Как посчитать скорость при падении

Движение тела с ускорением свободного падения

теория по физике 🧲 кинематика

Свободное падение — это движение тела только под действием силы тяжести.

В действительности при падении на тело действует не только сила тяжести, но и сила сопротивления воздуха. Но в ряде задач сопротивлением воздуха можно пренебречь. Воздух не оказывает значимого сопротивления падающему мячу или тяжелому грузу. Но падение пера или листа бумаги можно рассматривать только с учетом двух сил: небольшая масса тела в сочетании с большой площадью его поверхности препятствует свободному падению вниз.

В вакууме все тела падают с одинаковым ускорением, так как в нем отсутствует среда, которая могла бы дать сопротивление. Так, брошенные в условиях вакуума с одинаковой высоты перо и молоток приземлятся в одно и то же время!

Ускорение свободного падения

Свободное падение

Свободное падение — частный случай равноускоренного прямолинейного движения. Если тело отпустить с некоторой высоты, оно будет падать с ускорением свободного падения без начальной скорости. Тогда его кинематические величины можно определить по следующим формулам:

v — скорость, g — ускорение свободного падения, t — время, в течение которого падало тело

Пример №1. Тело упало без начальной скорости с некоторой высоты. Найти его скорость в конечный момент времени t, равный 3 с.

Подставляем данные в формулу и вычисляем:

Перемещение при свободном падении тела равно высоте, с которой оно начало падать. Высота обозначается буквой h.

Внимание! Перемещение равно высоте, с которой падало тело, только в том случае, если t — полное время падения.

Если известна скорость падения тела в момент времени t, перемещение (высота) определяется по следующей формуле.

Если скорость тела в момент времени t неизвестна, но для нахождения перемещения (высоты) используется формула:

Если неизвестно время, в течение которого падало тело, но известна его конечная скорость, перемещение (высота) вычисляется по формуле:

Пример №2. Тело упало с высоты 5 м. Найти его скорость в конечный момент времени.

Так как нам известна только высота, и найти нужно скорость, используем для вычислений последнюю формулу. Выразим из нее скорость:

Формула определения перемещения тела в n-ную секунду свободного падения:

s(n) — перемещение за секунду n.

Пример №3. Определить перемещение свободно падающего тела за 3-ую секунду движения.

Движение тела, брошенного вертикально вверх

Движение тела, брошенного вертикально вверх, описывается в два этапа

Два этапа движения тела, брошенного вертикально вверх Этап №1 — равнозамедленное движение. Тело поднимается вверх на некоторую высоту h за время t с начальной скоростью v₀ и на мгновение останавливается в верхней точке, достигнув скорости v = 0 м/с. На этом участке пути векторы скорости и ускорения свободного падения направлены во взаимно противоположных направлениях ( v ↑↓ g ). Этап №2 — равноускоренное движение. Когда тело достигает верхней точки, и его скорость равна 0, начинается свободное падение с начальной скоростью до тех пор, пока тело не упадет или не будет поймано на некоторой высоте. На этом участке пути векторы скорости и ускорения свободного падения направлены в одну сторону ( v ↑↑ g ). Формулы для расчета параметров движения тела, брошенного вертикально вверх Перемещение тела, брошенного вертикально вверх, определяется по формуле:

Если известна скорость в момент времени t, для определения перемещения используется следующая формула:

Если время движения неизвестно, для определения перемещения используется следующая формула:

Формула определения скорости:

Какой знак выбрать — «+» или «–» — вам помогут правила:

Обычно тело бросают вертикально вверх с некоторой высоты. Поэтому если тело упадет на землю, высота падения будет больше высоты подъема (h₂ > h₁). По этой же причине время второго этапов движения тоже будет больше (t₂ > t₁). Если бы тело приземлилось на той же высоте, то начальная скорость движения на 1 этапе была бы равно конечной скорости движения на втором этапе. Но так как точка приземления лежит ниже высоты броска, модуль конечной скорости 2 этапа будет выше модуля начальной скорости, с которой тело было брошено вверх (v₂ > v₀₁).

