логарифмы для чего они нужны в жизни человека
Логарифмы для чего они нужны в жизни человека
d10 = 2 * math.pi * a**2
print(‘площадь поверхности рассматриваемой планеты равна ‘, d11).
Правдивость данной расчетной программы была проверена на примере планеты Венеры путем ввода в программу ее данных. Программа показала высокую точность и верность вычислений (см. приложение 2 )
Формулы помогают нам найти нужные значения, но для полного понимания сути существования логарифмов следует найти и изучить более наглядный материал. Навигация для этого самый лучший вариант.
Локсодромия – линия на сфере, которая пересекает под одинаковым углом меридианы. Другими словами это кривая, в каждой точке имеющая путевой угол
С использованием в навигации магнитных компасов стало зарождаться понятие локсодромии. Простой пример: самолет летит с постоянным курсом относительно меридиана, над которым пролетает, и если магнитное склонение нулевое и нет ветра, то самолет в этой ситуации осуществляет движение по линии локсодромии.
По определению локсодромии можно понять, что она представляет собой логарифмическую спираль на сфере, которая асимптотически приближается к полюсам, но никогда не пересекает их.
Итогом была проведена практическая работа по построению логарифмической спирали различными способами. В приложении 3 показана спираль, построенная путем заложения в основу программы GeoGebra уравнения логарифмической спирали в полярных координатах ( ). В приложении 4 представлена логарифмическая спираль, построенная с помощью прямоугольников, стороны которых имеют определенное отношение. Длины их сторон представлены числовым рядом Фибоначчи. Такая же работа была проведена вручную.
Громкость звука измеряют в децибелах, которые пропорциональны логарифму мощности звука, воздействующего на ухо. Употребление логарифмических шкал продиктовано особенностями наших органов чувств: зрения, слуха и т.д. Человеческий мозг воспринимает раздражения от органов чувств не пропорционально силе раздражителя (как мы рассматривали мощность звука), а лишь пропорционально ее логарифму. Именно поэтому ухо одинаково способно слышать шорох листьев и не оглохнуть от громкого удара станка на заводе. А глаз может заметить, как блестит снег на свету и не ослепнуть, если посмотрит на Солнце, которое в миллиарды раз ярче.
Описанные выше сведения объединяются законом психофизики, установленным Фехнером, который говорит, что мера ощущения пропорциональная логарифму величины раздражения.
Тот факт, что логарифмическая шкала позволяет увидеть и осознать объекты большого масштаба позволяет применять понятие логарифма и в истории. Чтобы представить себе всю эволюцию нашего человечества нужно представить его историю в масштабе, который подвластен представлению. В этом на помощь приходит логарифмический масштаб (шкала). Такая система называется логарифмической шкалой времени.
Из этого следует, что логарифмы применимы в математическом моделировании развития мира, культуры, экономики и так далее.
То, какое значение логарифм имеет в физике, является отдельной темой для проекта по количеству материала, имеющегося по этому направлению. Здесь будет рассмотрена только одна формула – формула Циолковского.
5. Незамысловатый фокус
Представьте, что в ваш город приехал фокусник, утверждающий, что может с легкостью вычислить корень высокой степени из многозначного числа. Перед представлением вы заготовили 31-ю степень какого-нибудь многозначного числа и в итоге получили пятизначное. Уверенные в том, что фокусник не сможет извлечь из него корень вы начинаете говорить «31-ая степень этого числа : пятизначное число …» и тут произошло чудо, этот волшебник уже написал вам ответ на доске, даже не услышав само число. Как так вышло?
На самом деле здесь нет ничего сложного. Есть только одно число, которое в 31-й степени дает пятизначное число. Однако даже если так, то откуда тот фокусник знал это и смог так быстро отыскать нужное число?
Для этого он заучил двузначные логарифмы для первых 15-20 чисел. Тем более эта задача сильно упрощается знанием того факта, что зная логарифмы 2,3 и 7, можно в уме легко найти логарифмы чисел первого десятка ( ).
Теперь уже перед вами стоит задача извлечь корень 64 степени из 20-значного числа. Получим: То есть значение лежит в интервале между или по-другому между 0,29 и 0,31. Такое значение только одно 0,3 – логарифм числа 2.
Использование логарифмов дает людям преимущество в виде упрощения и ускорения сложных вычислительных операций. Бесспорно, будет нерационально использовать это при умножении 6 на 3, но при действиях с по-настоящему большими числами данное преимущество значительно упростит задачу.
Логарифмическая функция дает нам возможность по-другому взглянуть на масштабные процессы, происходящие в огромных пространствах и временных интервалах для понимания и осмысления общей картины.
В ходе работы поставленные задачи были выполнены, гипотеза подтверждена, проработана практическая часть и цель достигнута.
2. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике – Москва: Издательство: АСТ: 2017
3.Засов А.В., Постнов К.А. Общая астрофизика – Фрязино: Век 2: 2015
4 Перельман Я.И. Занимательная алгебра. – СПб.: СЗКЭО, 2017
5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов – Москва: государственное издательство физико-математической литературы, 1963
6. Энциклопедия для детей: Т.8. Астрономия. – 2-е изд., глав.ред. М.Д.Аксенова – М.: Аванта+, 1999
7. https://ru.wikipedia.org – Википедия, Свободная Энциклопедия
Приложение 1. Звездные величины. Расчет.
Приложение 2. Площадь планеты. Расчет и проверка.
Приложение 3. Логарифмическая спираль
Приложение 4. Логарифмическая спираль
Приложение 5. Формула Циолковского. Расчет и проверка.
Логарифмы для чего они нужны в жизни человека
Изучение темы «Логарифмы» начинается с определения:
Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a > 0, a ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.
