Как построить отрицание в математике

Отрицание высказываний и высказывательных форм

Пусть предложение А – высказывание. Если перед сказуемым данного предложения поставить частицу «не» либо перед всем предложением поставить слова «неверно, что», то получится новое предложение, которое называется отрицанием данного и обозначается Ā (читают: «не А» или «неверно, что А).

Определение. Отрицанием высказывания А называется высказывание Ā, которое ложно, когда высказывание А истинно, и истинно, когда высказывание А – ложно.

Таблица истинности отрицания имеет вид :

Из данного определения следует, что предложение и его отрицание не могут быть ни одновременно истинны, ни одновременно ложны.

Построим отрицание ложного высказывания «число 28 делится на 9:

А) Число 28 не делится на 9.

Б) Неверно, что число 28 делится на 9.

Высказывания, которые мы получили, истинные. Значит, отрицание данного предложения построено правильно.

Рассмотрим теперь правила построения отрицания конъюнкции и дизъюнкции высказываний. Если перед всем составным высказыванием поставим слова «неверно, что», то, безусловно, получим его отрицание. А как быть с частицей «не»? Можно ли поставить перед сказуемым составного предложения и получить его отрицание? На примере можно показать, что нельзя.

Можно доказать, что отрицанием конъюнкции двух высказываний А и В является дизъюнкция их отрицаний. Для этого надо убедиться в том, что значения истинности высказываний вида А∧В и А∨ В совпадают при любых значениях истинности высказываний А и В. Сделать это можно при помощи таблицы истинности:

А	В	А∧В	А∧В	А	В	А∨ В
и	и	и	л	л	л	л
и	л	л	и	л	и	и
л	и	л	и	и	л	и
л	л	л	и	и	и	и

Про высказывания вида А∧В и А∨ В говорят, что они равносильны, и пишут

А∧В ⇔ А ∨ В.

Аналогично можно доказать, что имеет место равносильность

А∨В ⇔ А ∧ В.

Эти равносильности носят название законов де Моргана.

Из них вытекает следующее правило построения отрицания конъюнкции и дизъюнкции: чтобы построить отрицание конъюнкции (дизъюнкции), достаточно заменить отрицаниями составляющие ее высказывания, а союз «и» («или») заменить союзом «или» («и).

10. Отношения следования и равносильности между предложениями.

Следование: Рассмотрим две высказывательные формы: «число х кратно 4» и «число х кратно 2», заданные на множестве N натуральных чисел.

Можно сказать так: из того, что число х кратно 4, следует, что хкратно 2, т.к. при всех значениях х, при которых истинно предложение «число х кратно 4», будет истинно и предложение «число х кратно 2». В этом случае говорят, что данные предложения находятся в отношении логического следования.

Определение.Высказывательная форма В(х) следует из высказывательной формы А (х), если В(х) обращается в истинное выска­зывание при всех тех значениях х, при которых А (х) истинна.

1. Из А(х) следует В(х).

2. Всякое А(х) есть В(х).

4. В(х) есть следствие А(х).

5. А(х) есть достаточное условие для В(х).

6. В(х) есть необходимое условие для А(х).

Например, утверждение о том, что из предложения «число х кратно 4», следует предложение «число х кратно 2», можно сформулиро­вать еще так:

— Всякое число, которое кратно 4, кратно и 2.

— Если число кратно 4, то оно кратно и 2.

— Кратность числа 2 есть следствие кратности его 4.

— Кратность числа 4 есть достаточное условие для его кратности 2.

— Кратность числа 2 есть необходимое условие для его кратности 4.

Определение. Предложения А(х) и В(х) равносильны, если из предложения А(х) следует предложение В(х), а из предложения В(х) следует предложение А (х).

Для обозначения отношения равносильности используется знак Û. Соединяя две высказывательные формы А(х) и В(х) таким знаком, мы получаем высказывание А(х) Û В(х), прочитать которое можно по-разному:

1. А(х) равносильно В(х).

2. А(х) тогда и только тогда, когда В(х).

Например, утверждение о том, что предложение «число делится на 3» и «сумма цифр в записи числа делится на 3» равносильны, можно сформулировать еще так:

· Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр вегозаписи делится на 3.

· Для того чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр в его записи делилась на 3.

Источник

Конспект урока математики на тему : Отрицание высказываний

Министерство образования и науки РД

ГБПОУ «Профессионально- педагогический колледж имени Р. Гамзатова».

Разработка урока по математике

Тема: Отрицание высказываний.

Тема: Отрицание высказываний.

Цели : Ознакомить с правилами построения отрицаний высказываний ; совершенствовать навыки по определению значений истинности различных математических предложений; развивать навыки логического мышления и интерес к математике.

Оборудование : таблицы, тесты.

Повторение пройденного материала.

Объяснение нового материала.

Закрепление нового материала.

Итоги урока. Домашнее задание.

-Здравствуйте, сегодня мы закрепим знания о конъюнкции и дизъюнкции высказываний, о высказываниях с кванторами и научимся строить отрицания различных видов высказываний.

Повторение пройденного материала.

— Сначала выполним несколько заданий на повторение пройденного материала.

Что называется высказыванием? Что называется высказывательной формой?

а) Среди предложений укажите высказывания и высказывательные формы

Что больше: 5 или 7?

б) Придумайте предложение являющееся высказыванием.

Приведите пример предложений, не являющихся высказываниями.

в) Среди предложений укажите истинное высказывание.

Волга впадает в Черное море.

г) Придумайте два истинных и два ложных высказывания.

д) Верно ли высказывание? Объясните.

Через две точки можно провести несколько прямых.

Уравнение x+7=5 не имеет корней.

Число 4 является корнем уравнения 72:х=18.

Что называется конъюнкцией высказываний? Что называется дизъюнкцией высказываний?

Определите значение истинности высказываний.

Число 16 кратно 2 и нечетное.

Число 20 делится на 3 или на 6.

Квадрат является прямоугольником или трапецией.

Решите систему неравенств и уравнение и покажите связь с конъюнкцией и дизъюнкцией высказывательных форм

— Как показать истинность и ложность высказываний с квантором общности?

— Как показать истинность и ложность высказываний с квантором существования?

Существует число, которое делится на 7.

Все четырехугольники – квадраты.

Любое двузначное число больше 5.

Среди прямоугольных треугольников есть равносторонние.

Поставьте вместо многоточия логическую связку «и» или «или», чтобы получилось истинное высказывание

а) Число 18 четное … кратно 9.

б) Прямоугольник является трапецией … параллелограммом.

в) Число 10 делится на 5 … однозначное.

г) Число 12 кратно 2 … 6.

2) Вместо многоточия поставьте квантор, чтобы получилось истинное высказывание

б) … прямоугольник является параллелограммом.

в) … натуральное число больше 0.

г) … треугольник является равносторонним.

3) Решите систему неравенств и уравнение и покажите связь с конъюнкцией и дизъюнкцией высказывательных форм, если хϵ R

Поставьте вместо многоточия логическую связку «и» или «или», чтобы получилось истинное высказывание

а) Число 21 меньше 8 … нечетное.

б) Квадрат является ромбом … прямоугольником.

в) Число 18 делится на 3 … больше 5.

г) Трапеция является четырехугольником … квадратом.

2) Вместо многоточия поставьте квантор, чтобы получилось истинное высказывание

а) … равносторонний треугольник является равнобедренным.

в) … двузначное число больше 9.

г) … трапеция является равнобокой.

3) Решите систему неравенств и уравнение и покажите связь с конъюнкцией и

дизъюнкцией высказывательных форм, если хϵ R

Объяснение нового материала.

Часто в математике приходится строить отрицания высказыванийй.

Пусть А-высказывание. Если перед сказуемым данного предложения поставить частицу «не», либо перед всем предложением поставить слова «неверно, что», то получится предложение, которое называется отрицанием данного высказывания и обозначается А (читается: «не А» или «неверно, что А»).

Определение: Отрицанием высказывания А называется высказывание А, которое ложно, когда высказывание А истинно, и истинно, когда высказывание А-ложно.

Пример: А: Число 16 делится на 9.

А: а) Число 16 не делится на 9.

б) Неверно, что число 16 делится на 9.

Рассмотрим теперь правила построения отрицания конъюнкции и дизъюнкции высказываний.

Чтобы построить отрицание конъюнкции и дизъюнкции, достаточно заменить отрицаниями составляющие ее высказывания, а союз «и» («или») заменить союзом «или» («и»).

Это правило можно записать в виде равносильностей А˄В ⇔ А˅В и А˅В ⇔ А˄В.

Эти равносильности называют законами де Моргана.

1) Построить отрицание высказывания: «Число 25 кратно 3 или 5».

Отрицание можно построить двумя способами:

а) Неверно, что число 25 кратно 3 или 5.

б) Число 25 не кратно 3 или 5.

2) Построить отрицание высказывания: «Число 6 четное и делится на 4».

Отрицание можно построить двумя способами.

а) Неверно, что число 6 четное и делится на 4.

б) Число 6 нечетное или не делится на 4.

Теперь рассмотрим правила построения отрицаний высказываний, которые содержат кванторы.

Для того, чтобы построить отрицание высказывания, начинающегося с квантора общности (существования), достаточно заменить его квантором существования (общности) и построить отрицание предложения, стоящего после квантора.

Это правило можно записать двумя раносильностями:

( ∀ х) А(х) ⇔ ( ∃ х) А(х) и ( ∃ х) А(х) ⇔ ( ∀ х) А(х)

1) Построить отрицание высказывания: «Некоторые студенты отличники».

Отрицание можно построить двумя способами:

а) Неверно, что некоторые студенты отличники.

б) Всякий студент не отличник.

2) Построить отрицание высказывания: «Все числа больше 10»

Отрицание можно построить двумя способами:

а) Неверно, что все числа больше 10

б) Существуют числа не больше 10

Закрепление нового материала.

Сформулируйте отрицания следующих предложений двумя способами:

Квадрат является ромбом.

а) Неверно, что квадрат является ромбом.

б) Квадрат не является ромбом.

Число 6 однозначное и меньше 8.

а) Неверно, что число 6 однозначное и меньше 8.

б) Число 6 не однозначное или не меньше 8.

Трапеция является параллелограммом или прямоугольником.

а) Неверно, что трапеция является параллелограммом или прямоугольником.

б) Трапеция не является параллелограммом и прямоугольником.

Всякое число четное.

а) Неверно, что всякое число четное.

б) Существует число, которое не является четным.

Хотя бы одно число четное.

а) Неверно, что хотя бы одно число четное.

б) Любое число нечетное.

Итоги урока. Домашнее задание.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-538382

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Рособрнадзор объявил сроки и формат ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

НИУ ВШЭ откроет первую в России магистратуру по управлению низкоуглеродным развитием

Время чтения: 2 минуты

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

При детском омбудсмене в России создадут платформу для взаимодействия с родителями

Время чтения: 2 минуты

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Основы математической логики

Второй урок практического курса высшей алгебры будет посвящён основам математической логики, которая представляет собой не только отдельный раздел математики, но и имеет огромное значение при изучении всей вышки (да и не только вышки). «Существует и единственно», «из этого следует это», «необходимое условие», «достаточность», «тогда и только тогда» – знакомые обороты, не правда ли? И это не просто «дежурные» штампы, которыми можно пренебречь – это устойчивые выражения, обладающие строгим смыслом, с которым мы и познакомимся в данной статье. Кроме того, материал будет полезен начинающим изучать непосредственно математическую логику – я рассмотрю её базу: высказывания и действия над ними, формулы, основные законы + некоторые практические задачи. И, конечно же, вы узнаете очень важное, а местами и весьма забавное отличие матлогики от нашей «обычной» логики. Начинаем закладывать фундамент:

Высказывания и высказывательные формы

Высказывание – это предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Высказывания обычно обозначают строчными латинскими буквами , а их истинность/ложность единицей и нулём соответственно:

– данная запись (не путать с модулем!) говорит нам о том, что высказывание истинно;
– а эта запись – о том, что высказывание ложно.

– черепахи не летают;
– Луна квадратная;
– дважды два будет два;
– пять больше, чем три.