Пример №4. Тело подкинули вверх на некотором расстоянии 2 м от земли, придав начальную скорость 10 м/с. Найти высоту тела относительно земли в момент, когда оно достигнет верхней точки движения.

Конечная скорость в верхней точке равна 0 м/с. Но неизвестно время. Поэтому для вычисления перемещения тела с точки броска до верхней точки найдем по этой формуле:

Согласно условию задачи, тело бросили на высоте 2 м от земли. Чтобы найти высоту, на которую поднялось тело относительно земли, нужно сложить эту высоту и найденное перемещение: 5 + 2 = 7 (м).

Уравнение координаты и скорости при свободном падении

Уравнение координаты при свободном падении позволяет вычислять кинематические параметры движения даже в случае, если оно меняет свое направление. Так как при вертикальном движении тело меняет свое положение лишь относительно оси ОУ, уравнение координаты при свободном падении принимает вид:

Уравнение скорости при свободном падении:

Построение чертежа

Решать задачи на нахождение кинематических параметров движения тела, брошенного вертикально вверх, проще, если выполнить чертеж. Строится он в 3 шага.

Свободное падение на землю с некоторой высоты

Тело подбросили от земли и поймали на некоторой высоте

Уравнение скорости:

Тело подбросили от земли, на одной и той же высоте оно побывало дважды

Интервал времени между моментами прохождения высоты h:

Уравнение координаты для первого прохождения h:

Уравнение координаты для второго прохождения h:

Важно! Для определения знаков проекций скорости и ускорения нужно сравнивать направления их векторов с направлением оси ОУ.

Пример №5. Тело падает из состояния покоя с высоты 50 м. На какой высоте окажется тело через 3 с падения?

Из условия задачи начальная скорость равна 0, а начальная координата — 50.

Через 3 с после падения тело окажется на высоте 5 м.

Алгоритм решения

Решение

Записываем исходные данные:

Перемещение (высота) свободно падающего тела, определяется по формуле:

В скалярном виде эта формула примет вид:

Учтем, что начальная скорость равна нулю, а ускорение свободного падения противоположно направлено оси ОУ:

Относительно оси ОУ груз совершил отрицательное перемещение. Но высота — величина положительная. Поэтому она будет равна модулю перемещения:

Вычисляем высоту, подставив известные данные:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Алгоритм решения

Решение

Записываем исходные данные:

Записываем формулу для определения скорости тела в векторном виде:

Теперь запишем эту формулу в скалярном виде. Учтем, что согласно чертежу, вектор скорости сонаправлен с осью ОУ, а вектор ускорения свободного падения направлен в противоположную сторону:

Подставим известные данные и вычислим скорость:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Источник

Определение скорости свободного падения

Свободное падение тела — это его равнопеременное движение, которое происходит под действием силы тяжести. В этот момент другие силы, которые могут воздействовать на тело либо отсутствуют, либо настолько малы, что их влияние не учитывается. Например, когда парашютист прыгает из самолета, первые несколько секунд после прыжка он падает в свободном состоянии. Этот короткий отрезок времени характеризуется ощущением невесомости, сходным с тедж.м, что испытывают космонавты на борту космического корабля.

История открытия явления

О свободном падении тела ученые узнали еще в Средневековье: Альберт Саксонский и Николай Орем изучали это явление, но некоторые их выводы были ошибочными. Например, они утверждали, что скорость падающего тяжелого предмета возрастает прямо пропорционально пройденному расстоянию. В 1545 году поправку этой ошибки сделал испанский ученый Д. Сото, установивший факт, что скорость падающего тела увеличивается пропорционально времени, которое проходит от начала падения этого предмета.

В 1590 г. итальянский физик Галилео Галилей сформулировал закон, который устанавливает четкую зависимость пройденного падающим предметом пути от времени. Также ученым было доказано, что при отсутствии воздушного сопротивления все предметы на Земле падают с одинаковым ускорением, хотя до его открытия было принято считать, что тяжелые предметы падают быстрее.

