магические квадраты что это такое
Магические квадраты что это такое
« Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некото рыми планетными, а другими – магическими».
Квадраты, всем знакомое слово, а «МАГИЧЕСКИЕ» КВАДРАТЫ.… От этого словосочетания сразу веет волшебством. На занятиях по внеурочной деятельности мы часто выполняем задания необычного характера. Одним из таких заданий, это заполнение «магических» квадратов. Само название «магические» квадраты очень привлекает. Заполняя такие квадраты, думаешь, что действительно, присутствует какая-то магия. А однажды учитель предложил нам самим составить подобное задание для ребят младших классов. Но эта работа оказалась не такой простой, как нам показалось на первый взгляд. Нас заинтересовала предложенная задача. Метод перебора нам не понравился: он отнимает очень много времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Это вызвало у нас желание заняться исследовательской работой, чтобы раскрыть секреты и найти способы составления магических квадратов.
Объект проекта: «магический» квадрат.
Цель проекта: раскрыть «секреты» «магического» квадрата.
1) познакомиться с историей появления «магических» квадратов;
2) выяснить виды «магических» квадратов и способы их заполнения;
3) выявить области применения магических квадратов;
4) провести анкетирование и выполнить его анализ;
4) составить самостоятельно «магические» квадраты разных порядков;
5) создать брошюру «магических» квадратов.
Гипотеза: для заполнения магического квадрата существуют специальные приемы, позволяющие это сделать быстро и разнообразно.
Для решения задач проекта мы использовали следующие методы:
— анализ литературы и Интернет-ресурсов по проблеме; анкетирование.
Что такое «магический» квадрат.
Магический квадрат – квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.
1.2 ИСТОРИЯ ПОЯВЛЕНИЯ «МАГИЧЕСКИХ» КВАДРАТОВ.
Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные… Привлекающие естественной красотой, напол ненные внутренней гармонией, доступные, но по- прежнему непостижимые, скрывающие за кажу щейся простотой множество тайн… Знакомьтесь: магические квадраты – удивительные представи тели воображаемого мира чисел.
Понятием «магия» принято считать различные человеческие действия, которые имеют целью влиять сверхъестественным образом на тот или иной материальный предмет или явление.
Числовую фигуру обычно называют магической, если составляющие ее числа не повторяются и при определенных взаимных сочетаниях дают заранее задуманный составителем результат.
Наверное, одной из первых известных человечеству магических фигур является магический квадрат. Он встречаются в культуре, истории, верованиях и в различных мистических учениях многих народов.
Страна, в которой был впервые придуман магический квадрат, точно неизвестна, неизвестен век, даже тысячелетие нельзя установить точно. Вероятно, самым «старым» из дошедших до нас магических квадратов является таблица Ло Шу (ок. 2200 г. до н. э.). Она имеет размер 3×3 и заполнена натуральными числами от 1 до 9. В этом квадрате сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна 15 (рис. 1). Согласно одной из легенд, прообразом Ло Шу стал узор из связанных черных и белых точек, украшавший панцирь огромной черепахи, которую встретил однажды на берегу реки Ло-Шуй мифический прародитель китайской цивилизации Фуси.
Жители Поднебесной считали таблицу Ло Шу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов большего размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя.
Рис.1 Таблица Ло Шу
В XI в. Из Китая магические квадраты распространились сначала в Индию, затем в Японию. Из Индии увлечение магическими квадратами перешло к арабам. Именно от арабов квадраты получили название «магические».
На востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами, и использовали при заклинаниях. Магические квадраты находят при раскопках поселений Золотой Орды (рис. 2), в Китае, Индии и Тибете, в Израиле, Турции и во всех странах Европы.
Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А. Дюрера, изображенный на его знаменитой гравюре «Меланхолия» (рис. 3).
Дата создания гравюры – 1514 год – указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки.
