Как построить векторы по координатам

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

То есть A + C + D = 0.

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Источник

Метод координат (ЕГЭ 2022)

Метод координат — это твоя «палочка-выручалочка»! Он позволит тебе свести многие задачи по геометрии к простой алгебре.

Метод в особенности хорош, когда ты неуверенно чувствуешь себя в построении пространственных фигур, сечений и т. д.

Конечная цель статьи – научить тебя пользоваться методом координат, чтобы решать задачи ЕГЭ повышенной сложности для трехмерных фигур.

Давай с ним разберемся!

Метод координат — коротко о главном

Вектор – направленный отрезок. \( \displaystyle A\) — начало вектора, \( \displaystyle B\)-конец вектора.
Вектор обозначается \( \displaystyle a\) или \( \displaystyle \overline\).

Абсолютная величина вектора – длина отрезка, изображающего вектор. Обозначается, как \( \displaystyle \left| a \right|\).

Координаты вектора \( \displaystyle a\):

Произведение векторов: \( \displaystyle \lambda \overline(<_<1>>,\text< ><_<2>>)\text< >=

Скалярное произведение векторов: Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними:

Метод координат — способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов (например, положение шахматных фигур на доске определяется с помощью чисел и букв).

Система координат

С чего было бы логично начать обсуждение метода координат? Наверное, с понятия системы координат. Вспомни, когда ты с нею впервые столкнулся.

Мне кажется, что в 7 классе, когда ты узнал про существование линейной функции \( y=ax+b\), например, \( y=2-3\).

Напомню, ты строил ее по точкам. Помнишь?

Ты выбирал произвольное число \( x\), подставлял ее в формулу \( y=2-3\) и вычислял таким образом \( y\).

Например, если \( x=0\), то \( y=2\cdot 0-3=-3\), если же \( x=1\), то \( y=2\cdot 1-3=-1\)и т. д.

Что же ты получал в итоге?

А получал ты точки с координатами: \( A\left( 0,-3 \right)\) и \( B\left( 1,-1 \right)\).

Далее ты рисовал «крестик» (систему координат \( X0Y\)), выбирал на ней масштаб (сколько клеточек у тебя будет единичным отрезком) и отмечал на ней полученные тобою точки, которые затем соединял прямой линией, полученная линия и есть график функции \( y=2-3\).

Тут есть несколько моментов, которые стоит объяснить тебе чуть подробнее:

Векторы

Теперь давай с тобой сделаем следующий шаг: отметим две точки \( \displaystyle A\left( <_<1>>,<_<1>> \right)\) \( \displaystyle B\left( <_<2>>,<_<2>> \right)\).

Соединим эти две точки отрезком. И поставим стрелочку так, как будто мы проводим отрезок из точки \( \displaystyle A\) к точке \( \displaystyle B\):

То есть мы сделаем наш отрезок направленным!

Вспомни, как еще называется направленный отрезок? Верно, он называется вектором!

Вектором называется направленный отрезок, имеющий начало и конец.

Таким образом, если мы соединим точку \( \displaystyle A\) c точкой \( \displaystyle B\), причем началом у нас будет точка A, а концом – точка B, то мы получим вектор \( \displaystyle \overrightarrow\).

Это построение ты тоже делал в 8 классе, помнишь?

Координаты вектора

Оказывается, векторы, как и точки, можно обозначать двумя цифрами: эти цифры называются координатами вектора.

Вопрос: как ты думаешь, достаточно ли нам знать координаты начала и конца вектора, чтобы найти его координаты?

Оказывается, что да! И делается это очень просто:

Координаты вектора = координаты точки конца – координаты точки начала.

Таким образом, так как в векторе \( \displaystyle \overrightarrow\) точка \( \displaystyle A\left( <_<1>>,<_<1>> \right)\) – начало, а \( \displaystyle B\left( <_<2>>,<_<2>> \right)\) – конец, то вектор \( \displaystyle \overrightarrow\) имеет следующие координаты:

Например, если \( \displaystyle A\left( 2,0 \right)\)\( \displaystyle B\left( 1,2 \right)\), то координаты вектора \( \displaystyle \overrightarrow\)

Теперь давай сделаем наоборот, найдем координаты вектора \( \displaystyle \overrightarrow\).

Что нам для этого нужно поменять? Да, нужно поменять местами начало и конец: теперь начало вектора будет в точке \( \displaystyle B\), а конец – в точке \( \displaystyle A\).

\( \displaystyle \overrightarrow\left( 2-1,\text< >\!\!

Посмотри внимательно, чем отличаются векторы \( \displaystyle \overrightarrow\) и \( \displaystyle \overrightarrow\)?

Единственное их отличие – это знаки в координатах. Они противоположны. Этот факт принято записывать вот так:

Иногда, если не оговаривается специально, какая точка является началом вектора, а какая – концом, то векторы обозначают не двумя заглавными буквами, а одной строчной, например: \( \displaystyle <\vec>\), \( \displaystyle <\vec

>\) и т. д.

Еще больше о векторах и проекциях (эту тему мы непременно затронем) ты можешь прочитать в статье по физике «Большая теория по векторам» 🙂

Теперь немного потренируйся сам и найди координаты следующих векторов:

Проверка:

А теперь реши задачку чуть посложнее:

Век­тор \( \displaystyle \overrightarrow\) с на­ча­лом в точке \( \displaystyle A\left( 2;

4 \right)\) имеет ко­ор­ди­на­ты \( \displaystyle \left( 6;

2 \right)\). Най­ди­те абс­цис­су точки \( \displaystyle B\).

Решение:

Все тоже довольно прозаично: пусть \( \displaystyle (x,y)\) – координаты точки \( \displaystyle B\). Тогда

Систему я составил по определению того, что такое координаты вектора. Тогда точка \( \displaystyle B\) имеет координаты \( \displaystyle \left( 8,6 \right)\). Нас интересует абсцисса. Тогда

Ответ: \( \displaystyle 8\)

Действия с векторами

Что еще можно делать с векторами?

Да почти все то же самое, что и с обычными числами:

Что же происходит при выполнении этих действий с координатами векторов?

1. При сложении (вычитании) двух векторов, мы складываем (вычитаем) поэлементно их координаты.

2. При умножении (делении) вектора на число, все его координаты умножаются (делятся) на это число:

Сложение и вычитание векторов (визуализация)

Кстати, все эти операции имеют вполне наглядное геометрическое или визуальное представление.

Например, правило треугольника (или параллелограмма) для сложения и вычитания.

Сложение векторов по правилу треугольника:

Вычитание векторов по правилу треугольника:

Сложение векторов по правилу параллелограмма:

Вектор растягивается или сжимается или меняет направление при умножении или делении на число:

Например:

Най­ди­те сумму ко­ор­ди­нат век­то­ра \( \vec+\vec\).

Вектор растягивается или сжимается или меняет направление при умножении или делении на число:

Давай вначале найдем координаты каждого из векторов.

Оба они имеют одинаковое начало – точку начала координат. Концы у них разные.

Тогда сумма координат полученного вектора равна \( 20\).

Ответ: \( 20\)

Теперь реши сам следующую задачу:

Найти сумму координат вектора \( 3\vec-2\vec\)

Ответ: \( 0\)

Расстояние между двумя точками на координатной плоскости

Давай рассмотрим теперь следующую задачу: у нас есть две точки на координатной плоскости. Как найти расстояние между ними?

Обозначим расстояние между ними через \( d\). Давай сделаем для наглядности следующий чертеж:

А также из точки \( <

_<1>>\) провел линию, параллельную оси \( Ox\), а из точки \( <

_<2>>\) провел линию, параллельную оси \( Oy\).

Они пересеклись в точке \( R\), образовав при этом замечательную фигуру. Чем она замечательна?

Да мы с тобой почти что все знаем про прямоугольный треугольник. Ну уж теорему Пифагора – точно!

Искомый отрезок – это гипотенуза этого треугольника, а отрезки \( <

_<1>>R,

Чему равны координаты точки \( R\)?

Да, их несложно найти по картинке: \( R\left( <_<2>>,<_<1>> \right).

Так как отрезки \( <

_<1>>R,

<

_<2>>R\) параллельны осям \( Ox\) и \( Oy\) соответственно, то их длины легко найти: если обозначить длины отрезков \( <

_<1>>R,

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора. Длины катетов нам известны, гипотенузу мы найдем:

Таким образом, расстояние между двумя точками – это корень из суммы квадратов разностей из координат.

Или же – расстояние между двумя точками – это длина отрезка, их соединяющего.

Легко заметить, что расстояние между точками не зависит от направления.

Отсюда делаем три вывода:

Давай немного поупражняемся в вычислении расстояния между двумя точками:

Например, если \( A\left( 1,2 \right),

B\left( 3,4 \right)\), то расстояние между \( A\) и \( B\) равно

Или пойдем по-другому: найдем координаты вектора \( \overrightarrow\)

\( \overrightarrow\left( 3-1,4-2 \right)=\overrightarrow\left( 2,2 \right)\)

И найдем длину вектора:

Как видишь, одно и то же!

Теперь немного потренируйся сам:

Задание. Найти расстояние между указанными точками:

Вот еще пара задачек на ту же формулу, правда звучат они немного по-другому:

1. Най­ди­те квад­рат длины век­то­ра \( \vec-\vec\).

2. Най­ди­те квад­рат длины век­то­ра \( \overrightarrow\)

Я так думаю, ты с ними без труда справился? Проверяем:

1. А это на внимательность) Мы уже нашли координаты векторов \( \displaystyle <\vec>\) и \( \displaystyle <\vec>\) ранее: \( \displaystyle \vec\left( 2,6 \right),

2. Найдем координаты вектора \( \displaystyle \overrightarrow=\overrightarrow\left( 8-2,6-4 \right)=\overrightarrow\left( 6,2 \right)\)

Тогда квадрат его длины равен

Ничего сложного, правда? Обычная арифметика, не более того.

Следующие задачки нельзя однозначно классифицировать, они скорее на общую эрудицию и на умение рисовать простенькие картинки.

Задача 1. Най­ди­те синус угла на­кло­на от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го точки \( \displaystyle O\left( 0;

0 \right)\),\( \displaystyle A\left( 6;

8 \right)\) с осью абсцисс.

Как мы будем поступать здесь?

Нужно найти синус угла между \( \displaystyle OA\) и осью \( \displaystyle Ox\).

А где мы умеем искать синус? Верно, в прямоугольном треугольнике.

Так что нам нужно сделать? Построить этот треугольник!

Поскольку координаты точки \( \displaystyle A-6\) и \( \displaystyle 8\), то отрезок \( \displaystyle OB\) равен \( \displaystyle 6\), а отрезок \( \displaystyle AB-8\).

Нам нужно найти синус угла \( \displaystyle \angle AOB\).

Напомню тебе, что синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, тогда

\( \displaystyle sin\angle AOB=\frac\)

Что нам осталось сделать?

Ты можешь сделать это двумя способами: по теореме Пифагора (катеты-то известны!) или по формуле расстояния между двумя точками (на самом деле одно и то же, что и первый способ!).

Я пойду вторым путем:

\( \displaystyle sin\angle AOB=\frac=\frac<8><10>=0.8\)

Ответ: \( \displaystyle 0.8\)

Следующая задача покажется тебе еще проще. Она – на координаты точки.

Задача 2. Из точки \( \displaystyle A\left( 6;8 \right)\) опу­щен пер­пен­ди­ку­ляр на ось абс­цисс. Най­ди­те абс­цис­су ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ля­ра.

Давай сделаем рисунок:

Основание перпендикуляра – это та точка, в которой он пересекает ось абсцисс (ось \( \displaystyle Ox\)) у меня это точка \( \displaystyle B\).

По рисунку видно, что \( \displaystyle B\) имеет координаты: \( \displaystyle B\left( 6,0 \right)\).

Нас интересует абсцисса – то есть «иксовая» составляющая. Она равна \( \displaystyle 6\).

Ответ: \( \displaystyle 6\).

Задача 3. В условиях предыдущей задачи найти сумму расстояний от точки \( \displaystyle A\) до осей координат.

Задача – вообще элементарная, если знать, что такое расстояние от точки до осей.

Я надеюсь, но все же напомню тебе:

Расстояние от точки до осей координат – это длины перпендикуляров, опущенных из точки к осям.

Итак, на моем рисунке, расположенном чуть выше, я уже изобразил один такой перпендикуляр. К какой он оси?

К оси \( \displaystyle Ox\).

И чему же равна тогда его длина?

Она равна \( \displaystyle 8\).

Теперь сам проведи перпендикуляр к оси \( \displaystyle Oy\) и найди его длину. Она будет равна \( \displaystyle 6\), ведь так?

Тогда их сумма равна \( \displaystyle 14\).

Ответ: \( \displaystyle 14\).

Задача 4. В условиях задачи 2, найдите ординату точки, симметричной точке \( \displaystyle A\) относительно оси абсцисс.

Я думаю, тебе интуитивно ясно, что такое симметрия?

Очень многие объекты ею обладают: многие здания, столы, самолеты, многие геометрические фигуры: шар, цилиндр, квадрат, ромб и т. д.

Грубо говоря, симметрию можно понимать вот как: фигура состоит из двух (или более) одинаковых половинок. Такая симметрия называется осевой.

А что тогда такое ось?

Это как раз та линия, по которой фигуру можно, условно говоря, «разрезать» на одинаковые половинки (на данной картинке ось симметрии – прямая \( \displaystyle l\)):

Теперь давай вернемся к нашей задаче.

Нам известно, что мы ищем точку, симметричную относительно оси \( \displaystyle Ox\).

Тогда эта ось – ось симметрии.

Попробуй сам отметить такую точку. А теперь сравни с моим решением:

У тебя получилось так же?

Хорошо! У найденной точки нас интересует ордината.

А теперь скажи мне, подумав \( \displaystyle 10\) секунд, чему будет равна абсцисса точки, симметричной точке A относительно оси ординат?

В общем случае правило можно записать вот так:

Ну и теперь совсем страшная задача: найти координаты точки, симметричной точке \( \displaystyle A\), относительно начала координат.

Ты вначале подумай сам, а потом посмотри на мой рисунок!

Теперь задачка на параллелограмм:

Задача 5. Точки \( \displaystyle O\left( 0;

\) яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки \( \displaystyle B\).

Можно решать эту задачу двумя способами: логикой и методом координат.

Я вначале применю метод координат, а потом расскажу тебе, как можно решить иначе.

Совершенно ясно, что абсцисса точки \( \displaystyle B\) равна \( \displaystyle 6\). (она лежит на перпендикуляре, проведенной из точки \( \displaystyle A\) к оси абсцисс).

Нам нужно найти ординату.

Воспользуемся тем, что наша фигура – параллелограмм, это значит, что \( \displaystyle CA=OB\).

Найдем длину отрезка \( \displaystyle CA\), используя формулу расстояния между двумя точками:

Опускаем перпендикуляр, соединяющий точку \( B\) с осью \( Ox\).

Точку пересечения обозначу буквой \( D\).

Длина отрезка \( OD\) равна \( 6\). (найди сам задачу, где мы обсуждали этот момент), тогда найдем длину отрезка \( BD\) по теореме Пифагора:

Длина отрезка – в точности совпадает с его ординатой.

Ответ: \( 2\).

Другое решение (я просто приведу рисунок, который его иллюстрирует)

Еще одна задачка на длину отрезка:

2 \right)\) яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми тре­уголь­ни­ка. Най­ди­те длину его сред­ней линии \( CD\), па­рал­лель­ной \( OA\).

Ты помнишь, что такое средняя линия треугольника?

Тогда для тебя эта задача элементарна. Если не помнишь, то я напомню: средняя линия треугольника – это линия, которая соединяет середины противоположных сторон.