Была открыта новая величина — ускорение свободного падения, которое состоит из двух составляющих: гравитационного и центробежного ускорений. Обозначается ускорение свободного падения буквой g и имеет различное значение для разных точек земного шара: от 9,78 м/с 2 (показатель для экватора) до 9,83 м/с 2 (значение ускорения на полюсах). На точность показателей влияют долгота, широта, время суток и некоторые другие факторы.

Для того чтобы продемонстрировать, как предмет падает в соответствии с открытием Галилея, ученые устраивают такой опыт: в длинную стеклянную трубку помещают предметы с различной массой, из трубки выкачивают воздух. После этого трубку переворачивают, все предметы под действием силы тяжести падают одновременно на дно трубки, независимо от их массы.

Когда эти же предметы помещены в какую-либо среду, одновременно с силой тяжести на них действует сила сопротивления, поэтому предметы в зависимости от своей массы, формы и плотности будут падать в разное время.

Формулы для расчетов

Существуют формулы, с помощью которых можно рассчитывать различные показатели, связанные со свободным падением. В них используются такие условные обозначения:

Формула для определения расстояния, пройденного падающим предметом при известной конечной скорости и времени падения: h = ut /2.

Формула для расчета расстояния, пройденного падающим предметом по постоянной величине g и времени: h = gt 2 /2.

Формула для расчета скорости предмета в конце падения, если известна высота, с которой падает исследуемый предмет: u = √2 gh.

Интересные факты

Если не углубляться в научные знания, бытовое определение свободного перемещения подразумевает передвижение какого-либо тела в земной атмосфере, когда на него не воздействуют никакие посторонние факторы, кроме сопротивления окружающего воздуха и силы тяжести.

В различное время добровольцы соревнуются между собой, пытаясь установить личный рекорд. В 1962 г. испытатель-парашютист из СССР Евгений Андреев установил рекорд, который был занесен в Книгу рекордов Гиннеса: при прыжке с парашютом в свободном падении он преодолел расстояние в 24500 м, во время прыжка не был использован тормозной парашют.

В 1960 г. американец Д. Киттингер совершил парашютный прыжок с высоты 31 тыс. м, но с использованием парашютно-тормозной установки.

В 2005 г. была зафиксирована рекордная скорость при свободном падении — 553 км/ч, а через семь лет установлен новый рекорд — эта скорость была увеличена до 1342 км/ч. Этот рекорд принадлежит австрийскому парашютисту Феликсу Баумгартнеру, который известен во всем мире своими опасными трюками.

Видео

Посмотрите интересное и познавательное видео, которое расскажет вам о скорости падения тел.

Источник

Формула скорости свободного падения

Ускорение и скорость при свободном падении

Движение тела около поверхности Земли под воздействием силы тяжести называют свободным падением. При исследовании свободного падения тела, обычно силы сопротивления воздуха не учитывают.

Напомним, что величина ускорения свободного падения около поверхности Земли вычисляется как:

Если расстояние, с которого падает тело много меньше, чем радиус Земли ($\ h\ll R$), то ускорение свободного падения считают постоянной величиной, равной:

Кинематическое уравнение скорости при свободном падении

Свободное падение происходит с постоянным ускорением, что было установлено еще Галилеем, поэтому скорость в кинематике определяет уравнение для равнопеременного движения:

Используя это уравнение, и зная начальные условия движения тела можно найти скорость тела относительно избранной системы отсчета для любого момента времени.

Скорость тела, брошенного под углом к горизонту

Формула скорости при свободном падении тела из состояния покоя

Начальные условия для скорости движения для тела, которое падает из состояния покоя, запишем так:

\[\left\< \begin v_x\left(t=0\ \right)=0, \\ v_y\left(t=0\ \right)=0 \end \right.\left(6\right).\]

В таком случае выражение (3) в проекции на ось Y, которую выберем вдоль направления движения (рис.1), тела будет выглядеть как:

Знак минус в формуле (8) означает, что скорость падения направлена против нашей оси Y.

Отметим, что тело, брошенное вертикально вверх движется до максимальной высоты подъема столько же времени, сколько оно потом падает с этой высоты до точки бросания.