Обычно, такая первая встреча с логарифмами не вызывает у учеников особой радости и энтузиазма, логарифм невольно ассоциируется с чем-то трудным. Многие ворчат: «Ну, кому понадобились эти логарифмы?».
Я тоже задумался над этим и решил узнать мнения людей, окончивших школу, по этому вопросу. Результаты меня озадачили: из 20 опрошенных 15 (75%) считают, что логарифмы не нужно изучать. Так может быть они действительно не нужны? Меня очень заинтересовала эта проблема.
Предмет исследования – частные вопросы создания и применения логарифмов.
Проблема: логарифмы – прихоть математиков или жизненная необходимость?
Гипотеза: логарифмы нужны современному человеку.
Существует связь между звездами, шумом, музыкой, природой и логарифмами.
Цель работы – доказать необходимость изучения логарифмов.
Для достижения своей цели, я выдвинул следующие задачи:
найти, собрать и проанализировать материал по истории возникновения логарифмов;
проанализировать, где в природе встречаются логарифмы;
проанализировать, в каких сферах жизнедеятельности человека применяются логарифмы;
сделать соответствующие выводы по исследовательской работе.
При проведении исследования были использованы следующие методы исследования:
анализ существующей литературы по рассматриваемой проблеме (метод научного анализа).
обобщение и синтез точек зрения, представленных в литературе (метод научного синтеза и обобщения).
моделирование на основе полученных данных авторского видения в раскрытии поставленной проблемы (метод моделирования).
2.1. История возникновения и развития логарифмов
Изобретение логарифмов, сократив
работу астронома, продлило ему жизнь.
Испокон веков люди пытались упростить вычисления: составляли таблицы, вводили приближенные формулы, облегчающие расчеты, пытались заменить сложные операции умножения и деления более простыми – сложением и вычитанием.
Логарифмы также были созданы в 16 веке как средство для упрощения вычислений. В их основе лежит очень простая идея, знакомство с которой приписывается еще Архимеду.
Рассмотрим две прогрессии, арифметическую и геометрическую при b1 = 2, q = 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (*)
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
Но это еще не все. С помощью указанных двух строк (*) действие возведения в степень заменяется умножением, а извлечение корня – делением.
Идея Архимеда получила развитие не сразу. Пока математикам было достаточно уже имевшихся средств вычислений, они проходили мимо этого удивительного свойства прогрессий. Но в эпоху Возрождения ситуация изменилась. Крупнейшие европейские державы стремились к владычеству на море. Для дальних плаваний, для определения положения морских судов по звездам и по солнцу необходимо было всё более развивать астрономию, а значит, и тригонометрию. И, в частности, понадобились более совершенные тригонометрические таблицы. В связи с нарастающими запросами практики продолжали совершенствоваться астрономические инструменты, увеличивалась точность наблюдений, исследовались планетные движения. Обработка полученных данных требовала колоссальных расчетов, и, следовательно, стали необходимы новые средства упрощения вычислений. Такими средствами в 15 – 16 веках явились в первую очередь логарифмы и десятичные дроби.
Рассмотрим, как развивалась дальше идея логарифмов.
Прежде всего, теоретическая подготовка учения о логарифмах тесно связана с развитием понятия степени. Степень с отрицательным показателем встречается уже в трактате «Арифметика» древнегреческого математика Диофанта (ок. 3 в.) из Александрии. Им, а возможно и его предшественниками, были введены особые обозначения для некоторых положительных и отрицательных степеней. С течением времени символика совершенствовалась, и эта идея получила дальнейшее развитие. Так, много позже, французский врач и математик Никола Шюке (ок. 1445 – 1500) в своем трактате «Наука о числе» более полно рассмотрел нулевые и отрицательные показатели степени. Ещё раньше, в 14 веке, епископ города Лизье в Нормандии Николай Орем (ок. 1323 – 1382), исходя из соображений о возможности вставлять в арифметическом ряду между натуральными числами дробные, высказал мысль о том, как надо выражать в рядах (*) соответствующие величины геометрического ряда. Таким образом, он пришел к степеням с дробным показателем.
Особое внимание сопоставлению арифметического и геометрического рядов уделял Михаэль Штифель (1487 – 1567). Подобно Шюке и Орему Штифель пришел к мысли о дробных показателях. Кроме того, сопоставляя ряд натуральных чисел, начинающихся единицей, он отмечал, что соответствующий единице показатель есть нуль, т.е. что a 0 = 1. Числам верхнего ряда Штифель дал употребительное и поныне название «показателей» (exponent).
Но, кто же стал автором первых таблиц логарифмов, позволяющих свести более сложные действия к более простым?
В истории науки иногда наступают моменты, когда необходимость некоторого открытия осознается многими, а его основная идея как бы витает в воздухе. В таких случаях к открытию приходят не один, а сразу несколько ученых. Так случилось и в истории логарифмов. Однако создатели первых логарифмических таблиц подходили к изобретению нового удобного средства для упрощения вычислений по-разному. Те соображения, которые мы выдвинули чуть раньше, пытаясь предугадать, каким путем пойдет создатель логарифмов, пожалуй, больше всего подходят к Бюрги.
Таблицы Иоста Бюрги были ещё очень несовершенны, правила работы с ними достаточно трудоемки, а многие результаты приходилось находить с помощью дополнительных приближенных приемов вычислений.
Бюрги очень медлил с опубликованием своих таблиц. Они вышли в свет лишь в 1620 году под названием «Таблицы арифметической и геометрической прогрессий, вместе с основательным наставлением, как их нужно понимать и с пользой применять во всяческих вычислениях». Но значительного распространения эти таблицы не получили, так как к моменту опубликования таблиц Бюрги ученому миру уже семь лет были известны другие таблицы, которые составил шотландский барон Джон Непер (1550 – 1617).