В западной Европе в средние века магические квадраты были достоянием представителей алхимии и астрологии. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы (рис. 4)
Получение магических квадратов было популярным развлечением среди математиков, создавались огромные квадраты, например, 43*43, содержащий числа от 1 до 1849, причем обладающие помимо указанных свойств магических квадратов, еще многими дополнительными свойствами. Были придуманы способы построения магических квадратов любого размера, однако до сих пор не найдена формула, по которой можно было бы найти количество магических квадратов данного размера.
В IX и XX вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры.
Глава II . СПОСОБЫ СОСТАВЛЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ.
2.1 Индийский способ
Общий метод построения квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные частные алгоритмы. Некоторые из них я представляю ниже.
Один из существующих способов сравнительно несложен весьма древний прием, придуманный в Индии еще до начала нашего летосчисления. Его можно изложить кратко в шести правилах. Пример магического квадрата из 49 клеток. (рис.5)
1. В середине верхней строки пишут 1, а в самом низу соседнего справа столбца – 2.
2. Следующие числа пишутся по порядку в диагональном направлении вправо вверх.
3. Дойдя до правого края квадрата, переходя к крайней левой клетке ближайшей вышележащей строки.
4. Дойдя до верхнего края квадрата, переходят к самой нижней клетке соседнего справа столбца.
Примечание. Дойдя до правой верхней угловой клетки, переходят к левой нижней.
5. Дойдя до уже занятой клетки, переходят к клетке, лежащей непосредственно под последней заполненной клеткой.
6. Если последняя заполненная клетка находится в нижнем ряду квадрата, переходят к самой верхней клетке в том же столбце.
Руководясь этими правилами, можно быстро составлять магические квадраты с любым нечетным числом клеток.
Если число клеток не делится на 3, можно начинать составление магического квадрата не по правилу 1, а по другому правилу.
Единицу можно написать в любой клетке диагонального ряда, идущего от средней клетки крайнего левого столбца к средней клетке самой верхней строки квадрата. Все последующие числа вписываются согласно правилам 2 – 5.
Это дает возможность составить по индийскому способу не один, а несколько квадратов.
Индийский способ, это не единственный для составления квадратов с нечётным количеством клеток. Существует ещё способ Баше, или, как его иначе называют, «способ террас». Старинный прием составления нечетных магических квадратов, то есть квадратов из любого нечетного числа клеток: 3х3, 5х5, 7х7 и т.п. Прием этот предложен в XVII веке французским математиком Баше. Так как способ Баше пригоден и для 9- клеточного квадрата, то удобнее всего начать исследование способа именно с этого примера. Итак, приступим к составлению 9- клеточного магического квадрата по способу Баше.
— начертив квадрат, разграфленный на девять клеток, пишем по порядку числа от 1 до 9, располагая их косыми рядами по три в ряд;
— числа, стоящие вне квадрата, вписываем внутрь его так, чтобы они примкнули к противолежащим сторонам квадрата (оставаясь в тех же столбцах или строках, что и раньше). В результате получаем квадрат;
— применим правило Баше к составлению квадрата из 5х5 клеток. Квадрат состоит из 25 клеток. Сумма всех 25 чисел равна 325. Теперь 325 разделить на количество строк (325:5=65), получим 65, т.е. сумма чисел по любому направлению квадрата должна равняться 65. Начинаем с расположения чисел. Остается только числа, оказавшиеся за рамками квадрата, ввести внутрь его. Для этого нужно фигуры, образованные числами, стоящими вне квадрата («террасы»), мысленно вдвинуть в квадрат так, чтобы эти фигуры примкнули к противолежащим сторонам квадрата. Получится магический 25- клеточный квадрат (рис. 6).
2.3 «МАГИЧЕСКИЙ» КВАДРАТ ПИФАГОРА
Пифагор – математик, заложивший основы нумерологии. Учёный верил, что миром правят числа. Даже человеческая сущность зависит от них, ведь дата рождения, не что иное, как число.
Магический квадрат Пифагора – фигура третьего порядка, клетки которой заполнены числами от 1 до 9. Он делится на три уровня: материальный, души и разума.
Цифры даты рождения вписываются в определённом порядке. Полученная комбинация рассказывает о заложенных природой способностях человека.
ГЛАВА III . ПРИМЕНЕНИЕ «МАГИЧЕСКИХ» КВАДРАТОВ.
Магические квадраты могут быть применимы в криптографии. Они позволяют создать алгоритм перевода зашифрованного текста в изображение и наоборот. Буквы сообщения расставляются в порядке, заданном магическим квадратом. Затем каждой букве сообщения ставится в соответствие цвет, тем самым в итоге получается изображение. Для того чтобы расшифровать такое сообщение, необходимо проделать обратную процедуру: вначале каждому цвету поставить в соответствие букву алфавита, а затем осуществить обратную перестановку, заданную исходным магическим квадратом. Весь описанный алгоритм реализовывает большой объем информации, а «магические» квадраты дают надежную защиту исходного открытого текста от взлома. Одним из перспективных направлений изучения применения «магических» квадратов является создание телевизоров, изображение для которых формируется по принципу «магического квадрата». Магические квадраты применяются в технологиях создания телевизоров, что позволяет обеспечить плавные цветовые переходы, полностью устраняя видимые границы на больших однотонных полях изображения.
Конечно, одно из самых доступных применений «магических» квадратов, это на уроках и внеурочной деятельности по математике. Тема математических квадратов – один из традиционных разделов занимательной математики, представляющий любознательному читателю как красивые конструкции, так и серьёзные нерешенные проблемы. Решение и составление таких квадратов развивает и расширяет познавательный кругозор и логическое мышление
Глава IV . ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.
4.1 МЕСТО «МАГИЧЕСКИХ» КВАДРАТОВ В ЖИЗНИ МОИХ СВЕРСТНИКОВ
Для того, чтобы выяснить, знают ли современные школьники что такое «магические» квадраты, мы провели опрос среди обучающихся 6-7 классов (31 человек) (приложение 2) и получили следующие данные.
Анализ анкет показал, что ребята довольно мало интересуется решением занимательных задач и редко обращается к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.
Мои «магические» квадраты: 3х3, 5х5, 7х7.
Образец 1.»Магический» квадрат 3х3
Магические квадраты что это такое
Предмет математики настолько серьезен, что нужно не упускать случая делать его немного занимательным.
§ 1. Магические квадраты. Исторические сведения
Среди различных занимательных вопросов теории чисел одним из интереснейших являются вопросы, связанные с магическими (волшебными) квадратами.
Тайна древнего талисмана
Еще до своего появления в Европе они существовали века и десятки веков. Неизвестно, какая из древних цивилизаций была их родиной, неизвестна страна, неизвестен век, даже тысячелетие нельзя установить точно. Известно только, что эти талисманы появились до нашей эры и что их родиной был Древний Восток.
С незапамятных времен, научившись считать, люди познали меру количества – число. Вглядываясь в сочетания чисел, они с изумлением увидели, что числа имеют какую-то самостоятельную жизнь, удивительную и полную тайны; тайны необъяснимой и поэтому загадочной и многозначительной.
Оказалось, что, складывая различные числа, можно получить одно и то же число. Оказалось также, что, располагая эти числа правильными рядами, один под другим, в случае удачи, можно, складывая числа слева направо и сверху вниз, каждый раз получать одно и то же число. Наконец, кто-то придумал разделить числа линиями так, что каждое число оказалось в отдельной клетке. Так посвященные увидели квадрат, населенный числами, неизвестно что сулящий его владельцу, но, конечно, обладающий магической силой. Квадрат можно было резцом высечь на камне, тростниковым камышом написать на пергаменте, кончиком кисти, смоченным в растертой туши, нарисовать на бумаге, рыхлой и слабой.
Квадрат можно было продать верующим. Зашитый в ладанку, он становился амулетом и (конечно!) защитой его владельца от всякого зла.
В Китае квадрат 3х 3 называют Ло-Шу. И по сей день его можно увидеть на амулетах, которые носят в Восточной Азии и в Индии, и на многих пассажирских судах, где он украшает крышки столиков для карточных игр.
Некоторые представления о том, каких фантастических размеров достигали сочинения о магических квадратах (предмете, не имеющем сколько-нибудь принципиального значения), можно получить из того факта, что французский трактат на эту тему, выпущенный в 1838 году, когда о магических квадратах было известно намного меньше, чем теперь, вышел в трех объемистых томах.
С давних времен и поныне исследование магических квадратов процветало как своеобразный культ, часто не без мистического тумана. Среди лиц, занимавшихся их изучением, были и известные математики, как Артур Кели и Освальд Веблен, Леонард Эйлер и такие любители, как, например, Бенджамин Франклин.
Магический квадрат – это квадрат, разделенный на клетки (их количество одинаково по горизонтали и вертикали). Клетки заполнены числами от 1 до n 2 (n – порядок квадрата, то есть количество клеток по горизонтали или по вертикали) так, что сумма чисел во всех горизонтальных, вертикальных рядах и на главных диагоналях равна одному и тому же числу. Это число называется магической суммой (постоянной) квадрата и вычисляется по формуле:
Магических квадратов порядка 2 не существует, а порядка 3 существует только один (если не считать магических квадратов, получающихся из него при поворотах и отражениях), постоянная которого равна 15.
Как только переходим к порядку 4, сложность магических квадратов резко возрастает. Если и на этот раз не считать различными квадраты, которые можно перевести друг в друга поворотами и отражениями, то различных магических квадратов будет ровно 880 типов, причем многие из них будут даже «более магическими», чем это требуется по определению магического квадрата.
В начале XVI века магический квадрат был увековечен в искусстве. Знаменитый немецкий художник и гравер Альбрехт Дюрер выпустил в 1514 году гравюру, названную им «Меланхолия». На заднем плане гравюры, над фигурой крылатой женщины в одежде горожанки, помещен магический квадрат четвертого порядка.
Во времена Дюрера меланхолический темперамент считался свойственным творческому гению, он был уделом ученых мужей, «чья бледность – печать глубокой мысли». Прекрасная женщина Меланхолия на гравюре Дюрера, возможно, олицетворяет гений человеческой мысли, человеческого труда. Именно ему (гению) угрожает планета меланхоликов Сатурн.
Астрологи эпохи Возрождения связывали магические квадраты четвертого порядка с Юпитером. Такие квадраты считались действенным средством от меланхолии (поскольку Юпитер и Сатурн, если верить астрологам, враждовали между собой).
Вот поэтому в правом верхнем углу гравюры Дюрера изображен магический квадрат именно четвертого порядка.
Дюреровский квадрат симметричен, так как сумма любых двух входящих в него чисел, расположенных симметрично относительно его центра, равна 17.
Способ построения симметричных квадратов очень прост: вписать по порядку числа от 1 до 16 в клетки квадрата 4 ´ 4, а затем поменять местами числа, расположенные на главных диагоналях, относительно центра, и симметричный квадрат готов.
Дюрер переставил у своего квадрата два соседних столбца (что не повлияло на свойства квадрата) так, что числа в двух средних клетках нижней строки стали указывать дату создания гравюры: 1514.
Древнейший из дошедших до нас квадратов четвертого порядка был обнаружен в надписи XI или XII века, найденной в Кхадружен (Индия). Этот магический квадрат относится к разновидности так называемых «дьявольских» квадратов.
Так что же определяет интерес к магическим квадратам в наше время?
А. Обри: «. ценность теории определяется не только возможностью ее практического использования, для которого она разработана, но также ее способностью воспитывать наш ум, доставлять ему питание, поддерживающее его жизнь, везде отыскивать новые истины и выяснять их значение без помощи извне. С этой точки зрения изучение магических квадратов, не требуя глубоких знаний, представляет собой превосходную умственную гимнастику, развивающую способность понимать идеи разрешения, сочетания, симметрии, обобщения и т. д. Можно сказать, что эта умственная гимнастика включает такие теоретические построения, занимаясь которыми упражняется ум.
