Как построить овал в аксонометрии

Как построить овал в аксонометрии

§ 14. Построение аксонометрических проекций окружности

Рассмотрите рис. 92. На нем дана фронтальная диметрическая проекция куба с вписанными в его грани окружностями.

Рис. 92. Фронтальные диметрические проекции окружностей, вписанных в грани куба

Окружности, расположенные на плоскостях, перпендикулярных к осям х и z, изображаются эллипсами. Передняя грань куба, перпендикулярная к оси у, проецируется без искажения, и окружность, расположенная на ней, изображается без искажения, т. е. описывается циркулем. Поэтому фронтальная диметрическая проекция удобна для изображения предметов с криволинейными очертаниями, подооных представленными на рис. 93.

Рис. 93. Фронтальные диметрические проекции деталей

Построение фронтальной диметрической проекции плоской детали с цилиндрическим отверстием. Фронтальную диметрическую проекцию плоской детали с цилиндрическим отверстием выполняют следующим образом.

1. Строят очертания передней грани детали, пользуясь циркулем (рис. 94, а).

2. Через центры окружности и дуг параллельно оси у проводят прямые, на которых откладывают половину толщины детали. Получают центры окружности и дуг, расположенных на задней поверхности детали (рис. 94, б). Из этих центров проводят окружность и дуги, радиусы которых должны быть равны радиусам окружности и дуг передней грани.

Рис. 94. Построение фронтальной диметрической проекции детали с цилиндрическими элементами

3. Проводят касательные к дугам. Удаляют лишние линии и обводят видимый контур (рис. 94, в).

Изометрические проекции окружностей. Квадрат в изометрической проекции проецируется в ромб. Окружности, вписанные в квадраты, например, расположенные на гранях куба (рис. 95), в изометрической проекции изображаются эллипсами. На практике эллипсы заменяют овалами, которые вычерчивают четырьмя дугами окружностей.

Рис. 95. Изометрические проекции окружностей, вписанных в грани куба

Построение овала, вписанного в ромб.

1. Строят ромб со стороной, равной диаметру изображаемой окружности (рис. 96, а). Для этого через точку О проводят изометрические оси х и у и на них от точки О откладывают отрезки, равные радиусу изображаемой окружности. Через точки a, w, с и d проводят прямые, параллельные осям; получают ромб. Большая ось овала располагается на большой диагонали ромба.

Рис. 96. Построение овала в плоскости, перпендикулярной оси z

Рис. 97. Построение овала в плоскостях, перпендикулярных осям х и у

Построение изометрической проекции детали с цилиндрическим отверстием.

Как применить рассмотренные построения на практике?

Дана изометрическая проекция детали (рис. 98, а). Нужно изобразить сквозное цилиндрическое отверстие, просверленное перпендикулярно передней грани.

Построения выполняет следующим образом.

1. Находят положение центра отверстия на передней грани детали. Через найденный центр проводят изометрические оси. (Для определения их направления удобно воспользоваться изображением куба на рис. 95.) На осях от центра откладывают отрезки, равные радиусу изображаемой окружности (рис. 98, а).

2. Строят ромб, сторона которого равна диаметру изображаемой окружности; проводят большую диагональ ромба (рис. 98, б).

3. Описывают большие дуги овала; находят центры для малых дуг (рис. 98, в).

4. Проводят малые дуги (рис. 98, г).

5. Строят такой же овал на задней грани детали и проводят касательные к обоим овалам (рис. 98, д).

Рис. 98. Построение изометрической проекции летали с цилиндрическим отверстием

Ответьте на вопросы

1. Какими фигурами изображаются во фронтальной диме-трической проекции окружности, расположенные на плоскостях, перпендикулярных к осям х и у?

2. Искажается ли во фронтальной диметрической проекции окружность, если ее плоскость перпендикулярна оси у?

4. Какими фигурами изображаются в изометрической проекции окружности, расположенные на плоскостях, перпендикулярных к осям х, у, z?

5. Какими фигурами в практике заменяют эллипсы, изображающие окружности в изометрической проекции?

6. Из каких элементов состоит овал?

7. Чему равны диаметры окружностей, изображенных овалами, вписанными в ромбы на рис. 95, если стороны этих ромбов равны 40 мм?

Задания к § 13 и 14

Упражнение 42

Рис. 99. Задание для упражнений

Упражнение 43

Запишите, какой оси (х, у или z) перпендикулярны плоскости овала на рис. 100. В какой аксонометрической проекции даны здесь окружности?

