которых требуется для операций поля. Их еще называют аксиомами поля.
б. Алгебры и есть поля, называемые полями действительных и комплексных чисел соответственно.
в. Примером тела, не являющегося полем, может служить алгебра кватернион.
Итак, мы видим, что известным законам сложения и умножения чисел соответствуют аксиомы поля. Занимаясь числовыми расчетами, мы «работаем в полях», а именно имеем дело преимущественно с полями рациональных и вещественных чисел, иногда «переселяемся» в поле комплексных чисел.
Делители нуля
В абстрактной алгебре, ненулевой элемент a кольца называется левым делителем нуля, если существует ненулевое b такое, что ab = 0.
Правый делитель нуля определяется аналогично: ненулевой элемент a кольца является правым делителем нуля, если существует ненулевое b такое, что ba = 0.
Элемент, который является и правым и левым делителем нуля одновременно называется делителем нуля. Если умножение в кольце коммутативно тогда правые и левые делители совпадают. Ненулевые элементы кольца, которые не являются ни правыми, ни левыми делителями нуля называются обычными элементами.
Пример: в кольце 
элементы 2, 3, 4 — делители нуля.
Ассоциативное и коммутативное кольцо с единицей 
без делителей нуля называется областью целостности.
Внешние ссылки
Смотреть что такое «Делители нуля» в других словарях:
Делитель нуля — В абстрактной алгебре ненулевой элемент a кольца называется левым делителем нуля, если существует ненулевое b такое, что ab = 0. Аналогично, ненулевой элемент a кольца является правым делителем нуля, если существует ненулевое b такое, что ba = 0 … Википедия
АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ — (общая алгебра), раздел современной математики, выросший из исследования уравнений и теории чисел. Свою теперешнюю форму абстрактная алгебра начала приобретать лишь в двадцатом веке. Занимается главным образом изучением систем, элементы которых… … Энциклопедия Кольера
ДВОЙНЫЕ И ДУАЛЬНЫЕ ЧИСЛА — гиперкомплексные числа вида a+bе, где аи b действительные числа, и для двойных чисел е 2= + 1, а для дуальных чисел е 2=0. Сложение Д. и д. ч. определяется формулой Умножение двойных чисел производится по формуле а дуальных чисел по формуле… … Математическая энциклопедия
Двойные числа — О гиперкомплексных числах параболического типа см. дуальные числа Двойные числа или паракомплексные числа, расщепляемые комплексные числа, комплексные числа гиперболического типа гиперкомплексные числа вида « », где и вещественные… … Википедия
Процедура Кэли — Диксона (процедура удвоения) это рекурсивная процедура построения алгебр над полем вещественных чисел, с удвоением размерности на каждом шагу. Названа в честь Артура Кэли и Леонарда Диксона. Эта процедура позволяет построить комплексные числа,… … Википедия
АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ — Альтернативным кольцом (А. к.) наз. кольцо, в к ром каждые два элемента порождают ассоциативное подкольцо; альтернативной алгеброй (А. а.) наз. линейная алгебра, являющаяся А. к. Согласно теореме Артина класс всех А. к. задается системой тождеств … Математическая энциклопедия
АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ — кольца и алгебры с ассоциативным умножением, т. е. множества с двумя бинарными операциями сложением + и умножением Х, являющиеся абелевой группой по сложению и полугруппой по умножению, причем умножение дистрибутивно (слева и справа) относительно … Математическая энциклопедия
ВИТТА КОЛЬЦО — поля k, кольцо типов квадратичных форм над k, кольцо W(k).классов невырожденных квадратичных форм на конечномерных векторных пространствах над kпо следующему отношению эквивалентности: форма f1 эквивалентна форме тогда и только тогда, когда для… … Математическая энциклопедия
ГРУППОВАЯ АЛГЕБРА — группы G над полем K ассоциативная алгебра над полем К, элементами к рой являются всевозможные формальные конечные суммы вида а операции определяются формулами: (в правой части второй формулы сумма также конечна). Эта алгебра обозначается… … Математическая энциклопедия
Геометрия и алгебра (теория колец и полей)
Для просмотра формул ваш браузер должен поддерживать MathML.
| Объявления | Последний пост | |
|---|---|---|
 | Разделу «Задачки и головоломки» исполнилось два года | 21.08.2021 01:51 |
| Преподаватель из Тайваня выкладывает на Pornhub лекции по математике и их смотрят тысячи людей | 27.09.2021 00:12 |
| Postdoc: Stochastics and algorithmics behind network problems (Netherlands) | 08.10.2021 08:36 |
Конечно, поле не может иметь делителей нуля, но не всякое коммутативное ассоциативное кольцо с единицей без делителей нуля является полем. В качестве примера можно взять кольцо целых чисел (в нем нет обратимых элементов, кроме единицы).
Редактировалось 1 раз(а). Последний 04.12.2011 20:15.
Возможно я действительно понял что то не так. Вот сама теорема и доказательство необходимости.
Достаточность предлагается доказать самостоятельно. В процессе множественных попыток все доказательства сводились к тому что необходимо доказать принадлежность обратного элемента к этому кольцу.
Делители нуля в поле
1.1.6. Пространство делителей нуля. Геометрическая иллюстрация.
Преобразуем аргумент a комплекса v в формуле (1.5.), Положим
Далее,
, равного корню из нуля. Эта ось содержит в себе изолированное направление ± arc tg i, согласно формулам (1.5.), (1.8.).