§ 2. Классические алгоритмические методы построения магических квадратов
2.1. Индийский метод построения магических квадратов нечетного порядка
На рисунке изображен магический квадрат третьего порядка. Для ясности на этом рисунке заполнены также некоторые клетки вне основного квадрата.
МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ
Полезное
Смотреть что такое «МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ» в других словарях:
МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ — квадрат, разделенный на равное число n столбцов и строк, со вписанными в полученные клетки первыми n2 натуральными числами, которые дают в сумме по каждому столбцу, каждой строке и двум большим диагоналям одно и то же число … Большой Энциклопедический словарь
МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ — МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ, квадратная МАТРИЦА, разделенная на клетки и заполненная числами или буквами определенным образом, фиксирующим особую магическую ситуацию. Самый распространенный квадрат с буквами это SATOR, составленный из слов SATOR, AREPO,… … Научно-технический энциклопедический словарь
МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ — квадрат, разделённый на равное число п столбцов и строк, со вписанными в полученные клетки натуральными числами от 1 до п2, к рые дают в сумме по каждому столбцу, каждой строке и двум большим диагоналям одно и то же число. На рис. пример М. к. с… … Естествознание. Энциклопедический словарь
магический квадрат — квадрат, разделённый на равное число n столбцов и строк, со вписанными в полученные клетки первыми n2 натуральными числами, которые дают в сумме по каждому столбцу, каждой строке и двум большим диагоналям одно и то же число. На рисунке пример… … Энциклопедический словарь
Магический квадрат — квадрат, разделённый на равное число n столбцов и строк, со вписанными в полученные клетки первыми n2 натуральными числами, которые дают в сумме по каждому столбцу, каждой строке и двум большим диагоналям одно и то же число [равное, как… … Большая советская энциклопедия
МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ — квадратная таблица целых чисел от 1 до n2, удовлетворяющая следующим условиям: где s=n(n2+1)/2. Рассматриваются также более общие М. к., в к рых не требуется, чтобы Любое число а, однозначно характеризуется парой вычетов (a, b)по модулю п(цифрами … Математическая энциклопедия
Магический квадрат — Книжн. Квадрат, разделённый на части, в каждую из которых вписана цифра, дающая в сумме вместе с другими по горизонтали, вертикали или диагонали одно и то же число. БТС, 512 … Большой словарь русских поговорок
МАГИЧЕСКИЙ — (греч. magikos, от magos маг). Волшебный, к магии относящийся. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. МАГИЧЕСКИЙ волшебный. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Павленков Ф., 1907 … Словарь иностранных слов русского языка
Магический куб — является трёхмерной версией магического квадрата. Традиционным (классическим) магическим кубом порядка n называется куб размерами n×n×n, заполненный различными натуральными числами от 1 до n3 так, что суммы чисел в любом из 3n2 рядов,… … Википедия
Как решить магический квадрат: учимся решать одну из древнейших задач
Магический квадрат представляет собой квадратную таблицу с числами, построенную так, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и в каждой диагонали равна одному и тому же числу (магическая сумма). Магические квадраты бывают разных порядков — порядок квадрата определяет число столбцов/строк. Как рассчитать и решать магические квадраты?
История
Археологи нашли свидетельства того, что волшебные таблицы были известны еще древним грекам и китайцам. «Магическими» эти фигуры назвали арабы, которые наделяли их сверхъестественными защитными свойствами.
В середине XVI в. европейские математики занялись исследованиями загадочных таблиц, положив начало их новой жизни. Они искали общий метод построения магических квадратов и пытались описать все возможные их варианты.
