Как построить область ограниченную линиями

02.12.202328.06.2023 admin 0 Comments

Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=g(y)

В предыдущем разделе, посвященном разбору геометрического смысла определенного интеграла, мы получили ряд формул для вычисления площади криволинейной трапеции:

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Разберем три случая, для которых формула будет справедлива.

Выполнить последний переход мы можем с использованием третьего свойства определенного интеграла.

Графическая иллюстрация будет иметь вид:

Последний переход мы можем осуществить с использованием пятого свойства определенного интеграла.

Проиллюстрируем на графике общий случай.

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Рассмотрение любого из примеров мы будем начинать с построения графика. Изображение позволит нам представлять сложные фигуры как объединения более простых фигур. Если построение графиков и фигур на них вызывает у вас затруднения, можете изучить раздел об основных элементарных функциях, геометрическом преобразовании графиков функций, а также построению графиков во время исследования функции.

Решение

Изобразим линии на графике в декартовой системе координат.

Ответ: S ( G ) = 13

Рассмотрим более сложный пример.

Решение

Построим график и нанесем на него линии, данные в условии задачи.

Ответ: S ( G ) = 59 6

Решение

Нанесем линии на график.

Решение

Обозначим точки пересечения линий.

Дальнейшее решение предполагает несколько вариантов.

Вариант №1

Вариант №2

Получим искомую площадь:

Решение

Отметим точки пересечения.

Дальше мы можем продолжить вычисления двумя способами.

Способ №1

Представим площадь искомой фигуры как сумму площадей отдельных фигур.

Тогда площадь фигуры равна:

Способ №2

Площадь исходной фигуры можно представить как сумму двух других фигур.

Таким образом, площадь равна:

Как видите, значения совпадают.

Ответ: S ( G ) = 11 3

Итоги

Для нахождения площади фигуры, которая ограничена заданными линиями нам необходимо построить линии на плоскости, найти точки их пересечения, применить формулу для нахождения площади. В данном разделе мы рассмотрели наиболее часто встречающиеся варианты задач.

Источник

Как вычислить площадь фигуры в полярных координатах
с помощью интеграла?

Это, пожалуй, одно из самых популярных приложений определённого интеграла после вычисления площади в прямоугольных координатах и объёма тела вращения. Для изучения материалов урока необходимо понимать, что такое полярные координаты и знать полярные уравнения простейших линий. Разумеется, потребуются навыки нахождения неопределённого и определённого интеграла, поэтому если у вас появятся технические трудности и/или недопонимание по ходу изложения, пожалуйста, начните с базовых статей.

Всё очень и очень напоминает привычную задачу нахождения площади. Полярным аналогом криволинейной трапеции является криволинейный сектор.

Рассмотрим некоторую функцию , заданную в полярной системе координат, которая принимает неотрицательные значения на отрезке и непрерывна на нём. Криволинейным сектором называется ФИГУРА, ограниченная отрезками лучей и графиком :

Площадь криволинейного сектора рассчитывается по формуле . Как видите, перед интегралом ставится дробь , сама функция возводится в квадрат, а интегрирование осуществляется по переменной «фи».

В качестве демонстрационного примера, вычислим площадь круга, ограниченного окружностью с центром в полюсе, радиуса 2. Очевидно, что и по формуле:

Сравните с Примером № 4 урока Эффективные методы решения определённых интегралов, где площадь этого же круга рассчитана в прямоугольной системе координат 😉

Бензопила заправлена и прогрета:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией

Решение: первый и главный совет:

Экономьте время на чертеже. Проще всего прибегнуть к программным средствам, например, воспользоваться моим графопостроителем в полярных координатах. Клик-клик – и готово, далее быстренько перерисовываем чертёж в тетрадь или при электронном способе оформления копируем его в Вёрд.

Если есть возможность быстро построить фигуру – всегда её стройте (даже если этого не требуется по условию). Чертёж усиливает задание, кроме того, как и при нахождении площади в прямоугольных координатах, даёт отличную возможность прикинуть по клеточкам правдоподобность получившегося результата.

