Как построить параболу по точкам
Квадратичная функция. Парабола
Прежде чем перейти к разбору квадратичной функции рекомендуем вспомнить, что называют функцией в математике.
Если вы прочно закрепите общие знания о функции (способы задания, понятие графика) дальнейшее изучение других видов функций будет даваться значительно легче.
Что называют квадратичной функцией
Квадратичная функция — это функция вида
Другими словами можно сказать, что если в функции старшая (то есть самая большая) степень, в которой стоит « x » — это « 2 », то перед нами квадратичная функция.
Рассмотрим примеры квадратичных функций и определим, чему в них равны коэффициенты « a », « b » и « с ».
Как построить график квадратичной функции
График квадратичной функции называют параболой.
Парабола выглядит следующим образом.
Также парабола может быть перевернутой.
Существует четкий алгоритм действий при построении графика квадратичной функции. Рекомендуем при построении параболы всегда следовать этому порядку действий, тогда вы сможете избежать ошибок при построении.
Чтобы было проще понять этот алгоритм, сразу разберем его на примере.
Построим график квадратичной функции « y = x 2 −7x + 10 ».
Если « a > 0 », то ветви направлены вверх. 
Если « a », то ветви направлены вниз. 
В нашей функции « a = 1 », это означает, что ветви параболы направлены вверх.
Чтобы найти « x0 » (координата вершины по оси « Ox ») нужно использовать формулу:
Найдем « x0 » для нашей функции « y = x 2 −7x + 10 ».
Теперь нам нужно найти « y0 » (координату вершины по оси « Oy »). Для этого нужно подставить найденное значение « x0 » в исходную функцию. Вспомнить, как найти значение функции можно в уроке «Как решать задачи на функцию» в подразделе «Как получить значение функции».
Выпишем полученные координаты вершины параболы.
(·) A (3,5; −2,25) — вершина параболы.
Отметим вершину параболы на системе координат. Проведем через отмеченную точку ось симметрии, так как парабола — это симметричный график относительно оси « Oy ».
Для начала давайте разберемся, что называют нулями функции.
Нули функции — это точки пересечения графика функции с осью « Ox » (осью абсцисс).
Наглядно нули функции на графике выглядят так:
Свое название нули функции получили из-за того, что у этих точек координата по оси « Oy » равна нулю.
Теперь давайте разберемся, как до построения графика функции рассчитать координаты точек нулей функции.
Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо « y = 0 ».
0 = x 2 −7x + 10
x 2 −7x + 10 = 0
x1;2 =
| 7 ± √ 49 − 4 · 1 · 10 |
| 2 · 1 |
x1;2 =
| 7 ± √ 9 |
| 2 |
x1;2 =
| 7 ± 3 |
| 2 |
x1 =
| x2 =
| ||||
x1 =
| x2 =
| ||||
| x1 = 5 | x2 = 2 |
Мы получили два корня в уравнении, значит, у нас две точки пересечения с осью « Ox ». Назовем эти точки и выпишем их координаты.
Отметим полученные точки («нули функции») на системе координат.
Возьмем четыре произвольные числовые значения для « x ». Целесообразно брать целые числовые значения на оси « Ox », которые наиболее близки к оси симметрии. Числа запишем в таблицу в порядке возрастания.
Для каждого выбранного значения « x » рассчитаем « y ».
Запишем полученные результаты в таблицу.
| x | 1 | 3 | 4 | 6 |
| y | 4 | −2 | −2 | 4 |
Отметим полученные точки графика на системе координат (зеленые точки).
Теперь мы готовы построить график. На забудьте после построения подписать график функции.
Краткий пример построения параболы
Рассмотрим другой пример построения графика квадратичной функции. Только теперь запишем алгоритм построения коротко без подробностей.
Пусть требуется построить график функции « y = −3x 2 − 6x − 4 ».
x0 =
| −b |
| 2a |
x0 =
| −(−6) |
| 2 · (−3) |
=
| 6 |
| −6 |
= −1
y0(−1) = (−3) · (−1) 2 − 6 · (−1) − 4 = −3 · 1 + 6 − 4 = −1
(·) A (−1; −1) — вершина параболы.
Точки пересечения с осью « Ox » ( y = 0 ).
x1;2 =
| −6 ± √ 6 2 − 4 · 3 · 4 |
| 2 · 1 |
x1;2 =
| −6 ± √ 36 − 48 |
| 2 |
x1;2 =
| −6 ± √ −12 |
| 2 |
Ответ: нет действительных корней.
Так как корней нет, значит, график функции не пересекает ось « Ox ».
Отметим вспомогательные точки. Отмечаем на системе координат только те точки, которые не выходят за масштаб нашей системы координат, то есть точки « (−2; −4) » и « (0; −4) ». Построим и подпишем график функции.
График квадратичной функции (ЕГЭ 2022)
Чтобы понять то, что здесь будет написано, тебе нужно хорошо знать, что такое квадратичная функция.
Проверь себя, ответь на эти вопросы:
Если ты сходу смог ответить, продолжай читать.
Если хоть один вопрос вызвал затруднения, повтори тему «Квадратичная функция».
График квадратичной функции — коротко о главном
Определение
Квадратичная функция – функция вида \( y=a<
^<2>>+bx+c\), где \( a\ne 0\), \( b\) и \( c\) – любые числа (коэффициенты), \( c\) – свободный член.
График квадратичной функции – парабола.
Если коэффициент \( \displaystyle a 0\) – ветви параболы направлены вверх.
Чем больше значение \( \displaystyle a\) (по модулю), тем у́же становится парабола (ветви становятся более крутыми). И наоборот, чем меньше \( \displaystyle a\), тем парабола шире.
Вершина параболы
\( \displaystyle <
Подставляем \( \displaystyle <
\( \displaystyle <
Свободный член \( \displaystyle c\) – это координата пересечения параболы с осью ординат.
Квадратичная функция и её коэффициенты
Итак, ты уже умеешь обращаться с квадратичной функцией, анализировать ее график и строить график по точкам.
Ну что же, вот она: \( y=a<
Давай вкратце вспомним, что делают коэффициенты.
С чего мы всегда начинаем строить параболу? Какая у нее есть отличительная точка?
Это вершина. А как найти координаты вершины, помнишь?
Абсцисса ищется по такой формуле:
Вот так: чем больше \( \displaystyle b\), тем левее смещается вершина параболы.
Ординату вершины можно найти, подставив \( <
Подставь сам и посчитай. Что получилось?
Если сделать все правильно и максимально упростить полученное выражение, получится:
Получается, что чем \( \displaystyle b\) больше по модулю, тем выше будет вершина параболы.
Перейдем, наконец, к построению графика.
Самый простой способ – строить параболу, начиная с вершины.
Пример №1
Построить график функции \( y=\frac<1><2><
Решение:
Для начала определим коэффициенты: \( a=\frac<1><2>;\text< >b=2;\text< >c=-1\).
Теперь вычислим координаты вершины:
А теперь вспоминаем: все параболы с одинаковым старшим коэффициентом выглядят одинаково.
Остается только один вопрос. Как быстро рисовать параболу?
Как быстро рисовать график квадратичной функции — параболу?
Даже если мы рисуем параболу с вершиной в начале координат, все равно приходится строить ее по точкам, а это долго и неудобно. А ведь все параболы выглядят одинаково, может, есть способ ускорить их рисование?
Когда я учился в школе, учительница математики сказала всем вырезать из картона трафарет в форме параболы, чтобы быстро ее чертить. Но с трафаретом везде ходить не получится, да и на экзамен его взять не разрешат. Значит, не будем пользоваться посторонними предметами, а будем искать закономерность.
Рассмотрим простейшую параболу \( y=<
Закономерность здесь такая.
Если из вершины сместиться вправо (вдоль оси \( \displaystyle Ox\)) на \( \displaystyle 1\), и вверх (вдоль оси \( \displaystyle Oy\)) на \( \displaystyle 1\), то попадем в точку параболы.
Дальше: если из этой точки сместиться вправо на \( \displaystyle 1\) и вверх на \( \displaystyle 3\), снова попадем в точку параболы.
Дальше: вправо на \( \displaystyle 1\) и вверх на \( \displaystyle 5\). Дальше что?
Вправо на \( \displaystyle 1\) и вверх на \( \displaystyle 7\).
И так далее: смещаемся на \( \displaystyle 1\) вправо, и на следующее нечетное число вверх.
То же самое потом проделываем с левой веткой (ведь парабола симметрична, то есть ее ветви выглядят одинаково):
Отлично, это поможет построить из вершины любую параболу со старшим коэффициентом, равным \( \displaystyle 1\).
Пример построения параболы быстрым способом
Например, нам стало известно, что вершина параболы находится в точке \( \displaystyle \left( 1;-2 \right)\). Построй (самостоятельно, на бумаге) эту параболу.
Должно получиться так:
Теперь соединяем полученные точки:
ОК, ну что же, теперь строить только параболы с \( \displaystyle a=1\)?
Конечно, нет. Сейчас разберемся, что с ними делать, если \( \displaystyle a\ne 1\).
Три типичных случая построения параболы
Cлучай 1. \( a=-1\).
То есть функция выглядит как \( y=-<
И то же самое, только влево.
Случай 2. \( a>1\).
Что делать, если, например, \( a=2\)?
Все просто: начинаем так же: \( 1\) вправо, но когда дело доходит до «вверх», любое число увеличиваем в \( 2\) раза:
Аналогично в случае \( a
Квадратичная функция. Построение параболы
8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.
Еще быстрее разобраться в теме и научиться строить график квадратичной функции можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.
Построение квадратичной функции
Квадратичная функция задается формулой y = ax 2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:
График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x 2 :
Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.
График функции y = –x 2 выглядит, как перевернутая парабола:
Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:
Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:
Рассмотрим три случая:
Если a > 0, то график выглядит как-то так:
0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/8ryBuyxmK9S2EbnsNc4AE5PEl_NpIg0RAM_Y_V8wUP-zREEHNgi9QoQTl8FXxoujjWRAvf3s-MPRsXsoepaLLSTHDX-ReGtrsnLQp4dW3WaEyPF2ywjVpYFXlDIpAEHoIiwlxiB7″ width=»602″>
На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.
Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:
Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.
Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).
На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:
Алгоритм построения параболы
Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.
Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax 2 + bx + c.
Как строим:
В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:
Как строим:
Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)
Рассмотрим следующий пример: y = (x − 2) × (x + 1).
Как строим:
Данный вид уравнения позволяет быстро найти нули функции:
(x − 2) × (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = −1.
Определим координаты вершины параболы:
Найти точку пересечения с осью OY:
с = ab = (−2) × (1) = −2 и ей симметричная.
Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой.
Как построить параболу
Как построить параболу? Существует несколько способов построения графика квадратичной функции. Каждый из них имеет свои плюсы и минусы. Рассмотрим два способа.
График квадратичной функции y=x²+bx+c — парабола, ветви которой направлены вверх. Для построения графика достаточно найти координаты вершины параболы. Абсцисса вершины параболы находится по формуле
Построить график функции y=x²+2x-3.
y=x²+2x-3 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы
От вершины (-1;-4) строим график параболы y=x²(как от начала координат. Вместо (0;0) — вершина (-1;-4). От (-1;-4) идём вправо на 1 единицу и вверх на 1 единицу, затем влево на 1 и вверх на 1; далее: 2 — вправо, 4 — вверх, 2- влево, 4 — вверх; 3 — вправо, 9 — вверх, 3 — влево, 9 — вверх. Если этих 7 точек недостаточно, далее — 4 вправо, 16 — вверх и т. д.).
Построить график функции y=x²+5x+4.
y=x²+5x+4 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы
Ищем точки пересечения графика с осями координат. В точке пересечения с осью Ох y=0: x²+5x+4=0. Корни квадратного уравнения х1=-1, х2=-4, то есть получили две точки графике (-1; 0) и (-4; 0).
В точке пересечения графика с осью Оy х=0: y=0²+5∙0+4=4. Получили точку (0; 4).
Для уточнения графика можно найти дополнительную точку. Возьмем х=1, тогда y=1²+5∙1+4=10, то есть еще одна точка графика — (1; 10). Отмечаем эти точки на координатной плоскости. С учетом симметрии параболы относительно прямой, проходящей через её вершину, отметим еще две точки: (-5; 6) и (-6; 10) и проведем через них параболу:
Вершина (-1,5; 2,25) — первая точка параболы.
Построение параболы по точкам — более трудоёмкий, по сравнению с первым, способ. Если парабола не пересекает ось Oх, дополнительных точек потребуется больше.
Прежде чем продолжить построение графиков квадратичных функций вида y=ax²+bx+c, рассмотрим построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Графики функций вида y=x ² +c также удобнее всего строить, используя одно из таких преобразований — параллельный перенос.
Парабола свойства и график квадратичной функции
Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.
Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.
Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.
Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.
Что такое парабола и как она выглядит
Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.
Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:
Каноническое уравнение параболы
На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.
Каноническое уравнение имеет вид:
где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).
В алгебре оно запишется иначе:
y = a x2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x2).
Свойства и график квадратичной функции
Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.
Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.
Как определить, куда направлены ветви параболы
Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.
Как найти вершину параболы по формуле
Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.
Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.
Формулы нахождения вершины:
Пример.
Имеется функция у = 4 * x2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.
Смещение параболы
Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0, 0).
Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.
Пример.
Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 по оси ординат.
Как строить параболу по квадратному уравнению
Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.
Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:
Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:
Для этого нужно приравнять выражение к нулю.
Наличие корней параболы зависит от результата:
Получаем алгоритм построения параболы:
Пример 1.
Дана функция у = х2 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:
По полученным точкам можно построить параболу.
Пример 2.
Для функции у = 3 * х2 2 * х 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:
По полученным точкам можно построить параболу.
Директриса, эксцентриситет, фокус параболы
Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).
Эксцентриситет (константа) = 1.
Заключение
Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.