На уроках математики в школе
Решение магических квадратов на уроках математики и внеклассных занятиях вызывает интерес, способствует развитию мышления. Дети учатся планировать и контролировать свою работу. В клетки магических квадратов можно записывать не только числа, но и выражения. Все зависит от изучаемой темы. Задания с магическими квадратами часто дают как дополнительные или олимпиадные уже в начальной школе.
Один из способов решения магического квадрата
Нетрудно решить магический квадрат третьего порядка (у которого по три столбца и строки). Можно воспользоваться тем фактом, что число (выражение), стоящее на пересечении его диагоналей, всегда равно ⅓ волшебной суммы. Отсюда следует алгоритм построения:
Смотрите также:
Как рассчитать магический квадрат Пифагора самому?
Пифагор — математик, заложивший основы нумерологии. Ученый верил, что миром правят числа. Даже человеческая сущность зависит от них, ведь дата рождения не что иное, как число.
Магический квадрат Пифагора — фигура третьего порядка, клетки которой заполнены числами от 1 до 9. Он делится на 3 уровня: материальный, души и разума.
Цифры даты рождения вписываются в определенном порядке. Полученная комбинация рассказывает о заложенных природой способностях человека.
Материал может быть использован на занятии математического кружка, на внеклассном мероприятии. Цель — развить и расширить познавательный кругозор и логическое мышление.
Решаем магический квадрат Пифагора: пример
Дата рождения: 17.09.2005 г. Складываем эти цифры, не учитывая нули: 1 + 7 + 9 + 2 + 5 = 24. Аналогично поступаем с цифрами результата: 2 + 4 = 6.
Цифры вписываем в магический квадрат так, чтобы все единицы оказались в первой клеточке, двойки — во второй и так далее. Нули не учитываем.
Клетка 1 – волевые качества, эгоизм.
Очень эгоистичные люди.
Эгоизм — яркая, но не преобладающая черта характера.
Спокойные, покладистые люди.
Сильный, волевой человек.
Люди с замашками диктатора.
Клетка 2 — биоэнергетика.
Воспитанность, природное благородство.
Люди с повышенной чувствительностью к атмосферным изменениям.
Человек с хорошим запасом биоэнергетики.
Клетка 3 — организованность, любовь к точности, конкретности, скрупулезность, скупость.
Чем больше троек, тем сильнее выражены вышеперечисленные качества.
Клетка 4 — здоровье.
Среднее, требуется закаливание.
Очень крепкое здоровье.
Клетка 5 — интуиция, экстрасенсорные способности
Чем больше пятерок, тем более выражена связь с космосом.
Клетка 6 — материализм.
Люди с неординарным воображением, которым необходим физический труд.
Могут посвятить время и творчеству, и точным наукам. Физические нагрузки обязательны.
Заземленные личности, тянущиеся к физическому труду.
Очень много заземленности.
Чем больше семерок, тем талантливее человек.
Клетка 8 — судьба, отношение к обязанностям.
Люди, которые всегда спешат помочь другим.
Признак служения народу.
Клетка 9 — умственные способности
Полное отсутствие девяток означает очень низкий уровень умственной деятельности. Чем больше количество девяток, тем умнее человек.
Задачи на составление магических квадратов часто включаются в сборники нестандартных заданий. Они встречаются на олимпиадах. Увлеченным математикой школьникам будет полезно узнать об этом классе задач.
Об авторе: Филиппова Оксана, учитель математики, физики и информатики.
Спасибо за Вашу оценку. Если хотите, чтобы Ваше имя
стало известно автору, войдите на сайт как пользователь
и нажмите Спасибо еще раз. Ваше имя появится на этой стрнице.
Понравился материал?
Хотите прочитать позже?
Сохраните на своей стене и
поделитесь с друзьями
Вы можете разместить на своём сайте анонс статьи со ссылкой на её полный текст
Ошибка в тексте? Мы очень сожалеем,
что допустили ее. Пожалуйста, выделите ее
и нажмите на клавиатуре CTRL + ENTER.
Кстати, такая возможность есть
на всех страницах нашего сайта
