Как построить график функции логарифма

02.12.202328.06.2023 admin 0 Comments

Как построить график функции логарифма

График функции имеет следующий вид:

Рассмотрим свойства функции:

Примеры решения задач

Задание 1.

В одной координатной плоскости построить графики функций:

Решение.

Для начала построим график функции y = log₂x. Для этого найдем значения функции при x = , , , 1, 2, 4, 8.

x				1	2	4	8
y(x)	-3	-2	-1	0	1	2	3

Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.

Большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y = log₂x возрастает на всей области определения D(y)=R+, так как основание функции 2 > 1.

Подобным образом построим графики остальных функций.

Переменная х может принимать только положительные значения (D(y) = R+), при этом значение у может быть любым (E(y) = R).

Графики всех данных функций пересекают ось Оx в точке (0; 1), так как логарифм по любому основанию от единицы равен нулю. C осью Оy графики не пересекаются, так как логарифм по положительному основанию не может быть равен нулю.

Чем больше основание a (если a > 1) логарифмической функции y = log_ax, тем ближе расположена кривая к оси Оx.

Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

Задание 2.

В одной координатной плоскости построить графики функций:

Решение.

Для начала построим график функции . Для этого найдем значения функции при x = , , , 1, 2, 4, 8.

x				1	2	4	8
y(x)	3	2	1	0	-1	-2	-3

Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.

Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция убывает на всей своей области определения: D(y) = R, так как основание функции 0

Подобным образом построим графики остальных функций.

Графики всех данных функций пересекают ось Оx в точке (0; 1), так как логарифм по любому основанию от единицы равен нулю. С осью Оy графики не пересекаются, так как логарифм по положительному основанию не может быть равен нулю.

Чем меньше основание a (если 0

Все данные функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Задание 3.

Найти обасть определеления функции:

Решение

Область определения данной функции задается следующим неравенством:

Решим это линейное неравенство:

Логарифм определен, если подлогарифмическая функция является положительной, то есть искомая область определения: D(y): (x-1)(x+5) > 0.

Решим полученное уравнение методом интервалов. Для этого найдем нули каждого из сомножителей:

Наносим их на координатную прямую и определяем знак неравенства на каждом из полученных промежутков.

Источник

Что такое логарифмическая функция? Определение, свойства, решение задач

Раздел логарифмов занимает огромное значение в школьном курсе «Математического анализа». Задания для логарифмических функций построены на иных принципах, нежели задачи для неравенств и уравнений. Знание определений и основных свойств понятий логарифм и логарифмическая функция, обеспечат успешное решение типовых задач ЕГЭ.

Определение понятия логарифм

Прежде чем приступить к объяснению, что представляет собой логарифмическая функция, стоит обратиться к определению логарифма.

Разберем конкретный пример: а log _a x = x, где a › 0, a ≠ 1.

Основные свойства логарифмов можно перечислить несколькими пунктами:

Логарифмирование

Логарифмированием называют математическую операцию, которая позволяет с помощью свойств понятия найти логарифм числа или выражения.

Функция логарифма и ее свойства

Логарифмическая функция имеет вид

Сразу отметим, что график функции может быть возрастающим при a › 1 и убывающим при 0 ‹ a ‹ 1. В зависимости от этого кривая функции будет иметь тот или иной вид.

Приведем свойства и способ построения графиков логарифмов:

Построить обе разновидности графиков очень просто, рассмотрим процесс на примере

Для начала необходимо вспомнить свойства простого логарифма и ее функции. С их помощью нужно построить таблицу для конкретных значений x и y. Затем на координатной оси следует отметить полученные точки и соединить их плавной линией. Эта кривая и будет являться требуемым графиком.

Очевидно, что обе линии являются зеркальным отражением друг друга. Построив прямую y = x, можно увидеть ось симметрии.

Для того, чтобы быстро найти ответ задачи нужно рассчитать значения точек для y = log_2⁡x, а затем просто перенести начала точки координат на три деления вниз по оси OY и на 2 деления влево по оси OX.

В качестве доказательства построим расчетную таблицу для точек графика y = log₂⁡(x+2)-3 и сравним полученные значения с рисунком.

Как видно, координаты из таблицы и точек на графике совпадают, следовательно, перенос по осям был осуществлен правильно.

Примеры решения типовых задач ЕГЭ

Большую часть тестовых задач можно разделить на две части: поиск области определения, указания вида функции по рисунку графика, определение является ли функция возрастающей/убывающей.

Для быстрого ответа на задания необходимо четко уяснить, что f(x) возрастает, если показатель логарифма а › 1, а убывает – при 0 ‹ а ‹ 1. Однако, не только основание, но и аргумент может сильно повлиять на вид кривой функции.

Задание 1

F(x), отмеченные галочкой, являются правильными ответами. Сомнения в данном случае вызывают пример 2 и 3. Знак «-» перед log меняет возрастающую на убывающую и наоборот.

Ответ: 3,4,5.

Задание 2

Ответ: 4.

Данные типы заданий считаются легкими и оцениваются в 1- 2 балла.

Задание 3.

Определить убывающая или возрастающая ли функция и указать область ее определения.

Так как основание логарифма меньше единицы, но больше нуля – функция от x является убывающей. Согласно свойствам логарифма аргумент также должен быть больше нуля. Решим неравенство:

Ответ: область определения D(x) – интервал (50; + ∞).

Задание 4.

Ответ: 3, 1, оси OX, направо.

Подобные задания классифицируются как средние и оцениваются в 3 – 4 балла.

Задание 5. Найти область значений для функции:

Из свойств логарифма известно, что аргумент может быть только положительным. Поэтому рассчитаем область допустимых значений функции. Для этого нужно будет решить систему из двух неравенств:

Итак, искомый промежуток находится в пределе интервала (-4; 8), при других x становится невозможным вычислить значение одного из данных логарифмических выражений.

Согласно свойствам логарифмической функции сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов.

Графиком функции y = – x 2 + 4x + 32 является парабола, схематический график которой представлен ниже.

Точка A является экстремумом графика, в ней y принимает наибольшее значение. Координаты точки A (m; n) вычисляются по формулам, приведенным на рисунке. Высчитаем n для заданной параболы.

Наибольшее значение y_max = 36. Так как основание логарифма в примере больше 1, то функция будет возрастающей, и достигнет наибольшего значения при максимальном аргументе. Узнаем максимум для F(y):

Наименьшего значения в конкретном примере нет, поэтому ОДЗ для f(x) = log₃⁡(x+4)+ log₃⁡(8-x) является следующий интервал (- ∞; 2log₃6).

Подобные задачи можно отнести к категории «сложно» и оценивать не менее 4 баллов за правильный ответ.

Источник

Урок-лекция по теме: «Логарифмическая функция»

Разделы: Математика

Логарифмом положительного числа в по основанию а ( а > 0, а не равно1) называется показатель степени х, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число в, т.е.

log_а в = х или а х = в.

log ₂ 8 =3 т.к. 2 3 =8

log₄ 2= т.к. =2

Необходимо запомнить следующие соотношения:

4) если а > 1, то log _a в > 0 и log _а в 1 и log _а в > 0 при 0 1=0, т.к. 5 0 =1;

4) а>1, а=2, в > 1, в=16, то Log₂ 16 =4,

0 1, в=27, то Log 27=-3

По определению логарифма справедливо равенство

из которого на основе свойств показательной функции устанавливаются основные свойства логарифмов (здесь М, N и k – положительные числа):

Эти свойства позволяют сводить умножение и деление чисел (представленных в виде степеней некоторого числа, принятого за основание) к сложению и вычитанию показателей степеней, а возведение в степень и извлечение корня – к умножению и делению на показатель степени, поэтому применение логарифмов упрощает и сокращает сложные вычисления.

При выполнении преобразований логарифмических выражений часто используют свойства степеней:

Как построить график функции логарифма. Смотреть фото Как построить график функции логарифма. Смотреть картинку Как построить график функции логарифма. Картинка про Как построить график функции логарифма. Фото Как построить график функции логарифма

, т.к

Например:

Если основанием логарифма является число е=2,71828…, то логарифм называется натуральным и обозначается ln x = log _e x.

При нашей десятичной системе счисления самым удобным основанием является число 10. Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается lg:

Функция , ее свойства

Мы ввели понятие логарифма положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию а. Для любого положительного числа можно найти логарифм по заданному основанию. Но тогда следует подумать и о функции вида

Рассмотрим одновременно две функции: показательную

В связи с тем, что точки координатной плоскости хОу с координатами (b;с) и (с;b) симметричны относительно прямой у=х (рис. 1).

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

График функции у = log_a х симметричен графику функции у = а x относительно прямой у = х.

На рис.2 схематически изображены графики функций у = а x и у = log_aх в случае, когда a>1; на рис.3 схематически изображены графики функций у = а x и у = log_aх в случае, когда 0 r = r. Поэтому в таблицу в качестве значений аргумента х мы включим числа, являющиеся степенями числа 2.

log₂2 = log₂2 1 = 1,log₂4 = log₂2 2 = 2,

Сведем полученные результаты в таблицу:

У = Iog₂ х-2-10123

Построив на координатной плоскости точки (;-2), (;-1), (1;0), (2;1), (4;2), (8;3), проводим через них логарифмическую кривую (рис. 4).

Свойства функции у = log_ax, a > 1.

Необходимую информацию извлекаем из геометрической модели, представленной на рис. 2.

1) D(f) = (0; +);

2) не является ни четной, ни нечетной;

3) возрастает на (0; + );

4) не ограничена сверху, не ограничена снизу;

5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

7) Е(f) = (-; +);

Замечание. Сравните график функции у = log_ax, изображенный на рис.2, и график функции у = х r (0 а)? На самом деле между ними есть принципиальная разница: график функции у = х r “набирает обороты” быстрее. Иными словами, для достаточно больших значений х ордината графика степенной функции у=х r ( при 0 = 1) значительно больше соответствующей ординаты графика логарифмической функции с любым основанием, большим, чем 1. В курсе математического анализа доказано, что при а>1 и r>0 выполняется равенство

Свойства функции у = log_ax, 0 1, ив случае, когда 0

Краткое содержание темы

Примеры выполнения заданий на нахождение области определения логарифмических функций и построение графиков.

Пример 1. Построить графики функций.

А) б) в)

Решение. В этом примере нужно выполнить различные преобразования графика функции (см рис 5)

а) перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (-2;-3) (пунктирные прямые х=-2 и у=-3 на рис 6) 2Привяжем” график функции к новой системе координат – это и будет требуемый график (рис 6)

б) Напомним, что график функции симметричен графику функции относительно оси у. Учтя это, строим график функции , а затем, подвергнув его преобразованию симметрии относительно оси у, получаем график функции рис 7.

Пример 2.Найдем область определения функции .

Область определения логарифмической функции — множество R₊. Поэтому заданная функция определена только для тех х, при которых , т.е. при . Следовательно, областью определения заданной функции является интервал (-;0,8).