Как построить параболу с модулем
Построение графиков с модулем
путём преобразований
Модуль аргумента и модуль функции
Если Вы попали на эту страницу из поисковика, миновав предыдущие разделы темы «Графики функций и их преобразования», то рекомендую сначала повторить графики основных элементарных функций и общие правила преобразования графиков функций.
В контексте построения графиков это означает использование преобразования симметрии относительно осей координат.
Пример 1.
Пример 2.
Один из способов быстро и точно построить исходную параболу по характерным точкам показан в видео на канале Mathematichka.
III При построении из графика функции y = f(x) более сложных графиков, например, вида y = k·f (a|x| + b) + c или y = k·|f (ax + b)| + c тщательно соблюдайте последовательность преобразований.
Пример 3.
Заметим, что x 2 = |x| 2 (значение четной степени, как и значение модуля, всегда неотрицательно). Поэтому, выделяя полный квадрат, преобразуем функцию к виду |y| = (|x| − 1) 2 − 6 и строим её график последовательными преобразованиями.
Строим график функции f(x) = (x − 1) 2 − 6 переносом на 1 вправо вдоль оси Ox, а затем переносом вниз на 6 единиц вдоль оси Oy.
Строим график функции f(|x|) = (|x| − 1) 2 − 6 с использованием преобразования симметрии относительно оси Oy.
Строим линии, удовлетворяющие уравнению |y| = (|x| − 1) 2 − 6 с использованием преобразования симметрии относительно оси Ox.
- 1.
2.
3.
4.
5.
6.
| 1.y = x 2 | 2.y = (x − 1) 2 | 3.y = (x − 1) 2 − 6 | 4.y = (|x| − 1) 2 − 6 |
| 5.y = (|x| − 1) 2 − 6, y ≥ 0 | 6.|y| = (|x| − 1) 2 − 6 |
Следующий график постройте самостоятельно, чтобы убедиться, что вы правильно поняли материал.
Пример 4.
Сумма модулей
Если формула функции включает сумму или разность несколько модулей, то следует разбить координатную плоскость на участки и построить каждую ветвь графика отдельно. Границы участков определяются приравниванием каждого модуля к нулю и решением соответствующего уравнения. Подробный пример такого подхода можно увидеть в задаче 1 на странице, посвященной решению уравнений с параметрами.
Однако, если подмодульные выражения простые и содержат элементарные функции, графики которых вам хорошо известны, то можно получить результат прямым сложением ординат этих графиков в характерных точках.
Пример 5.
Эти два модуля содержат только линейные функции, графиками которых являются прямые линии. В результате сложения должна получиться ломаная линия, состоящая из трёх звеньев. (2 модуля, следовательно 2 уравнения, каждое из которых имеет одно решение, следовательно 2 границы, которыми плоскость разбита на 3 участка.) Трёхзвенную ломаную можно построить по 4-ём точкам.
Теперь проверьте себя.
Пример 6.
Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.
Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте ссылки.
Графики функций, содержащих переменную под знаком модуля. Обобщающее повторение при подготовке к экзамену
Разделы: Математика
Определение модуля
Алгебрагическое определение: | x | = 
Геометрическое определение: модулем числа называется расстояние от точки, изображающей это число, до начала отсчета.
Понятие модуля впервые вводится в 6 классе, в 7 классе рассматривается линейная функция и ее график и уже можно показывать построение несложных графиков функций, содержащих модуль. Далее, по мере изучения различных функций, их свойств, каждую такую тему можно заканчивать рассмотрением более сложных графиков, в том числе с модулем. В этой статье рассматриваются основные приемы построения графиков таких функций.
I. На алгебрагическом определении основан метод «раскрытия модуля на промежутках».
Например: | x + 2 | = 
| x + 2 | = 
у = 
у = 
Если модулей несколько, то каждый из них раскрываем на промежутках относительно точек, обращающих каждый из них в нуль. Например, построим график функции у = | 3 – x | – x + | x + 2 | + 1.
Функцию записываем как кусочно-заданную:
у = 
Подобно тому, как числовая прямая точками – 2 и 3 разбивается на промежутки, координатная плоскость прямыми х = – 2 и х = 3 разбивается на части («полосы»), в каждой из которых строим свой график. Заметим, что данная функция непрерывна, поэтому на «границах» части графика должны соединяться.
II. Этот метод можно применять к функциям разных видов.
Например, построим график функции у = | log2 x – 1 | – log0,5 x.
Построим сначала график функции у = х 2 – 2х – 3. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Координаты ее вершины: х = 1, у = – 4. Точки пересечения параболы с осями координат: (0; – 3); (– 1; 0); (3; 0). Далее выполняем отображение части графика, лежащей в нижней полуплоскости, относительно оси абсцисс.
2) у = f(| x |). Используем определение модуля: f(| x |) = 
Чтобы построить график такой функции строим график функции у = f(x) и берем ту его часть, где х > 0 (в правой полуплоскости). Затем эту часть симметрично отображаем в левую полуплоскость, где х 2 – 2| х | – 3. Сначала строим график функции у = х 2 – 2х – 3, далее выполняем указанные преобразования.
3) Построим график функции y = | f(| x |)|, например, y = | x 2 – 2| х | – 3 |, выполним последовательно преобразования, рассмотренные в пунктах 2 и 1.
4. Рассмотрим зависимость | y | = f(x). Ее нельзя назвать функцией, так как не выполняется условие: каждому значению х должно соответствовать единственное значение у.
Рассмотрим построение графика такой зависимости (можно говорить «графика уравнения»). Используем определение модуля: у = f(x), если у > 0, – у = f(x), y = – f(x), если у 0; чтобы построить график в нижней полуплоскости (где у 2 – 2х – 3
Заметим, что графики, не относящиеся к рассмотренным частным случаям, следует строить « раскрывая модули на промежутках».
IV. Приведем некоторые примеры
1. Построим график уравнения | y | = arccos| x |.
2. Графическим способом можно решать и неравенства с двумя переменными. Например, решением неравенства | y | 2 – 4 | x | + 3 |; y = 
+ 1.
2. Решите графически уравнения c одной и двумя переменными: | 3 – x | – 3 = 2| x | – x 2 ; | y | = 2| x | – x 2 ; 
= | x – 2,5 | –1,5.
3. Решите графически неравенства с двумя переменными: | y | > x 2 4x + 3; | x | + | y | 15.11.2011
Методы построения графиков функций содержащих модуль
Презентация к уроку
Ход урока
Актуализация знаний
На экране слайд 1 из презентации.
(совокупность биссектрис 1 и 2 координатных углов)
Найдите соответствие между функциями и графиками, объясните ваш выбор (слайд 3).
Ученик: чтобы построить график данной функции нужно
— часть графика над ОХ сохранить, а часть графика расположенную ниже ОХ отобразить симметрично относительно оси ОХ (слайд 5)
Ученик: Чтобы построить график данной функции нужно:
— часть графика при х 0 сохраняется и отображается симметрии относительно оси ОУ (слайд 7)
Ученик: Чтобы построить график данной функции нужно:
— часть над ОХ сохраняем, а нижнюю часть симметрично отображаем относительно ОХ (слайд 9)
Следующее задание выполняем письменно в тетрадях.
1. Построить график линейно-кусочной функции у=|х+2|+|х-1|-|х-3|
Ученик на доске с комментарием:
— находим нули подмодульных выражений х1=-2, х2=1, х3=3
График квадратичной функции с модулем
Описание презентации по отдельным слайдам:
Содержание: 1.Введение 2.Основные определения и свойства. 3.Построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля. 4.Выводы. 5. Используемая литература.
Цель работы – рассмотреть построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля. Объект исследования: график квадратичной функции. Предмет исследования: изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины. Задачи: 1) Изучить литературу о свойствах абсолютной величины и квадратичной функции. 2) Исследовать изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины. Практическая значимость моей работы заключается: 1) в использовании приобретенных знаний по данной теме, а также углубление их и применение к другим функциям и уравнениям; 2) в использовании навыков исследовательской работы в дальнейшей учебной деятельности.
Основные определения и свойства Функция, определяемая формулой у=ах²+вх+с, где х и у переменные, а параметры а, в и с – любые действительные числа, причём а≠0, называется квадратичной. Абсолютной величиной неотрицательного числа называется само это число, абсолютной величиной отрицательного числа называется противоположное ему положительное число. Свойства: 1.|a| ≥0, 2. |a|²= a², 3.|a∙b|=|a|∙|b|, 4. |a/b|=|a|/|b|, b≠0
Построение графика линейной функции, содержащей переменную под знаком модуля. 1)f(x)= |x-1|. x = 1- корень подмодульного выражения. Возьмем x=0, (0 1). Вычисляя функции в точках 1,0 и 2,получаем график, состоящий из двух отрезков.
2) f(x)= |x-1|+|x-2|. Вычисляя значение функции в точках 1, 2, 0 и 3, получаем график, состоящий из трех отрезков прямых.
Построим график функции у = |х2 – 6|х| +5|. 1) у =х²- 6|х| +5 (рассмотрено в 10 слайде) 2)у = |х² – 6|х| +5|
y= x²+(|y-4|-2) ²=4,где0≤y≤8, x=0 x²+y²=4 1) y=± ², 0≤x≤2 2)y=± ²+6 3)y= ± ²+2 4)x=0, 0≤y≤8 4.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
3) Чтобы построить график уравнения | y |= f(x) нужно:
Ох, а оставшуюся часть симметрично отобразить
относительно оси Ох
Номер материала: 305665
Не нашли то что искали?
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
В Думу внесли законопроект об обязательном образовании для находящихся в СИЗО подростков
Время чтения: 2 минуты
Поставщики интернета для школ будут работать с российским оборудованием
Время чтения: 1 минута
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Минтруд представил проект программ переобучения безработных на 2022 год
Время чтения: 2 минуты
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Графики прямой, параболы, гиперболы, с модулем
Пошаговое построение графиков.
«Навешивание» модулей на прямые, параболы, гиперболы.
Графики — самая наглядная тема по алгебре. Рисуя графики, можно творить, а если еще и сможешь задать уравнения своего творчества, то и учитель достойно это оценит.
Для понимания друг друга введу немного «обзываний» системы координат:
Для начала построим график прямой y = 2x − 1.
Не сомневаюсь, что ты помнишь. Я напомню себе, что через 2 точки можно провести одну прямую.
Возьмем значение X = 0 и Х = 1 и подставим в выражение y = 2x − 1, тогда соответственно Y = − 1 и Y = 1
Через данные две точки А = (0; −1) и B = (1; 1) проводим единственную прямую:
А если теперь добавить модуль y = |2x − 1|.
Значит, если модуль «надет» на весь график, то, что было в нижней части «−y», отразится в верхнюю (как будто сворачиваете лист по оси х и то, что было снизу, отпечатываете сверху).
Получается такая зеленая «галочка».
Красота! А как же будет выглядеть график, если надеть модуль только на «х»: y = 2|x| − 1?
Одна строчка рассуждений и рисуем:
Модуль на «x», тогда в этом случае x = −x, то есть все, что было в правой части, отражаем в левую. А то, что было в плоскости «−x», убираем.
Смертельный номер: y = |2|x| − 1|.
Черную прямую y = 2x − 1 отражаем относительно оси Х, получим y = |2x − 1|. Но мы выяснили, что модуль на х влияет только на левую часть.
В правой части: y = |2x − 1| и y = |2|x| − 1| идентичны!
А после этого отражаем относительно оси «y» то, что мы получили справа налево:
Если ты человек амбициозный, то прямых тебе будет мало! Но то, что описано выше, работает на всех остальных графиках, значит делаем по аналогии.
Можно найти вершину у параболы и взять пару точек для точного построения.
А как будет выглядеть график: y = |x²| + x − 2? Слышу: «Такого мы еще не проходили», а если подумаем? Модуль на x², он же и так всегда положителен, от модуля тут толку, как от стоп-сигнала зайцу − никакого.
При y = x² + |x| − 2 все так же стираем всю левую часть, и отражаем справа налево:
А дальше что мелочиться: рассмотри сразу остальные графики с модулем!
При положительных значениях «y» от модуля нет смысла − уравнения y = x² + x − 2, а при «−y» ничего не меняется, будет так же y = x² + x − 2!
Рисуем параболу в верхней части системы координат (где у > 0), а затем отражаем вниз.
А теперь сразу комбо:
Cиний: похож на y = x² + |x| − 2, только поднят вверх. Строим график в правой части, а затем отражаем через ось Y влево.
Оранжевый: строим в правой части и отражаем относительно оси Х. Доходим до оси Y и отражаем все что было справа налево. Двойка в знаменателе показывает, что график будет «шире», расходится в бока он быстрее остальных.
Зеленый: Так же начинаем с правой части и отражаем относительно оси оси Y. Получается график y = |x² + x − 2|, но еще есть −2, поэтому опустим график на 2 вниз. Теперь параболы как бы отражается относительно Y = − 2.
y = 1/x — простая гипербола, которую проще всего построить по точкам, 6-8 точек должно быть достаточно:
А что будет, если мы добавим в знаменателе «+1»? График сдвинется влево на единицу:
А что будет, если мы добавим в знаменателе « − 1»? График сдвинется вправо на единицу.
А если добавить отдельно «+1» y = (1/x) + 1? Конечно, график поднимется вверх на единицу!
Глупый вопрос: а если добавить отдельно «−1» y = (1/x) − 1? Вниз на единицу!
Теперь начнем «накручивать» модули: y = |1/x + 1| — отражаем все из нижней части в верхнюю.
Возьмем другой модуль, мой амбициозный друг, раз ты дошел до этогог места: y = |1/(x + 1)|. Как и выше, когда модуль надет на всю функцию, мы отражаем снизу вверх.
Можно придумывать массу вариантов, но общий принцип остается для любого графика. Принципы повторим в выводах в конце статьи.
Фиолетовый: Вычитаем из дроби −1 и сдвигаем график вниз на единицу. Ставим модуль − отражаем все, что снизу вверх.
Оранжевый: Ставим +1 в знаменателе и график смещается влево на единицу. Вычитаем из дроби −1 и сдвигаем график вниз на единицу. А после этого ставим модуль − отражаем все, что снизу вверх.
Зеленый: Сначала получим фиолетовый график. После этого ставим «−» и отражаем график по горизонтали. Сгибаем лист по оси Х и переводим его вниз. Остается добавить +1, это значит, что его нужно поднять вверх на единицу.
Модули не так уж страшны, если еще вспомнить, что их можно раскрыть по определению:
И построить график, разбив его на кусочно-заданные функции.
Например для прямой:
Для параболы с одним модулем будет два кусочно-заданных графика: 
C двумя модулями кусочно-заданных графиков будет четыре:
Таким способом, медленно и кропотливо можно построить любой график!