Интересно, что наряду с вышеуказанными таблицами существовали ещё одни таблицы, которыми можно было пользоваться как средством для упрощения вычислений. Однако их автор не заметил этого, подразумевая совсем иное назначение своих таблиц. Речь идет о таблицах процентов шотландского ученого и инженера Симона Стевина (1548 – 1620).
Итак, можно заметить, что в один смысловой блок собираются такие понятия, как арифметическая и геометрическая прогрессии, степень, проценты, формула сложных процентов и логарифмы.
2.2. Применение логарифмов для познания окружающего мира
Если в 16 веке логарифмы появились как средство для упрощения вычислений, то нужны ли они сегодня, когда вычислительная техника достаточно развита, чтобы справляться с самыми сложными расчетами? Вопрос правомерен. Ведь не изучают же в современной школе такие старые средства для упрощения вычислений, как простейшие счетные приборы, не изучаются древние алгоритмы умножения и деления чисел, извлечения квадратных и кубических корней и прочее. Так зачем изучают логарифмы сегодня? Попробуем ответить на этот интересный вопрос.
Во-первых, логарифмы и сегодня позволяют упрощать вычисления.
Во-вторых, испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны.
Ряд явлений природы помогает описать логарифмическая зависимость. Иначе говоря, математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции.
Одним из наиболее наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль. (см. Приложение 1.) Спираль в одну сторону развертывается до бесконечности, а вокруг полюса, напротив, закручивается, стремясь к нему, но не достигая.
a ) Логарифмическая спираль в природе.
Так почему в качестве примера логарифмической зависимости в природе выбирают именно логарифмическую спираль?
Немецкий биолог Румблер в 1910 году выдвинул теорию постоянного краевого угла при построении раковин улиток. Он исходил из того, что материал, из которого строятся раковины, вначале должен быть жидким, и в жидком состоянии попадает на край уже существующей части раковины где, естественно, всегда образуется постоянный краевой угол. Под этим углом жидкость затвердевает, и снова начинается та же игра. Раковина улитки представляет собой логарифмическую спираль.
Но не только раковины многих моллюсков, улиток, а даже рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали (см. Приложение 3.)
Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения формы и роста. Великий немецкий поэт Иоганн-Вольфганг Гёте считал её даже математическим символом жизни и духовного развития.
По логарифмической спирали очерчены не только раковины, но и в подсолнухе семечки (см. Приложение 4) расположены по дугам, близким к логарифмической спирали и т. д. Один из наиболее распространённых пауков – эпейра, сплетает нити паутины вокруг центра по логарифмическим спиралям (см. Приложение 5).
b ) Звёзды, шум и логарифмы.
Известно, что астрономы распределяют звезды по степеням видимой яркости на светила первой величины, второй величины, третьей и т.д. Последовательные звездные величины воспринимаются глазом как члены арифметической прогрессии. Но физическая яркость их изменяется по иному закону: объективные яркости составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Получается, что «величина» звезды представляет собой не что иное, как логарифм её физической яркости. Оценивая видимую яркость звёзд, астроном оперирует с таблицей логарифмов по основанию 2,5.
Рассмотрим несколько примеров. Тихий шелест листьев оценивается в 1 бел, громкая разговорная речь – в 6,5 бел, рычание льва – в 8,7 бела. Отсюда следует, что по силе звука разговорная речь превышает шелест листьев в раз; львиное рычание сильнее громкой разговорной речи в раз.
Случайность ли то, что и при оценке видимой яркости светил и при измерении громкости шума мы имеем дело с логарифмической зависимостью между величиной ощущения и порождающего его раздражения? Нет, и то, и другое – следствие общего закона (называемого «психофизическим законом Фехнера»), гласящего: величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения. Как видим, логарифмы вторгаются и в область психологии.
c ) Логарифмическая спираль в технике.
Логарифмическая спираль знаменита не только тем, что её образы достаточно широко встречаются в природе, но и своими удивительными свойствами.
В технике часто применяют вращающиеся ножи. Сила, с которой они давят на разрезаемый материал, зависит от угла резания, т.е. угла между лезвием ножа и направлением скорости вращения. Для постоянства давления нужно, чтобы угол резания сохранял постоянное значение, а это будет в том случае, если лезвия ножей очерчены по дуге логарифмической спирали (см. Приложение 7).Величина угла резания зависит от обрабатываемого материала.
В гидротехнике по логарифмической спирали изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины (см. Приложение 7). Благодаря такой форме трубы потери энергии на изменение и направление течения в трубе оказываются минимальными и напор воды используется с максимальной производительностью.
Пропорциональность длины дуги спирали радиус-вектору используют при проектировании зубчатых колёс с переменным передаточным числом. И через середину и конец каждой стороны проводят дуги одинаковых логарифмических спиралей (см. Приложение 7) с полюсами в центрах квадратов, причем одна спираль закручивается по часовой стрелке, а другая – против часовой стрелки. Тогда при вращении этих квадратов дуги спиралей будут катиться одна по другой без скольжения. Передаточное же число, т.е. отношение угловых скоростей этих колёс, будет непрерывно меняться, достигая в течение одного оборота колеса четыре раза максимального значения и четыре раза минимального.
d) Логарифмы и музыка.
«Даже изящные искусства питаются ею.
Разве музыкальная гамма не есть
Набор передовых логарифмов?»
И действительно, так называемые ступени темперированной хроматической гаммы (12-звуковой) частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы. Только основание этих логарифмов равно 2 (а не 10, как принято в других случаях).
Логарифмируя эту формулу, получаем
lg = lg n + m lg 2 + + p ( lg 2)/12,
lg = lg n + (m + p/12)lg2.
Принимая частоту самого низкого “до” за единицу (n = 1) и приводя все логарифмы к основанию 2. имеем
e ) Логарифмы в разных отраслях науки
Логарифмы – это математическое понятие, которое применяется во всех отраслях науки: химии, биологии, физике, механике, информатике, электротехнике, географии и многих других.
Статистика постоянно использует понятие среднего. Средняя численность населения, средний уровень инфляции, средняя заработная плата и т.д. Для нахождения средних величин существует коэффициент усреднения он равен ln=2.
Сведения, собранные мною в данной работе, — это далеко не всё, что можно рассказать о логарифмах. В заключении обратимся еще раз к основной идее. Мы, обучаясь в школе, не просто впитываем некоторый набор информации. Мы усваиваем научные данные об окружающем мире, о его устройстве и законах. В этот период складывается картина мира, и чем полнее и объективнее она будет, тем лучше мы будем понимать и оценивать окружающую нас жизнь, тем более полноценными людьми будем себя ощущать. Поэтому стоит изучать вопросы, без которых картина мира будет неполноценной. С моей точки зрения, изобретение логарифмов по возможности можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением индусов – нашей десятичной системы счисления.
Результаты моего исследования следующие:
В ходе проведения исследовательской работы я нашел подтверждение словам Галилео Галилея «Великая книга природы написана математическими символами»;
Многие природные явления не могли быть изучены без понятия логарифма;
Логарифмы используются для описания природных явлений астрономами, физиками, биологами;
Понятие логарифма широко применяется человеком во многих науках.
Логарифм является инструментом для вычисления радиоактивного распада, изменения количества людей в стране, зависимости скорости ракеты от ее массы, коэффициента звукоизоляции.
Выяснил, что, играя по клавишам современного рояля, музыкант играет, собственно говоря, на логарифмах.
Материалы исследования имеют практическую значимость и могут быть использованы для дальнейшего изучения данной, столь увлекательной, на мой взгляд, темы.
Гипотеза моего исследования, что логарифмы нужны современному человеку, действительно подтвердилась.
Я постарался проследить, как в ходе истории возникала необходимость введения и изучения логарифмов, усиливалась их значимость. Показал применение логарифмов в современном мире. Тем самым, я смог доказать, насколько важно изучать логарифмы для познания окружающего мира.
Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа.- М.:Просвещение,2016.
Большая электронная энциклопедия «Кирилл и Мефодий»: 2004
Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ.- М.:Мнемозина,2017.
Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа.- М.:Просвещение,2016.
Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках.- М.:Просвещение,1981.
Самсонов П.И. «Математика»:«Полный курс логарифмов. Естественнонаучный профиль». «Школьная пресса», М.2005
Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М.: Аванта+, 1998.
Приложение 1. Логарифмическая спираль.
Приложение 2. Раковины многих моллюсков, улиток закручены по логарифмической спирали.
Приложение 3. Рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали.
Приложение 4. В подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали.
Приложение 5. Паук – эпейр сплетает нити паутины вокруг центра по логарифмическим спиралям.
Приложение 6. По логарифмическим спиралям также закручены и многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система.
Приложение 7. Лезвия вращающихся ножей очерчены по дуге логарифмической спирали. В гидротехнике по логарифмической спирали изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины.
Старт в науке
Учредителями Конкурса являются Международная ассоциация учёных, преподавателей и специалистов – Российская Академия Естествознания, редакция научного журнала «Международный школьный научный вестник», редакция журнала «Старт в науке».
Исследовательская работа на тему «Логарифмы, их практическое применение в жизни человека»
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ПРИМОРСКОГО КРАЯ 
ФИЛИАЛ КРАЕВОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ
«УССУРИЙСКИЙ АГРОПРОМЫШЛЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ»
В ХАНКАЙСКОМ РАЙОНЕ
Логарифмы, их практическое применение в жизни человека.
Выполнил: Студент гр. 121, Автомеханик
Ефименко Андрей Алексеевич
Руководитель: Гуржий Валентина Ивановна
Ханкайский район, с. Камень-Рыболов.
Тему «Логарифмы» мы изучали на первом курсе. Изучение темы начиналось с определения логарифма.
Определение. Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a › 0, a ≠1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.
а х = b т.е. log а b = х
Студентам логарифм казался сложным понятием и никому не нужным.
Меня заинтересовала эта проблема. И я решил провести исследование показать необходимость изучения логарифмов и найти их применение в жизни человека.
Объекты исследования : логарифмы и логарифмическая функция.
Предмет исследования : история возникновения и развития логарифмов, логарифмических функций и их практическое применение в жизни человека.
Проблема: известно, что логарифмы и логарифмические функции изучаются студентами на занятиях по математике на 1 курсе, о его широком применении нет полной информации.
Мне стало интересно узнать о более широком применении логарифмов в сферах человеческой деятельности.
И ответить на возникший вопрос: «Для чего нужны логарифмы, являются ли они жизненной необходимостью?»
Гипотеза : Если в математике существует теория логарифмов, то существующая теория должна где-то найти применение.
Цель: доказать, что существует практическое применение логарифмов в жизни человека, убедиться в их значимости в жизни человека.
Найти и изучить материал по истории возникновения логарифмов.
Проанализировать, где в природе встречаются логарифмы.
3.Проанализировать, в каких сферах жизни человека применяются логарифмы.
4.Сделать соответствующие выводы по исследовательской работе.
Актуальность: На уроках математики мы встречались с термином «Логарифм», но мало что знали о практической значимости этого понятия в жизни человека.
И я решил способствовать развитию познавательного интереса, узнать как можно больше об истории развития логарифмов, доказать значимость их применения в жизни человека.
Планируемый результат: Расширить представление о логарифмах, убедиться в их практической значимости в жизни человека.
2.1 История логарифма
Во все времена человечество пыталось вычисления упростить, составлялись таблицы, формулы для приближённых вычислений, которые заменили бы сложные операции вычислений на более простые вычисления. Потребность в новом способе счёта возникла в 16 веке, так как в это время развивается астрономия, торговля.
В это время, в эпоху Возрождения усиленно развивается судоходство, крупнейшие европейские державы стремятся к владычеству на море, происходят мореплавания на большие расстояния.
Ученые приходят к выводу, что если заменить умножение и деление на сложение и вычитание, то сложности астрономических вычислений сократятся. Была сопоставлена геометрическая прогрессия с арифметической, при том, что геометрическая – исходная.
При этом упрощалось не только умножение и деление, но и извлечение корня п-ой степени, преобразуется в деление логарифма подкоренного выражения на степень п.
Вся эта теория принадлежит Михаэлю Штифелю. Так считают, потому что он был первым, кто опубликовал ее в своей книге.
В 1614 году выходит книга шотландца Джона Непера на латинском языке опубликованная в Эдинбурге, сочинение под названием « Описание удивительной таблицы логарифмов». В этой книге он даёт краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1′.
Сочинение « Описание удивительной таблицы логарифмов» было разделено на 2 книги, из которых первая книга посвящена логарифмам, а вторая книга тригонометрии.
В то время все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Но и это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность.
Многие европейские математики, включая Кеплера, стали составлять логарифмические таблицы.
В это время математик – Бригг, который восхищался Непером, за то, что тот открыл такую гениальную вещь как логарифм. Бриг поехал в Шотландию, чтобы увидеть изобретения и сделал открытие десятичных логарифмов.
Так логарифмы стали применяться практически во всех сферах жизни. Там, где нужно было проводить вычисление над многозначными числами или где была необходима точность до 5-ого знака после запятой стали применять логарифмы. На практике более точные результаты не используются. Учёные убедились, что логарифмы уникальны, способны описать практически любое физическое явление.
Первые десятичные логарифмы появились в 1615 году и были напечатаны первые логарифмические таблицы.
Непер не смог усовершенствовать свои таблицы из-за болезни, однако дал Бригсу (1561-1631) рекомендации видоизменить определение логарифма, приблизив его к современному. Бригс опубликовал свои таблицы в год смерти Непера (1617). Рисунок 1.
После появления логарифмов Непера, через несколько лет в 1620 г Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели незаменимый счётный прибор – логарифмическую линейку. Умножение и деление чисел на логарифмической линейке заменяется соответственно сложением и вычитанием их логарифмов. Учёные, инженеры, астрономы с помощью логарифмической линейки смогли быстро получать ответ в три значащие цифры с достаточной точностью. Рисунок 2.
Рисунок 2. 
Логарифмические линейки использовались до начала 1980-х годов.
Первая логарифмическая линейка была незаменима до появления первых карманных калькуляторов.
И хотя теперь её вытеснили из обихода микрокалькуляторы, можно с уверенностью сказать, что без логарифмической линейки не были бы созданы первые компьютеры, калькуляторы.
Знаки log и Lg были введены в 1624 году И. Кеплером.
Термин «натуральный логарифм» ввели Менголи в 1659 г. и вслед за ним Н. Меркатор в 1668 г., лондонский учитель Джон Спейдел. издал таблицы натуральных логарифмов чисел от 1 до 1000 под названием «Новые логарифмы».
В 1703 году издаются первые логарифмические таблицы на русском языке.
С открытием логарифмического ряда изменилась техника вычисления логарифмов: они стали определяться с помощью бесконечных рядов.
Прошло 394 года с тех пор, как логарифмы впервые были введены (считая с 1614 г.), прежде чем математики пришли к определению понятия логарифма, которое теперь положено в основу школьного курса математики. Возник вопрос, нужны ли сегодня логарифмы?
Из предыдущего мы узнали, что в 16 веке логарифмы нужны были как средство для упрощения вычислений. В настоящее время, когда вычислительная техника настолько совершенна, чтобы справиться с самыми сложными расчётами, так зачем изучать логарифмы сегодня?
Однако и в XX I веке логарифмическая линейка нашла своё применение в наручных часах, т.е. получила своё второе рождение. Рисунок 3.
Следуя моде производители модных дорогих часов с электронным хронометром и ЖК экранами перешли к стрелочным, и места для того чтобы встроить калькулятор, оказалось недостаточно.
Спрос людей, следящих за модой и желающих приобрести хронометры со встроенным вычислительным устройством увеличивалось, и производители выпустили новую модель часов круглой формы с встроенной логарифмической линейкой.
Такие устройства производители назвали «навигационная линейка». В чём их достоинство, они дают возможность получать информацию, например, рассчитать таблицу расхода топлива на пройденное расстояние, посчитать пульс, определить скорость электропоезда, которая равна соответствующей табличной форме.
2.2 Логарифмическая спираль.
Почему логарифмическая спираль является примером логарифмической зависимости в природе и не только? Попробую ответить на этот интересующий нас вопрос. Во-первых, логарифмы и сегодня позволяют упрощать вычисления.
Во-вторых, всегда, во все времена цель математической науки, остаётся одной, помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его тайны и закономерности.
Многие явления природы помогает описать логарифмическая зависимость, т.е. логарифмическая функция. Математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, стали часто обращаться к логарифмической функции. Ярким примером этого обращения является логарифмическая спираль. Рисунок 4.
Логарифмическая спираль – плоские линии в геометрии, которые отличаются от прямых и окружностей и скользят сами по себе.
Эта логарифмическая спираль закручивается вокруг полюса, стремится к нему, но не достигает, а в другую сторону до бесконечности развёртывается.
Логарифмическая спираль явилась ярким примером логарифмической зависимости в природе, а почему? Постараюсь найти объяснение этому.
По правилам природы, все живые существа растут во всех направлениях, сохраняя общие начертания своей формы. Взрослое существо всегда выше и толще детёныша. Однако раковины морских животных растут лишь в одном направлении. Рисунок 5.
И чтобы не вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем рост совершается так, что сохраняется подобие первоначальной формы раковины.
А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога горных козлов закручены по логарифмической спирали. Рисунок 6.
Логарифмическая спираль является математическим символом соотношения формы и роста. Немецкий поэт Иоганн-Вольфганг Гете считал эту спираль математическим символом духовного развития и жизни.
По логарифмической спирали очерчены не только раковины. По логарифмическим спиралям закручивает нити вокруг центра один из распространенных пауков, Эпейра, таким образом, сплетая паутину. Рисунок 7.
Семечки в подсолнухе располагаются по линиям, напоминающим логарифмическую спираль. Рисунок 8.
По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система.
Вопрос логарифмических линий в природе не остался без внимания не только математиков, но и художников. Один из известных художников того времени Сальвадора Дали 18 декабря 1955г. вынес на повестку своего публичного выступления, которое проходило в Париже, в главной аудитории Сорбонны вопрос о замечательных логарифмических линиях. Вот небольшие отрывки из его выступлений.
«…моей навязчивой идеей, настоящей маниакальной страстью, стала картина Вермера «Кружевница», репродукция которой висела в отцовском кабинете. Рисунок 9.
« Уже много лет спустя я попросил в Лувре разрешение написать копию с этой картины. Потом я попросил киномеханика показать на экране репродукцию нарисованной моей копии… Я объяснил, что, пока не написал копию, в сущности, почти ничего не понимал в «Кружевнице», и мне понадобилось размышлять над этим вопросом целое лето, чтобы осознать наконец, что я инстинктивно провел на холсте строгие логарифмические кривые…»
«Одновременно с этим я углубил свои исследования по морфологии подсолнуха – по вопросу, по которому в свое время сделал чрезвычайно интересные выводы еще Леонардо да Винчи. Никогда еще в природе не существовало столь совершенного примера логарифмических спиралей…»
Вот некоторые удивительные свойства логарифмической спирали:
1.При преобразовании подобия логарифмическая спираль остается неизменной. Это свойство так удивило изучавшего ее Якоба Бернулли ( XVII в.), что он придал им мистический смысл.
2. Логарифмическая спираль пересекает свои радиус-векторы под постоянным углом, поэтому её называют равноугольной.
3.Третье свойство. Свойство логарифмической спирали пересекать все свои радиус-векторы под одним углом, даёт возможность её применения в технике.
В технике часто применяются вращающиеся ножи. Сила давления ножей на разрезаемый ими материал, зависит от направления скорости вращения и угла между лезвием ножа. Чтобы давление удержать постоянным, нужно сохранить постоянное значение угла резания, а это возможно, если лезвия ножей имеют форму дуги логарифмической спирали. Рисунок 10.
2.3 Логарифмы в сельском хозяйстве.
Приведу пример своего расчёта, используя данную формулу.
Новорожденный бычок имел массу 27,2 кг, через полмесяца он подрос, набрал массу уже до 41кг. Узнаю, какой масса будет в возрасте одного месяца. Нахожу относительную скорость роста, используем формулу: m = m 0 ∙ e kt ; 41= 27,2 e k 0,5 ;
m =27,2∙ e 0,821 ; lgm = lg 27,2+0,821 lge =1,4346 + 0,821∙0,4343 =1,7912; m =58,4 (кг.)
Работая над темой, я раскрыл для себя много интересного, полезного.
Я ещё раз убедился, что своё применение логарифмы нашли в сельском хозяйстве на ферме для животных.
Чтобы рассчитать сколько нужно корма для поддержки организма на работу внутренних органов, теплоотдачу, на восстановление отмирающих клеток и т.д., которое происходит пропорционально внешней поверхности тела животных.
Например, нужно определить калорийность такого корма для быка, весящего 320кг, если мы знаем, что бык весом 530кг тратит при этих условиях 11360 калорий.
Для решения этой задачи приходит и геометрия: т.к. по условию задачи сказано, что калорийность пропорциональна поверхности быка
х = 11360∙; используя логарифмические таблицы, находим х =12300 Быку необходимо 12300 калорий.
Что объединяет шум и звёзды?
Я узнал, что громкость шума и яркость звёзд оцениваются по логарифмической шкале. Применение логарифмических шкал рекомендовано особенностями наших органов чувств: зрения, слуха и т.д. Рисунок 13.
Со времен древнегреческого астронома Гиппарха ( II в. до н.э.) используется понятие «звездная величина». В те времена считали, что расстояния до звёзд одинаковы и что чем она ярче, тем звезда больше.
Я узнал, что звёздная величина характеризуется не размерами звезды, а её блеском, т.е. освещенностью, которая создается на Земле.
Так как звёзды находятся на разных расстояниях, их видимые звёздные величины не говорят о мощности излучения звёзд, в астрономии, кроме понятия «видимая звёздная величина» появилось понятие абсолютные звёздные величины.
«Величина» звезды является не что иное, как логарифм ее физической яркости.
Я узнал, что работая над оцениванием яркости звёзд, астрономы пользуются таблицами логарифмов по основанию 2,5. Как происходит оценивание громкости шума?
Единицей громкости служит «бел», практически – его десятая доля, «децибел».
Для слуха человека степени громкости 10 децибел, 20 децибел и т.д. составляют геометрическую прогрессию.
Однако объективная (физическая) сила шумов является геометрической прогрессией со знаменателем 10.
Громкость шума, выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы. Рассмотрим несколько примеров.
106,5-1 = 105,5 = 316000 раз; рычанье зверя сильнее громкой разговорной речи в 108,6-6,5 = 102,1 = 158 раз.
Вредным для человеческого организма считается шум громкостью больше 8 бел.
При оценке видимой яркости светил и при измерении громкости шума, мы имеем дело с логарифмической зависимостью между величиной ощущения и порождающего его раздражения. Оказывается, что оба эти явления–следствие общего психофизического закона Вебера-Фехнера, согласно которому ощущение изменяется пропорционально логарифму раздражения. Рисунок 14.
Так я узнал, что логарифмы вторгаются и в область психологии.
Децибелы, измеряющие громкость звука, которые воздействуют на наши уши, пропорциональны логарифму мощности звука. Человеческий мозг в отличие от мощности звука воспринимает раздражения от органов чувств: зрения, слуха и т.д. пропорционально её логарифму, а не пропорционально силе раздражителя. Поэтому наши уши способны услышать шорох листьев деревьев и не оглохнуть от громкого звука. Глаза могут заметить, как сверкает снег на свету и не ослепнуть, смотря на солнце, которое ярче в миллиарды раз.
Логарифмы находят самое широкое применение и при обработке результатов тестирований в психологии и социологии.
Воспринимаемые органами чувств человека ощущения, могут отличаться во много миллионов, даже миллиардов раз друг от друга раздражениями. Удары молота о металлическую трубу в сто раз громче, чем тихий шелест листьев деревьев, а яркость вольтовой дуги в триллионы раз превышает яркость какой-нибудь звезды, едва видимой на ночном небе. Опыты показали, что организм человека как бы «логарифмирует» полученные раздражения, то есть величина ощущения приблизительно пропорциональна десятичному логарифму величины раздражения. Поэтому учёные выработали приём точной числовой оценки громкости шума, которую необходимо соблюдать во избежание вредного влияния промышленных шумов на здоровье рабочих и на производительность труда. Отсюда делаем вывод, что логарифмы и логарифмическая функция помогают человеку объяснить многие тайны природы человеческих ощущений.
Логарифмы в музыке.
Теперь рассмотрим еще один интереснейший пример о связи логарифмов и музыки. Рисунок 15.
Математикой музыканты редко увлекаются, но тем ни менее даже не подозревая, они с математикой встречаются и очень часто и притом с такими «странными» понятиями как логарифмы. Определённые закономерности являются основой музыкальной гаммы. Для создания гаммы удобно пользоваться логарифмами соответствующих частот: log 2w0, log 2w1.
Оказывается, нажимая на клавиши рояля, можно сказать, что музыкант играет на логарифмах. Действительно, так называемые «ступени» темперированной хроматической гаммы не расставлены на равных расстояниях ни по отношению к числам колебаний, ни по отношению к длинам волн соответствующих звуков, а представляют собой логарифмы этих величин. И основание этих логарифмов равно 2.
Номер клавишей есть логарифм числа колебаний соответствующих им звуков умноженные на 12.
Можно сказать, что номер октавы представляет, целую часть (характеристику) логарифма числа колебаний этого тона, а номер звука в данной октаве, деленный на 12 – дробную часть (мантиссу) этого логарифма.
Звездные галактики. Галактики, штормы и ураганы – впечатляющее применение логарифмов.
Галактика закручена по логарифмической спирали, и ей принадлежит солнечная система. Рисунок 16.
В 1845 году английский астроном Уильям Парсонс с помощью с помощью телескопа открыл класс туманностей в виде логарифмической спирали. Яркий пример тому является туманность в созвездии Гончих Псов. В первой половине XX столетия было установлено, что спиральные туманности – это звёздные системы, которые стали называть галактиками.
Чтобы описать с помощью логарифмов свойства спиральных галактик астрономам пришлось приложить много усилий. Галактики состоят из скоплений газа и горячих звёзд. И когда они вращаются, то распределяются вдоль ветвей логарифмической спирали.
В спиральных ветвях происходит повышение плотности, как звезд, так и межзвездного вещества – пыли и газа. У центра галактики ветви вращаются быстрее, повышенная плотность газа ускоряет образование и последующее сжатие газовых облаков и тем самым способствует рождению новых звезд. Поэтому спиральные ветви являются местом интенсивного звездообразования.
Молекула ДНК для каждой клетки нашего организма является ядром. Она представляет собой спираль, которая содержит генетический код жизни. Рисунок 17.
Молекулы ДНК, с точки зрения молекулярной теории, имеют огромную длину, которая состоит из двух нитей сплетённых в двойную спираль между собой. Эти нити сравниваются с нитями бус. Белки, которые также сравниваются с нитями бус, их «бусины» являются аминокислотами 20 различных типов.
У ДНК-всего 4 типа «бусин» и зовутся они нуклеотидами. «Бусины» двух нитей двойной спирали ДНК связаны между собой и строго соответствуют друг другу. Мы часто встречаем изготовление предметов по шаблону, называемому матрицей. Отливка монет или медалей, типографского шрифта. По аналогии происходящее в живой клетке восстановление двойной спирали по одной её цепи, как по матрице, так же называют матричным синтезом.
2.4 Применение логарифмов в различных сферах жизнедеятельности человека.
Математика вторгается в нашу современную жизнь с ее особым стилем мышления, становящимся сейчас обязательным и для инженера, и для биолога. Логарифмическая функция нашла применение и в биологии. Рисунок 18.
Логарифмы используются в биологии для описания явлений биологами. Процессы размножения микроорганизмов, рост колоний бактерий, радиоактивный распад элементов, изменение скоростей химических реакций и т.п.
Например, бактерия кишечной палочки в питательной среде каждую минуту делится.
Следовательно, общее количество бактерий каждую минуту становится в два раза больше.
То есть в начале процесса была одна бактерия, то через х минут их число N станет 2х, т.е. N (х) = 2х.
Через сколько времени сначала помещения бактерий в питательную среду возможно получить колонию 500 бактерий?
Формула Циолковского было важным достижением в истории того времени, т.к. открыла новую эпоху в области космонавтики.
Формула давала возможность рассчитывать характеристическую скорость летательного аппарата под действием тяги двигателя без воздействия сил со стороны.
Изучив литературу, я узнал, что существует формула сложных процентов, которая нашла применение в банковском деле.
— процентная ставка
В конце n –ого года сумма вклада станет равной S n , которую посчитаем по формуле сложных процентов.
Например. Сколько потребуется лет, чтобы 100000 руб. выросли до 1000000 руб. при процентной ставке 20%, если деньги не снимали.
n = log ∙ ( ), считаем: n = log (1+20/100) (1000000/100000) = 8.9 лет
Важно знать, что при процентной ставке больше, чем в 2,7 раза вклад, положенный под 100% годовых не увеличивается, если бы даже наросшие проценты начислялись каждую минуту, т.к. e = 2,7 используется в логарифмах как log e x = lnx
В своей работе я постарался рассмотреть различные сферы практического применения логарифмов, показать, что их использование облегчает и сокращает сложные вычисления.
Мы знаем, что население Земли растет с каждым годом, и возникают проблемы с используемым пространством. Современные города в большинстве строятся без учёта будущего роста и впоследствии возникают пробки, загрязнения окружающей среды, снижение уровня здоровья населения.
Свойства логарифмической спирали нашло своё применение
и в архитектуре. Рисунок 23.
Можно строить города по принципу двойной логарифмической спирали. Примером служит самая красивая и современная столица Казахстана – Астана. Можно построить совершенно новый мегаполис в нашей стране, с красивыми микрорайонами в виде спирали, где могут находиться здания в виде логарифмической спирали или крыши зданий спроектированные в виде спиралей.
Вывод: Многие природные явления не могли быть изучены без понятия логарифма;
Логарифмы используются для описания природных явлений астрономами, физиками, биологами.
Понятие логарифма широко применяется человеком во многих науках.
Логарифмы на самом деле очень интересно изучать, если приводятся примеры из жизни. Оказывается, что логарифмы окружают нас в нашей жизни практически везде. Поэтому знание правил вычисления логарифмов и их свойств поможет разобраться во многих вопросах, которые ставит перед нами жизнь.
Результаты нашего исследования следующие:
1.Слова Галилео Галилея «Великая книга природы написана математическими символами» подтвердились в ходе работы над исследовательской работой;
2. Без понятия логарифма невозможно изучить многие природные явления;
3. Для описания многих природных явлений не только математики, но и учёные из области физики, биологии, астрономии, химии используют логарифмы для описания природных явлений;
4. Во многих науках человек применяет понятие логарифма;
5. Радиоактивный распад, изменение количества людей в стране, зависимость скорости ракеты от ее массы, коэффициент звукоизоляции и т.д. для их вычисления логарифм является инструментом.
Изучив, некоторые источники и дополнительную литературу, поставленные мной задачи были выполнены, я убедился, гипотеза подтверждена, цель достигнута. Математика есть в каждом предмете, она повсюду.
Я убедился, что логарифмы находят самое широкое применение и являются частью нашей жизни. Как уже мной было сказано, что цель математики помогать человеку, познать закономерности и тайны окружающего мира.
Логарифмы, в чём их преимущество, помогают сократить и упростить сложные вычислительные операции.
Логарифмы помогают определить раздражимость человека в определённой ситуации, люди, которые проживают в деревне и держат хозяйство, могут спокойно определить вес телёнка. Зная процент по вкладам, который предлагают банки, можно определить какой из них выгодный на данный момент.
По-другому взглянуть на процессы, которые происходят в огромных пространствах и временных интервалах даёт возможность для понимания и осмысления общей картины логарифмическая функция.
Использование логарифмов для удовлетворения практических нужд человека стало неотъемлемой частью нашей жизни.
Процессы размножения микроорганизмов, рост колоний бактерий, радиоактивный распад элементов, изменение скоростей химических реакций и т.п. имеют практическое применение логарифмов и показательной функции.
Итак, логарифмы имеют непосредственное отношение к физике, химии, биологии, экологии и многочисленным смежным наукам.
Как показало исследование, область применения логарифмов не ограничивается лишь техническими науками, она также играет важную роль в литературе, психологии.
С помощью их можно не только определить скорость летательного аппарата, рассчитать интенсивность звука, но и предсказать землетрясение, так как логарифмы являются основой физических и сейсмологических процессов. Величина, которая характеризует энергию, выделяющуюся, в виде сейсмических волн при землетрясении называется магнитудой землетрясения.
Итак, в результате исследования мы ещё раз убедились, что логарифмы появились исходя из практических нужд человека, и имеют непосредственное отношение многочисленным открытиям в различных областях науки.
В данной работе мною была рассмотрена тема «Применение логарифмов в различных сферах жизни человека», которая включает в себя вопросы об истории развития логарифмов, а также о логарифмической зависимости в окружающем нас мире.
Использованная литература и источники
А.А.Колосов. Книга для внеклассного чтения по математике в старших классах (VIII – X) (издание второе, дополненное). Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР. Москва, 1963.
Райхмист Р.Б. Графики функций: Справ. пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 1991. – 160 с.: ил.
Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике: Кн. для внеклас. чтения IX – X кл. – 2-е изд., испр. – М.: Просвещение, 1985. – 192 с. – (Мир знаний).
Большая электронная энциклопедия «Кирилл и Мефодий»: 2004. Е.Я.Штейн «Большая школьная энциклопедия» том 1; Москва, 2004
М. Д. Аксенова. «Энциклопедия для детей». Том 11. Математика. – Аванта+, 2009
М.М. Лиман. Школьникам о математике и математиках. М.:Просвещение,1981;