Как построить амплитудный спектр сигнала

Расчет и построение графиков амплитудного спектра радиоимпульсов

1. Расчет и построение графиков амплитудного

спектра радиоимпульсов ………………………………………………. … 5-8 стр.

2. Формирование требований к полосовому фильтру …………………… 8-10 стр.

3. Формирование передаточной функции НЧ – прототипа ………..…… 10-12 стр.

4. Реализация LC-прототипа ………………………………………………. 12-15 стр.

5. Реализация пассивного полосового фильтра …………………………. 15-16 стр.

6. Расчет полюсов ARC-фильтра …………………………………….……. 16-18 стр.

7. Формирование передаточной функции …………………………….….. 18-19 стр.

8. Расчет элементов схемы фильтра ……………………………….………. 19-21 стр.

9. Проверка результатов расчета …………………………………….…… 21-23 стр.

В данной курсовой работе выполняется конкретная техническая задача – расчет электрической цепи для выделения эффективной части спектра периодических радиоимпульсов с помощью полосового фильтра, по схеме пассивного LC-фильтра и по схеме активного ARC-фильтра.

Согласно заданию на курсовую работу на входе полосового фильтра действуют периодические радиоимпульсы (рис. 1.1) с параметрами: период следования импульсов ТИ = 111 мкс; длительность импульсов tИ = 40 мкс; период несущей частоты TН = 10 мкс; амплитуда колебаний несущей частоты UmH = 10 В. Фильтр должен обеспечить максимально до­пустимое ослабление в полосе пропускания ΔА = АМАХ = 3 дБ. Полное ос­лабление на границах полос не пропускания АПОЛ = 30 дБ. Сопротивления нагрузок фильтра слева и справа Rr = RH =R=600 Ом (рис. 1.2). Характеристи­ка фильтра аппроксимируется полиномом Чебышева.

Рисунок 1.2 Сопротивления нагрузок фильтра

1. Расчет и построение графиков амплитудного спектра радиоимпульсов

Вначале находится несущая частота:

Гц = 100 кГц (1.1)

Затем рассчитывают частоты нулей огибающей спектра. Они зависят от длительности импульса:

кГц

кГц (1.2)

кГц

кГц

Максимальное значение огибающей в виде напряжения, соответствующее частоте fH находится по формуле:

B (1.3)

Зная максимальное значение и расположение нулей по оси частот, строим огибающую дискретного спектра периодических радиоимпульсов в виде пунктирной кривой в масштабе по оси частот (рис. 1.3).

Рисунок 1.3 Огибающая дискретного спектра периодических радиоимпульсов

и дис­кретные составляющие внутри огибающей спектра

Внутри огибающей находятся спектральные составляющие или гар­моники спектра с частотами fi, где i — номер гармоники. Они располагают­ся симметрично относительно несущей частоты, зависят от периода следо­вания импульсов и находятся по формуле:

(1.4)

кГц (1.5)

рассчитываем частоты гармоник, лежащих только справа от fH:

кГц

кГц

кГц (1.6)

кГц

кГц

Частоты гармоник, лежащих слева от fH, будут:

кГц

кГц

кГц (1.7)

кГц

кГц

Амплитуды напряжения i-ых гармоник находятся по формуле:

, (1.8)

; (1.9)

Из анализа рис. 1.3 видно, что главный «лепесток спектра» занимает диапазон частот от 75 до 125 кГц. Крайние частоты диапазона совпадают с нулями огибающей, поэтому их амплитуды равны нулю, в частности

U m.4 = 0, U m.(-4) = 0. После расчета амплитуд по их значения (1.8) отражаются в виде дис­кретных составляющих внутри огибающей спектра (рис. 1.3).

2. Формирование требований к полосовому фильтру

Учитывая, что амплитуды спектральных составляющих на частотах

75 и 125 кГц равны нулю, примем за эффективную часть спектра, которую нужно выделить полосовым фильтром, диапазон частот от 81.982 кГц до 118.018 кГц. Следовательно, эти частоты будут определять частоты границы полосы пропускания фильтра fП1 и fП2 соответственно (рис. 2.1). Гранич­ную частоту полосы непропускания fЗ2 выбираем равной частоте первой гармоники спектра сигнала, находящейся после частоты (fН + 1/tИ) = 125 кГц. Этой частотой является частота f3 = 127.027 кГц. Следовательно, fЗ2 = f5 = 127.027 кГц.

