Как построить перпендикуляр с помощью циркуля

Как провести перпендикуляр к прямой — правило построения

Перпендикуляр — это прямая линия, пересекающая другую линию под углом 90°. Построением перпендикуляров на начальном уровне занимаются школьники на уроке геометрии. В будущем эти знания могут пригодиться как в быту, так и в профессиональной сфере. Чтобы правильно провести перпендикуляр к прямой, рекомендуется изучить все возможные способы. Они подразделяются на простые и сложные. Кроме того, для каждого из них потребуются определенные канцелярские принадлежности.

Использование транспортира

Одним из наиболее простых способов построения перпендикуляра к прямой является чертеж при помощи специального инструмента, который называется транспортир. Чтобы правильно начертить отрезок, необходимо по пунктам выполнить следующие действия:

Этот способ широко используется на уроках геометрии. Его преимущество заключается в быстром и простом построении. Для выполнения требуется только транспортир и простой карандаш.

Циркуль и линейка

Перпендикулярный луч можно опустить на отрезок при помощи еще одного незамысловатого способа. Для этого необходимы простой карандаш, линейка и циркуль. Построить прямой угол можно, выполнив следующие действия:

В результате этих действий должен получиться перпендикуляр, составляющий с прямой линией угол в 90°. Метод более сложный, если сравнивать его с первым. Его целесообразно использовать в том случае, если под рукой не оказалось транспортира.

Теорема Пифагора

Чтобы построить перпендикуляр по этому способу, мало знать одного определения, поскольку потребуется теорема Пифагора и ее доказательство. Наиболее распространенный вариант — свойство египетского треугольника со сторонами 5, 4 и 3.

От основной точки А необходимо отмерить и отметить отрезок, равный 3. В результате получается точка В. Далее необходимо построить две одинаковые окружности. При этом центр первой будет располагаться в А, а центр второй — в В. Отметка пересечения этих окружностей обозначается как С. Значит, искомый перпендикуляр — это линия, соединяющая две точки (А и С). Конечно, этот способ лучше посмотреть наглядно на картинке или показать в виде чертежа.

Эту тему проходят на геометрии в 7 классе. Школьники должны дать определение перпендикуляра к прямой. А на его основании построить линию его под углом 90°.

Источник

Использование транспортира

Одним из наиболее простых способов построения перпендикуляра к прямой является чертеж при помощи специального инструмента, который называется транспортир. Чтобы правильно начертить отрезок, необходимо по пунктам выполнить следующие действия:

Этот способ широко используется на уроках геометрии. Его преимущество заключается в быстром и простом построении. Для выполнения требуется только транспортир и простой карандаш.

Циркуль и линейка

Перпендикулярный луч можно опустить на отрезок при помощи еще одного незамысловатого способа. Для этого необходимы простой карандаш, линейка и циркуль. Построить прямой угол можно, выполнив следующие действия:

В результате этих действий должен получиться перпендикуляр, составляющий с прямой линией угол в 90°. Метод более сложный, если сравнивать его с первым. Его целесообразно использовать в том случае, если под рукой не оказалось транспортира.

Теорема Пифагора

Чтобы построить перпендикуляр по этому способу, мало знать одного определения, поскольку потребуется теорема Пифагора и ее доказательство. Наиболее распространенный вариант — свойство египетского треугольника со сторонами 5, 4 и 3.

От основной точки А необходимо отмерить и отметить отрезок, равный 3. В результате получается точка В. Далее необходимо построить две одинаковые окружности. При этом центр первой будет располагаться в А, а центр второй — в В. Отметка пересечения этих окружностей обозначается как С. Значит, искомый перпендикуляр — это линия, соединяющая две точки (А и С). Конечно, этот способ лучше посмотреть наглядно на картинке или показать в виде чертежа.

Эту тему проходят на геометрии в 7 классе. Школьники должны дать определение перпендикуляра к прямой. А на его основании построить линию его под углом 90°.

Источник

Определение перпендикулярных прямых, их свойства, характеристика

Содержание:

В геометрии существует понятие параллельных и перпендикулярных прямых. Ко вторым относится особый вид пересечения простейших геометрических фигур. Рассмотрим, какие прямые называются перпендикулярными. После теоретической выкладки материала научим правильно чертить такие чертежи при помощи угольника. Также разберёмся, что такое перпендикуляр к прямой, его свойства, обозначение.

Перпендикулярные прямые: определение, свойства

Теперь вы понимаете, что значит перпендикулярные прямые.
Дана линия a (AB) и не лежащая на ней точка C. Соединяющий их отрезок CD называется перпендикулярным, если отрезок CD образует с AB прямые углы. Точка D – основание перпендикуляра.

Способы построения

Второй способ сложнее. Дана линия m с лежащей на ней точкой M: M ∈ m. Построить отрезок PQ, проходящий через точку M и пересекающий m под прямым углом.

Теперь разберёмся, как доказать, что отрезки (прямые) перпендикулярны. Для этого рассмотрим треугольник APB или AQB (из условий задачи они одинаковые).

Две стороны простейшего многоугольника построены по радиусам одинаковых кругов, значит, они равны по длине – получаем равнобедренный треугольник, где AP = PB. Из условий задачи AM = BM, значит MP – медиана равнобедренного треугольника (исходя из определения этого термина). Отрезок PM – высота геометрической фигуры, она перпендикулярна основанию: PM ⟂ AB, что требовалось доказать.

Проводим линию m и не лежащую на ней точку M. Рисуем окружность с центром M, пересекающую m в паре точек: A, B.

Чертим окружности с центрами в A и B, пересекающие M. Симметричную ей относительно прямой m точку обозначим N. Соединим их отрезком MN.

Докажем перпендикулярность MN линии m.

В треугольниках ANM с BNM равны стороны: AN = NB = AM = NB, AB – общая. Если три стороны треугольников равны, значит геометрические фигуры одинаковые: ∠АМС = ∠ВМС. Отрезки MC и CN – биссектрисы треугольников, где AB – основание. Далее, исходя из свойств равнобедренного треугольника, MC и CN – высоты геометрической фигуры, они перпендикулярны основанию. Получается, AB ⟂ MN.

Задача

Мы доказали, что CE ⟂ a.
Последний шаг: покажем, что из точки C к прямой a нельзя провести более одного перпендикуляра.
Предположим: из точки С на прямую a возможно опустить второй перпендикуляр CD1. Тогда получим △CDD1 уже с парой прямых углов, что невозможно – у треугольника более одного прямого угла быть не может. Значит, из точки C нельзя опустить более одного перпендикуляра.
Исходя из рассмотренного материала, следует закономерное свойство двух прямых a и b, перпендикулярных к третьей c: между собой они параллельны: a||b.

Перпендикулярные отрезки – это отрезки, пересекающиеся под углом 90°.

Источник

Урок 44 Бесплатно Перпендикулярные прямые

До этого на уроках математики мы работали с числами, буквами, выражениями.

Иногда не только писали, но и рисовали схемы, координатные прямые и рисунки, чтобы лучше разбираться в изучаемом вопросе.

Сегодня мы будем изучать геометрические понятия, а именно, что является прямой, а что нет, какие прямые называются перпендикулярными.

Также узнаем, как строить перпендикулярные прямые разными способами.

Основные определения

В геометрии есть два понятия, которые не имеют определения, их мы принимаем как аксиомы.

Это понятия точки и прямой.

Все остальные определения будут так или иначе выражаться через эти два понятия.

Заметим, что любая точка, лежащая на прямой, разделяет эту прямую на два луча.

Разделяющую точку также называют началом луча.

И еще немного формализма.

Эти лучи называют сторонами угла, а их общее начало вершиной угла.

Есть величины для измерения длины: метр, сантиметр, километр и прочие производные метра.

Для измерения угла используются другие величины: градусы, минуты, секунды, радианы.

Одним из наиболее простых приборов для измерения углов является транспортир. Достаточно приложить его прямую часть к одной стороне угла и посмотреть, какое деление совпадет со второй стороной угла.

Главное, быть внимательным и смотреть, с какой стороны находится внутренняя часть угла.

Допустим, имеется такая конфигурация:

Углы обычно обозначаются тремя буквами, где буква посередине обозначает вершину угла.

Величина угла AOB будет равняться 45-ти градусам, можно записать как \(\mathbf<45^\circ>\).

Если необходимо измерить угол BOC, то нужно из 180-ти градусов вычесть 45 градусов, так как метки на транспортире соответствуют величинам углов, если считать от нуля, а в данном случае луч ОС лежит на отметке 180.

Также часто перед буквенным обозначением угла ставят следующий знак: \(\mathbf<\angle>\), получаются такие записи: \(\mathbf<\angle AOB>\), \(\mathbf<\angle BOC>\).

Иногда, когда нет неоднозначности, угол могут обозначать и одной буквой, например \(\mathbf<\angle A>\)

На транспортире данная отметка находится посередине.

Если обычный угол часто обозначают маленькой дугой, то прямые углы принято обозначать таким квадратиком.

Прямой угол один из самых распространенных в мире: с большой вероятностью вы сейчас сидите в комнате с такиими углами, у вашего стола прямые углы, а также у окна и так далее.

Теперь мы подготовили все определения, чтобы определить термин из заголовка урока.

Определение: две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными.

Прямые часто обозначают одной строчной латинской буквой. В данном случае прямые a и b перпендикулярные по определению, потому что образуют прямые углы.

Если бы они пересекались под другим углом или не пересекались бы, то они не были бы перпендикулярными. В данном случае прямые a и b не являются перпендикулярными.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Построение прямого угла и перпендикулярных прямых

Перечислим основные способы в порядке возрастания сложности.

Самый простой способ взять предмет с прямым углом- чертежный треугольник, линейку, банковскую или проездную карту (придется только дорисовать скошенный угол от руки), и обвести его.

Правда, мы не можем гарантированно полагаться на перечисленные кроме треугольника предметы, так как они не предназначены для черчения, и угол может быть не совсем прямым.

Лучи, являющиеся сторонами угла, будут перпендикулярны, а значит, будут частями перпендикулярных прямых.

Также можно построить любой угол, в том числе прямой, с помощью транспортира.

1) Вершину угла мы ставим в центре прямой части транспортира.

2) Одни сторону проводим по прямой части транспортира в сторону нуля.

3) Ставим метку напротив риски с соответствующей величиной угла.

4) Соединяем вершину угла с меткой.

Аналогичным образом строится прямой угол.

В таком случае его стороны опять же будут перпендикулярными лучами, следовательно, частями перпендикулярных прямых.

Прежде чем перейти к более сложному и интересному способу, надо упомянуть, что клетки в тетради начерчены перпендикулярными прямыми, поэтому можно от руки обвести одну вертикальную линию и одну горизонтальную.

Скорее всего линии получатся не совсем прямыми, но если это нужно для какой-то схемы в черновике, то почему бы и нет.

Хотя конечно же во всех работах лучше использовать приборы и линейку чтобы рисунок был максимально красивым.

Интересно, что перпендикулярные прямые можно построить с помощью циркуля и линейки без разметки (ну и карандаша/ручки, конечно же).

Подробнее, почему алгоритм является корректным, вы узнаете в курсе геометрии за 7-й класс, но пока что посмотрим на сам алгоритм.

1) Чертим прямую и отмечаем на ней точку (назовем ее О).

2) Ставим в эту точку циркуль и с помощью него делаем две пометки, получаем две точки, равноудаленные от первой точки (назовем из А и В).

3) Проводим из каждой из точек А и В окружности одинакового радиуса, или лучше только нужные их части, так чтобы получить хотя бы одно пересечение (назовем его точной С).

4) Соединяем точку С с исходной точкой О, готово, мы получили перпендикулярную прямую, причем проходящую через точку, которую мы сами выбрали.

В этом алгоритме важна аккуратность: если точки А и В будут на разном расстоянии от центра или окружности из точек А и В будут разного радиуса, прямая может получится не перпендикулярной.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Перпендикуляр к прямой

Перечень рассматриваемых вопросов:

Теорема – утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений.

Отрезок – часть прямой, ограниченная двумя точками.

Перпендикуляр к прямой – это отрезок прямой, перпендикулярной к данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Пешеходный переход, так называемая «зебра», расположен под углом 90 градусов к улице. Выбор такого угла сделан не случайно. Ведь перейти дорогу пешеходам необходимо как можно быстрее. Такой путь оказывается самым коротким. Чтобы быстрее добраться от метро Площадь Восстания в Санкт-Петербурге до Набережной реки Фонтанки, необходимо идти по Невскому проспекту, перпендикулярно реке.

Ножки стола крепятся перпендикулярно столешнице. Маятник часов расположен перпендикулярно верхней стенке часов.

Если считать улицу, набережную реки Фонтанки, ребро столешницы, ребро стенки часов моделями прямых, то можно говорить, что на каждой картинке построены перпендикуляры к прямой.

Примеры с картой и пешеходным переходом иллюстрируют тот факт, что перпендикуляр к прямой – это кратчайший путь от точки до прямой. Такой путь называется расстоянием.

Пример с часами поможет нам запомнить происхождение слова перпендикуляр. В переводе с французского перпендикуляр означает висеть. То есть, перпендикуляр – это отвес.

Дадим определение перпендикуляра к прямой.

Мы знаем, что перпендикулярными прямыми называются две пересекающиеся прямые, которые образуют при пересечении четыре прямых угла.

Часть одной из этих прямых является перпендикуляром к прямой.

Выделенная часть прямой ограничена двумя точками, значит, по определению, – это отрезок. Один из концов этого отрезка является точкой пересечения перпендикуляра и прямой, к которой он проведен.

перпендикуляр к прямой – это отрезок прямой, перпендикулярной к данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения.

Н – основание перпендикуляра.

Предположим, что вы купаетесь в море недалеко от берега. Вдруг появилась акула, необходимо срочно плыть к берегу. Конечно, вы выберите самый короткий путь. А мы уже знаем, что в геометрии этот путь называют перпендикуляром к прямой.

Всегда ли можно найти кратчайший путь? Сколько существует способов построения кратчайшего пути?

Если на пути нет препятствий, например, здания, ямы, в данном примере – других пловцов, то самый короткий путь проделать можно. И такой путь единственный.

В геометрии любое утверждение требует доказательства. Сформулируем теорему о перпендикуляре к прямой.

Теорема: из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

По условию теоремы нам даны прямая и точка.

Заключение теоремы состоит из двух частей – существование перпендикуляра и его единственность.

1.Через точку А можно провести перпендикуляр к прямой BC.

2.Данный перпендикуляр единственный.

Разбор заданий тренировочного модуля.

Задание 1. Построить перпендикуляр к прямой.

Для этого можно использовать чертёжный угольник, одну сторону которого от угла в 90 градусов прикладываем к прямой, к которой проведём перпендикуляр из точки, не лежащей на этой прямой, а вторую сторону угольника совместим с точкой, от которой проведём перпендикуляр к прямой.

Задание 2. На рисунке изображены два перпендикуляра АB и СD к прямой а, при этом АB = СD.

Докажем, что треугольники ABD и CDВ равны.

По условию в треугольниках ABD и CDВ, сторона АBравна стороне СD.

AB ⊥ а =>∠ABD = 90° (по определению перпендикулярных прямых).

СD ⊥ а => ∠CDВ = 90° (по определению перпендикулярных прямых).

Следовательно, ∠ABD = ∠CDВ.

Следовательно, ∆ABD = ∆CDВ

(по первому признаку равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними).

Источник