Если же инструментальные средства по той или иной причине недоступны, и вы совсем не представляете, как выглядит фигура, то придерживайтесь противоположной тактики:

По возможности чертёж выгоднее НЕ строить вообще.

Ручное построение чертежа в полярных координатах – процесс длительный и трудоёмкий, за это время можно успеть ~~выпить банку, а то и две пива~~ решить несколько, а то и целый десяток интегралов. Исходя из личного опыта, могу с уверенностью сказать, что в простых примерах, как этот, построение чертежа на чистовике скорее не оправдано, чем оправдано. Конечно, если по условию требуется выполнить чертёж (или его дополнительно требует преподаватель), то никуда не деться, но по умолчанию гораздо рациональнее попытаться отделаться чисто аналитическим решением.

В нашем случае задача облегчается ещё и тем, что для любого «фи»,
а значит, угол, как и в примере с площадью круга, принимает все значения от до . По рабочей формуле:

Стандартно понижаем степень с помощью известной тригонометрической формулы:

Ничего сложного тут нет, главное, не допустить ошибку в преобразованиях и вычислениях.
В частности, не забывайте, что площадь не может быть отрицательной, и если у вас вдруг получится такой результат, ищите оплошность.

Ответ:

Забавно, что можно вообще не иметь ни малейшего представления о том, какую фигуру ограничивает линия . Однако студенческое счастье переменчиво и всегда нужно быть готовым к худшему сценарию:

Как построить фигуру, если её НАДО построить, но под рукой нет программы?

Не унываем, схематический чертёж отнимет не так уж много времени. Такой версии, скорее всего, будет достаточно, ведь это не главная часть задания.

В который раз взглянем на график косинуса:

на интервале косинус принимает такие же по модулю значения, что и на интервале , только со знаком «минус». Поскольку у нас косинус возводится в квадрат, то фигура, ограниченная графиком функции , будет состоять из двух одинаковых и симметричных относительно полюса частей, вершины которых, очевидно, находятся в следующих точках:

Так же очевидно, что при полярный радиус равен нулю.

Давайте найдём дополнительную опорную точку. Напрашивается угол в 45 градусов:

В силу симметрии линии:

Как называется эта фигура, я не знаю, …сейчас немного проанализировал, …какая-то алгебраическая кривая 6-го порядка:

По ходу пьесы всячески приветствуется импровизация, так, в данном примере уместно найти значение для более точного построения чертежа.

Ну и, конечно же, не забываем по клеточкам оценить, что полученное значение площади похоже на правду.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока.

Если на пути встаёт область определения, то блицкриг тоже вполне осуществим:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией

Решение: данное уравнение задаёт двухлепестковую полярную розу, область определения: . Лепестки одинаковы, поэтому достаточно найти площадь одного из них, а результат удвоить. Удваивать рекомендую сразу же (в конце задания забывается просто «на ура»):

(*) На данном шаге использовали чётность подынтегральной функции на симметричном относительно нуля отрезке интегрирования. С геометрической точки зрения это означает, что лепесток розы симметричен относительно своей центральной оси. В предыдущих двух примерах фигуры тоже были симметричными, но, как ни странно, в рассматриваемом типе задач излишнее обмусоливание данного факта зачастую только удлиняет решение.

Ответ:

Если считать, что уравнение задано в обобщенных полярных координатах, то данная роза будет иметь 4 лепестка, и, соответственно, результат следует умножить ещё на два. Но, как я уже советовал в курсе аналитической геометрии, осмотрительнее рассматривать классику, где полярный радиус неотрицателен.

Следующие короткие задачи предназначены для самостоятельного решения:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной уравнением в полярной системе координат.

Кривая 4-го примера называется лемнискатой Бернулли, в 5-м примере дана трёхлепесковая роза. Напоминаю, что если есть возможность быстро построить чертеж, то его лучше построить. А здесь они, к слову, быстро строятся и вручную.

После интенсивной разминки на опушке надеваем хоккейную маску и с воодушевлением углубляемся в лес за новыми жертвами:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение: в условии даны две линии, и здесь хоть о чертеже и молчок, но без него уже трудно. Какую кривую задаёт уравнение ? В статье о полярных координатах мы подробно разбирали и строили график полярной розы с лепестками на промежутках . Знак «минус» всё перевернёт с ног на голову (а если академичнее – отобразит симметрично относительно полярной оси и её продолжения) и лепестки розы расположатся в секторах .

Уравнение же значительно проще, оно определяет типовую окружность:

Искомая фигура заштрихована синим цветом. Чтобы вычислить её площадь, нужно из площади круга вычесть площадь одного лепестка розы.

1) Вычислим площадь круга. Пределы интегрирования , по формуле:

Результат, не забываем, легко проверяется с помощью школьной формулы.

2) Вычислим площадь лепестка розы, расположенного в пределах :

3) Площадь искомой фигуры:

… математический каламбур прямо какой-то =)

Ответ: , что весьма правдоподобно

В рассмотренном примере фигурировали разные отрезки интегрирования, и площадь выразилась разностью . Однако на практике данные промежутки чаще совпадают и по причине линейности интеграла формула упрощается. Сформулирую правило в общем виде: если функции непрерывны и неотрицательны на некотором отрезке , и при этом , то площадь фигуры, ограниченной отрезками лучей и данными линиями, равна:

Нетрудно уловить, что общий мотив похож на вычисление площади в прямоугольных координатах по формуле , где из «верхней» функции, вычитается «нижняя».

Следующий баян лучше не пропускать:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Краткое решение с чертёжом в конце урока.

И в заключение ещё одна распространённая разновидность задачи, после чего будет специальное предложение для самых увлечённых маньяков:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах
.

Решение: с художеством особых проблем не возникает, однако фигура, ограниченная окружностями , не определена однозначно и поэтому в условии наложено дополнительное ограничение на угол , из которого следует, что необходимо вычислить заштрихованную площадь:

Сначала разберёмся, как найти луч , по которому пересекаются окружности. Очень просто – приравниваем функции и решаем уравнение:

Сбрасываем косинус на нижний ярус левой части и превращаем дробь в тангенс:

Таким образом:

Из чертежа следует, что площадь фигуры нужно искать как сумму площадей:

1) На промежутке фигура ограничена отрезком луча и дугой окружности (внимание!!) (синяя штриховка).

2) На промежутке фигура ограничена тем же отрезком луча и дугой окружности (зелёная штриховка).

Интегралы настоятельно рекомендую считать РАЗДЕЛЬНО – риск допустить ошибку по невнимательности как никогда велик. Только что ещё раз убедился на собственном опыте, пытаясь оформить решение «одной строкой».

3) А вот теперь пользуемся аддитивностью площади:

Ответ:

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах
. Выполнить чертёж.

Заметьте, что условие данной задачи требует выполнения чертёжа (даже если Вы с ходу представили, как выглядит фигура и даже если мысленно всё рассчитали). Всегда обращайте внимание на формулировку. Примерный образец решения совсем близко.

И удачи вам в пятницу тринадцатого!

Пример 2: Решение: найдём область определения: – любое.
Площадь фигуры вычислим по формуле , в данном случае :

Ответ:
Примечание: линия, которой ограничена данная фигура, называется кардиоидой, чертёж можно посмотреть в Примере № 6 урока Как построить график в полярной системе координат?

Пример 4: Решение: область определения: . Фигура состоит из двух одинаковых частей. Используя формулу , вычислим площадь на отрезке , результат удвоим:

Ответ:

Пример 5: Решение: данное уравнение задаёт трёхлепестковую розу, область определения:

Используя формулу , вычислим площадь фигуры на отрезке , результат утроим:

Ответ:

Пример 7: Решение: выполним чертёж:

На отрезке , таким образом:

Ответ:

Пример 9: Решение: найдём угловое направление пересечения окружностей:

По условию , поэтому рассматриваем противоположнонаправленный луч . Выполним чертёж:

1) На промежутке фигура ограничена отрезком луча и дугой окружности .

2) На промежутке фигура ограничена отрезком луча и дугой окружности .

3) Площадь фигуры:

Ответ: