Как правильно делить обыкновенные дроби

Деление обыкновенных дробей

Понятие дроби

Дробь является одной из форм записи числа в математике, состоит из a и b, которые могут быть числами или выражениями:

При решении заданий на уроках в пятом классе или самостоятельных работ по карточкам можно использовать два формата записи дробей:

В дробях над чертой расположено делимое, которое называют числителем. Под чертой записывают делитель, называемый знаменателем.

Правильная дробь — это дробь, в которой числитель меньше по сравнению со знаменателем.

Примеры правильных дробей:

Неправильная дробь — это дробь, в которой числитель больше по сравнению со знаменателем, либо равен ему.

Если выполнить деление, то получится смешанное число, в данном случае, с знаком плюса:

Выражение можно прочитать так: пять целых одна четвертая.

Основные свойства дроби

Основное свойство дробей заключается в следующем: при умножении или делении числителя и знаменателя дроби на одинаковое число значение дроби остается неизменным, даже при том, что ее запись меняется.

Применение основного свойства дробей:

1 5 = 1 · 2 5 · 2 = 2 10

В процессе решения задач пригодятся другие свойства, которыми обладают дроби:

Деление обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями

Деление дроби на дробь означает умножение на дробь обратную.

1 7 ÷ 3 5 = 1 7 × 5 3 = 5 21

При делении дроби на число требуется знаменатель дроби умножить на это число:

a b ÷ n = a b ÷ n 1 = a b × 1 n

Разберем правило на практическом примере. Предположим, что имеется некая дробь, которую нужно разделить на натуральное число:

В первую очередь запишем число 3, как дробь:

4 7 ÷ 3 = 4 7 ÷ 3 1 = 4 7 × 1 3 = 4 × 1 7 × 3 = 4 21

При делении числа на дробь требуется умножить знаменатель делителя на это число, а числитель делителя записать в знаменатель.

Рассмотрим простой пример:

2 ÷ 3 7 = 2 1 × 7 3 = 2 × 7 1 × 3 = 14 3 = 4 2 3

Когда требуется выполнить деление смешанных дробей, в первую очередь следует записать их в виде неправильных дробей, а затем поделить, согласно правилу деления дроби на другую дробь.

Согласно записанному правилу, выполним деление смешанных дробей:

2 3 4 ÷ 3 1 6 = 11 4 ÷ 19 6 = 11 4 × 6 19 = 11 × 6 4 × 19 = 11 × 2 × 3 2 × 2 × 19 = 33 38

При делении простых чисел необходимо записать их, как дроби, и поделить, согласно правилу деления дроби на другую дробь.

Рассмотрим пример деления простых чисел:

2 ÷ 5 = 2 1 ÷ 5 1 = 2 1 × 1 5 = 2 × 1 1 × 5 = 2 5

Деление обыкновенных дробей с разными знаменателями

При делении дробей не имеет значение, какими знаменателями они обладают. Если знаменатели разные, то действие выполняется по стандартному алгоритму, то есть умножением на дробь обратную.

1 7 ÷ 3 5 = 1 7 · 5 3 = 5 21

7 ÷ 3 5 = 7 1 · 5 3 = 35 3 = 11 2 3

Примеры решения задач

Требуется найти значение выражений и определить делитель и дробь, которая является обратной делителю:

Выполним деление по правилу:

5 9 ÷ 8 13 = 5 9 × 13 8 = 65 72

8 13 является делителем;

13 8 определена, как дробь, обратная делителю.

Воспользуемся правилом деления дробей:

2 4 5 ÷ 1 7 8 = 14 5 ÷ 15 8 = 14 5 × 8 15 = 14 × 8 5 × 15 = 112 75 = 1 37 75

15 8 является делителем;

8 15 представляет собой обратную дробь делителя.

Найти значение выражений:

Решим примеры с помощью правила деления дробей:

5 ÷ 1 1 4 = 5 1 ÷ 5 4 = 5 1 × 4 5 = 5 × 4 1 × 5 = 4 1 = 4

9 2 3 ÷ 8 = 29 3 ÷ 8 1 = 29 3 × 1 8 = 29 × 1 3 × 8 = 29 24 = 1 5 24

Источник

Обыкновенные дроби

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Доля целого

Доля — это каждая равная часть, из суммы которых состоит целый предмет.

Для примера возьмем два мандарина. Когда мы их почистим, то получим в каждом мандарине разное количество долек или долей. В одном может быть 6, а в другом — целых 9. Размеры долей у каждого мандарина тоже разные.

У каждой доли есть свое название: оно зависит от количества долей в конкретном предмете. Если в мандарите шесть долей — каждая из них будет определяться, как одна шестая от целого.

Понятие доли можно применить не только к предметам, но и величинам. Так, например, картина занимает четверть стены — при этом ее ширина треть метра.

Чтобы быстрее запомнить соотношения частей и целого, можно использовать наглядную табличку:

Понятие дроби

Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которой можно представить число. Есть два формата записи:

Виды дробей:

Какие еще бывают дроби:

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3\5.

Выделение целой части из неправильной дроби — это запись неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби. Например, 11/5 = 2 + 1/5.

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Как устроена обыкновенная дробь

Обыкновенная дробь — это запись вида m/n, где m и n любые натуральные числа.

Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби. Иногда ставится не горизонтальная черта, а косая.

Числитель обыкновенной дроби m/n — это натуральное число m, которое стоит над чертой. Числитель это делимое — то, что мы делим.

Знаменатель обыкновенной дроби m/n — натуральное число n, которое стоит под чертой. Знаменатель это делитель — то, на сколько делим.

Черта между числителем и знаменателем — символ деления.

Равные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых справедливо равенство: a * d = b * c. Пример равных дробей: 1/2 и 2/4, так как 1 * 4 = 2 * 2.

Неравные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых равенство: a * d = b * c не является верным.

Как устроена десятичная дробь

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Выходит, что десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:

Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.

Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.

Свойства дробей

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной. Формула выглядит так:

где a, b, k — натуральные числа.

Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайтесь!

Действия с дробями

С дробями можно выполнять те же действия, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. А еще дроби можно сокращать и сравнивать между собой. Давайте попробуем.

Сравнение дробей

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.

Сравним 1/5 и 4/5. Как рассуждаем:

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю. А после приведения дробей к общему знаменателю, можно применить правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример. Сравнить 2/7 и 1/14.

Важно запомнить: любая неправильная дробь больше любой правильной. Потому что неправильная дробь всегда больше или равна 1, а правильная дробь всегда меньше 1.

Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно:

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:

Сокращение дробей

Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число. Сократить дробь значит сделать ее короче и проще для восприятия. Например, дробь 1/3 выглядит намного проще и красивее, чем 27/81.

Сокращение дроби выглядит так: зачеркивают числитель и знаменатель, а рядом записывают результаты деления числителя и знаменателя на одно и то же число.

В этом примере делим обе части дроби на двойку.

Можно никуда не спешить и сокращать дроби последовательно, в несколько действий.

Сложение и вычитание дробей

При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель.

Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь и выделить целую часть.

При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями нужно найти наименьший общий знаменатель, сложить или вычесть полученные дроби (используем предыдущее правило).

Для этого запишем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.

НОК (15, 18) = 3 * 2 * 3 * 5 = 90

Полученные числа запишем справа сверху над числителем.

Ход решения одной строкой:

Сложение или вычитание смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:

Необходимо приводить к общему, если знаменатели разные. Для этого воспользуемся знаниями из предыдущего примера.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.

Умножение и деление дробей

Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:

Не забываем про сокращение. Это может облегчить вычисления.

Чтобы умножить два смешанных числа, надо:

Чтобы разделить дробь на дробь нужно выполнить следующую последовательность действий:

Другими словами это правило звучит так: чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую умножить на обратную от второй.

Числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

Как делить дроби с разными знаменателями? На самом деле одинаковые или разные знаменатели у дробей — неважно, потому что все дроби делятся по правилу, описанному выше.

Для деления смешанных чисел необходимо:

Источник

Дроби. Деление дробей.

Правила деления дробей.

1. Чтобы поделить 1-ну дробь на вторую, необходимо делимое умножить на число, которое обратно делителю.

2. Чтобы поделить дробь на натуральное число, необходимо делимое умножить на число, которое обратно делителю.

3. Иными словами, чтобы поделить дробь на натуральное число, необходимо знаменатель умножить на это число.

4. На ноль делить нельзя.

5. На смешанную дробь делить нельзя.

6. При определении результата пользуйтесь основным свойством дробей для сокращения дробей.

Для правильных и неправильных дробей правило деления следующее:

Чтобы поделить обыкновенную дробь, необходимо числитель делимого умножить на знаменатель делителя, а знаменатель делимого умножить на числитель делителя. Первое произведение берем числителем, а второе — знаменателем.

Деление дроби на дробь.

Чтобы разделить 1-ну обыкновенную дробь на вторую, не равную нулю, необходимо:

Иными словами, деление дробей переходит к умножению.

Чтоб поделить 1-ну дробь на вторую, необходимо делимое (1-ну дробь) умножить на обратную дробь делителю.

Деление дроби на число.

Схематически деление дроби на натуральное число выглядит так:

Чтобы поделить дробь на натуральное число, используют такой метод:

Выражаем натуральное число как неправильную дробь с числителем, который равен самому числу, а знаменатель равным 1-це.

Далее производим деление по правилу деления дроби на дробь.

Деление смешанных чисел.

При делении смешанных чисел необходимо представить числа как неправильные дроби, а далее делим их друг на друга по правилу деления дроби на дроби.

Источник

Общие сведения

Для выполнения арифметической операции следует знать признаки обыкновенной дроби и ее отличия от десятичной. Первая состоит из числителя (вверху) и знаменателя, находящегося внизу. Вторая представлена в виде целой части и дробной, разделенных запятой или точкой. Для примера следует рассмотреть два значения: 6,23 и 12/13. Первая относится к десятичной, вторая — к обыкновенной.

Любое обыкновенное дробное значение можно представить в виде десятичного и наоборот. В последнем случае бывают исключения — бесконечная периодическая и непериодическая. При этом результат округляется до определенного значения.

Обыкновенная дробь — форма представления операции деления двух числовых значений. В различных дисциплинах с физико-математическим уклоном существуют символы,

обозначающие операцию деления (: и /).

Правильные и неправильные дроби

Десятичную дробь 6,2 можно представить в следующем виде: 62/10. Читается запись таким образом: шестьдесят две десятых. Величину можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2: 31/5. Последний результат называется неправильной дробью, так как ее числитель больше знаменателя. Чтобы ее преобразовать в нормальный вид (смешанную дробь), следует воспользоваться таким алгоритмом:

При выполнении операции деления дробей в 5 классе смешанную величину следует преобразовывать всегда. Для этого рекомендуется выполнить следующие шаги:

Затем нужно выполнять операции умножения и деления дробей. Объяснение этому — упрощение расчетов, которое поможет избежать пустой траты времени на осуществление вычислений с дробными и целыми частями отдельно.

Операция деления

Для деления обыкновенных дробей используется простой принцип, который разработали математики. Он имеет такой вид:

Если два значения представлены в виде смешанных величин, то их необходимо перевести в неправильные дроби, а затем осуществить операцию деления. Действия с дробными выражениями выполняются не только с известными, но и с неизвестными (переменными). Для работы с дробными выражениями нужно знать признаки деления одного числа на другое.

Признаки делимости

При сокращении дробей следует знать признаки делимости. Если одно число делится на другое, то результатом является третья величина, которая называется частным значением. Первое число называется делимым, второе — делителем. Признаки деления на них от 1 до 9 (соответствуют пунктам нумерации):

Признаки делимости рекомендуется заготовить в виде электронной презентации или на картонном листе. Математики рекомендуют их выучить, поскольку это позволит существенно сократить время на решение примеров и задач.

Примеры решения

Для практического применения полученных знаний нужно разобрать пример деления двух величин: 4 (2/25): 2/15. Дроби в этом случае являются разными, поскольку первая — смешанная, а вторая — обыкновенная правильная. Операция осуществляется по такому алгоритму:

Из примера видно, что деление одного обыкновенного дробного выражения на другое иногда приводит к целочисленному значению.

Таким образом, при выполнении операций деления двух обыкновенных дробей необходимо руководствоваться специальным алгоритмом, знать признаки делимости, а также уметь преобразовывать неправильное обычное дробное значение в правильное.

Источник

Дроби. Деление дробей.

Правила деления дробей.

1. Чтобы поделить 1-ну дробь на вторую, необходимо делимое умножить на число, которое обратно делителю.

2. Чтобы поделить дробь на натуральное число, необходимо делимое умножить на число, которое обратно делителю.

3. Иными словами, чтобы поделить дробь на натуральное число, необходимо знаменатель умножить на это число.

4. На ноль делить нельзя.

5. На смешанную дробь делить нельзя.

6. При определении результата пользуйтесь основным свойством дробей для сокращения дробей.

Для правильных и неправильных дробей правило деления следующее:

Чтобы поделить обыкновенную дробь, необходимо числитель делимого умножить на знаменатель делителя, а знаменатель делимого умножить на числитель делителя. Первое произведение берем числителем, а второе — знаменателем.

Деление дроби на дробь.

Чтобы разделить 1-ну обыкновенную дробь на вторую, не равную нулю, необходимо:

Иными словами, деление дробей переходит к умножению.

Чтоб поделить 1-ну дробь на вторую, необходимо делимое (1-ну дробь) умножить на обратную дробь делителю.

Деление дроби на число.

Схематически деление дроби на натуральное число выглядит так:

Чтобы поделить дробь на натуральное число, используют такой метод:

Выражаем натуральное число как неправильную дробь с числителем, который равен самому числу, а знаменатель равным 1-це.

Далее производим деление по правилу деления дроби на дробь.

Деление смешанных чисел.

При делении смешанных чисел необходимо представить числа как неправильные дроби, а далее делим их друг на друга по правилу деления дроби на дроби.

Источник