Совершенно понятно, что высказывания и истинны: ,
а высказывания и – ложны:

Разумеется, далеко не все предложения являются высказываниями. К таковым, в частности относятся вопросительные и побудительные предложения:

Вы не подскажете, как пройти в библиотеку?
Пойдём в баню!

Очевидно, что здесь не идёт речи об истине или лжи. Как не идёт о них речи и в случае неопределённости либо неполной информации:

Завтра Петя сдаст экзамен – даже если он всё выучил, то не факт, что сдаст; и наоборот – если ничего не знает, то может и сдаст «на шару».

…да ладно, Петь, не переживай – сдашь =)

– а тут мы не знаем, чему равно «эн», поэтому это тоже не высказывание.

Однако последнее предложение можно доопределить до высказывания, а точнее, до высказывательной формы, указав дополнительную информацию об «эн». Как правило, высказывательные формы записываются с так называемыми кванторами. Их два:

– квантор общности (перевёрнутая буква A – от англ. All) понимается и читается как «для всех», «для любого (ой) (ых) »;

– квантор существования (развёрнутая буква E – от англ. Exist) понимается и читается как «существует».

– для любого натурального числа выполнено неравенство . Данная высказывательная форма ложна, поскольку ей, очевидно, не соответствуют натуральные числа .

– а вот это высказывательная форма уже истинна, как истинно и, например, такое утверждение:
…ну а что, разве существует натуральное число, которое меньше, чем –10?

Предостерегаю вас от опрометчивого использования данного квантора, ибо «для любого» может на поверку оказаться вовсе и «не для любого».

Внимание! Если вам что-то не понятно в обозначениях, пожалуйста, вернитесь к уроку о множествах.

– существует натуральное число, которое больше двух. Истина …и, главное, не поспоришь =)

– Ложь

Нередко кванторы «работают в одной упряжке»:

– для любого вектора существует противоположный ему вектор. Прописная истина, а точнее, аксиома (утверждение, принимаемое без доказательства) векторного пространства.

Обратите внимание, что квантор существования подразумевает сам факт существования объекта (хотя бы одного), который удовлетворяет определённым характеристикам. Пусть в мире существуют единственная белая ворона, но существуют же. Более того, в математике (как школьной, так и высшей) доказывается великое множество теорем на существование и как раз единственность чего-либо. Доказательство такой теоремы состоит из двух частей:

1) Существование объекта, удовлетворяющего определённым критериям. В этой части обосновывается сам факт его существования.

2) Единственность данного объекта. Этот пункт доказывается, как правило, методом от противного, т.е. предполагается, что существует 2-й объект с точно такими же характеристиками и далее это предположение опровергается.

Школьников, впрочем, стараются не пугать подобной терминологией, и теорема часто преподносится в завуалированном виде, например:

В любой треугольник можно вписать окружность и, причём только одну

Кстати, а что такое вообще теорема? Логическую суть этого страшного слова мы узнаем очень скоро….

Логические операции (действия над высказываниями)

Подобно тому, как с числами можно проводить арифметические действия (складывать, умножать и т.д.), к высказываниям тоже применимы свои операции. Существует три базовых логических операции:

отрицание высказывания;

конъюнкция или логическое умножение высказываний;

дизъюнкция или логическое сложение высказываний.

1) Отрицание высказывания

Данной операции соответствует логическая связка НЕ и символ

Отрицанием высказывания называется высказывание (читается «не а»), которое ложно, если истинно, и истинно – если ложно:

Так, например, высказывание – черепахи не летают истинно: ,
а его отрицание – черепахи летают если хорошенько пнуть – ложно: ;

высказывание – дважды два будет два ложно: ,
а его отрицание – неверно, что дважды два будет два – истинно: .

Кстати, не нужно смеяться над примером с черепахами 😉 садисты

Удачной физической моделью данной операции является обычная лампочка и выключатель:

свет включен – логическая единица или истина,
свет выключили – логический ноль или ложь.

2) Конъюнкция (логическое умножение высказываний)

Данной операции соответствует логическая связка И и символ либо

Конъюнкцией высказываний и называют высказывание (читается «а и бэ»), которое истинно в том и только том случае, когда истинны оба высказывания и :

Данная операция тоже встречается сплошь и рядом. Вернёмся к нашему герою с первой парты: предположим, что Петя получает допуск к экзамену по высшей математике, если сдаёт курсовую работу и зачёт по теме. Рассмотрим следующие высказывания:
– Петя сдал курсовую работу;
– Петя сдал зачёт.

Заметьте, что в отличие от формулировки «Петя завтра сдаст» здесь уже в любой момент времени можно сказать, истина это или ложь.

Высказывание (суть – Петя допущен к экзамену) будет истинно в том и только том случае, если он сдал курсовик и зачёт по . Если хоть что-то не сдано (см. три нижних строчки таблицы), то конъюнкция – ложна.

И очень своевременно пришёл мне в голову отличный математический пример: знак системы соединяет входящие в неё уравнения/неравенства как раз по правилу И. Так, например, запись двух линейных уравнений в систему подразумевает то, что мы должны найти ТАКИЕ корни (если они существуют), которые удовлетворяют и первому и второму уравнению.

Рассматриваемая логическая операция распространяется и на большее количество высказываний. Условно говоря, если в системе 5 уравнений, то её корни (в случае их существования) должны удовлетворять и 1-му и 2-му и 3-му и 4-му и 5-му уравнению данной системы.

И в заключение пункта вновь обратимся к доморощенной электротехнике: конъюнктивное правило хорошо моделирует выключатель в комнате и рубильник на электрическом щитке в подъезде (последовательное подключение). Рассмотрим высказывания:

– выключатель в комнате включен;

– рубильник в подъезде включен.

Наверное, все уже поняли, что конъюнкция читается самым что ни на есть естественным образом:
– выключатель в комнате включен и рубильник в подъезде включен.

Очевидно, что тогда и только тогда, когда . В трёх других случаях (проанализируйте, каких) цепь разомкнётся и свет погаснет: .

Давайте присоединим ещё одно высказывание:
– рубильник на подстанции включен.

Аналогично: конъюнкция будет истинна тогда и только тогда, когда . Здесь, к слову, уже будет 7 различных вариантов разрыва цепи.

3) Дизъюнкция (логическое сложение высказываний)

Этой операции соответствует логическая связка ИЛИ и символ

Дизъюнкцией высказываний и называют высказывание (читается «а или бэ»), которое ложно в том и только том случае, когда ложны оба высказывания и :

Предположим, что в экзаменационном билете по высшей математике 2 вопроса и студент сдаёт экзамен, если ответит хотя бы на один вопрос. Рассмотрим следующие высказывания:
– Петя ответил на 1-й вопрос;
– Петя ответил на 2-й вопрос.

Дизъюнктивная запись читается просто и понятно: Петя ответил на 1-й или 2-й вопрос и подразумевает три истинных исхода (см. таблицу). При этом экзамен Пётр не сдаст в единственном случае – если «запорет» оба вопроса:

Следует отметить, что союз «или» мы очень часто понимаем как «исключающее или», и, более того – его зачастую так и нужно понимать! Из той же фразы о сдаче экзамена человек, скорее всего, сделает вывод, что Петя ответил только на 1-й или только на 2-й вопрос. Однако рассматриваемое ИЛИ – это не обывательское «или».

Операция логического сложения также применима для трёх и бОльшего количества высказываний. Некоторые лояльные преподаватели задают 10-15 вопросов и ставят экзамен, если студент хоть что-то знает = ) Иными словами, логическое ИЛИ скрывает за собой связку «хотя бы на один» (и она вовсе не означает, что СТРОГО на один!).

Ну и давайте отвлечёмся от бытового электричества: подавляющее большинство сайтов Интернета расположены на профессиональных серверах, которые снабжаются, как правило, двумя блоками питания. В электротехнике это называется параллельным подключением, которое как раз и моделирует правило ИЛИ – сервер работает, если исправен хотя бы один блок питания. Оборудование, кстати, поддерживает «горячую» замену, т.е. сгоревший БП можно заменить, не выключая сервер. Такая же история с жёсткими дисками – они дублируются в так называемом RAID-массиве, и более того, сам Дата-центр, где находятся серверы, обычно запитывается двумя независимыми электролиниями + дизель-генератор на всякий случай. Эти меры позволяют обеспечить максимальный аптайм сайтов.

И коль скоро речь зашла о компьютерах, то они… базируются на рассмотренных логических операциях! Это кажется невероятным, но задумаемся – а что вообще могут «понимать» эти «железки»? А понимать они могут следующее:

в проводе есть ток – это логическая единица;
провод обесточен – это логический ноль.

Именно данный факт первопричина того, что в основе измерения объёма информации лежит степень двойки:
и т.д.

Простейшим «компьютером» является… обычный выключатель – он хранит информацию в 1 бит (истину или ложь в указанном выше смысле). Центральный же процессор современного компьютера насчитывает сотни миллионов (!) транзисторов, и самое сложное программное обеспечение, самая «навороченная игра» раскладывается на множество нулей и единиц, которые обрабатываются с помощью элементарных логических операций!

И уже следующие две операции, которые мы рассмотрим, являются не самостоятельными, то есть могут быть выражены через отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию:

Импликация и логическое следствие.
Необходимое условие. Достаточное условие

До боли знакомые обороты: «следовательно», «из этого следует это», «если, то» и т.п.

Импликацией высказываний (посылка) и (следствие) называют высказывание , которое ложно в единственном случае – когда истинно, а – ложно:

Фундаментальный смысл операции таков (читаем и просматриваем таблицу сверху вниз):

из истины может следовать только истина и не может следовать ложь;

изо лжи может следовать всё, что угодно (две нижние строчки), при этом:

истинность посылки является достаточным условием для истинности заключения ,

а истинность заключения – является необходимым условием для истинности посылки .

Разбираемся на конкретном примере:

Составим импликацию высказываний – идёт дождь и – на улице сыро:

Если оба высказывания истинны , то само собой истинна и импликация – если на улице идёт дождь, то на улице сыро. При этом не может быть такого, чтобы дождь шёл , а на улице было сухо :

Если же дождя нет , то на улице может быть как сухо :

так и сыро :
(например, по причине того, что растаял снег).

А теперь ВДУМЫВАЕМСЯ в эти «штампованные» слова необходимость и достаточность:

Дождь является достаточным условием для того, чтобы на улице было сыро, и с другой стороны, сырость на улице необходима для предположения о том, что прошёл дождь (ибо если сухо – то дождя точно не было).

Обратная же импликация нелегальна: – сырости на улице ещё не достаточно для обоснования факта дождя, и, кроме того, дождь ведь не является НЕОБХОДИМОЙ причиной сырости (т.к., например, может пройти и растаять град).

Вроде бы должно быть понятно, но на всякий случай ещё несколько примеров:

– Чтобы научиться выполнять действия с матрицами, необходимо уметь складывать и умножать числа. Но этого, как вы правильно предчувствуете, не достаточно.

– Чтобы научиться выполнять арифметические действия достаточно окончить 9 классов. Но это не является условием необходимым – считать может научить и бабушка, причём ещё в детском саду.

– Чтобы найти площадь треугольника достаточно знать его сторону и высоту, проведённую к этой стороне. Однако опять же – это не необходимость, площадь треугольника можно найти и по трём сторонам (формуле Герона) или, например, с помощью векторного произведения.

– Для допуска к экзамену по высшей математике Пете необходимо отчитаться по курсовой работе. Но этого не достаточно – потому что ещё нужно сдать зачёт.

– Для того чтобы вся группа получила зачёт достаточно занести преподавателю ящик коньяка. И здесь, как нетрудно предположить, отпадает необходимость что-либо учить =) Но, обратите внимание, подготовка вовсе не возбраняется 😉

Бывают ли условия необходимые и в то же время достаточные? Конечно! И очень скоро мы до них доберёмся. А сейчас об одном важном принципе матлогики:

Математическая логика формальна

Её интересует истинность или ложность высказываний, но не их содержание! Так, если мы составим импликацию Если черепахи не летают, то дважды два равно четырём, то она будет истинной! Иными словами, любое истинное высказывание можно обосновать любой истиной (1-я строчка таблицы), и с точки зрения формальной логики это будет истина!

Но ещё интереснее ситуация с ложным посылом: любой ложью можно обосновать всё, что угодно – как истину так и ложь:

– если Луна квадратная, то ;
– если пингвины ходят в валенках, то черепахи носят шлёпанцы.

А что? – по таблице оба высказывания истинны!

Данные факты получили название парадокс импликации, но в действительности мы, конечно же, рассматриваем примеры, осмысленные с точки зрения нашей содержательной логики.

И ещё один очень важный момент: импликацию часто обозначают значком (тоже читается «следовательно», «из этого следует это»), который мы также используем в ходе решения задач, доказательств теорем и т.д. И здесь речь идёт о совпадении обозначений – то, что мы используем в «обычных» математических выкладках, строго говоря, не является импликацией. В чём отличие? Когда мы решаем задачу и пишем, что («из а следует бэ»), то полагаем высказывание заведомо истинным, и более того, выводим из него другую истину . В математической логике это называется логическим следствием. Обычно следствие подлежит обоснованию, и поэтому при оформлении работ всегда старайтесь пояснять, какие аксиомы, теоремы, решённые задачи и т.д. вы использовали для того или иного вывода.

Теорема по своей сути тоже представляет собой логическое следствие: её условие опирается на истинные посылки (аксиомы, ранее доказанные теоремы и т.д.). Доказательство же устанавливает истинность следствия , причём в этом процессе не могут использоваться ложные рассуждения.

Недоказанная теорема называется гипотезой, и варианта тут два: либо она выводит из истины истину и представляет собой теорему, либо гипотеза невернА, т.е. из множества истинных посылок следует «не бэ»: . В случае опровержения получается тривиальный вывод наподобие «гипотеза Ивана Петрова неверная», но и это, бывает, дорогого стОит – дерзайте, уважаемые читатели!

Рассмотрим в качестве примера, конечно, не мегатеорему, но утверждение, которое требует пусть простого, но обоснования. Хотя и его не будет =) =):

– число делится на 4;
– число делится на 2.

Очевидно, что следствие истинно, то есть из того, что число делится на 4, следует и его делимость на 2. И, соответственно, противоположное заключение – есть ложь:

При этом ещё раз обращаю внимание, что посылка изначально постулируется как истина (в отличие от импликации, где она может быть и ложной).

Для логических следствий также в ходу понятия необходимости и достаточности, скопирую пару строк сверху:

истинность посылки – это достаточное условие для истинности заключения ,

истинность заключения – это необходимое условие для истинности посылки .

Делимость числа на 4 является достаточным условием для того, чтобы оно делилось на 2. И с другой стороны, делимость числа на 2 является необходимым условием делимости на 4.

Следует отметить, что рассмотренный пример можно записать и в виде импликации:
(пользуясь таблицей, проанализируйте все расклады самостоятельно)

Однако в общем случае «перенос понятий» некорректен! То есть, если мы ведём разговор о том, что , то это ещё не значит, что будет справедлива импликация . И такой пример я приведу в заключительном пункте.

Как уже отмечалось, на практике импликацию часто обозначают значком , но чтобы не возникло путаницы, я намеренно использовал одиночную стрелку.

Да, чуть не забыл – импликацию можно выразить через предыдущие операции. …Но об этом, пожалуй, во второй части о формулах и законах логики, а то у меня и так неслабый трактат получился.

Эквиваленция. Необходимое и достаточное условие

Эквиваленция обозначается значком и читается «тогда и только тогда»

Наверное, многие догадываются, что это за операция:

Эквиваленцией высказываний и называют высказывание , которое истинно в том и только том случае, когда высказывания и истинны или ложны одновременно:

Данная операция естественным образом выражается формулой – «из а следует бэ и из бэ следует а».

Предположим, что Петя вышел на финишную черту сессии, и ему осталось сдать 3 экзамена:

– три экзамена сданы;
– сессия успешно завершена.

Очевидно, что при описанных выше обстоятельствах эти высказывания эквиваленты:

– сессия успешно завершена тогда и только тогда, когда сдано 3 экзамена.

Перед вами пример необходимого и достаточного условия: для того чтобы завершить сессию успешно Пете необходимо сдать 3 экзамена (в противном случае сессия будет не сдана) и в то же самое время этого достаточно (т.к. больше ничего делать не нужно).

Особенность эквиваленции состоит в том, что имеет место либо и то и другое, либо ничего, например:

Петя занимается штангой тогда и только тогда, когда Маша танцует на столе

Это значит, что либо Петя занимается штангой и Маша танцует на столе, либо они оба лежат на диване Пётр, ты заслужил! =) Такие вот дружные Петя и Маша. Теперь вроде бы похожая фраза без «тогда и только тогда»:

Петя занимается штангой, когда Маша танцует на столе

Но смысл несколько поменялся: здесь можно предположить, что Петя, бывает, тягает штангу и без Маши, и другой стороны, Маше «до лампочки», качается ли во время её танца Петя.

Вот в чём сила необходимого и достаточного условия! – оно объединяет и дисциплинирует =)

…хотел я для прикола распределить роли наоборот, но затем передумал… всё-таки нельзя такое пропагандировать =)

К слову, о дисциплине – рациональный подход как раз и предполагает необходимость и достаточность – когда человек для достижения какой-либо цели делает ровно столько, сколько нужно, и не больше. Это, конечно, бывает скучно в обычной жизни, но всячески приветствуется в математических рассуждениях, которые нас уже заждались:

Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда у него равные углы

Высказывания – треугольник равносторонний и – у него равные углы можно соотнести эквиваленцией , но на практике мы почти всегда связываем их обоюдоострым значком логического следствия , который тоже читается «тогда и только тогда». Отличие от эквиваленции такое же:

– когда мы утверждаем, что , то изначально полагаем высказывание истиной (и никак не ложью). И наоборот, запись подразумевает безусловную истинность посылки .

И в заключение первой части урока вспомним знаменитую теорему, которую я переформулирую «по-взрослому»:

Для того, чтобы треугольник был прямоугольным необходимо и достаточно, чтобы квадрат одной из его сторон равнялся сумме квадратов двух других сторон:

Напоминаю, что сторона называется гипотенузой (бОльшая сторона, лежащая напротив угла ), а стороны – катетами.

Перепишем теорему в сокращённой записи:
– треугольник прямоугольный – выполнено

Доказательство «теорем такого типа» состоит из 2 частей, у которых тоже есть стандартные названия (наверное, неоднократно сталкивались):

1) Необходимость (условия ):
– иными словами, тут нужно доказать, что для того, чтобы треугольник был прямоугольным, необходимо выполнение равенства .

Данный пункт – это собственно и есть теорема Пифагора, формулировка которой нам знакома ещё со школы: «Если треугольник прямоугольный, то ».

2) На втором шаге обосновывается достаточность:
– здесь надо доказать, что справедливость равенства достаточна для того, чтобы треугольник был прямоугольным.

Учащихся опять же такими словами не запугивают, и второй пункт формулируют в виде обратной теоремы Пифагора: «Если , то треугольник прямоугольный».

Связей по схеме «тогда и только тогда» в математике очень много, и я только что привёл стандартную схему их доказательства. И, конечно же, всегда анализируйте, что означают «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно» в том или ином случае.

Следует отметить, что теорему можно рассмотреть с точки зрения логической операции , но вот запись (как и обратная запись ) становится нелегальной! Почему? Пусть – треугольник не прямоугольный, – равенство выполнено. Но тогда по импликационной таблице получаем , что не соответствует действительности!

Но зато записи совершенно законны, поскольку логическое следствие отталкивается исключительно от истины!

Жду вас во второй части нашего увлекательного урока, где мы познакомимся с основными логическими формулами и законами, а также порешаем практические задачи. Для решения задач потребуется пять табличек с этой страницы, поэтому я рекомендую сразу переписать их на листок – чтобы они были перед глазами.

Кроме того, я открою вам секрет успешного изучения математической логики 😉

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник