Как построить правильную треугольную призму
Правильная треугольная призма: определение, формулы для площади поверхности и объема
Определение
Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.
Треугольная призма
Эта фигура относится к классу призм, поэтому она, как любой представитель этого класса, состоит из двух одинаковых и параллельных оснований и параллелограммов. Основаниями являются треугольники произвольного типа (равносторонние, равнобедренные, прямоугольные и другие), боковые же стороны могут быть произвольными параллелограммами, ромбами, квадратами и прямоугольниками. Число боковых сторон равно трем. Рисунок ниже демонстрирует, о какой фигуре пойдет речь.
На этом рисунке мы видим геометрическую фигуру, которая состоит из пяти сторон, девяти ребер и шести вершин. Стороны мы уже охарактеризовали. Что касается ребер, то любое из них можно отнести к одному из двух типов: либо ребро принадлежит одному из оснований (в этом случае оно является стороной треугольного основания), либо оно образовано пересечением боковых граней (боковое ребро). Важным свойством призмы является равенство всех ее боковых ребер.
Все треугольные призмы классифицируются по двум признакам:
Прямая призма обладает прямоугольными боковыми сторонами. Если ее основания будут равносторонними треугольниками, тогда она будет правильной. Далее мы приведем формулы объема призмы треугольной прямой, правильной фигуры, призмы с прямоугольным треугольником и фигуры наклонной.
Площадь поверхности
Чтобы понять, о чем идет речь, проще всего рассмотреть развертку этой призмы. Она показана на рисунке.
Видно, что для определения площади всех сторон рассматриваемой фигуры необходимо рассчитать отдельно площадь четырехугольника и площадь шестиугольника, затем умножить их на соответствующие целые числа, равные количеству каждого n-угольника в призме, и сложить полученные результаты. Шестиугольников 2, прямоугольников 6.
Для площади прямоугольника получаем:
Тогда площадь боковой поверхности равна:
Для определения площади шестиугольника проще всего воспользоваться соответствующей формулой, которая имеет вид:
Подставляя в это выражение число n равное 6, получаем площадь одного шестиугольника:
Это выражение следует умножить на два, чтобы получить площадь оснований призмы:
Остается сложить Sos и S2, чтобы получить полную площадь поверхности фигуры:
Виды фигуры
Пирамида – геометрическая фигура, обозначающая и представляющая собой несколько граней. По сути – это тот же многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а по бокам расположены треугольники, соединяющиеся в одной точке – вершине. Фигура бывает двух основных видов:
В первом случае, в основании лежит правильный многоугольник. Тут все боковые поверхности равны между собой и сама фигура порадует глаз перфекциониста.
Во втором случае, оснований два – большое в самом низу и малое между вершиной, повторяющее форму основного. Иными словами – усечённая пирамида представляет собой многогранник с сечением, образованным параллельно основанию.
Найти объем призмы, зная площадь основания и высоту
Площадь поверхности и объём
Чтобы определить объём призмы по формуле, необходимо знать площадь её основания и высоту:
Так как основанием правильной четырёхгранной призмы является квадрат со стороной a, можно записать формулу в более подробном виде:
Если речь идёт о кубе — правильной призме с равной длиной, шириной и высотой, объём вычисляется так:
Чтобы понять, как найти площадь боковой поверхности призмы, необходимо представить себе её развёртку.
Из чертежа видно, что боковая поверхность составлена из 4 равных прямоугольников. Её площадь вычисляется как произведение периметра основания на высоту фигуры:
С учётом того, что периметр квадрата равен P = 4a, формула принимает вид:
Для вычисления площади полной поверхности призмы нужно к боковой площади прибавить 2 площади оснований:
Sполн = Sбок + 2Sосн
Применительно к четырёхугольной правильной призме формула имеет вид:
Для площади поверхности куба:
Зная объём или площадь поверхности, можно вычислить отдельные элементы геометрического тела.
Решение простого примера
Такого вида задачи обычно даются в учебниках по геометрии для выпускных классов средней школы. Решить их самостоятельно несложно, нужно только знать формулы и представлять, как выглядит та или иная фигура. При этом часто приходится использовать дополнительные построения. Вот один из таких типовых примеров.
Пусть имеется девятиугольная фигура, в которую вписана правильная шестиугольная призма со стандартным обозначением вершин. Сторона основания в ней составляет 4 см, а длина бокового ребра меньше её в 2 раза, то есть равняется 2. Необходимо вычислить расстояние от точки C1 до прямой, соединяющей вершины EF. По условию задачи в основании лежит геометрическое тело, у которого все стороны и углы равны, то есть фигура правильная.
Чтобы понять, что будет представлять искомая прямая, нужно изобразить призму на рисунке и на нём же начертить отрезок. Фактически это будет перпендикуляр, который и является вычисляемым расстоянием. Проекцией точки С1 будет вершина С. Из неё можно построить перпендикуляр, который ограничится точкой E. Таким образом, поставленная задача сводится к поиску длины отрезка C1E.
Найти длину прямой можно как гипотенузу прямоугольного треугольника С1СE. Треугольная фигура будет с прямым углом C. Из условия задачи отрезок С1С в два раза меньше ребра основания, а значит равен 2. Теперь осталось найти, чему равняется длина CE. Геометрическое тело CDE является равнобедренным. По условию CD = ED. Сумму углов шестиугольника можно найти по формуле е = 180 * (n — 2) = 180 * 4 = 720. Получается, что на каждый угол приходится по 120 градусов.
С вершины D можно опустить перпендикуляр DN на CE. Принимая во внимание свойства равнобедренного треугольника, высота DN будет медианной и биссектрисой. Следовательно, угол C равняется 30 градусов, так как CDH — прямоугольный.
Элементы правильной четырехугольной призмы
Как выглядит призма
Правильной четырёхугольной призмой называется шестигранник, в основаниях которого находятся 2 квадрата, а боковые грани представлены прямоугольниками. Иное название для этой геометрической фигуры — прямой параллелепипед.
Рисунок, на котором изображена четырёхугольная призма, показан ниже.
На картинке также можно увидеть важнейшие элементы, из которых состоит геометрическое тело. К ним принято относить:
Иногда в задачах по геометрии можно встретить понятие сечения. Определение будет звучать так: сечение — это все точки объёмного тела, принадлежащие секущей плоскости. Сечение бывает перпендикулярным (пересекает рёбра фигуры под углом 90 градусов). Для прямоугольной призмы также рассматривается диагональное сечение (максимальное количество сечений, которых можно построить — 2), проходящее через 2 ребра и диагонали основания.
Если же сечение нарисовано так, что секущая плоскость не параллельна ни основам, ни боковым граням, в результате получается усечённая призма.
Для нахождения приведённых призматических элементов используются различные отношения и формулы. Часть из них известна из курса планиметрии (например, для нахождения площади основания призмы достаточно вспомнить формулу площади квадрата).
Как рассчитывать объем фигуры произвольного типа?
Часть пространства, которая ограничена плоскими сторонами геометрической фигуры, называется ее объемом. В общем случае для призмы абсолютно любого типа справедлива следующая формула для определения ее объема:
Как видно, она очень проста и содержит всего два множителя: So — площадь одного основания, h — высота призмы, то есть дистанция между ее основаниями.
Применительно к треугольной призме произвольной формы (наклонной и неправильной), для вычисления величины So можно воспользоваться универсальной формулой для треугольника:
Здесь a — сторона треугольника, ha — высота треугольника, опущенная на сторону a.
Расчет высоты h призмы можно провести с использованием теоремы Пифагора, если знать длину бокового ребра b и двугранные углы между основанием и боковыми гранями.
Задачи на расчет треугольной призмы
Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:
V = 1/2 · 6 · 8 · 5 = 120.
Задача 2.
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.
Решение:
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = Sосн ·h.
Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S2 = S1k 2 = S12 2 = 4S1.
Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.
Общая теория
Призмой является любой многогранник, боковые стороны которого имеют вид параллелограмма. При этом в ее основании может оказаться любой многогранник – от треугольника до n-угольника. Причем основания призмы всегда равны друг другу. Что не относится к боковым граням — они могут существенно различаться по размерам.
При решении задач встречается не только площадь основания призмы. Может потребоваться знание боковой поверхности, то есть всех граней, которые не являются основаниями. Полной поверхностью уже будет объединение всех граней, которые составляют призму.
Иногда в задачах фигурирует высота. Она является перпендикуляром к основаниям. Диагональю многогранника является отрезок, который соединяет попарно две любые вершины, не принадлежащие одной грани.
Следует отметить, что площадь основания прямой призмы или наклонной не зависит от угла между ними и боковыми гранями. Если у них одинаковые фигуры в верхней и нижней гранях, то их площади будут равными.
Призма в геометрии
Изучение объемных фигур является задачей стереометрии – важной части пространственной геометрии. В стереометрии под призмой понимают такую фигуру, которая образована параллельным переносом произвольного плоского многоугольника на определенное расстояние в пространстве. Параллельный перенос предполагает такое перемещение, при котором поворот вокруг оси, перпендикулярной плоскости многоугольника, полностью исключен.
В результате описанного способа получения призмы образуется фигура, ограниченная двумя многоугольниками, имеющими одинаковые размеры, лежащими в параллельных плоскостях, и некоторым числом параллелограммов. Их количество совпадает с числом сторон (вершин) многоугольника. Одинаковые многоугольники называются основаниями призмы, а площадь их поверхности – это площадь оснований. Параллелограммы, соединяющие два основания, образуют боковую поверхность.
Площадь правильной шестиугольной призмы
Основание: правильный шестиугольник
Треугольная призма все формулы и примеры задач
Треугольная призма — это трехмерное тело, образованное соединением прямоугольников и треугольников. В этом уроке вы узнаете, как найти размер внутри (объем) и снаружи (площадь поверхности) треугольной призмы.
Определение
Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.
Элементы треугольной призмы
Стороны граней являются ребрами призмы (A1B1, A1C1, C1B1, AA1, CC1, BB1, AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.
Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).
Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.
Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.
Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей четырехугольных граней призмы.
Виды треугольных призм
Треугольная призма бывает двух видов: прямая и наклонная.
У прямой призмы боковые грани прямоугольники, а у наклонной боковые грани — параллелограммы (см. рис.)
Прямая треугольная призма
Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой.
Наклонная треугольная призма
Призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований, называется наклонной.
Основные формулы для расчета треугольной призмы
Объем треугольной призмы
Чтобы найти объем треугольной призмы, надо площадь ее основания умножить на высоту призмы.
Объем призмы = площадь основания х высота
Площадь боковой поверхности призмы
Чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной призмы, надо периметр ее основания умножить на высоту.
Площадь боковой поверхности треугольной призмы = периметр основания х высота
Площадь полной поверхности призмы
Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, надо сложить ее площади оснований и площадь боковой поверхности.
Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.
Свойства призмы :
Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.
Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
Боковые ребра призмы параллельные и равны.
Пример призмы
В этом примере:
— ABC и DEF составляют треугольные основания призмы
— ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями
— Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.
— Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.
Задачи на расчет треугольной призмы
Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:
V = 1/2 · 6 · 8 · 5 = 120.
Задача 2.
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.
Решение:
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = Sосн ·h.
Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S2 = S1k 2 = S12 2 = 4S1.
Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.
Правильная треугольная призма
Треугольная призма — это многогранник,две грани которого являются равными треугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые грани) — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими треугольниками.
Основания призмы являются равными правильными треугольниками.
Боковые грани призмы являются прямоугольниками.
Боковые рёбра призмы параллельны и равны.
Размеры призмы можно выразить через длину стороны a и высоту h.
Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.
Формула площади поверхности треугольной призмы:
Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания.
Формула объема правильной треугольной призмы:
Правильная треугольная призма может быть вписана в цилиндр.
Формула радиуса цилиндра вписанной треугольной призмы:
Анимация демонстрирует как две параллельные плоскости отрезая лишнее формируют два основания призмы. Из одной заготовки можно получить как правильную призму, так и наклонную призму.
Как треугольная призма стала главным рекламным агентом
Одной из таких рекламных конструкций, оказался призматрон или тривижн. Плакат, состоящий из группы треугольных призм, который может поочередно показывать зрителю три изображения.
Мы с Вами можем самостоятельно изготовить несколько призм из бумаги, нанести на них любое понравившееся изображение и получить украшение для домашнего интерьера!
Что такое правильная треугольная призма
Если есть правильная треугольная призма, значит есть и неправильная?
Да, верно, кроме правильной треугольной призмы могут быть другие разновидности треугольной призмы. Они все также могут быть треугольные, потому как в основании лежит треугольник.
Треугольных призм может быть бесконечно много. Мы можем как угодно изменять форму треугольника и высоту призмы. Но и это еще не всё. Мы можем наклонить основание относительно боковой поверхности. В этом случае призма становится наклонной.
Однако для нашей конструкции необходима именно правильная треугольная призма.
А можно ли сделать конструкцию из четырехугольных, пятиугольных или может быть шести угольных призм. Нет. Никакая другая призма не подходит.
Например, четырехугольные призмы можно выстроить в ряд, создав на боковых поверхностях целостную картину, но в этом случае не удастся повернуть призмы относительно центра. Пятиугольные, шестиугольные и др. призмы не позволяют создать целостную картинку без искажений.
Как сделать правильную треугольную призму
Бумага – это самый доступный и удобный материал, чтобы изготовить треугольную призму.
Для создания треугольной призмы из бумаги требуется пять элементов:
— три одинаковых прямоугольника для боковой поверхности;
— два правильных треугольника для верхнего и нижнего оснований.
Все эти пять элементов легко объединить в единую геометрическую фигуру на поверхности листа, которая при сгибании будет приобретать объемную форму.
Иными словами, нам потребуется развертка правильной треугольной призмы.
Предположим, это будет призма с длиной стороны треугольника 60 мм и высотой 160 мм.
Развертку такой призмы легко разместить на обычном листе бумаги формата А4
— необходимо скачать развертку;
— распечатываем развёртку на листе А4;
— вырезаем ножницами по контуру;
— сгибаем развертку в местах сгиба;
— склеиваем сначала через центральный лепесток;
— затем приклеиваем два треугольника и получаем верхнее и нижнее основания.
Как сделать призматрон своими руками
Исходное изображение необходимо разделить на равные части исходя из количества имеющихся в наличии призм. Так как для нашего проекта мы запланировали использовать четыре призмы, то изображение следует разделить на 4 равные части.
Далее необходимо на каждой стороне треугольной призмы зафиксировать отдельные элементы изображений, соблюдая последовательность.
Для своих работ вы можете выбрать изображения по своему вкусу.
Немного о самом призматроне
Рекламные щиты или билборды впервые появились в США в начале ХХ века, и к 21 веку уверенно распространились по всей планете.
У такой формы рекламы, как размещение информации на плакате есть как плюсы, так и минусы. С точки зрения человека, который предлагает рекламу (рекламодателя), главный минус в том, что изображение на рекламном плакате может оказаться не удачным, не привлекающим внимания. И через какое то, время на этот плакат просто никто не обращает внимание.
И тогда рекламщики придумали хитрый ход, а что, если на одной рекламной конструкции разместить сразу несколько изображений и показывать их по очереди.
Так появились плакаты (призматрон), у которых изображение меняется с определенной периодичностью.
Призматрон и сейчас продолжает быть весьма востребованной рекламной конструкцией.
Несмотря на высокую конкуренцию со стороны цифрового экрана, призматрон удерживает позиции за счет недорогой и надежной конструкции.
Конструкция призматронов бывает различных размеров и видов крепления. В основе конструкции – трехгранные подвижные призмы, которые, поворачиваясь через заданный промежуток времени вокруг своей оси с помощью электрического привода, демонстрируют по очереди каждую из трех граней.
Каждая призма имеет три съемные пластины (ламели) на трехгранной трубе (сердечнике), на которые наклеиваются полиграфические изображения. Таким образом на каждой из граней представлен фрагмент одного из трех рекламных изображений. Соответственно, на каждом этапе вращения призм человек видит полноценный рекламный плакат на поверхности призматрона.
Три призмы вращаются вокруг своей оси на 120° по заданному времени, обеспечивая при полном цикле в 360 градусов трехкратную смену информации.
Призматрон фактически экономит место, заменяя собой сразу три рекламных конструкции. Его можно установить в наиболее популярных, посещаемых местах города.
Особо важное достоинство призматронов – их динамичность. Сменяемое изображение привлекает дополнительное внимание людей, наблюдающих за процессом смены изображения, которая в определенной степени таинственна и непредсказуема. Люди ждут, когда появится следующее изображение, что на нем будет. Сам процесс смены изображений достаточно занимателен. Контраст между содержанием трех изображений еще более усиливает воздействие рекламы.