Как построить разность двух векторов
Определение разности двух векторов
В математике и физике студентам и школьникам зачастую попадаются задачи на векторные величины и на выполнение различных операций над ними. В чём же отличие векторных величин от привычных нам скалярных, единственная характеристика которых — это численное значение? В том, что они обладают направлением.
[block >
Определения векторной математики
Введём главные определения, используемые при выполнении линейных операций.
Аналитический метод
Аналитический способ подразумевает получение координат разности по формуле без построения. Возможно выполнить вычисление для плоского (двухмерного), объёмного (трёхмерного) или же n-мерного пространства.
Для двухмерного пространства и векторных величин a <a₁; a₂> и b <b₁; b₂> расчёты будут иметь следующий вид: c <c₁; c₂> = <a₁ — b₁; a₂ — b₂>.
В случае с добавлением третьей координаты расчёт будет проводиться аналогично, и для a <a₁; a₂; a₃> и b <b₁; b₂; b₃> координаты разности будут также получены попарным вычитанием: c <c₁; c₂; c₃> = <a₁ — b₁; a₂ — b₂; a₃ — b₃>.
Вычисление разности графически
Для того чтобы построить разность графическим способом, следует воспользоваться правилом треугольника. Для этого необходимо выполнить следующую последовательность действий:
[block > Результат операции вычитания показан на рисунке ниже.
Также существует метод построения разности, незначительно отличающийся от предыдущего. Его суть заключается в применении теоремы о разности векторов, которая формулируется следующим образом: для того чтобы найти разность пары направленных отрезков, достаточно найти сумму первого из них с отрезком, противоположно направленным ко второму. Алгоритм построения будет иметь следующий вид:
Результат такого решения изображён на рисунке:
Решение задач
Для закрепления навыка разберём несколько заданий, в которых требуется рассчитать разность аналитически или графически.
Задача 1. На плоскости заданы 4 точки: A (1; —3), B (0; 4), C (5; 8), D (—3; 2). Определить координаты вектора q = AB — CD, а также рассчитать его длину.
Решение. Вначале следует найти координаты AB и CD. Для этого из координат конечных точек вычтем координаты начальных. Для AB началом является A (1; —3), а концом — B (0; 4). Рассчитаем координаты направленного отрезка:
Аналогичный расчёт выполняется для CD:
Теперь, зная координаты, можно найти разность векторов. Формула для аналитического решения плоских задач была рассмотрена ранее: для c = a — b координаты имеют вид <c₁; c₂> = <a₁ — b₁; a₂ — b₂>. Для конкретного случая можно записать:
Чтобы найти длину q, воспользуемся формулой | q | = √(q₁² + q₂²) = √((— 9)² + (— 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9,06.
[block > Задача 2. На рисунке изображены векторы m, n и p.
Необходимо построить для них разности: p — n; m — n; m — n — p. Выяснить, какая из них обладает наименьшим модулем.
Решение. В задаче требуется выполнить три построения. Рассмотрим каждую часть задания более подробно.
Часть 1. Для того чтобы изобразить p — n, воспользуемся правилом треугольника. Для этого при помощи параллельного переноса соединим отрезки так, чтобы совпала их конечная точка. Теперь соединим начальные точки и определим направление. В нашем случае вектор разности начинается там же, где и вычитаемый n.
Часть 2. Изобразим m — n. Теперь для решения воспользуемся теоремой о разности векторов. Для этого следует построить вектор, противоположный n, а затем найти его сумму с m. Полученный результат будет выглядеть так:
[block > Часть 3. Для того чтобы найти разность m — n — p, следует разбить выражение на два действия. Поскольку в векторной алгебре действуют законы аналогичные законам арифметики, то возможны варианты:
Так как в предыдущей части задачи мы уже нашли разность m — n, нам остаётся лишь вычесть из неё p. Построим разность двух данных векторов при помощи теоремы о разности. Ответ показан на изображении ниже (красным цветом обозначен промежуточный результат, а зелёным — окончательный).
Остаётся определить, модуль какого из отрезков является наименьшим. Вспомним, что понятия длины и модуля в векторной математике являются идентичными. Оценим визуально длины p — n, m — n и m — n — p. Очевидно, что самым коротким и обладающим наименьшим модулем является ответ в последней части задачи, а именно m — n — p.
[block > [block >
Разность векторов
Разность векторов
— это такой вектор
который в сумме с вектором b даёт вектор a:
На основе определения находим координаты вектора
Как построить разность двух векторов?
Из равенства
правило построения разности двух векторов
Чтобы построить вектор, равный разности векторов
надо отложить оба вектора от одной точки. Разность векторов — вектор, проведённый от конца вычитаемого b к концу уменьшаемого a.
Противоположные векторы — это противоположно направленные векторы одинаковой длины.
Вектор, противоположный вектору
Примеры противоположных векторов:
Свойства противоположных векторов:
1) Противоположные векторы имеют противоположные координаты:
2) Сумма противоположных векторов равна нулевому вектору:
2 способ построения разности векторов
Чтобы построить разность векторов
можно к вектору a прибавить вектор, противоположный вектору b:
То есть вычитание векторов заменяем сложением уменьшаемого с вектором, противоположным вычитаемому.
Сложение и вычитание векторов
Существование: Имеем два следующих случая:
Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.
Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника
Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.
Такая операция выполняется по правилу многоугольника.
Сумма векторов в координатах
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
\( \vec + \vec = \left( <
Отметим несколько свойств сложения двух векторов:
Для произвольного вектора \( \overrightarrow \) выполняется равенство
Для произвольных точек \( A,\ B\ и\ C \) справедливо следующее равенство
Замечание Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.
Разность векторов. Вычитание векторов
Длина нулевого вектора равна нулю:
\( \left| \vec <0>\right| = 0 \)
Умножение вектора на число
Определение Произведением вектора \( \overrightarrow
Длина вектора \( \overrightarrow
Векторы \( \overrightarrow
Разность векторов
Разностью x-y векторов x и y называется вектор z такой, что z+y=x.
Вариант 1. Начальные точки всех векторов совпадают с началом координат.
Построим разность векторов 
и 
.
Для построения разницы векторов z=x-y, нужно сложить вектор x с противоположным к y вектором y’. Противоположный вектор y’ строится просто:
Из выражения (1) видно что для построения разницы векторов достаточно вычислить разницы соответствующих координатов векторов x и y.
На рисунке Рис. 1 в двухмерном пространстве представлен разность векторов x=(10,3) и y=(2,4).
Вычислим z=x-y=(10-3,3-4)=(7,-1). Сравним полученный результат с геометрической интерпретацией. Действительно, после построения вектора y’ и параллельного перемещения начальной точки вектора y’ на конечную точку вектора x, получим вектор y», а после сложения векторов x и y», получим вектор z.
Вариант 2. Начальные точки векторов произвольные.
В этом случае процесс вычисления разницы векторов не так очевиден. Для построения разницы векторов z=x-y, нужно сложить вектор x с противоположным к y вектором y’. Здесь в качестве противоположного к вектору y можно взять тот же вектор y и поменять направление вектора, изменив начальный и коненый точки местами. Можно также взять вектор y’, который симметричен с y относительно начала координат. Если начальный и конечный точки вектора y 
и 
, то начальный и конечный точки противоположного вектора y’ будут 
и 
соответственно. Таким образом для вычисления разницы векторов x и y, вычисляем сумму векторов x и y’ (подробно см. в разделе сложение векторов).
На рисунке Рис. 2 в двухмерном пространстве представлен разность векторов x= AB и y= CD, где A(1,0), B(11,3), C(1,2), D(3,6). Для вычисления вектора z=x-y, построен противоположный к вектору y вектор y’:
Далее нужно сложить векторы x и y’. Вектор y’ перемещается параллельно так, чтобы точка C’ совпала с точкой B. Для этого вычисляются разницы координатов точек B и С:
Операции с векторами
Как сложить и перемножить векторы (и зачем).
Мы постепенно показываем вам математику за пределами школьной программы. Начинали со знакомства с векторами, теперь сделаем следующий шаг.
Напомним основные мысли:
С векторами можно совершать некоторые математические операции. Вот о них и поговорим.
Правильно — векторы
Математики часто говорят во множественном числе «вектора», но по словарю правильно «векторы». Это такой профессиональный жаргон, как «договора», «бухгалтера» и «сервера». Мы будем использовать «векторы», но если вы окажетесь в постковидном математическом баре, лучше говорите «вектора».
Сложение
Представим четыре вектора, которые лежат в двухмерном пространстве и пока что не связаны между собой. Нарисуем эти векторы и обозначим их буквами X, Y, Z, K.
Поскольку векторы находятся в одном пространстве, координаты каждого состоят из одинакового количества чисел. У нас пример с двухмерным пространством и два числа. Выглядеть это будет так: X = (6, 4); Y = (3, −2); Z = (−7, −5); K = (−10, 4).
Векторы X, Y, Z, K в двухмерном пространстве
Если у нас несколько векторов с одинаковым количеством чисел, то эти числа можно поэлементно складывать. Для этого мы берём первое число одного вектора, складываем его с первым числом другого вектора и так далее.
Предположим, нам нужно сложить векторы X и Y.
X = (6, 4)
Y = (3, −2)
X + Y = (9, 2)
Вроде просто: складываешь последовательно все координаты, результаты сложения складываешь в исходные коробочки. Так можно делать с любым количеством координат. Помните, что вектор — это необязательно стрелка в двумерном пространстве. Она может быть и в десятимерном пространстве — с точки зрения математики это неважно.
Например, вот сложение векторов с пятью координатами:
Интуитивное изображение сложения
Для интуитивного восприятия удобно использовать векторы с двумя координатами. Их удобно рисовать на координатной плоскости и таким образом смотреть на геометрию.
Например, можно на плоскости показать, как будет работать сложение двух векторов. Для этого есть два метода: метод треугольника и метод параллелограмма.
Метод треугольника: ставим векторы Х и Y в очередь друг за другом. Для этого берём вектор Х, ставим за ним вектор Y и получаем новый вектор. Новый вектор начинается в хвосте вектора Х и заканчивается на стрелке вектора Y. Этот вектор — результат сложения. Представьте, что это ребёночек двух векторов.
Сложение векторов по методу треугольника: X = (6, 4); Y = (3, −2); Х + Y = (9, 2)
Чтобы воспользоваться методом параллелограмма, нам нужно поставить векторы Х и Y в одну исходную точку. Дальше мы дублируем векторы Х и Y, формируем параллелограмм и получаем новый вектор. В новом векторе соединяем исходную точку с исходной точкой дублирующих векторов — стрелка проходит посередине параллелограмма. Длина нового вектора — это сумма векторов Х и Y.
Сложение по методу параллелограмма и треугольника даёт одинаковый результат. Поэтому выбирайте вариант, который больше подходит под задачу.
Вычитание
Вычитание векторов немного сложнее. Чтобы вычесть векторы, нужно «развернуть» вычитаемый вектор и сложить его с исходным. «Развернуть» — то есть направить в обратную сторону, «перевернув» знаки координат. Получится конструкция вроде такой: Х + (−Y)
Дальше используются правила сложения. Пошагово это выглядит так:
Теперь посмотрим, как выглядит вычитание векторов на графике:
Вычитание векторов по методу треугольника: X = (6, 4); −Y = (−3, 2); X + (−Y) = (3, 6) 
Вычитание векторов по методу параллелограмма: X = (6, 4); −Y = (−3, 2); X + (−Y) = (3, 6)
Длина вектора
Длина вектора — это одно число, которое измеряется расстоянием от кончика до стрелки вектора. Длину вектора нельзя путать с координатами. Координаты — это несколько чисел, которые указывают на расположение стрелки вектора. По координатам можно определить только конечную точку вектора. Например, если X = (6, 2), то стрелка будет находиться в точке 6 по оси Х. Или другой пример: если Y = (6, 5), то стрелка этого вектора будет находиться в точке 5 по оси Y.
Предположим, нам известны начальные точки векторов X и Y. Пусть это будет точка 2 по оси X и точка 2 по оси Y. Так мы можем легко посчитать длину отрезков:
X = 6 − 2 = 4
Y = 5 − 2 = 3
Иногда приходится рассчитывать длину третьего вектора, который привязан к двум другим векторам. Это легко сделать с помощью теоремы Пифагора — это когда квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае катетами будут длины векторов X и Y. Вспоминаем школьную формулу и считаем:
|C|2 = 42 + 32 = 25
|C| = √25 = 5 
Длина вектора считается по формуле прямоугольного треугольника. Чтобы было проще представить — перенесите векторы на систему координат
Это формула для двумерного пространства. В трёхмерном пространстве формула похожая: нужно сложить квадраты трёх координат и вычислить квадратный корень из суммы.
В пространстве с большим числом измерений формула выглядит сложнее, но по сути то же: складываем все квадраты координат и получаем квадратный корень из этой суммы.
Умножение и деление вектора на число
Умножение и деление позволяют изменить длину и направление вектора. Если мы умножим вектор Х на три, то увеличим его длину в три раза. Если умножим на минус три — увеличим длину и изменим его направление на противоположное.
Умножение вектора на число
Для деления сохраняются аналогичные правила. Делим вектор Х на три и сокращаем длину в три раза. Делим на минус три — сокращаем и разворачиваем.
Деление вектора на число
Да вроде несложно!
Пока ничего сложного. Но если углубляться, вы узнаете, что:
Что дальше
В следующей статье рассмотрим линейную зависимость векторов. Чтобы не скучать — посмотрите интервью с Анастасией Никулиной. Анастасия сеньор-дата-сайентист в Росбанке и по совместительству блогер с интересной историей.