Рисунок 2.1 Границы полосы пропускания и непропускания

Найдем центральную частоту ПП:

(2.1)

Тогда граничная частота fЗ.1 полосы непропускания будет:

(2.2)

, (2.3)

, (2.4)

исходная разница амплитуд второй и третьей гармоник в децибелах, най­денная в ходе расчета спектра радиоимпульсов.

(2.5)

Таким образом, требования к полосовому фильтру сводятся к сле­дующему:

Аппроксимация передаточной функции должна быть выполнена с по­мощью полинома Чебышева.

3. Формирование передаточной функции НЧ – прототипа

Найдем граничные частоты ПП и ПН НЧ – прототипа:

(3.1)

Найдем значения нормированных частот:

и (3.3)

Рисунок 3.1 Требования к НЧ

Находим коэффициент неравномерности ослабления фильтра в ПП из

, (3.4)

при А = ΔА и Ω = 1, когда ψ(1) = Тт(1) = 1:

Порядок фильтра Чебышева находится также из (3.4), но при А = Amin и Ω =Ω3, т. е. ослабление рассматривается в полосе непро­пускания. А в ПН полином Чебышева Tm(Ω) = ch m arch Ω, поэтому:

(3.5)

Для вычисления функции arch x воспользуемся соотношение:

, (3.6)

После подстановки в (3.5) исходных данных и вычислений получим т =2.99. Расчетное значение т необходимо округлить в большую сторону до целого числа, принимает т = 3.

Источник

Спектральный анализ сигналов

Не так давно товарищ Makeman описывал, как с помощью спектрального анализа можно разложить некоторый звуковой сигнал на слагающие его ноты. Давайте немного абстрагируемся от звука и положим, что у нас есть некоторый оцифрованный сигнал, спектральный состав которого мы хотим определить, и достаточно точно.

Под катом краткий обзор метода выделения гармоник из произвольного сигнала с помощью цифрового гетеродинирования, и немного особой, Фурье-магии.

Итак, что имеем.
Файл с отсчетами оцифрованного сигнала. Известно, что сигнал представляет собой сумму синусоид со своими частотами, амплитудами и начальными фазами, и, возможно, белый шум.

Будем решать данную задачу на Java.

Матчасть

Как я уже говорил, структура сигнала заведомо известна: это сумма синусоид и какая-то шумовая составляющая. Так сложилось, что для анализа периодических сигналов в инженерной практике широко используют мощный математический аппарат, именуемый в общем «Фурье-анализ». Давайте кратенько разберём, что же это за зверь такой.

Немного особой, Фурье-магии

Не так давно, в 19 веке, французский математик Жан Батист Жозеф Фурье показал, что любую функцию, удовлетворяющую некоторым условиям (непрерывность во времени, периодичность, удовлетворение условиям Дирихле) можно разложить в ряд, который в дальнейшем получил его имя — ряд Фурье.

В инженерной практике разложение периодических функций в ряд Фурье широко используется, например, в задачах теории цепей: несинусоидальное входное воздействие раскладывают на сумму синусоидальных и рассчитывают необходимые параметры цепей, например, по методу наложения.

Существует несколько возможных вариантов записи коэффициентов ряда Фурье, нам же лишь необходимо знать суть.
Разложение в ряд Фурье позволяет разложить непрерывную функцию в сумму других непрерывных функций. И в общем случае, ряд будет иметь бесконечное количество членов.

Дальнейшим усовершенствованием подхода Фурье является интегральное преобразование его же имени. Преобразование Фурье.
В отличие от ряда Фурье, преобразование Фурье раскладывает функцию не по дискретным частотам (набор частот ряда Фурье, по которым происходит разложение, вообще говоря, дискретный), а по непрерывным.
Давайте взглянем на то, как соотносятся коэффициенты ряда Фурье и результат преобразования Фурье, именуемый, собственно, спектром.
Небольшое отступление: спектр преобразования Фурье — в общем случае, функция комплексная, описывающая комплексные амплитуды соответствующих гармоник. Т.е., значения спектра — это комплексные числа, чьи модули являются амплитудами соответствующих частот, а аргументы — соответствующими начальными фазами. На практике, рассматривают отдельно амплитудный спектр и фазовый спектр.

Рис. 1. Соответствие ряда Фурье и преобразования Фурье на примере амплитудного спектра.

Легко видно, что коэффициенты ряда Фурье являются ни чем иным, как значениями преобразования Фурье в дискретные моменты времени.

Однако, преобразование Фурье сопоставляет непрерывной во времени, бесконечной функции другую, непрерывную по частоте, бесконечную функцию — спектр. Как быть, если у нас нет бесконечной во времени функции, а есть лишь какая-то записанная её дискретная во времени часть? Ответ на этот вопрос даёт дальнейшей развитие преобразования Фурье — дискретное преобразование Фурье (ДПФ).

Дискретное преобразование Фурье призвано решить проблему необходимости непрерывности и бесконечности во времени сигнала. По сути, мы полагаем, что вырезали какую-то часть бесконечного сигнала, а всю остальную временную область считаем этот сигнал нулевым.

Математически это означает, что, имея исследуемую бесконечную во времени функцию f(t), мы умножаем ее на некоторую оконную функцию w(t), которая обращается в ноль везде, кроме интересующего нас интервала времени.

Если «выходом» классического преобразования Фурье является спектр – функция, то «выходом» дискретного преобразования Фурье является дискретный спектр. И на вход тоже подаются отсчёты дискретного сигнала.

Остальные свойства преобразования Фурье не изменяются: о них можно прочитать в соответствующей литературе.

Нам же нужно лишь знать о Фурье-образе синусоидального сигнала, который мы и будем стараться отыскать в нашем спектре. В общем случае, это пара дельта-функций, симметричная относительно нулевой частоты в частотной области.

Рис. 2. Амплитудный спектр синусоидального сигнала.

Я уже упомянул, что, вообще говоря, мы рассматриваем не исходную функцию, а некоторое её произведение с оконной функцией. Тогда, если спектр исходной функции — F(w), а оконной W(w), то спектром произведения будет такая неприятная операция, как свёртка этих двух спектров (F*W)(w) (Теорема о свёртке).

На практике это означает, что вместо дельта-функции, в спектре мы увидим что-то вроде этого:

Рис. 3. Эффект растекания спектра.

Этот эффект именуют также растеканием спектра (англ. spectral leekage). А шумы, появляющиеся вследствие растекания спектра, соответственно, боковыми лепестками (англ. sidelobes).
Для борьбы с боковыми лепестками применяют другие, непрямоугольные оконные функции. Основной характеристикой «эффективности» оконной функции является уровень боковых лепестков (дБ). Сводная таблица уровней боковых лепестков для некоторых часто используемых оконных функций приведена ниже.

Основной проблемой в нашей задаче является то, что боковые лепестки могут маскировать другие гармоники, лежащие рядом.

Рис. 4. Отдельные спектры гармоник.

Видно, что при сложении приведённых спектров, более слабые гармоники как бы растворятся в более сильной.

Рис. 5. Чётко видна лишь одна гармоника. Нехорошо.

Другой подход к борьбе с растеканием спектра состоит в вычитании из сигнала гармоник, создающих это самое растекание.
То есть, установив амплитуду, частоту и начальную фазу гармоники, можно вычесть её из сигнала, при этом мы уберём и «дельта-функцию», соответствующую ей, а вместе с ней и боковые лепестки, порождаемые ей. Другой вопрос состоит в том, как же точно узнать параметры нужной гармоники. Недостаточно просто взять нужные данные из комплексной амплитуды. Комплексные амплитуды спектра сформированы по целым частотам, однако, ничто не мешает гармонике иметь и дробную частоту. В этом случае, комплексная амплитуда как бы расплывается между двумя соседними частотами, и точную её частоту, как и другие параметры, установить нельзя.

Для установления точной частоты и комплексной амплитуды нужной гармоники, мы воспользуемся приёмом, широко применяемым во многих отраслях инженерной практики – гетеродинирование.

Посмотрим, что получится, если умножить входной сигнал на комплексную гармонику Exp(I*w*t). Спектр сигнала сдвинется на величину w вправо.
Этим свойством мы и воспользуемся, сдвигая спектр нашего сигнала вправо, до тех пор, пока гармоника не станет ещё больше напоминать дельта-функцию (то есть, пока некоторое локальное отношение сигнал/шум не достигнет максимума). Тогда мы и сможем вычислить точную частоту нужной гармоники, как w₀ – w_гет, и вычесть её из исходного сигнала для подавления эффекта растекания спектра.
Иллюстрация изменения спектра в зависимости от частоты гетеродина показана ниже.

Рис. 6. Вид амплитудного спектра в зависимости от частоты гетеродина.

Будем повторять описанные процедуры до тех пор, пока не вырежем все присутствующие гармоники, и спектр не будет напоминать нам спектр белого шума.

Затем, надо оценить СКО белого шума. Хитростей здесь нет: можно просто воспользоваться формулой для вычисления СКО:

Автоматизируй это

Пришло время для автоматизации выделения гармоник. Повторим ещё разочек алгоритм:

1. Ищем глобальный пик амплитудного спектра, выше некоторого порога k.
1.1 Если не нашли, заканчиваем
2. Варируя частоту гетеродина, ищем такое значение частоты, при которой будет достигаться максимум некоторого локального отношения сигнал/шум в некоторой окрестности пика
3. При необходимости, округляем значения амплитуды и фазы.
4. Вычитаем из сигнала гармонику с найденной частотой, амплитудой и фазой за вычетом частоты гетеродина.
5. Переходим к пункту 1.

Алгоритм не сложный, и единственный возникающий вопрос — откуда же брать значения порога, выше которого будем искать гармоники?
Для ответа на этот вопрос, следует оценить уровень шума еще до вырезания гармоник.

Построим функцию распределения (привет, мат. cтатистика), где по оси абсцисс будет амплитуда гармоник, а по оси ординат — количество гармоник, не превышающих по амплитуде это самое значение аргумента. Пример такой построенной функции:

Рис. 7. Функция распределения гармоник.

Теперь построим еще и функцию — плотность распределения. Т.е., значения конечных разностей от функции распределения.

Рис. 8. Плотность функции распределения гармоник.

Абсцисса максимума плотности распределения и является амплитудой гармоники, встречающейся в спектре наибольшее число раз. Отойдем от пика вправо на некоторое расстояние, и будем считать абсциссу этой точки оценкой уровня шума в нашем спектре. Вот теперь можно и автоматизировать.

Практическая часть

Я не претендую на звание эксперта Java, и представленное решение может быть сомнительным как по части производительности и потреблению памяти, так и в целом философии Java и философии ООП, как бы я ни старался сделать его лучше. Написано было за пару вечеров, как proof of concept. Желающие могут ознакомиться с исходным кодом на GitHub.

Единственной сложностью стала генерация PDF отчёта по результатам анализа: PDFbox ну никак не хотел работать с кириллицей. К слову, не хочет и сейчас.

В проекте использовались библиотеки:
JFreeChart – отображение графиков
PDFBox – построение отчёта
JLatexMath – рендер Latex формул

В итоге, получилась довольно массивная программа (13.6 мегабайт), удобно реализующая поставленную задачу.

Есть возможность как вырезать гармоники вручную, так и доверить эту задачу алгоритму.

Источник

Как построить спектр сигнала

Теоритическая часть. В теории спектрального анализа непериодических сигналов используется искусственный прием: одиночный импульс заменяется периодической последовательностью с бесконечно большим периодом следования.

Тогда сигнал запишется как:

В этом случае выражение рядов Фурье для периодического сигнала сохраняет смысл и приобретает вид:

Поскольку Т=2р/щ, то формула перепишется:

В предельном случае, когда и спектр сигнала станет не дискретным, а сплошным, а амплитуды отдельных составляющих будут стремиться к нулю.

Тогда Сумма в последнем выражении превращается в интеграл:

Эти два выражения носят названия прямого и обратного преобразования Фурье.

Они связывают вещественную функцию (сигнал) и комплексную функцию частоты (спектральная плотность сигнала)

S(щ характеризует интенсивность сплошного распределения амплитуд гармоник непериодического сигнала вдоль оси частот.[1]

Найти спектр сигнала S(t) и его энергию. Изобразить спектральную диаграмму сигнала.

Тогда, сигнал приобретает вид

Рис.12 Вид сигнала

Расчет и построение спектра сигнала

Решение для интеграла :

Представим косинус с помощью формулы Эйлера в виде экспонент

Умножение на 1 в виде 2j/2j сделано для приведения результата вычисления к виду удобному для восприятия и построения. Получим:

Воспользуемся формулой Эйлера повторно, с целью преобразования экспоненциальных слагаемых в синус:

Помня, что косинус функция четная и отличается от синуса на р/2 получим:

Подставим исходные данные и получим:

Рис.13 Спектральное представление сигнала

Расчёт энергии сигнала:

Воспользуемся формулой понижения степени косинуса:

Спектр сигнала — в радиотехнике это результат разложения сигнала на более простые в базисе ортогональных функций. В качестве разложения обычно используются преобразование Фурье, разложение по функциям Уолша, вейвлет-преобразование и др.

Содержание

Базисные функции [ править | править код ]

В радиотехнике в качестве базисных функций используют синусоидальные функции. Это объясняется рядом причин:

Кроме гармонического ряда Фурье применяются и другие виды разложений: по функциям Уолша, Бесселя, Хаара, Лежандра, полиномам Чебышёва и др.

В цифровой обработке сигналов для анализа применяются дискретные преобразования: Фурье, Хартли, вейвлетные и др.

Применение [ править | править код ]

Разложение сигнала в спектр применяется в анализе прохождения сигналов через электрические цепи (спектральный метод). Спектр периодического сигнала является дискретным и представляет набор гармонических колебаний, в сумме составляющий исходный сигнал. Одним из преимуществ разложения сигнала в спектр является следующее: сигнал, проходя по цепи, претерпевает изменения (усиление, задержка, модулирование, детектирование, изменение фазы, ограничение и т. д.). Токи и напряжения в цепи под действием сигнала описываются дифференциальными уравнениями, соответствующими элементам цепи и способу их соединения. Линейные цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями, причём для линейных цепей верен принцип суперпозиции: действие на систему сложного сигнала, который состоит из суммы простых сигналов, равно сумме действий от каждого составляющего сигнала в отдельности. Это позволяет при известной реакции системы на какой-либо простой сигнал, например, на синусоидальное колебание с определённой частотой, определить реакцию системы на любой сложный сигнал, разложив его в ряд по синусоидальным колебаниям.

На практике спектр измеряют при помощи специальных приборов: анализаторов спектра.

Математическое представление [ править | править код ]

Спектр сигнала s ( t ) можно записать через преобразование Фурье (можно без коэффициента 1 / 2 π >> ) в виде:

S ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ s ( t ) e − i ω t d t ^ s(t)e^ dt> , где ω — угловая частота равная 2 π f .

Спектр сигнала является комплексной величиной и представляется в виде: S ( ω ) = A ( ω ) e − i ϕ ( ω ) > , где A ( ω ) — амплитудно-частотная характеристика сигнала, ϕ ( ω ) — фазо-частотная характеристика сигнала.

Если под сигналом s ( t ) понимать электрическое напряжение на резисторе сопротивлением 1 Ом, то энергия сигнала, выделяемая на этом резисторе, будет равна E = ∫ − T / 2 T / 2 s 2 ( t ) d t ^s^ (t)dt> , средняя мощность — W = 1 T ∫ − T / 2 T / 2 s 2 ( t ) d t >int limits _ ^s^ (t)dt> .

Огибающая АЧС последовательности прямоугольных видеоим­пульсов описывается функцией

.

и пересекает ось частот, когда х кратно л, т. е. п кратно q, τ. е. при частотах, кратных скважности. Поэтому именно эти частоты, равные

отсутствуют в спектре.

Обычно при построении спектров откладывают относительные

величины, т. е. и получают

относительный или нормированный спектр (рис. 15.6).

Спектральные составляющие с наибольшей амплитудой распо­ложены под первыми арками, в них сосредоточена и основная часть энергии сигнала. Поэтому эффективную ширину спектра можно определить как:

. (15.26)

Теоретически ширина спектра бесконечна, однако не все его составляющие оказывают действенное влияние на форму сигнала и имеют практическое значение. Поэтому под шириной спектра обычно понимают ограниченный диапазон частот, внутри которого распределена большая часть энергии сигнала. Ширина спектра, так же как, например, полоса пропускания контура, — понятие условное.

Рассмотрим особенности АЧС при изменении длительности и частоты следования импульсов (рис, 15.7).

С уменьшением частоты следования Ω при t_И = const происхо­дит сгущение спектра: расстояние между спектральными линиями уменьшается. Ширина спектра, определяемая его огибающей, не меняется, а основная часть энергии распределяется на большем числе гармоник.

С увеличением длительности импульсов при Ω=const ширина арок и связанная с ней ширина спектра уменьшаются: происходит относительное сжатие спектра. Основная часть энергии распреде­ляется на меньшем числе гармоник и сосредоточивается в области все более низких частот.

Таким образом, чем короче импульсы и больше их скважность, тем шире и гуще их спектр, и наоборот.

На практике часто приходится учитывать в спектре лишь ко­нечное число гармоник. Точность аппроксимации исходной функ­ции в этом случае зависит от числа учтенных гармоник. Она ока­зывается достаточной, если учитываются все гармоники, опреде­ляемые заданной шириной спектра.

Фазо-частотный спектр

Как следует из выражений (15.24) и (15.25) начальные фазы гармоник определяются как:

Отсюда следует, что огибающая ФЧС представляет собой пря­мую с углом наклона α, зависящим от сдвига импульсов. Учет из­менения от арки к арке фазы гармоник на я осуществляется соот­ветствующим смещением этой прямой параллельно себе на π вверх или вниз (рис. 15.8).

Каждая арка АЧС имеет ширину, равную qΩ. Поэтому вели­чина сдвига фазы на одну арку составляет угол:

. (15.28)

Поэтому угол наклона α огибающей ФЧС, как это следует и из рис. 15.9, равен арктангенсу от величины сдвига импульсов:

. (15.29)

Чем больше сдвиг импульсов во времени, тем больше наклон огибающей их ФЧС (рис. 15.9). При t₀ = 0 угол α равен нулю.

Симметричные частотные спектры имеют аналогичный вид, но построение спектральных линий на них распространяется на ось отрицательных частот. При этом АЧС и ФЧС оказываются симмет­ричными относительно оси ординат и начала отсчета соответ­ственно (рис. 15.10).

Пример 15.1.

Рассчитать спектры периодической последовательности прямоугольных видео­импульсов, если: U_m = 10O мВ; q = 5; = 0,02 мс; t₀ = 2 t_И.

Решение.

1. Расстояние между спектральными линиями, равное частоте следования импульсов:

2. Ширина арки:

.

3. Количество спектральных линий под каждой аркой:

.

4. Сдвиг фазы на одну арку:

5.

Постоянная составляющая:

6. Табличные значения функции соответствующие частотам F, 2F, 3F и рассчитанные с их помощью амплитуды и начальные фазы гармоник:

В спектре отсутствуют гармоники, кратные q = 5, т. е. 5F = 50 кГц, lOF = 100 кГц, 15F = 150 кГц и т. д.

СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ РАДИОИМПУЛЬСОВ

Рассчитаем спектр симметричной относительно оси ординат последовательности прямоугольных радиоимпульсов (рис. 15.11):

Здесь и Ω — период и частота следования импульсов;

ω_H — несущая частота.

Если несущая частота кратна частоте следования, т. е. ω_H = kΩ, где k — целое число, то импульсы называются когерентными, если эти частоты некратны ( ), то импульсы — некогерентные.

С помощью выражения (15.4) находим постоянную состав­ляющую

В силу симметрии функции относительно оси ординат ряд Фурье будет содержать лишь косинусоиды (b_n = 0).

Отсюда следует, что амплитуды гармонических составляющих резко возрастают в районе значений частот, близких к ω_н, т. е. .По в этом районе значений п второе слагаемое в выражении (15.32) значительно меньше первого, и им можно прене­бречь. Кроме того, так как ω_H>Ω, постоянной составляющей можно также практически пренебречь.

Таким образом, при сделанных допущениях

Отсюда следует, что огибающая АЧС последовательности пря­моугольных радиоимпульсов определяется, так же как и для по­следовательности аналогичных видеоимпульсов, функцией . Разница лишь в том, что эта функция сдвинута по оси частот на величину , а ее максимум вдвое меньше и соответ­ствует частоте . (рис. 15.12).

В спектре некогерентной последовательности радиоимпульсов несущая частота сон отсутствует, и наибольшую ампли­туду имеет составляющая с частотой, близкой к . Если импульсы когерентны, то в их спектре присутствует составляющая несущей частоты, имеющая наибольшую амплитуду, равную (рис. 15.13).

Таким образом, спектр последовательности прямоугольных ра­диоимпульсов совпадает со спектром последовательности прямоугольных видеоимпульсов, смещенным вправо по оси частот на величину ω_н. При этом часть спектра, лежащая в области ω ω_н. Сделанные выводы тем точнее, чем ω_н >Ω,

При комплексной форме ряда Фурье и построении симметричных спек­тров п принимает не только положительные, но и отрицательные значения. При отрицательных п в формуле (15.32) нельзя пренебречь вторым слагаемым, так как в районе частот , оно становится, наоборот, значительно больше первого слагаемого.

Наиболее эффективные спектральные составляющие, имеющие наибольшие амплитуды, у радиоимпульсов сосредоточены вблизи несущей частоты. Эффективная ширина спектра радиоимпульсов в два раза больше, чем у одинаковых по длительности видеоим­пульсов.

Построить AЧC периодической последовательности прямоугольных радио­импульсов, если U_m = 100 мВ; f_H=250 МГц; кГц; t_И =100 мкс.

1. Скважность импульсов:

.

2. Ширина малых арок и половины большой арки:

3. Максимальная ордината огибающей спектра:

мВ.

4. Так как f_H кратно F, импульсы когерентны, основная спектральная со­ставляющая имеет частоту, равную f_H = 250 МГц.

В спектре, показанном на рис. 15.13, присутствуют частоты:

Амплитуды соответствующих гармоник могут быть непосредственно отсчи­таны из графика как ординаты огибающей, взятые при соответствующих ча­стотах.

СВЯЗЬ МЕЖДУ ФОРМОЙ СИГНАЛА И ЕГО СПЕКТРОМ

Форма сигнала в полной мере определяется лишь совокупно­стью двух его спектров: АЧС и ФЧС. Тем не менее можно устано­вить ряд характерных связей между формой сигнала и парамет­рами его АЧС, которые позволяют на практике, имея АЧС, судить о форме сигнала, и наоборот.

Сравнивая спектры прямоугольных и треугольных импульсов, заметим, что ряд Фурье в случае треугольных импульсов сходится быстрее, чем в случае прямоугольных импульсов, так как ампли­туды гармоник убывают быстрее с ростом их номера (табл. 15.1). Закономерность, по которой уменьшаются амплитуды гармоник с ростом их номера, можно выразить через число раз дифферен­цирования исследуемой функции, необходимое для «выделения из нее дельта-функций. Пусть в k-й производной исследуемой функ­ции появляются дельта-функции. Тогда для коэффициентов Фурье имеют силу неравенства:

где М — постоянная, зависящая от формы сигнала.

Понятие длительности определено лишь для прямоугольных и сходных с ними импульсов. На практике длительность импульса произвольной формы, так же как и ширину спектра сигнала, определяют энергетическим методом, т. е. как интервал времени, внутри которого сосредоточена большая часть его энергии, на­пример 90%. Ширина спектра импульсов получается тем больше, чем меньше длительность импульсов.

Важным свойством АЧС сиг­нала является то, что произведение длительности импульса на ширину спектра есть величина постоянная для импульсов данной формы:

. (15.35)

Это свойство присуще спектрам любых сигналов и играет су­щественную роль при выборе их параметров.

Уменьшение длительности радиолокационных импульсов, на­пример, позволяет увеличить точность определения координат цели. Однако увеличение при этом ширины спектра сигнала за­трудняет обеспечение требуемой помехозащищенности радиопри­емных устройств. Такая противоречивость следует из усло­вия (15.35). Поэтому желательно выбирать такую форму импуль­сов, чтобы произведение имело наименьшую величину. Ана­лиз показывает, что это произведение получается меньше для тех импульсов, которые изменяются во времени более плавно, форма которых более «гладкая». Наименьшая его величина, весьма близ­кая к теоретически достижимому минимуму, получается у коло-колообразных импульсов.

При грубых оценках в технике принято считать, что произведе­ние соответствующим образом определенной длительности многих простейших сигналов на эффективную ширину их» спектра близко к единице, т. е.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Как то на паре, один преподаватель сказал, когда лекция заканчивалась — это был конец пары: «Что-то тут концом пахнет». 8410 — | 8028 — или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Источник