Она параллельна основанию и равна его половине.

Основание – это отрезок \( OA\).

Его длину нам приходилось искать ранее, оно равно \( 10\).

Тогда длина средней линии вдвое меньше и равна \( 5\).

Ответ: \( 5\).

Комментарий: эту задачу можно решить и другим способом, к которому мы обратимся чуть позже.

А пока – вот тебе несколько задачек, потренируйся на них, они совсем простые, но помогают «набивать руку», на использовании метода координат!

1. Точки \( O\left( 0;

6 \right)\) яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми тра­пе­ции. Най­ди­те длину ее сред­ней линии \( DE\).

2. Точки \( O\left( 0;

6 \right)\) и \( A\) яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки \( A\).

3. Най­ди­те длину от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го точки \( A\left( 6 ;

4. Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти.

5. Окруж­ность с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат про­хо­дит через точку \( \displaystyle P\left( 8;\text< >6 \right)\). Най­ди­те ее ра­ди­ус.

Решения:

1. Известно, что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.

Основание \( \displaystyle CB\) равно \( \displaystyle 6\), а основание \( \displaystyle OA-10\).

Тогда \( \displaystyle ED=\frac<2>=\frac<16><2>=8\)

Ответ: \( \displaystyle 8\)

2. Проще всего решить эту задачу так: заметить, что \( \displaystyle \overrightarrow=\overrightarrow+\overrightarrow\) (правило параллелограмма).

Вычислить координаты векторов \( \displaystyle \overrightarrow\) и \( \displaystyle \overrightarrow\) не представляет труда: \( \displaystyle \overrightarrow\left( 2,6 \right),

\overrightarrow\left( 8,2 \right)\).

При сложении векторов координаты складываются.

Тогда \( \displaystyle \overrightarrow\) имеет координаты \( \displaystyle \left( 10,8 \right)\).

Эти же координаты имеет и точка \( \displaystyle A\), поскольку начало вектора \( \displaystyle \overrightarrow\) – это точка с координатами \( \displaystyle \left( 0,0 \right)\).

Нас интересует ордината. Она равна \( \displaystyle 8\).

Ответ: \( \displaystyle 8\)

3. Действуем сразу по формуле расстояния между двумя точками:

Ответ: \( \displaystyle 10\)

4. Посмотри на картинку и скажи, между какими двумя фигурами «зажата» заштрихованная область?

Она зажата между двумя квадратами. Тогда площадь искомой фигуры равна площади большого квадрата минус площадь маленького.

Сторона маленького квадрата – это отрезок, соединяющий точки \( \displaystyle \left( 0,2 \right)\) и \( \displaystyle \left( 2,0 \right).\) Его длина равна

Тогда площадь маленького квадрата равна

Точно так же поступаем и с большим квадратом: его сторона – это отрезок, соединяющий точки \( \displaystyle \left( 0,4 \right)\) и \( \displaystyle \left( 4,0 \right).\)

Тогда площадь большого квадрата равна

Площадь искомой фигуры найдем по формуле:

Ответ: \( \displaystyle 24\)

5. Если окружность имеет в качестве центра начало координат и проходит через точку \( \displaystyle P\), то ее радиус \( \displaystyle R\) будет в точности равен длине отрезка \( \displaystyle OP\) (сделай рисунок и ты поймешь, почему это очевидно).

Найдем длину этого отрезка:

Ответ: \( \displaystyle 10\)

6. Известно, что радиус описанной около прямоугольника окружности равен половине его диагонали.

Найдем длину любой из двух диагоналей (ведь в прямоугольнике они равны!)

\( \displaystyle R=\frac<1><2>\left| AC \right|=5\)

Ответ: \( \displaystyle 5\)

Ну что, ты со всем справился?

Было не очень сложно разобраться, ведь так? Правило здесь одно – уметь сделать наглядную картинку и просто «считать» с нее все данные.

Нам осталось совсем немного. Есть еще буквально два момента, которые бы мне хотелось обсудить:

Координаты середины отрезка

Давай попробуем решить вот такую нехитрую задачку.

Пусть даны две точки \( \displaystyle A\left( <_<1>>,<_<2>> \right)

Найти координаты середины отрезка \( \displaystyle AB\). Решение этой задачки следующее: пусть точка \( \displaystyle D\) – искомая середина, тогда \( \displaystyle D\) имеет координаты:

То есть: координаты середины отрезка = среднее арифметическое соответствующих координат концов отрезка.

Это правило очень простое и как правило не вызывает затруднений у учащихся. Давай посмотрим, в каких задачках и как оно употребляется:

1. Най­ди­те ор­ди­на­ту се­ре­ди­ны от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го точки \( \displaystyle A\left( 6,

2. Точки \( \displaystyle O\left( 0;

6 \right)\) яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми че­ты­рех­уголь­ни­ка. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки \( \displaystyle P\) пе­ре­се­че­ния его диа­го­на­лей.

Решения:

1. Первая задачка – просто классика. Действуем сразу по определению середины отрезка. Она имеет координаты \( \displaystyle \left( \frac<6-2><2>,

Ордината равна \( \displaystyle 5\).

Ответ: \( \displaystyle 5\)

2. Легко видеть, что данный четырехугольник является параллелограммом (даже ромбом!). Ты и сам можешь это доказать, вычислив длины сторон и сравнив их между собой.

Что я знаю про параллелограмм?

Его диагонали точкой пересечения делятся пополам! Ага! Значит точка пересечения диагоналей – это что?

Это середина любой из диагоналей!

Выберу, в частности диагональ \( \displaystyle OA\). Тогда точка \( \displaystyle P\) имеет координаты \( \displaystyle \left( \frac<6+0><2>,\frac<8+0> <2>\right)=\left( 3,4 \right).\)

Ордината точки \( \displaystyle P\) равна \( \displaystyle 4\).

Ответ: \( \displaystyle 4\)

3. С чем совпадает центр описанной около прямоугольника окружности?

Он совпадает с точкой пересечения его диагоналей. А что ты знаешь про диагонали прямоугольника?

Они равны и точкой пересечения делятся пополам. Задача свелась к предыдущей.

Возьму, например, диагональ \( \displaystyle AC\). Тогда если \( \displaystyle P\) – центр описанной окружности, то \( \displaystyle P\) – середина \( \displaystyle AC\).

Ищу координаты: \( \displaystyle P\left( \frac<-2+6><2>,\frac<-2+4> <2>\right)=P\left( 2,1 \right).\) Абсцисса равна \( \displaystyle 2\).

Ответ: \( \displaystyle 2\)

Теперь потренируйся немного самостоятельно, я лишь приведу ответы к каждой задачи, чтобы ты мог себя проверить.

1. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты \( \displaystyle \left( 8;

2. Най­ди­те ор­ди­на­ту цен­тра окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты \( \displaystyle \left( 8;

3. Ка­ко­го ра­ди­у­са долж­на быть окруж­ность с цен­тром в точке \( \displaystyle P\left( 8;

6 \right),\) чтобы она ка­са­лась оси абс­цисс?

Умножение векторов

Все удалось? Очень на это надеюсь! Теперь – последний рывок.

Сейчас будь особенно внимателен. Тот материал, который я сейчас буду объяснять, имеет непосредственное отношение не только к простым задачам на метод координат, но также встречается повсеместно и в задачах повышенной сложности.

Какое из своих обещаний я еще не сдержал?

Вспомни, какие операции над векторами я обещал ввести и какие в конечном счете ввел? Я точно ничего не забыл?

Забыл! Забыл объяснить, что значит умножение векторов.

Есть два способа умножить вектор на вектор. В зависимости от выбранного способа у нас будут получаться объекты разной природы:

Векторное произведение выполняется довольно хитро. Как его делать и для чего оно нужно, мы с тобой обсудим чуть позже. А пока мы остановимся на скалярном произведении.

Есть аж два способа, позволяющих нам его вычислить:

Как ты догадался, результат должен быть один и тот же! Итак, давай вначале рассмотрим первый способ:

Источник