Примеры задач с решением

Решение. Сделаем рисунок.

Запишем уравнение для скорости движения тела в векторном виде:

Найдем проекцию этого уравнения на ось Y:

В точке максимального подъема скорость тела равна нулю, следовательно:

Принимая во внимание, что время подъема равно времени спуска при отсутствии сил трения, имеем:

Подставим (1.4) в (1.3), имеем:

Решение. Сделаем рисунок.

За основу решения задачи примем уравнение для скорости движения тела в поле тяжести Земли:

Для первого тела уравнение (2.1) в проекции на ось Y будет иметь вид:

Уравнение скорости второго тела при его падении выглядит как:

Для решения задачи будем использовать кинематическое уравнение для перемещения тела с постоянным ускорением:

В проекции на ось Y это уравнение для первого тела, поднимающегося вверх, даст выражение:

Для второго тела при его падении в проекции на ось Y (2.4) запишется как:

Используя уравнение (2.3), подставляя в нее время встречи тел ($t’$) из (2.7), учитывая (2.10) получим скорость движения второго тела в момент встречи:

Источник

Общие сведения

Основоположником создания учения о движении стал Аристотель. Он утверждал, что скорость падения тела зависит от его веса. Значит, тяжёлый предмет сможет долететь до Земли быстрее, чем лёгкий. Если же на объект не будут воздействовать какие-либо силы, его движение невозможно.

Но Галилео Галилей, известный итальянский изобретатель и физик, изучая падение различных предметов и их инерцию, смог опровергнуть догадки Аристотеля. Результаты его исследований были революционными в науке. При этом даже была выпущена книга «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению», в которой были изложены основные размышления Галилея.

За дату рождения кинематики как науки можно принять 20 января 1700 года. В это время проходило заседание Академии наук, на котором Пьер Вариньона не только дал определения понятиям скорость, ускорение, но и описал их в дифференциальном виде. Уже после Ампер использовал для изучения процессов вариационное исчисление. Наглядные опыты провёл Лейбниц, а потом. профессор МГУ Н. А. Любимов смог продемонстрировать появление невесомости при свободном падении.

Под невесомостью понимают состояние тела, при котором силы взаимодействия с опорой, существующие из-за гравитационного притяжения, не оказывают никакого влияния. Такое положение имеет место, когда воздействующие на тело внешние силы можно охарактеризовать массовостью, например, тяготения.

В этом случае силы поля сообщают всем частицам предмета в любом из его положений равные по модулю и направлению ускорения, либо при движении возникают одинаковые по модулю скорости всех частиц тела. Например, поступательное движение. Состояние невесомости особо ярко проявляется в начальный момент при падении тела в атмосфере. Это связано с тем, что сопротивление воздуха ещё невелико.

Таким образом, для существования свободного падения нужно выполнение как минимум двух условий:

Что интересно, движение вверх тоже считается свободным падением, несмотря на обратное интуитивное восприятие, поэтому траектория движения может иметь форму как участка параболы, так и отрезка прямой. Например, камень, брошенный с небольшой высоты или поверхности под любым углом.

Опыт Галилея

Падение относится к реальному движению. Любое взаимодействие с Землёй приводит к изменению скорости из-за чего возникает ускорение. В 1553 году итальянец Джованни Бенедетти заявил, что 2 тела с разной массой, но одинаковой формы, брошенные в одной среде за одинаковое время пролетят равные расстояния. Это утверждение нуждалось в доказательстве, так как противоречило общепринятому на тот момент времени пониманию процессов. В частности, высказываниям Аристотеля.

Одним из экспериментаторов стал Галилей. Для проведения опыта учёному понадобилось:

Существует мнение, что вместо шара учёный использовал мушкетную пулю. Эксперимент заключался в следующем. Подняв 2 предмета на Пизанскую башню, Галилей сбросил их одновременно. Наблюдающие люди воочию смогли убедиться, что 2 тела упали на землю одновременно. Когда же один из учеников Аристотеля упрекнул итальянца, что на такой малой высоте невозможно оценить достоверно разницу, экспериментатор ответил: «Проделайте опыт самостоятельно, вы найдёте, что более тяжёлый предмет опередит тот, что легче на 2 пальца, поэтому, когда первый упадёт на землю, то второй будет от него на расстоянии толщины двух пальцев».

В своих работах Галилей рассуждал, что если связать верёвкой 2 тела разной тяжести, то с большим весом, по мнению Аристотеля, предмет будет лететь быстрее. Причём лёгкий объект начнёт замедлять падение тяжёлого. Но так как система в целом тяжелее, чем отдельно взятые тела, падать она должна быстрее самого тяжёлого тела. Другими словами, возникает противоречие, значит, предположение о влиянии веса на скорость падения неверно.

Сегодня эксперимент, подтверждающий доводы Галилея, может провести самостоятельно, пожалуй, каждый интересующийся. Такой опыт часто демонстрируют в средних классах общеобразовательной школы. Для этого нужно взять 2 трубки, длиной более метра и поместить в них 2 шарика разной массы. Затем создать внутри вакуум и одновременно их перевернуть. Если все условия соблюдены верно, то 2 тела опустятся на дно ёмкостей одновременно.

Если же опыт повторить не в вакууме, на шары будет действовать сила сопротивления, поэтому время падения уже не будет совпадать. Причём зависеть оно будет от формы предмета и его плотности.

Закон ускорения

Формула для свободного падения была выведена из выражения, определяющего силу тяжести: F = m * g. В соответствии с законом, падение предметов выполняется с одним и тем же ускорением вне зависимости от массы тела. По сути, это частный случай равноускоренного движения, обусловленное силой тяжести.

Для количественного анализа нужно ввести систему координат, взяв начало у поверхности Земли. Тогда можно рассмотреть падение тела массой m с высоты y0. Причём вращением планеты и сопротивлением воздушной среды нужно пренебречь.

Из полученных формул становится понятно, почему свободное падение не зависит от массы тела. При этом если начальная скорость будет равна нулю, то есть при падении предмету не сообщается импульс, текущее движение пропорционально времени, а пройденный путь определяется его квадратом.

Значения силы тяжести также зависит от строения земной коры и содержащихся в недрах полезных ископаемых. С учётом этого рассчитываются гравитационные аномалии: Δg = g — gср. Например, если g > gcp, то с большой вероятностью в земле содержатся залежи железной руды, в ином случае — нефти или газа.

Решение задач

Свободно двигаться, то есть не испытывать действие сторонних сил, могут любые тела в вакууме. Но в реальности на них оказывается воздействие как атмосферными явлениями, так и сопротивлением среды. При решении задач учитывается только сила тяжести, а вот остальными явлениями пренебрегают, считая их ничтожно малыми.

Вот некоторые из типовых задач, используемые при обучении в среднеобразовательных школах:

Тело вылетает вертикально вверх со скоростью 45 м/с. Какой высоты оно достигнет перед изменением направления полёта и сколько для этого понадобится времени. Для начала следует записать формулу скорости: v = v0 — gt. Отсюда можно рассчитать время полёта: t = v0 / g = 45 / 9,8 = 4,6 c. Теперь можно определить максимальную высоту: h = vot — (gt 2 / 2) = 45 м / с * 4,6 с — 9,8 м / с 2 * (4,6 c) 2 / 2 = 207 м — 103,7 м = 103,3 м.

Рассмотренные задания довольно простые. Но есть и повышенной сложности, требующие не только знания формул, но и умения выполнять анализ. Вот одно из таких.

Вертикальную составляющую можно вычислить, руководствуясь геометрическими принципами: v0y = v0 * sin (a). Учитывая, что h = (gt 2 / 2), для высоты горки можно записать: H = (g * (t 2 1 + t 2 2) / 2) — t1 * v0 sin (a). Так как gt1 = v0 sin (a), то рабочая формула примет вид: H = (g * (t 2 1 + t 2 2) / 2) — gt 2 1. После подстановки данных в ответе должна получиться высота равная 30 метров. Задача решена.

Источник