Как построить следы плоскости алгоритм

Следы плоскости

На рисунке показана плоскость общего положения α. Она пересекает плоскости проекций П₁, П₂, П₃ по прямым h_0α, f_0α и p_0α. Эти прямые называются горизонтальным, фронтальным и профильным следом плоскости α.

Оси координат пл. α пересекает в точках X_α, Y_α и Z_α. Они называются точками схода следов. При этом X_α = h_0α ∩ f_0α, Y_α = h_0α ∩ p_0α, Z_α = f_0α ∩ p_0α. Здесь знак ∩ означает пересечение.

На комплексном чертеже плоскость можно задать проекциями двух её следов. Это обеспечивает наглядность изображения и удобство при выполнении ряда построений. Стоит отметить, что угол, образованный следами плоскости на комплексном чертеже, не равен углу между ними в пространстве.

Алгоритм построения следов плоскости

На рисунке, который представлен ниже, некоторая плоскость α задана проекциями двух пересекающихся прямых a и b. Чтобы найти её следы, необходимо:

Решение задачи можно сократить. Для этого, построив горизонтальный след плоскости, фронтальный нужно провести через X_α и одну из точек, F_a или F_b. Таким образом, вместо четырех следов прямых a и b будет достаточно найти три.

Источник

Задание 1. Построение следов плоскости и определение расстояния от точки до плоскости

1.1. Условие задания

Построить следы плоскости, заданной ∆BCD, и определить расстояние от точки А до заданной плоскости методом прямоугольного треугольника (координаты точек А, В, С и D см. в Таблице 1 раздела Задания);

1.2. Пример выполнения задания № 1

Первое задание представляет комплекс задач по темам:

1. Ортогональное проецирование, эпюр Монжа, точка, прямая, плоскость: по известным координатам трех точек B, C, D построить горизонтальную и фронтальную проекции плоскости, заданной ∆BCD;

2. Следы прямой, следы плоскости, свойства принадлежности прямой плоскости: построить следы плоскости, заданной ∆BCD;

3. Плоскости общего и частного положения, пересечение прямой и плоскости, перпендикулярность прямой и плоскости, пересечение плоскостей, метод прямоугольного треугольника: определить расстояние от точки А до плоскости ∆BCD.

1.2.1. По известным координатам трех точек B, C, D построим горизонтальную и фронтальную проекции плоскости, заданной ∆BCD (Рисунок 1.1), для чего необходимо построить горизонтальные и фронтальные проекции вершин ∆BCD, а затем одноименные проекции вершин соединить.

Известно, что следом плоскости называется прямая, полученная в результате пересечения заданной плоскости с плоскостью проекций.

У плоскости общего положения 3 следа: горизонтальный, фронтальный и профильный.

Для того чтобы построить следы плоскости, достаточно построить следы (горизонтальный и фронтальный) любых двух прямых, лежащих в этой плоскости, и соединить их между собой. Таким образом, след плоскости (горизонтальный или фронтальный) будет однозначно определен, поскольку через две точки на плоскости (в данном случае этими точками будут следы прямых) можно провести прямую, и при том, только одну.

Основанием для такого построения служит свойство принадлежности прямой плоскости: если прямая принадлежит заданной плоскости, то ее следы лежат на одноименных следах этой плоскости.

Следом прямой называется точка пересечения этой прямой с плоскостью проекций.

Горизонтальный след прямой лежит в горизонтальной плоскости проекций, фронтальный – во фронтальной плоскости проекций.

Рассмотрим построение горизонтального следа прямой DB, для чего необходимо:

1. Продолжить фронтальную проекцию прямой DB до пересечения с осью X, точка пересечения М₂ является фронтальной проекцией горизонтального следа;

2. Из точки М₂ восстановить перпендикуляр (линию проекционной связи) до его пересечения с горизонтальной проекцией прямой DB или ее продолжением. Точка пересечения М₁ и будет являться горизонтальной проекцией горизонтального следа (Рисунок 1.1), которая совпадает с самим следом М.

Аналогично выполняется построение горизонтального следа отрезка СВ прямой: точка М’.

Чтобы построить фронтальный след отрезка CB прямой, необходимо:

1. Продолжить горизонтальную проекцию прямой CB до пересечения с осью X, точка пересечения N₁ является горизонтальной проекцией фронтального следа;

2. Из точки N₁ восстановить перпендикуляр (линию проекционной связи) до его пересечения с фронтальной проекцией прямой CB или ее продолжением. Точка пересечения N₂ и будет являться фронтальной проекцией фронтального следа, которая совпадает с самим следом N.

Соединив точки M′₁ и M₁ отрезком прямой, получим горизонтальный след плоскости απ₁. Точка α_x пересечения απ₁ с осью X называется точкой схода следов. Для построения фронтального следа плоскости απ₂ необходимо соединить фронтальный след N₂ с точкой схода следов α_x

Рисунок 1.1 — Построение следов плоскости

Алгоритм решения этой задачи может быть представлен следующим образом:

1.2.2. Для решения второй части первого задания необходимо знать, что:

Чтобы найти основание перпендикуляра, необходимо решить задачу на пересечение прямой (в данной задаче такой прямой является перпендикуляр к плоскости) с плоскостью:

1. Заключить перпендикуляр во вспомогательную плоскость, в качестве которой следует взять плоскость частного положения (горизонтально-проецирующую или фронтально-проецирующую, в примере в качестве вспомогательной плоскости взята горизонтально-проецирующая γ, то есть перпендикулярная к π₁, ее горизонтальный след γ₁ совпадает с горизонтальной проекцией перпендикуляра);

2. Найти линию пересечения заданной плоскости ∆BCD со вспомогательной γ (MN на рис. 1.2);

3. Найти точку пересечения линии пересечения плоскостей MN с перпендикуляром (точка К на рис. 1.2).

4. Для определения истинной величины расстояния от точки А до заданной плоскости ∆BCD следует воспользоваться методом прямоугольного треугольника: истинная величина отрезка есть гипотенуза прямоугольного треугольника, одним катетом которого является одна из проекций отрезка, а другим – разность расстояний от его концов до плоскости проекций, в которой ведётся построение.

5. Определите видимость участков перпендикуляра методом конкурирующих точек. На примере — точки N и 3 для определения видимости на π₁, точки 4, 5 — для определения видимости на π₂.

Рисунок 1.2 — Построение перпендикуляра к плоскости

Рисунок 1.3 — Пример оформления контрольного задания №1

Источник

Лекция 3. Плоскость

3.1. Способы задания плоскости на ортогональных чертежах

Рисунок 3.1 – Способы задания плоскостей

Плоскость общего положения – это плоскость, которая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.

Следом плоскости называется прямая, полученная в результате пересечения заданной плоскости с одной из плоскостей проекций.

Плоскость общего положения может иметь три следа: горизонтальный – απ₁, фронтальный – απ₂ и профильный – απ₃, которые она образует при пересечении с известными плоскостями проекций: горизонтальной π₁, фронтальной π₂ и профильной π₃ (Рисунок 3.2).

Рисунок 3.2 – Следы плоскости общего положения

3.2. Плоскости частного положения

Плоскость частного положения – плоскость, перпендикулярная или параллельная плоскости проекций.

Плоскость, перпендикулярная плоскости проекций, называется проецирующей и на эту плоскость проекций она будет проецироваться в виде прямой линии.

Свойство проецирующей плоскости : все точки, линии, плоские фигуры, принадлежащие проецирующей плоскости, имеют проекции на наклонном следе плоскости (Рисунок 3.3).

Рисунок 3.3 – Фронтально-проецирующая плоскость, которой принадлежат: точки А, В, С; линии АС, АВ, ВС; плоскость треугольника АВС

Фронтально-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, а).

Горизонтально-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, б).

Профильно-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций.

Плоскости, параллельные плоскостям проекций, называются плоскостями уровня или дважды проецирующими плоскостями.

Фронтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, в).

Горизонтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, г).

Профильная плоскость уровня – плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (Рисунок 3.4, д).

Рисунок 3.4 – Эпюры плоскостей частного положения

3.3. Точка и прямая в плоскости. Принадлежность точки и прямой плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости (Рисунок 3.5). Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью хотя бы две общие точки (Рисунок 3.6).

Рисунок 3.5 – Принадлежность точки плоскости

Рисунок 3.6 – Принадлежность прямой плоскости

\left.\begin\alpha=m\parallel n,\\D\in\alpha\\C\in\alpha\\\end\right\> \Longrightarrow CD\in\alpha

Упражнение

Рисунок 3.7 – Решение задачи

3.4. Главные линии плоскости

В плоскости можно построить бесконечное множество прямых, но есть особые прямые, лежащие в плоскости, называемые главными линиями плоскости (Рисунок 3.8 – 3.11).

Прямой уровня или параллелью плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная одной из плоскостей проекций.

Горизонталь или горизонтальная прямая уровня h (первая параллель) – это прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (π₁) (Рисунок 3.8, а; 3.9).

Фронталь или фронтальная прямая уровня f (вторая параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (π₂) (Рисунок 3.8, б; 3.10).

Профильная прямая уровня p (третья параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная профильной плоскости проекций (π₃) (Рисунок 3.8, в; 3.11).

Рисунок 3.8 а – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.8 б – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.8 в – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.9 – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.10 – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.11 – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной следами

3.5. Взаимное положение прямой и плоскости

Прямая по отношению к заданной плоскости может быть параллельной и может с ней иметь общую точку, то есть пересекаться.

3.5.1. Параллельность прямой плоскости

Признак параллельности прямой плоскости : прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости (Рисунок 3.12).

\alpha=m\cap n\\\left.\begina_2\parallel m_2\\a_1\parallel m_1\\\end\right\> \Rightarrow a\parallel\alpha

Рисунок 3.12 – Параллельность прямой плоскости

3.5.2. Пересечение прямой с плоскостью

Для построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения (Рисунок 3.13), необходимо:

Рисунок 3.13 – Построение точки встречи прямой с плоскостью

Упражнение

Заданы: прямая АВ общего положения, плоскость σ⊥π₁. (Рисунок 3.14). Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью σ.

Рисунок 3.14 – Пересечение прямой общего положения с плоскостью частного положения

Упражнение

Заданы: плоскость σ = ΔАВС – общего положения, прямая EF (Рисунок 3.15).

Требуется построить точку пересечения прямой EF с плоскостью σ.

Рисунок 3.15 – Пересечение прямой с плоскостью

3.6. Определение видимости методом конкурирующих точек

При оценке положения данной прямой, необходимо определить – точка какого участка прямой расположена ближе (дальше) к нам, как к наблюдателям, при взгляде на плоскость проекций π₁ или π₂.
Точки, которые принадлежат разным объектам, а на одной из плоскостей проекций их проекции совпадают (то есть, две точки проецируются в одну), называются конкурирующими на этой плоскости проекций.
Необходимо отдельно определить видимость на каждой плоскости проекций.
Видимость на π₂ (рис. 3.15)
Выберем точки, конкурирующие на π₂ – точки 3 и 4. Пусть точка 3∈ВС∈σ, точка 4∈EF.
Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π₂ надо определить расположение этих точек на горизонтальной плоскости проекций при взгляде на π₂.
Направление взгляда на π₂ показано стрелкой.
По горизонтальным проекциям точек 3 и 4, при взгляде на π₂, видно, что точка 4₁ располагается ближе к наблюдателю, чем 3₁.
4₁∈E₁F₁ ⇒ 4∈EF ⇒ на π₂ будет видима точка 4, лежащая на прямой EF, следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена перед плоскостью σ и будет видима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.
Видимость на π₁.
Для определения видимости выберем точки, конкурирующие на π₁ – точки 2 и 5.
Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π₁ надо определить расположение этих точек на фронтальной плоскости проекций при взгляде на π₁.
Направление взгляда на π₁ показано стрелкой.
По фронтальным проекциям точек 2 и 5, при взгляде на π₁, видно, что точка 2₂ располагается ближе к наблюдателю, чем 5₂.
2₂∈А₂В₂ ⇒ 2∈АВ ⇒ на π₁ будет видима точка 2, лежащая на прямой АВ, следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена под плоскостью σ и будет невидима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.
Видимой из двух конкурирующих точек будет та, у которой координата «Z» или(и) «Y» больше.

3.7. Перпендикулярность прямой плоскости

Признак перпендикулярности прямой плоскости : прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости.

Рисунок 3.16 – Задание прямой, перпендикулярной плоскости

Теорема. Если прямая перпендикулярна плоскости, то на эпюре: горизонтальная проекции прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (Рисунок 3.16, б)

Теорема доказывается через теорему о проецировании прямого угла в частном случае.

Если плоскость задана следами, то проекции прямой перпендикулярной плоскости перпендикулярны соответствующим следам плоскости (Рисунок 3.16, а).

Пусть прямая p перпендикулярна плоскости σ=ΔАВС и проходит через точку K.

3.8. Взаимное положение двух плоскостей

3.8.1. Параллельность плоскостей

Две плоскости могут быть параллельными и пересекающимися между собой.

Признак параллельности двух плоскостей : две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Упражнение

Задана плоскость общего положения α=ΔАВС и точка F∉α (Рисунок 3.17).

Через точку F провести плоскость β, параллельную плоскости α.

Рисунок 3.17 – Построение плоскости, параллельной заданной

3.8.2. Пересечение плоскостей

Результатом пересечения 2-х плоскостей является прямая. Любая прямая на плоскости или в пространстве может быть однозначно задана двумя точками. Поэтому для того, чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, следует найти две точки, общие для обеих плоскостей, после чего соединить их.

Рассмотрим примеры пересечения двух плоскостей при различных способах их задания: следами; тремя точками, не лежащими на одной прямой; параллельными прямыми; пересекающимися прямыми и др.

Упражнение

Рисунок 3.18 – Пересечение плоскостей общего положения, заданных следами

Упражнение

Алгоритм решения задачи :

\left.\beginAB\cap\sigma=K\\AC\cap\sigma=L\\\end\right\> \left.\begin\Rightarrow A_1B_1\cap\sigma_1=K_1 \rightarrow K_2\\\Rightarrow A_1C_1\cap \sigma_1=L_1 \rightarrow L_2\\\end\right.

KL – линия пересечения ΔАВС и σ (α∩σ = KL).

Рисунок 3.19 – Пересечение плоскостей общего и частного положения

Упражнение

Рисунок 3.20 – Пересечение двух плоскостей общего положения (общий случай)

Алгоритм решения задачи :

\left.\begin\alpha\cap\sigma=(4-5)\\\beta\cap\sigma=(3-2)\\\end\right\>\\\left.\begin\alpha\cap\tau=(6-7)\\\beta\cap\tau=(1-8)\\\end\right\>\left.\begin(4_1-5_1)\cap(3_1-2_1)=M_1\rightarrow M_2\\(6_1-7_1)\cap(1_1-8_1)=N_1\rightarrow N_2\\\end\right\>\rightarrow\\\left.\beginM_1N_1\\M_2N_2\\\end\right\>\Rightarrow\alpha\cap\beta=MN

Упражнение

Заданы плоскости α = ΔАВС и β = a//b. Построить линию пересечения заданных плоскостей (Рисунок 3.21).

Рисунок 3.21 Решение задачи на пересечение плоскостей

Решение: Воспользуемся вспомогательными секущими плоскостями частного положения. Введём их так, чтобы сократить количество построений. Например, введём плоскость σ⊥π₂, заключив прямую a во вспомогательную плоскость σ (σ∈a). Плоскость σ пересекает плоскость α по прямой (1-2), а σ∩β=а. Следовательно (1-2)∩а=K. Точка К принадлежит обеим плоскостям α и β. Следовательно, точка K, является одной из искомых точек, через которые проходит прямая пересечения заданных плоскостей α и β. Для нахождения второй точки, принадлежащей прямой пересечения α и β, заключим прямую b во вспомогательную плоскость τ⊥π₂ (τ∈b). Соединив точки K и L, получим прямую пересечения плоскостей α и β.

3.8.3. Взаимно перпендикулярные плоскости

Плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

Упражнение

Задана плоскость σ⊥π₂ и прямая общего положения – DE (Рисунок 3.22)

Требуется построить через DE плоскость τ⊥σ.

Рисунок 3.22 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости

По теореме о проецировании прямого угла C₁D₁ должна быть параллельна оси проекций. Пересекающиеся прямые CD∩DE задают плоскость τ. Итак, τ⊥σ. Аналогичные рассуждения, в случае плоскости общего положения.

Упражнение

Рисунок 3.23 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной ΔАВС

3.9. Задачи для самостоятельного решения

1. Задана плоскость α = m//n (Рисунок 3.24). Известно, что K∈α.

Постройте фронтальную проекцию точки К.

2. Постройте следы прямой, заданной отрезком CB, и определите квадранты, через которые она проходит (Рисунок 3.25).

3. Постройте проекции квадрата, принадлежащего плоскости α⊥π₂, если его диагональ MN //π₂ (Рисунок 3.26).

4. Построить прямоугольник ABCD с большей стороной ВС на прямой m, исходя из условия, что отношение его сторон равно 2 (Рисунок 3.27).

5. Задана плоскость α=a//b (Рисунок 3.28). Построить плоскость β параллельную плоскости α и удаленную от нее на расстоянии 20 мм.

6. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D плоскость β⊥α и β⊥π₁.

7. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D прямую DE//α и DE//π₁.

Источник

Научная электронная библиотека

Пиралова О. Ф., Ведякин Ф Ф.,

2.7. Следы плоскости

Следом плоскости α называется линия пересечения этой плоскости с плоскостью проекций.

На рис. 2.19. изображена плоскость общего положения α(m∩n), образованная двумя пересекающимися прямыми, проходящими через точки А и В, расположенными в первом октанте.

Для построения следов плоскости на комплексном чертеже, необходимо помнить, что след плоскости – это линия, значит необходимо найти две точки, через которые пройдет эта линия, т. е. след плоскости. При построении плоскости за такие точки можно принять следы любых прямых линий, принадлежащих этой плоскости.

На рис. 2.19 в горизонтальной плоскости проекций π1 её горизонтальный след h0α проходит через горизонтальные следы Н и Н’ прямых m и n, а во фронтальной плоскости проекций π2 – фронтальный след плоскости f0α проходит через фронтальные следы прямых F и F’.

Рис. 2.19. Пример изображения следов плоскости α в пространстве

Для нахождения следов плоскости нужно применить правило построения следов прямых линий, который был рассмотрен выше (§2.4). Для построения горизонтального следа плоскости необходимо построить два горизонтальных следа прямых, принадлежащих плоскости, а для построения фронтального следа плоскости – два горизонтальных следа прямых, принадлежащих плоскости α(m∩n).

В системе двух плоскостей проекций π1 и π2 плоскость в общем случае имеет два следа: горизонтальный ha0 и фронтальный fa0, которые являются пересечением плоскости α соответственно с горизонтальной и фронтальной плоскостями проекций (рис. 2.19, 2.20).

.

Рис. 2.20. Пример изображения следов плоскости и их алгоритм построения на комплексном чертеже

Точки пересечения плоскости α с координатными осями X, Y, Z называются точками схода следов и обозначаются соответственно Sx, Sy, Sz (рис. 2.16). На рис. 2.20. приведен комплексный чертеж плоскости треугольника АВС и разобран пример построения двух следов этой плоскости – горизонтального ha0 и фронтального fa0. Для этого выполнено построение горизонтальных следов прямых АВ и ВС, принадлежащих плоскости треугольника. Эти следы обозначены буквами Н и Н’. Решение на рисунке выполнено синими линиями со стрелками. Аналогичное построение выполнено и для фронтального следа линиями зелёного цвета. Порядок построения следов ясен из рисунка.

Вопросы для самоконтроля

1. Когда точка принадлежит какой либо плоскости проекций?

2. Как может быть задана прямая на комплексном чертеже?

3. Какие основные свойства прямой общего положения?

4. Какие частные положения относительно плоскостей проекций может занимать прямая линия?

5. Когда прямая линия может принадлежать плоскости проекций?

6. Какие прямые являются проецирующими?

7. Что называется следом прямой?

8. Как определяются на комплексном чертеже следы прямой линии?

9. Как на комплексном чертеже может быть задана плоскость?

10. Какие плоскости являются проецирующими?

11. Какие плоскости являются плоскостями уровня?

12. Какие плоскости являются плоскостями частного положения?

13. Что называется следом плоскости и как он определяется?

[1] То́чка – абстрактный объект в пространстве, не имеющий никаких измеримых характеристик (нульмерный объект).

Источник