Рис. 100. Задание для упражнений

Упражнение 44

В каких аксонометрических проекциях даны окружности на рис. 101? Какой оси перпендикулярна плоскость каждой из них?

Рис. 101. Задание для упражнений

Упражнение 45

Запишите, в каких аксонометрических проекциях даны геометрические тела на рис. 102.

Каким осям (х, у или z) параллельна высота каждого из них?

Рис. 102. Геометрические тела для задания для упраждений

Упражнение 46

Источник

Построение овалов как аксонометрических проекций окружности

Практически для построения прямоугольной аксонометрии окружности, расположенной в координатной плоскости (или плоскости уровня), строят овалы, условно аппроксимирующие эллипсы в прямоугольной аксонометрии. Работа с ними намного упрощает (и ускоряет!) процесс построения аксонометрических изображений, содержащих круглые формы (рис. 39).

a) b)

Задача 1. Построить прямоугольную изометрию окружности k радиуса R, расположенной в горизонтальной плоскости π’₂ (рис. 40 a,b).

1. Строим окружность с центром в т. О’, через которую проводим аксонометрические оси x’, y‘ и z’ (рис. 40a).

a) b)

2. Отмечаем точки пересечения О₁ и О₂ окружности и оси z’ (рис. 40b).

3. Из т. Е пересечения оси y’ и данной окружности проводим дугу радиуса R’= ЕО₁ до её пересечения с горизонтальной прямой h в т. О₃.

Дальнейшее построение четырехцентрового овала с точками стыка 1, 2,

3 и 4 понятно из рис. 40b.

Следует заметить, что ориентация овалов в разных аксонометрических плоскостях (или плоскостях, параллельных им), а также соотношения величин их осей, зависит от направления стороны треугольника следов, расположенной в соответствующей аксонометрической плоскости.

Например, если овал на рис. 40b располагать на аксонометрических плоскостях в изометрии (рис. 41), то:

· большая ось h овала, расположенного в плоскости π’₁ будет параллельна следу А’В’ треугольника следов А’В’С’ (рис. 41);

· большая ось h овала, расположенного в плоскости π’₂ будет параллельна следу А’С’;

· большая ось h овала, расположенного в плоскости π’₃ будет параллельна

При этом овалы в изометрии, лежащие в разных аксонометрических плоскостях равны при равенстве большой оси овала 1,22d, а малой – 0,58d, где d – диаметр исходной окружности.

В других видах аксонометрии соотношения величин осей овалов в разных аксонометрических плоскостях, могут различаться.

Задача 2. Построить прямоугольную диметрию окружности k, радиуса R, лежащей в горизонтальной плоскости π’₂ (рис. 42).

1. Строим окружность заданного радиуса R с центром в т. О’.

2. От тт. А и В её пересечения с осью z’ откладываем вверх и вниз отрезки

3. Находим тт. 1 и 2 пересечения заданной окружности с осью х’.

5. В пересечении горизонтальной прямой m É О’ с прямыми О₁1 и О₂2

Применяя их для построения дуг, как показано на рис. 37, строим овал,

большая и малая оси которого с достаточным приближением равны

На рис. 43 для построения прямоугольной диметрии окружности того же радиуса R, лежащей во фронтальной плоскости π’₁, через концы 1, 2, 3 и 4 (точки стыка) сопряжённых диаметров, параллельных осям х’ и z’ проводим горизонтальные прямые, которые пересекают взаимно-перпендикулярные оси МN и LК овала в четырёх центрах – О₁, О₂, О₃ и О₄. Окончательное проведение четырёхцентровой кривой несложно уяснить из чертежа.

Следует иметь в виду, что ось LК овала в плоскости π’₂ параллельна диметрической оси y’ и равна 1,9R, другая ось MN равна 2,12R. Обе величины с достаточным приближением соответствуют осям эллипса, лежащего в плоскости π’₁.

Дополнение. Построение углов между осями в прямоугольной диметрии в «приведённом» виде (рис. 44а) выполняется следующим образом (рис. 44b):

1. На оси z’ от заданного начала О’ откладываем отрезок О’К.

2. На отрезке О’К как на диаметре строим полуокружность радиуса R.

3. Из т. К проводим дугу радиуса R’= КN=3/4 О’К.

4. На пересечении двух дуг находим т. L, которая вместе, с т. О’ определит ось у’.

5. Из т. L проведём полуокружность радиуса R», которая пересечёт прямую КL в т. Е (КL=LЕ).

6. Искомая ось х’ проходит через тт. ЕО’.

3.3. Построение циркульных спиралей

Точка, которая вращается в плоскости около некоторого центра и удаляется от него по определённому закону, описывает траекторию, представляющую собою спираль. Спирали относятся к односвязным линиям, не имеющим никаких разветвлений и простирающимся до бесконечности. Спирали широко используются в архитектурном декоре и имеют долгую художественную и сакральную традицию.

Циркульная спиральная кривая, состоящая из последовательных сопряжённых дуг, называется завитком.

Задача 1. Построить завиток по двум центрам 1 и 2 – концам заданного отрезка (рис. 45).

1. Из центра 1 проводим полуокружность 1′-2 радиуса R₁, равного величине исходного отрезка 1-2.

2. Из центра 2 проводим полуокружность 1′-2′ радиуса R₂.

3. Из центра 1 проводим полуокружность 2′-1′ радиуса R₃.

Дальнейшие построения аналогичны и их легко понять из чертежа.

Задача 2. Построить завиток по трём центрам 1, 2 и 3 – вершинам равностороннего треугольника (рис. 46).

1. Из центра 1 проводим дугу 3-1′, равную трети окружности радиуса R₁.

2. Из центра 2 проводим дугу 1′-2′, равную трети окружности радиуса R₂.

3. Из центра 3 проводим дугу 2′-3′, равную трети окружности радиуса R₃.

Дальнейшие построения несложно продолжить аналогичным образом.

Задача 3. Построить завиток по четырём центрам 1, 2, 3 и 4 – вершинам квадрата (рис. 47).

1. Из центра 1 проводим дугу 4-1′ радиуса R₁, равного стороне исходного квадрата.

2. Следующую дугу 1′-2′ радиуса R₂ проводим из центра 2.

3. Очередную дугу 2′-3′ проводим из центра 3 радиусом R_3.

Далее построения выполняются сходным образом, при этом на каждом этапе центры сопряжения сменяются последовательно (в данном случае, по часовой стрелке).

Построение шестицентрового завитка предлагается разобрать самостоятельно (рис. 48).

Задача 4. Построить завиток по заданному диаметру 4-4′ окружности с известным центром О (рис. 49).

1. Поделим заданный диаметр 4-4′ на n равных частей по n/2 на радиус.

2. Тогда при n=8 радиусом R₁=1-4′ из точки 1 проводим

3. Радиусом R₂ =1′-А из точки 1′ проводим полуокружность АD.

4. Далее из центра 2 проводим полуокружность DB радиусом R₃ = D-2.

Последующие построения проводятся аналогичным образом.

Задача 5. Построить завиток по заданному отрезку ОА, где О – центр завитка (рис. 50a, b).

1. Делим отрезок ОА на n равных частей, например на n=9.

2. Около центра О описываем окружность радиуса, равного 1/9 ОА,

и вписываем в неё квадрат 1—2—3—4 (обход вершин против часовой

3. Соединяем середины сторон полученного квадрата и, таким образом,

находим ещё один квадрат, вписанный в предыдущий, в который, в свою очередь, аналогичным образом вписываем очередной квадрат 5—6—7—8 (обход вершин также против часовой стрелки) и т.д. (рис. 50b).

4. Строим дугу 9-А радиуса R₁= 1—9 из центра 1; т. А лежит на продолжении

стороны квадрата 1—2.

5. Строим дугу АВ радиуса R₂=2—А, причем т. В лежит на продолжении

стороны 2-3 квадрата. Далее построения ведутся аналогичным образом.

Точку Е стыка двух смежных дуг радиусов R₄ и R₅ находим на продолжении отрезка 4—5.

АВ/ВС = 1+

В этом прямоугольнике его стороны АВ и DC делятся точками О и Т₁ в отношении 5/3. В результате прямоугольник оказывается разделённым на квадрат АОТ₁ D и прямоугольник ОВСТ₁ стороны ОТ₁ и ВС которого, в свою очередь, так же делятся в отношении 5/3. Очередной и последующие прямоугольники продолжают делить аналогичным образом.

В каждом квадрате, полученном таким образом, можно последовательно провести дуги окружностей из центров О, О₁, О₂, О₃, О₄, О₅, …, которые образуют завиток, построение которого традиция приписывает Архимеду.

3.4. Дополнение: сопряжения, выполняемые посредством коник

Кривые 2-го порядка (коники) широко применяются в технике строительстве и архитектуре. Форма коники и её положение на плоскости определяются заданием пяти параметров, например, пятью касательными, никакие три из которых, не должны пересекаться в одной точке или пятью точками, никакие три из которых не должны лежать на одной прямой. В число пяти параметров может входить любая комбинация из касательных и точек, отвечающих указанным выше условиям.

При задании коники пятью параметрами вид кривой (эллипс, парабола или гипербола) предусмотреть заранее трудно. Поэтому кривую удобнее задавать двумя касательными к ней с точками касания на них и графическим или инженерным дискриминантом.

Пусть касательные t_a и t_b касаются кривой в тт. А и В и пересекаются в т. М (рис. 52).

Найдём середину Т хорды АВ и проведём медиану МТ. Выберем на медиане некоторую точку N и зададим тем самым значение дискриминанта. Тогда коника может считаться заданной.

Дискриминантом f коники называется отношение отрезков NM к ТМ, т.е. f= NM/ ТМ. При этом, если f 0,5 – гиперболой.

Поскольку при подсчёте величина дискриминанта окажется, в нашем случае, равной f = 0,42, то искомой кривой будет эллипс. Для построения эллипса необходимо отыскать некоторое множество его текущих точек в следующем порядке:

1. Проводим прямые a =А N и b = В N.

2. Через т. М проводим произвольную прямую l, которая пересечёт прямые

a и b соответственно в точках 1 и 2.

3. Точку Е кривой находим на пересечении прямых с (А-2) и d (В-1).

4. Пучок прямых l i c центром в т. М позволяет найти сколько угодно

точек Е i кривой при аналогичных построениях.

Задача 2. Построить арочную кривую, которая определена парой взаимно-параллельных касательных t_a и t_b с точками касания А и В на них и точкой N подъёма (рис. 54).

проходящих через несобственную т. позволяет найти сколько

Источник

Урок 18. Построение окружности в аксонометрии

Лист 1. Тема урока: Построение окружности в аксонометрии.
Лист 2. Фронтальная диметрическая проекция (см. рис. 18.1).

Рис. 18.1 Рис. 18.2
Лист 3. Изометрическая проекция (см. рис. 18.2).
Лист 4. Центровые оси (см. рис. 18.3). Для выполнения построений учащимся выдаются распечатанные заготовки (см. приложение 8).

Рис. 18.3 Рис. 18.4
Лист 5. Обозначения осей для построения овала в плоскости V, W, H (см. рис. 18.4).

Лист 6-7. Построение овала в горизонтальной плоскости проекции. Обозначение оси Z – главная ось (см. рис. 18.5), на пересечении окружности и осевой обозначаем точки (см. рис. 18.6), из них проводим вспомогательные радиусы (синие стрелки) до пересечения с осевыми линиями (см. рис. 18.7).

Лист 8-14. Проводим две большие дуги овала, для этого ножку циркуля ставим в точки, раствор циркуля равен длине стрелки (см. рис. 18.8, 18.9).

Рис. 18.10 Рис. 18.11
Строим две малые дуги овала. Центры малых дуг лежат на пересечении двух левых и двух правых стрелок. Радиус равен остатку стрелки (см. рис. 18.10). Овал в горизонтальной плоскости построен (см. рис. 18.11).
Лист 15 – 20. Построение овала во фронтальной плоскости проекции. Обозначение оси Y – главная ось (см. рис. 18.12), на пересечении окружности и осевой обозначаем точки (см. рис. 18.13), из них проводим вспомогательные радиусы до пересечения с осевыми линиями (см. рис. 18.14). Строим большие дуги овала (см. рис. 18.15). Затем малые дуги овала (см. рис. 18.16).

Рис.18.14 Рис.18.15 Рис. 18.16
Лист 21 – 25. Построение овала в профильной плоскости проекции. Обозначение оси X – главная ось, на пересечении окружности и осевой обозначаем точки, из них проводим вспомогательные радиусы до пересечения с осевыми линиями.

Рис. 18.19 Рис. 18.20 Рис. 18.21
Лист 26. Домашнее задание (см. рис. 18.22).

Файл проекта урока для интерактивной доски MIMIO Скачать

Источник