Как построить сферу в аксонометрии

Как построить сферу в аксонометрии

§ 13. Построение аксонометрических проекций

Построение аксонометрических проекций начинают с проведения аксонометрических осей.

Угол 45° можно построить при помощи чертежного угольника с углами 45, 45 и 90°, как показано на рис. 85, б.

Положение осей изометрической проекции показано на рис. 85, г. Оси х и у располагают под углом 30° к горизонтальной линии (угол 120° между осями). Построение осей удобно проводить при помощи угольника с углами 30, 60 и 90° (рис. 85, д).

Чтобы построить оси изометрической проекции с помощью циркуля, надо провести ось z, описать из точки О дугу произвольного радиуса; не меняя раствора циркуля, из точки пересечения дуги и оси z сделать засечки на дуге, соединить полученные точки с точкой О.

При построении фронтальной диметрической проекции по осям х и z (и параллельно им) откладывают действительные размеры; по оси у (и параллельно ей) размеры сокращают в 2 раза, отсюда и название «диметрия», что по-гречески означает «двойное измерение».

При построении изометрической проекции по осям х, у, z и параллельно им откладывают действительные размеры предмета, отсюда и название «изометрия», что по-гречески означает «равные измерения».

На рис. 85, в и е показано построение аксонометрических осей на бумаге, разлинованной в клетку. В этом случае, чтобы получить угол 45°, проводят диагонали в квадратных клетках (рис. 85, в). Наклон оси в 30° (рис. 85, г) получается при соотношении длин отрезков 3 : 5 (3 и 5 клеток).

Рис. 85. Способы построения осей аксонометрических проекций

Построение фронтальной диметрической и изометрической проекций. Построить фронтальную диметрическую и изометрическую проекции детали, три вида которой приведены на рис. 86.

Рис. 86. Комплексный чертеж детали

Порядок построения проекций следующий (рис. 87):

3. Через полученные точки проводят прямые, параллельные ребрам передней грани (рис. 87, в).

4. Удаляют лишние линии, обводят видимый контур и наносят размеры (рис. 87, г).

Сравните левую и правую колонки на рис. 87. Что общего и в чем различие данных на них построений?

Рис. 87. Способ построения аксонометрических проекций

Из сопоставления этих рисунков и приведенного к ним текста можно сделать вывод о том, что порядок построения фронтальной диметрической и изометрической проекций в общем одинаков. Разница заключается в расположении осей и длине отрезков, откладываемых вдоль оси у.

В ряде случаев построение аксонометрических проекций удобнее начинать с построения фигуры основания. Поэтому рассмотрим, как изображают в аксонометрии плоские геометрические фигуры, расположенные горизонтально.

Построение аксонометрической проекции квадрата показано на рис. 88, а и б.

Построение аксонометрической проекции треугольника показано на рис. 89, а и б.

Построение аксонометрической проекции правильного шестиугольника показано на рис. 90.

По оси х вправо и влево от точки О откладывают отрезки, равные стороне шестиугольника. По оси у симметрично точке О откладывают отрезки s/2, равные половине расстояния между противоположными сторонами шестиугольника (для фронтальной диметрической проекции эти отрезки уменьшают вдвое). От точек m и n, полученных на оси у, проводят вправо и влево параллельно оси х отрезки, равные половине стороны шестиугольника. Полученные точки соединяют отрезками прямых.

Ответьте на вопросы

1. Как располагают оси фронтальной диметрической и изометрической проекций? Как их строят?

2. Какие размеры откладывают вдоль осей фронтальной диметрической и изометрической проекций и параллельно им?

3. Вдоль какой аксонометрической оси откладывают размер уходящих вдоль ребер предмета?

4. Назовите общие для фронтальной диметрической и изометрической проекций этапы построения.

Задания к § 13

Упражнение 40

Размеры определите по числу клеток, считая, что сторона клетки равна 5 мм.

В ответах дано по одному примеру последовательности выполнения заданий.

Рис. 91. За типе на построение аксонометрических проекций

Упражнение 41

Постройте в изометрической проекции правильные четырехугольную, треугольную и шестиугольную призмы. Основания призм расположены горизонтально, длина сторон основания 30 мм, высота 70 мм.

В ответах дан пример последовательности выполнения задания.

Источник

Как построить сферу в аксонометрии

§ 14. Построение аксонометрических проекций окружности

Рассмотрите рис. 92. На нем дана фронтальная диметрическая проекция куба с вписанными в его грани окружностями.

Рис. 92. Фронтальные диметрические проекции окружностей, вписанных в грани куба

Окружности, расположенные на плоскостях, перпендикулярных к осям х и z, изображаются эллипсами. Передняя грань куба, перпендикулярная к оси у, проецируется без искажения, и окружность, расположенная на ней, изображается без искажения, т. е. описывается циркулем. Поэтому фронтальная диметрическая проекция удобна для изображения предметов с криволинейными очертаниями, подооных представленными на рис. 93.

Рис. 93. Фронтальные диметрические проекции деталей

Построение фронтальной диметрической проекции плоской детали с цилиндрическим отверстием. Фронтальную диметрическую проекцию плоской детали с цилиндрическим отверстием выполняют следующим образом.

1. Строят очертания передней грани детали, пользуясь циркулем (рис. 94, а).

2. Через центры окружности и дуг параллельно оси у проводят прямые, на которых откладывают половину толщины детали. Получают центры окружности и дуг, расположенных на задней поверхности детали (рис. 94, б). Из этих центров проводят окружность и дуги, радиусы которых должны быть равны радиусам окружности и дуг передней грани.

Рис. 94. Построение фронтальной диметрической проекции детали с цилиндрическими элементами

3. Проводят касательные к дугам. Удаляют лишние линии и обводят видимый контур (рис. 94, в).

Изометрические проекции окружностей. Квадрат в изометрической проекции проецируется в ромб. Окружности, вписанные в квадраты, например, расположенные на гранях куба (рис. 95), в изометрической проекции изображаются эллипсами. На практике эллипсы заменяют овалами, которые вычерчивают четырьмя дугами окружностей.

Рис. 95. Изометрические проекции окружностей, вписанных в грани куба

Построение овала, вписанного в ромб.

1. Строят ромб со стороной, равной диаметру изображаемой окружности (рис. 96, а). Для этого через точку О проводят изометрические оси х и у и на них от точки О откладывают отрезки, равные радиусу изображаемой окружности. Через точки a, w, с и d проводят прямые, параллельные осям; получают ромб. Большая ось овала располагается на большой диагонали ромба.

Рис. 96. Построение овала в плоскости, перпендикулярной оси z

Рис. 97. Построение овала в плоскостях, перпендикулярных осям х и у

Построение изометрической проекции детали с цилиндрическим отверстием.

Как применить рассмотренные построения на практике?

Дана изометрическая проекция детали (рис. 98, а). Нужно изобразить сквозное цилиндрическое отверстие, просверленное перпендикулярно передней грани.

Построения выполняет следующим образом.

1. Находят положение центра отверстия на передней грани детали. Через найденный центр проводят изометрические оси. (Для определения их направления удобно воспользоваться изображением куба на рис. 95.) На осях от центра откладывают отрезки, равные радиусу изображаемой окружности (рис. 98, а).

2. Строят ромб, сторона которого равна диаметру изображаемой окружности; проводят большую диагональ ромба (рис. 98, б).

3. Описывают большие дуги овала; находят центры для малых дуг (рис. 98, в).

4. Проводят малые дуги (рис. 98, г).

5. Строят такой же овал на задней грани детали и проводят касательные к обоим овалам (рис. 98, д).

Рис. 98. Построение изометрической проекции летали с цилиндрическим отверстием

Ответьте на вопросы

1. Какими фигурами изображаются во фронтальной диме-трической проекции окружности, расположенные на плоскостях, перпендикулярных к осям х и у?

2. Искажается ли во фронтальной диметрической проекции окружность, если ее плоскость перпендикулярна оси у?

4. Какими фигурами изображаются в изометрической проекции окружности, расположенные на плоскостях, перпендикулярных к осям х, у, z?

5. Какими фигурами в практике заменяют эллипсы, изображающие окружности в изометрической проекции?

6. Из каких элементов состоит овал?

7. Чему равны диаметры окружностей, изображенных овалами, вписанными в ромбы на рис. 95, если стороны этих ромбов равны 40 мм?

Задания к § 13 и 14

Упражнение 42

Рис. 99. Задание для упражнений

Упражнение 43

Запишите, какой оси (х, у или z) перпендикулярны плоскости овала на рис. 100. В какой аксонометрической проекции даны здесь окружности?

Рис. 100. Задание для упражнений

Упражнение 44

В каких аксонометрических проекциях даны окружности на рис. 101? Какой оси перпендикулярна плоскость каждой из них?

Рис. 101. Задание для упражнений

Упражнение 45

Запишите, в каких аксонометрических проекциях даны геометрические тела на рис. 102.

Каким осям (х, у или z) параллельна высота каждого из них?

Рис. 102. Геометрические тела для задания для упраждений

Упражнение 46

Источник

Черчение. 10 класс

§ 18. Построение аксонометрических проекций плоских фигур и окружностей

Построение аксонометрических проекций плоских фигур и окружностей

Построение аксонометрических проекций мы начнем с построения аксонометрических проекций плоских геометрических фигур. Знание приемов построения плоских фигур (квадрата, треугольника, прямоугольника, круга) необходимо для построения аксонометрических проекций геометрических тел, предметов и т. д.

Плоская фигура — фигура, все точки которой находятся в одной плоскости .

В качестве примера рассмотрим алгоритм построения аксонометрической проекции квадрата. По такому же алгоритму строятся аксонометрические проекции других плоских многоугольников.

На основе алгоритма построения квадрата постройте аксонометрические проекции прямоугольного треугольника. Какая сторона треугольника будет проецироваться с искажением во фронтальной диметрии?

Постройте аксонометрические проекции елки. Какие плоские фигуры составляют изображение? Какой плоскости проецирования елка параллельна?

Кроме многоугольников, к плоским фигурам относят и окружности. В изометрической проекции окружность проецируется в замкнутую кривую линию — эллипс (рис. 55). Для его построения пользуются лекалами, поэтому эллипсы называют лекальными кривыми. Прием построения эллипса сложный и требует длительной работы, поэтому для упрощения построений эллипсы заменяют овалами.

Овал — замкнутая кривая, состоящая из четырех дуг окружностей, плавно переходящих друг в друга (рис. 56).

Для удобства построения овала в аксонометрической проекции сначала изображают аксонометрическую проекцию квадрата, построение которой вам уже известно.

Общее построение аксонометрической проекции окружности

1. Выполняют построение осей аксонометрической проекции. Затем от точки О откладывают отрезки, равные радиусу окружности (R = Oa = Ob = Oc = Od). Через точки а, b, c и d проводят прямые, параллельные осям, получают ромб. Большая ось овала располагается на большой диагонали ромба.
2. Выполняют построение больших дуг овала. Из вершин А и В описывают дуги радиусом R, равные расстоянию от вершины (А или В) до точек a, b, c, d (R = Ad = Bb).
3. Строят малые дуги овала. Через точки B и a, B и b проводят прямые. На пересечении прямых Вa и Вb с большой диагональю ромба находят точки 1 и 2. Они будут центрами малых дуг. Их радиус R1 равен 1а или 2b

Построение фронтальной и профильной проекций окружности
Фронтальная и профильные проекции окружности выполняются по такому же алгоритму, как и горизонтальная проекция.

Помните! Большая ось овала всегда перпендикулярна аксонометрической оси, не участвующей в образовании плоскости, на которой ведется построение. Малая ось — продолжение аксонометрической оси.

Определите, на каком рисунке (а или б) изображен куб в изометрии. Объясните, как вы это определили.

Эллипсограф, или Сеть Архимеда, — механизм, который способен преобразовывать возвратно-поступательное движение в эллипсоидное. Применяется в качестве чертежного инструмента для вычерчивания эллипсов, а также в качестве приспособления для разрезания стекла, бумаги, картона. История этого механизма точно не определена, но считается, что эллипсографы существовали еще во времена Архимеда.

Источник

Примеры построения аксонометрических проекций

Примеры построения аксонометрических проекций

На рис. 10.6 показан пример построения аксонометрической проекции правильной треугольной пирамиды со срезом фронтально-проецирующей плоскостью в прямоугольной диметрии.

Построение аксонометрии пирамиды выполняется по предлагаемому графическому алгоритму

1-е действие. Отнести пирамиду к системе прямоугольных координат , и , оси которой параллельны осям натуральной системы координат, но проходят через высоту пирамиды (ось ) и ее основание (оси и ).

2-е действие. Определить в принятой системе координат на проекциях пирамиды координаты , и отмеченных точек 1, 2, 3, лежащих на ребрах пирамиды, и точек — вершин основания пирамиды.

3-е действие. На свободном поле чертежа провести аксонометрические оси прямоугольной диметрии из произвольной точки : ось — вертикально, ось — под углом , а ось — под углом к горизонтальной линии (использовать графический способ построения аксонометрических осей).

4-е действие. Построить тонкими линиями аксонометрическую проекцию пирамиды без среза.

4.1. Построить аксонометрическое изображение основания пирамиды по координатным ломаным этих точек (основание лежит в системе осей и называется вторичной проекцией):

. Координатные отрезки параллельны соответствующим аксонометрическим осям.

4.2. Построить по координате на аксонометрической оси проекцию вершины пирамиды и соединить вершину с точками основания ребрами, то есть построить аксонометрию пирамиды.

5-е действие. Достроить срез на аксонометрии пирамиды, построив на ребрах пирамиды по координатам , и аксонометрические проекции отмеченных точек 1, 2 и 3 по соответствующим плоским координатным ломанным:

6-е действие. Оформить аксонометрию пирамиды, выполнив толстыми линиями ее видимый контур (оставить тонкими линиями полную проекцию пирамиды, невидимые линии и линии построения).

На рис. 10.7 показан пример построения аксонометрической проекции конуса со срезами двумя фронтально-проецирующими плоскостями (в сечении плоскостью — треугольник со сторонами-образующими, в сечении плоскостью — эллипс) в прямоугольной изометрии.

Графические действия для построения аксонометрии конуса соответствуют предложенному алгоритму для построения аксонометрии пирамиды:

1-е действие. Отнести конус к такой же системе прямоугольных координат , и (ось совпадет с высотой конуса, оси и проходят по основанию конуса).

2-е действие. Определить координаты , и для точек 1, 2, 3 и 4 на поверхности конуса для построения сечений на его аксонометрии.

3-е действие. На свободном поле чертежа отметить точку начала аксонометрических координат и провести оси прямоугольной изометрии под углами с вертикальной осью .

4-е действие. Построить аксонометрическую проекцию конуса без срезов:

4.1. Построить эллипс основания конуса с центром в точке , большая ось которого перпендикулярна аксонометрической оси , так как окружность основания конуса лежит в горизонтальной плоскости (см. графическое построение овала 2 на рис. 10.3).

4.2. Построить вершину конуса точку на оси по ее координате и провести две касательные к эллипсу через вершину .

5-е действие. Достроить срезы на аксонометрии конуса, построив аксонометрические проекции отмеченных точек 1, 2, 3 и 4 по соответствующим плоским координатным ломаным:

Соединить построенные точки соответствующими линиям (участок эллипса и треугольник).

6-е действие. Оформить чертеж аксонометрии конуса, выполнив толстыми линиями ее видимый контур (оставить тонкими линиями полный контур пирамиды, невидимые линии и линии построения).

На рис. 10.8 показано построение аксонометрической проекции цилиндра с полуцилиндрическим вырезом (их радиусы равны) в прямоугольной изометрии.

В этом частном случае пересечения поверхностей для построения линии пересечения на профильной проекции следует применить теорему Г. Монжа, так как эти две цилиндрические поверхности 2-го порядка равных диаметров описаны вокруг сферы.

Построение аксонометрии выполняется по аналогичному графическому алгоритму

1-е действие. Отнести цилиндр к системе координатных осей , и : оси и провести по нижнему основанию, а ось — по оси вращения цилиндра.

2-е действие. Обозначить характерные и промежуточные точки 1, 2, 3 и 4 на поверхности цилиндра и определить координаты , , обозначенных точек для построения линии пересечения полуцилиндрического выреза с поверхностью заданного цилиндра (симметричные точки обозначены на одной половине окружности).

3-е действие. На свободном поле чертежа отметить точку начала аксонометрических координат и провести аксонометрические оси прямоугольной изометрии: ось — вертикально, а оси и — под углами к оси .

4-е действие. Построить аксонометрию цилиндра без выреза.

4.1. Построить эллипс нижнего основания цилиндра в точке , большая ось которого перпендикулярна оси , так как окружность основания лежит в горизонтальной плоскости.

4.2. Построить точку верхнего основания по координате и эллипса верхнего основания; соединить эллипсы двумя очерковыми образующими по конечным точкам больших осей эллипсов.

5-е действие. Достроить вырез на аксонометрии цилиндра, построив проекции обозначенных точек 1, 2, 3 и 4 по координатным ломаным (снизу вверх) :

• точки 1 и 4 —> ;

• точки 2 —> (четыре точки);

• точки 3 —> (две точки);

• точки (на очерковых образующих; см. построения на горизонтальных проекциях) —> ;

• построенные точки соединить:

6-е действие. Соедините построенные точки соответствующими линиями — отрезками образующих и участками эллипсов.

7-е действие. Оформить аксонометрию цилиндра, выполнив толстыми линиями ее видимый контур (оставить тонкими линиями полный контур цилиндра, невидимые линии и линии построения).

На рис. 10.9 показан пример построения шара со срезами в прямоугольной изометрии.

Напомним, что сечением поверхности шара любой плоскостью является окружность. Но на чертеже окружности проецируются в эллипсы. В примере срезы выполнены профильной плоскостью , горизонтальной плоскостью и фронтально-проецирующей плоскостью — Следовательно, на аксонометрическом изображении шара:

• эллипс окружности , лежащий в профильной плоскости;

• эллипс окружности , лежащий в горизонтальной плоскости;

• эллипс как проекцию окружности, лежащий в плоскости , по обозначенным точкам.

Аксонометрическим изображением шара в прямоугольной изометрии является окружность с диаметром, равным , где — диаметр шара.

Графический алгоритм для построения аксонометрии шара следующий:

1-е действие. Отнести шар к системе координат проходящих через его центр (точка ).

2-е действие. Обозначить характерные точки 1, 2, 3, 4, 5 и б на поверхности шара и определить координаты обозначенных точек для построения срезов на аксонометрии.

3-е действие. На свободном поле чертежа отметить точку начала аксонометрических координат и провести аксонометрические оси прямоугольной изометрии.

4-е действие. Построить аксонометрию шара без срезов — провести окружность диаметром .

5-е действие. Достроить срезы на аксонометрии шара:

• построить эллипс диаметром , большая ось которого перпендикулярна аксонометрической оси , с центром в точке с координатой ;

• построить эллипс диаметром , большая ось которого перпендикулярна аксонометрической оси , с центром в точке с координатой (построенные эллипсы пересекаются по линии 2-2);

• построить по координате линию 4-4 на построенном горизонтальном эллипсе;

• построить по координатам точки 5 и 6: точку 5 — по ломаной , а точку 6 — по координате .

6-е действие. Соединить построенные точки 4-5-6 эллиптической кривой.

7-е действие. Оформить аксонометрию шара, выполнив толстыми линиями его видимый контур, оставив тонкими линиями полный очерк шара, невидимые линии и линии построения.

На рис. 10.10 показан пример построения половины открытого тора в прямоугольной изометрии.

Построение аксонометрии выполняется по следующему графическому алгоритму

1-е действие. Отнести тор к системе координат .

2-е действие. Если тор со срезами, обозначить характерный точки и определить их координаты: например, координаты точек и .

3-е действие. На свободном поле чертежа отметить точку начала аксонометрических координат и провести аксонометрические оси прямоугольной изометрии.

4-е действие. Построить эллипс направляющей окружности радиусом с центром в точке , большая ось которого перпендикулярна оси .

5-е действие. В полученных на оси точках и построить два эллипса образующих окружностей радиусом , большие оси которых перпендикулярны оси .

6-е действие. Построить аксонометрию тора:

• провести достаточное количество образующих окружностей диаметрами, равными с центрами на эллипсе направляющей окружности тора;

• провести две лекальные огибающие касательные кривые.

7-е действие. Достроить аксонометрические проекции заданных точек и по их координатным ломаным:

• точка

• точка

8-е действие. Оформить аксонометрию открытого тора.

На рис. 10.11 показан пример построения тороида (самопересекающегося тора) в прямоугольной изометрии.

Построение аксонометрии выполняется по следующему графическому алгоритму

1-е действие. Отнести тор к системе координат проходящей по его основанию и ось вращения.

2-е действие. Рассечь тороид достаточным количеством плоскостей, перпендикулярных оси его вращения и определить радиус окружности каждого сечения (измерить линейкой) с центрами в точках и т. д.

3-е действие. Обозначить характерные точки 1, 2, 3 и 4 среза и определить их координаты.

4-е действие. На свободном поле чертежа отметить точку начала аксонометрических координат и провести аксонометрические оси прямоугольной изометрии.

5-е действие. Построить аксонометрию тороида:

• построить семейство эллипсов в точках соответствующих радиусов с координатами большие оси которых перпендикулярны оси , так как лежат в горизонтальных плоскостях;

• построить точку ;

• провести две касательные огибающие кривые к эллипсам.

6-е действие. Достроить срез на аксонометрии тороида по координатам отмеченных точек (построения см. рис. 10.11).

7-е действие. Оформить аксонометрию тороида.

. Аксонометрическая проекция глобоида в прямоугольной изометрии строится аналогично тем же способом «сечений».

На рис. 10.12 показан пример построения аксонометрической проекции правильной четырехгранной призмы со сквозным пазом, выполненным двумя профильными и фронтально-проецирующей плоскостями в косоугольной диметрии (коэффициенты искажения ).

Построение аксонометрии призмы выполняется по следующему графическому алгоритму

1-е действие. Отнести («привязать») призму к системе прямоугольных координат оси которой параллельны осям натуральной системы координат, относительно которой построены проекции призмы, но проходят через высоту призмы (ось ) и через центр нижнего основания призмы (оси и ).

2-е действие. Обозначить характерные точки 1, 2, …, 5 на поверхности призмы.

3-е действие. Определить в отнесенной к призме системе координат на ее проекциях координаты обозначенных точек:

• точки 1 и 5, лежащих на верхнем основании и ребрах призмы;

• точек 2 и 4, лежащих на линиях пересечения плоскостей паза, а также обозначенных буквами и вершин нижнего основания призмы.

4-е действие. На свободном поле чертежа отметить точку О начала аксонометрических координат и провести аксонометрические оси косоугольной диметрии: ось — вертикально; ось — горизонтально; ось -под углом к горизонтальной линии (оси ).

5-е действие. Построить тонкими линиями аксонометрическую проекцию призмы без выреза:

5.1. Построить нижнее основание призмы по координатам и этих точек (основание лежит в горизонтальной плоскости с осями и называется вторичной проекцией):

• точки и — симметрично по равным координатам и на оси ;

• точки и — по координатам и на оси (координаты уменьшить в 2 раза!);

• соединить построенные вершины отрезками прямых линий.

5.2. Построить верхнее основание призмы:

• отложить от точки вверх координату , равную высоте призмы, и через полученную проекцию точки провести аксонометрические оси;

• из точек нижнего основания провести вертикально ребра призмы параллельно оси до пересечения с аксонометрическими верхнего основания и достроить верхнее основание призмы.

6-е действие. Достроить на аксонометрии призмы вырез по координатам обозначенных точек (сверху вниз):

• точки 1 и 5 на верхнем основании по координатам и ;

• точки 2 и 4 — на вертикальных линиях, параллельных оси , по координатам и ;

• точки 3- на ребрах и по координате ;

7-е действие. Соединить построенные точки отрезками прямых линий.

8-е действие. Оформить аксонометрию призмы, выполнив толстыми линиями ее видимый контур; оставить тонкими линиями полную проекцию призмы, невидимые линии и линии построения.

Структуризация материала десятой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 10.13 (лист 1). На последующих листах 2 и 3 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального закрепления основной части изученного материала при повторении (рис. 10.14 и 10.15).

Эта теория взята со страницы лекций для 1 курса по предмету «начертательная геометрия»:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник