Как построить динамическую эпюру моментов

Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил для балок

Автор: Константин Вавилов · Опубликовано 15.08.2015 · Обновлено 16.05.2018

Очень важно уметь строить эпюры для балок, работающих на изгиб! Так как построение эпюр, является неотъемлемой частью любого прочностного расчёта и большинство элементов, из которых состоят современные инженерные сооружения, работают на изгиб. Поэтому в сопромате, очень много внимания уделяется как раз данным эпюрам: поперечных сил и изгибающих моментов. Для краткости, их ещё называют эпюрой моментов и эпюрой сил. В этой статье, рассмотрим, как рассчитать эпюры традиционным методом, а также быстрым, с помощью которого эпюры рисуются за считаные минуты. В статье, построение показано на примере консольной и опирающейся на две опоры балки. Показано, как учитывать сосредоточенные силы и моменты, а также распределённые нагрузки.

Построение эпюр для консольной балки

Первым делом, вводим систему координат, ось x пускаем вдоль оси балки, ось y перпендикулярно ей, а ось z будет перпендикулярна плоскости, в которой размещены две первые оси и будет направлена «к нам».

В поперечных сечениях балки под действием приложенной нагрузки будут возникать два внутренних силовых фактора: поперечная сила и изгибающий момент. Наша задача выяснить, какой величины эти факторы во всех сечениях балки. Для наглядности, результат решения фиксируют в виде так называемых эпюр.

Эпюра строится по всей длине балки, ордината эпюры, под исследуемым сечением, показывает величину внутреннего усилия в этом сечении.

Эпюра поперечных сил

Начнём знакомство с поперечными силами с правила знаков для эпюр. После чего последовательно рассчитаем и построим эпюры для первого и второго участка балки.

Правило знаков для поперечной силы

При построении эпюр поперечных сил нужно придерживаться следующих правил знаков:

Возможно, сейчас будет немного непонятны данные правила, но прочитав следующие 2 блока статьи, вы поймёте, как применять эти правила в действии.

Поперечные силы на первом участке

Рассмотрим первым участок равный двум метрам. Сделаем мысленно сечение на расстоянии x₁ от свободного торца и запишем законы изменения эпюр на этом участке. Законы эти выражаются из уравнений равновесия статики. Статика говорит нам, что тело находится в равновесии, если выполняются следующие условия:

Если суммы проекций всех сил на обе оси равны нулю и сумма моментов относительно точки равна нулю.

Для поперечной силы возьмём сумму проекций на ось y:

Поперечные силы на втором участке

На втором участке, поперечная сила будет равна: Q_{y 2} = Q_y ₁ ;

Так как на этом участке, действует все та же сила F. Момент в уравнениях поперечных сил не учитывается, что является следствием уравнений статики.

Эпюра изгибающих моментов

Правила знаков для изгибающих моментов

То есть, обычно, при построении эпюр изгибающий моментов знаки не указываются. Эти эпюры откладываются со стороны «растянутых волокон». Так, и удобнее читать эпюры и откладывать их.

Не всегда их откладывают так! Студентов некоторых специальностей, чаще всего машиностроительных, учат откладывать эпюры со стороны «сжатых волокон». Строители откладывают со стороны «растянутых волокон», в своих статьях я буду придерживаться этого правила, так как привык к нему.

Изгибающий момент на первом участке

Это закон изменения изгибающих моментов по длине участка. В отличие от поперечных сил, изгибающие моменты будут меняться в пределах этого участка.

Источник

iSopromat.ru

Пример решения задачи на построение эпюры внутренних изгибающих моментов M_x для стальной консольной балки нагруженной сосредоточенной силой F, моментом m и равномерно распределенной нагрузкой q.

Задача

Пример решения

Покажем найденные опорные реакции и выбранную систему координат.

Для построения эпюры изгибающих моментов M_x запишем их выражение по каждому силовому участку и рассчитаем их значения на границах участков. При этом воспользуемся методом сечений.

Наш видеоурок построения эпюр внутренних силовых факторов для балки:

Нумерацию силовых участков балки, сечения и другие вспомогательные обозначения примем из расчета эпюры Q_y.

Рассмотрим I силовой участок:

Выбрав левую часть балки, отбросим ненадолго правую, и запишем имеющиеся данные.

Внутренний изгибающий момент в указанном сечении равен сумме всех внешних моментов, воздействующих на рассматриваемую часть балки.

Здесь на момент в рассматриваемом сечении влияют только опорные реакции M и R, то есть сумма моментов состоит из двух слагаемых.

По правилу знаков момент, который стремится сжать верхние слои балки, принимается положительным, следовательно:

В выражении переменная z₁ в первой степени, поэтому эпюра M_x на первом участке будет иметь вид прямой линии.

Рассчитаем значения M_xI на границах участка, т.е. при z₁=0 и при z₁=0,5м

Переходим на второй силовой участок:

Рассекаем балку в произвольном месте участка и рассматриваем её правую часть.

Получено выражение с переменной z₂ во второй степени, значит, эпюра M_x на втором участке будет иметь вид параболы.

Видео про построение эпюр:

Для построения параболы требуется как минимум три точки. Этими точками будут значения M_x на границах и в середине II силового участка, то есть при z₂=0, z₂=1м и z₂=0,5м.

По полученным данным строим эпюру изгибающих моментов M_x (готовую эпюру Q_y перенесем из ранее рассмотренной задачи)

Прежде чем соединять отмеченные точки эпюры параболой, обратите внимание на эпюру поперечных сил Q_y.

Q_y — первая производная от M_x. Поэтому в том месте, где Q_y пересекает базовую линию (т.е. Q_y=0) на эпюре M_x будет экстремум.

Видео про расчет экстремума эпюры:

Рассчитаем значение экстремума эпюры M_x на II участке балки.

Отметив эту точку в области эпюры где Q_y=0 соединим ее с тремя другими параболой.

Эпюра изгибающих моментов построена. Проверка эпюры M_x.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

iSopromat.ru

Построение эпюр

Примеры решения задач на построение эпюр в сопротивлении материалов, строительной и технической механике со всеми расчетами, подробными пояснениями и видеоуроками.

Здесь рассмотрены примеры и порядок расчета значений внутренних силовых факторов, напряжений и перемещений и построения по ним эпюр для всех видов нагружения балок, стержней и валов.

Примеры построения эпюр

При растяжении-сжатии

Примеры построения эпюр внутренних продольных сил, нормальных напряжений и линейных перемещений для стержней при их растяжении и сжатии.

При кручении

Примеры построения эпюр внутренних крутящих моментов и угловых перемещений сечений вала при кручении.

Построение эпюр при изгибе

Примеры построения эпюр внутренних поперечных сил и изгибающих моментов, нормальных и касательных напряжений для балок и рам при изгибе.

Эпюры внутренних силовых факторов

Эпюры напряжений

Наш плейлист с видеоуроками построения эпюр внутренних силовых факторов, напряжений и перемещений для балки:

Порядок построения эпюр

В рассмотренных выше примерах для построения эпюр выполняется следующая последовательность действий:

После построения эпюр желательно выполнять их проверку.

Источник

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Архив рубрики: Задачи на метод сил

Расчет статически неопределимой рамы по методу сил

Задача. Для статически неопределимой рамы построить эпюры М, Q, N методом сил и выполнить проверки.Задано соотношение I₂=2I₁

Заданная система. Жесткость у стержней рамы разная. Примем I₁ =I, тогда I₂=2I.

1.Определим степень статической неопределимости заданной системы по формуле:

Система 2 раза статически неопределима, и для её решения потребуется два дополнительных уравнения.

Это канонические уравнения метода сил:

2.Освободим заданную систему от «лишних» связей и получим основную систему. За «лишние» связи в данной задаче примем опору А и опору С.

Теперь основную систему следует преобразовать в систему, эквивалентную (равнозначную) заданной.

Для этого загрузим основную систему заданной нагрузкой, действия «лишних» связей заменим их неизвестными реакциями Х₁ и Х₂ и вместе с системой канонических уравнений (1) данная система будет эквивалентна заданной.

3.По направлению предполагаемой реакции отброшенных опор к основной системе поочередно прикладываем единичные силы Х₁=1 и Х₂=1 и строим эпюры .

Теперь основную систему загрузим заданной нагрузкой и построим грузовую эпюру М_F.

4.Определяем коэффициенты и свободные члены канонического уравнения по формуле Симпсона перемножением эпюр (обращаем внимание на разные жесткости участков).

Подставляем в каноническое уравнение, сокращаем на ЕI.

Поделим первое и второе уравнения на сомножители при Х₁, а затем из одного уравнения вычтем второе. Найдем неизвестные.

Сначала строим эпюры :

Тогда эпюра М_ок

Проверки окончательной эпюры моментов (М_ок).

1.Статическая проверка – методом вырезания жестких узлов рамы – они должны находиться в равновесии.

Узел находится в равновесии.

2. Деформационная проверка.

где М_S – суммарная эпюра единичных моментов, для её построения одновременно к основной системе прикладываем Х₁=1 и Х₂=1.

Физический смысл деформационной проверки – перемещения по направлению всех отброшенных связей от действия неизвестных реакций и всей внешней нагрузки должны быть равны 0.

Выполняем деформационную проверку по ступеням:

Эп Q строим по формуле:

Если на участке нет равномерно-распределенной нагрузки, то применяем формулу:

где М_пр – момент правый,

М_лев – момент левый,

ℓ — длина участка.

Разобьем Эп М_ок на участки:

IV участок (с равномерно-распределенной нагрузкой).

Зарисуем IV участок отдельно как балку и нанесем моменты.

z меняется от 0 до ℓ

Строим ЭпQ:

Вырезаем узлы рамы, показываем поперечные силы с эпюры Q и уравновешиваем узлы продольными силами.

Строим Эп N.

Все проверки сошлись. Задача решена.

Расчет плоской статически неопределимой рамы методом сил

Для статически неопределимой рамы требуется построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил, проверить правильность построения эпюр. Дано: L=8 м, F=4кН, q=2 кН/м, h=8 м, соотношение жесткостей I₁=2I, I₂=I

1. Определяем степень статической неопределимости: n = R — Ш – 3 = 5 – 0 – 3 = 2, где R – число всех неизвестных реакций, Ш – число простых соединительных шарниров, в данной схеме их нет. Рама получилась дважды статически неопределима.

2. Выбираем основную систему путем отбрасывания лишних связей Основная система

3. Зарисовываем эквивалентную систему: к основной системе прикладываем всю внешнюю нагрузку и вместо отброшенных связей их неизвестные реакции Х₁, Х₂

Эквивалентная система

4. Составляем канонические уравнения:

5. Строим единичные эпюры: к основной системе прикладываем сначала Х₁=1, затем Х₂=1. Эпюры моментов построим на растянутых волокнах.

а) Построение эпюры М₁

б) Построение эпюры М₂

6. Строим грузовую эпюру моментов. К основной системе прикладываем всю заданную внешнюю нагрузку

7. Определяем коэффициенты канонических уравнений по формуле Симпсона:

8. Проверяем коэффициенты канонических уравнений.

Для этого строим суммарную единичную эпюру : к основной системе прикладываем одновременно Х₁=1 и Х₂=1. Эпюра M_s = M₁ + M₂

а) Первая проверка заключается в равенстве: M_s ∙ M_s = ∑δ_ij

При умножении суммарной единичной эпюры саму на себя мы должны получить сумму единичных коэффициентов канонических уравнений

верно

б) Вторая проверка заключается в равенстве: M_s ∙ M_F = ∑Δ_iF

Умножая суммарную единичную эпюру на грузовую, мы должны получить сумму грузовых коэффициентов

верно

Все проверки выполняются, значит, коэффициенты определены верно.

9. Решаем систему канонических уравнений:

10. Строим окончательную эпюру моментов М_ок по формуле:

11. Проверки окончательной эпюры моментов М_ОК:

а) Статическая проверка: заключается в проверке равновесия вырезанных узлов. Вырезается узел, пунктирной линией показываются растянутые волокна, прикладываются узловые моменты со стороны растянутых волокон и проверяется равновесие вырезанного узла

Выполним статическую проверку вырезанием узлов

Узды находятся в равновесии

б) Деформационная проверка: заключается в определении перемещений по направлению отброшенных связей. Эти перемещения должны быть равны нулю. Ошибка может составлять не более 5%. Для выполнения этой проверки умножим окончательную эпюру моментов на суммарную эпюру единичных моментов.

Ошибка составляет:

13. По эпюре Q строим эпюру продольных сил N : вырезаем узел, к узлу прикладываем неизвестные продольные силы в положительном направлении (от узла — растяжение), затем известные поперечные силы с эпюры Q со своим знаком (+ по часовой стрелке) и рассматриваем равновесие данного узла.

Вырезаем узел 1

Вырезаем узел 2

14. Общая статическая проверка: зарисовывается исходная рама, в опорах показываются все реакции (их числовые значения необходимо брать с построенных эпюр M, Q, N с учетом знаков), заданная нагрузка и проверяется равновесие рамы в целом

Составляем уравнения равновесия:

Все проверки выполняются.

Расчет статически неопределимой рамы (метод сил) с подбором сечения

Построить эпюры внутренних усилий М, Q, N и подобрать размеры поперечного сечения в виде двутавра из условия прочности по нормальным напряжениям для рамы, если дано F=80 кН, М=30кНм, q=60кН/м, h=2м, а=1,6м, EI_x=const, σ_adm=160МПа.

Итак, заданная система:

Найдем степень статической неопределимости системы:

n = R — Ш – 3 = 5 – 0 – 3 = 2, где R – число всех неизвестных реакций, Ш – число простых соединительных шарниров, в данной схеме их нет; 3 — количество уравнений статики. Рама получилась дважды статически неопределима ( две «лишние» связи и требуется два дополнительных канонических уравнений метода сил).

Выбираем основную систему путем отбрасывания лишних связей:

Запишем систему канонических уравнений для выбранной эквивалентной системы:

Построим эпюру изгибающих моментов M_F для основной системы от действия заданных нагрузок, предварительно определив реакции и значения внутренних усилий в характерных сечениях. Определяем опорные реакции:

Так как Н_К и V_K получились со знаком минус, меняем их направление действия на схеме.

Определяем значения изгибающих моментов в характерных сечениях силовых участков.

Проверка равновесия узлов:

Построим единичные эпюры изгибающих моментов для основной системы от действия соответственно

Сначала определим опорные реакции:

Определим изгибающие моменты на силовых участках:

Строим эпюру.

Опорные реакции:

Определим изгибающие моменты на силовых участках:

Строим эпюру.

Строим суммарную эпюру изгибающих моментов от действия единичных усилий:

Определим коэффициенты канонических уравнений метода сил перемножением эпюр по формуле Симпсона

Итак, приступим к расчету:

Выполним проверку правильности вычисления единичных коэффициентов:

Проверка верна.

Определим грузовые коэффициенты:

Выполним проверку правильности вычисления грузовых коэффициентов:

Проверка верна.

Решаем систему канонических уравнений:

Построим эпюры изгибающих моментов для основной системы от действия неизвестных усилий, для этого умножим единичные эпюры моментов на найденные значения X:

Построим окончательную эпюру изгибающих моментов для заданной системы путём сложения составляющих

Проверка верна.

Поперечная сила на силовых участках:

Строим эпюру Q

Определяем продольную силу. Из рассмотрения равновесия узлов D и С следует:

Строим эпюру N

Подбираем размеры поперечного сечения из условия прочности:

Перенапряжение составляет

Расчет статически неопределимой рамы по методу сил

Рассчитать статически неопределимую раму методом сил. Для рамы построить эпюры M_ок,Q, N со всеми проверками.

Зададимся соотношением моментов инерции. Пусть первый I₁=I , тогда второй I₂=2 I

1) определим степень статической неопределимости системы:

λ=Соп-3=5-3=2

где Соп – число опорных реакций

3 – число уравнений статики

то есть, система дважды статически неопределима. т.е. для ее решения требуются два дополнительных уравнения. Это будут канонические уравнения метода сил.

Тогда система канонических уравнений будет:

2) загружаем основную систему заданной нагрузкой, определяем реакции опор и строим эпюру изгибающих моментов — грузовую эпюру.

Построим грузовую эпюру моментов (все значения откладываются на сжатых волокнах):

Посчитаем так же момент в середине действия распределённой нагрузки

3) По направлению предполагаемых реакций отброшенных опор к основной системе поочерёдно прикладываем единичные силы х₁=1 и х₂=1, строим единичные эпюры М₁ и М₂

Построим эпюру M₁ от действия x₁=1.

Сначала определим опорные реакции

Проверка ∑Y=0 R_A— R_D= 0 верно

Теперь определим моменты в характерных точках

M_F лев =R_A2=22=4 (сжатые волокна сверху). Строим эпюру M₁

Построим эпюру M₂ от действия x₂=1.

Сначала определим опорные реакции

Проверка ∑Y=0 R_A— R_D= 0 верно

Моменты в характерных точках

M_F лев =R_A2=12=2 (сжатые волокна сверху)

4) определяем коэффициенты канонических уравнений перемножением эпюр по формуле Симпсона. Следует помнить о соотношении жесткостей стержней.

Знак минус перед слагаемыми в грузовых коэффициентах ставим потому, что эпюры на грузовой и единичной эпюрах расположены по разные стороны стержней.

5) подставляем значения перемещений в канонические уравнения, сокращаем на EI, находим значения x₁ и x₂ :

Поделим первое и второе уравнения на сомножители при X₂ (первое делим на 17,33, второе на 12). Получим:

Вычтем из первого уравнения второе. Тогда получим:

При построении эпюры M₂x₂ следует обратить внимание на то, что значение x₂ — отрицательное.

7) строим окончательную эпюру моментов, складывая эпюры:

Посчитаем так же момент в середине действия распределённой нагрузки

M_ср= 70,2 – 12,8 – 55 = 2,4 кНм (сжатые волокна справа)

8) Произведем проверки окончательной эпюры М

Статическая проверка (методом вырезания узлов рамы — они должны находиться в равновесии):

верно

Деформационная проверка: заключается в определении перемещений по направлению отброшенных связей. Эти перемещения должны быть равны нулю. Ошибка может составлять не более 5%.

Эпюра M_s = M₁ + M₂ Это суммарная единичная эпюра: к основной системе прикладываем одновременно Х ₁ =1 и Х ₂ =1.

Сначала проверим коэффициенты канонических уравнений.

1 проверка.

Первая проверка заключается в равенстве: M_s ∙ M_s = ∑δ_ij

Произведение суммарной эпюры саму на себя должно равняться сумме единичных коэффициентов.

верно

Вторая проверка заключается в равенстве: M_s ∙ M_F = ∑Δ_iF

Произведение суммарной эпюры на грузовую эпюру должно равняться сумме грузовых коэффициентов.

Все проверки выполняются, значит, коэффициенты определены верно.

И наконец, третья, деформационная проверка.

Ошибка составляет: , что допустимо.

9) построим эпюру поперечной силы Q по М_ок:

где М пр и М лев – моменты с эпюры М_ок, соответственно с правой и с левой стороны участка. Моменты берутся со своими знаками, l— длина участка, q — распределенная нагрузка на участке. Если нагрузки на участке нет, и эпюра моментов представляет собой прямую линию, то в формуле полагаем q=0.

Q_FB=(0 – (-40))/2=20 кН

На участке EF приложена распределённая нагрузка. Рассмотрим этот участок отдельно.

Значение поперечной силы в точке E:

Значение в точке F найдём:

Строим эпюру Q

10) Построение эпюры N по Q методом вырезания узлов

Вырезаем узел, к узлу прикладываем известные поперечные силы с эпюры Q с соответствующим знаком (+ по часовой стрелке), неизвестные продольные силы, и рассматриваем равновесие данного узла. Знаки у продольных сил — от узла — растяжение.

Рассмотрим узел Е

Рассмотрим узел F

∑х = 0, — N₁ + 23,4 = 0

N₁ = 23,4 кН (сжатие –к узлу)

N 2 = 29,6 кН (сжатие –к узлу)

Строим эпюру N

11) Общая статическая проверка: зарисовывается исходная рама, в опорах показываются все реакции (их числовые значения необходимо брать с построенных эпюр M, Q, N с учетом знаков), и проверяется равновесие рамы в целом

Все проверки выполняются.

Задачи на расчет статически неопределимых балок и рам. Метод сил

Задача 1. Расчет неразрезной балки. Неразрезная балка загружена нагрузкой. Построить эпюру моментов.

Задача 2 Расчет статически неопределимой рамы

1) Степень статической неопределимости n = R — Ш – 3 = 6-1-3=2.

2) Выбор основной системы и эквивалентной системы.

Возможное количество ее вариантов бесконечно. Покажем только два из них. В первом варианте в качестве двух лишних неизвестных выберем внутренние усилия (Q и N) в среднем сечении ригеля. Удалив внутренний шарнир, то есть то место, где и возникают эти усилия, получаем основную систему:

Соответствующая эквивалентная система показана рядом. Здесь введены стандартные обозначения неизвестных: Х₁вместо Q в шарнире и Х₂ вместо N в шарнире.

Во втором варианте основной системы в качестве лишних неизвестных примем по одной реакции (реактивному моменту) в каждой из двух опор. Удалив соответствующие моментные связи из жестких заделок, имеем: