Как посчитать скалярное произведение векторов

Как посчитать скалярное произведение векторов

Обозначим через угол между векторами Тогда

Возведя эти равенства в квадрат и сложив, мы получим следующее тождество:

Но квадрат модуля вектора равеп скалярному квадрату этого вектора. Поэтому

в силу чего предыдущее тождество принимает такой вид:

Это тождество мы и будем называть о с Его полезно сформулировать так: сумма квадратов скалярного и векторного произведений двух векторов равна произведению квадратов этих векторов.

2. Формула, выражающая векторно-скалярное произведение через попарные скалярные произведения сомножителей.

Квадрат векторно-скалярного произведения трех векторов, т. е.

можно рассматривать как квадрат скалярного произведения двух векторов: .

Согласно основному тождеству (4.32) квадрат скалярного произведения двух векторов равен произведению квадратов этих векторов минус квадрат их векторного произведения. Поэтому

Квадрат векторного произведения мы пайдем, пользуясь основным тождеством (4.32):

Для вычисления квадрата векторно-векторного произведения воспользуемся формулой разложения (4.11) этого произведения:

Подставив все это в выражение для квадрата векторно-скалярного произведения (4.33), мы получим

Эта формула и является по существу искомой. Мы только приведем ее к более удобному для запоминания виду.

Для этого перегруппируем члены так:

Нетрудно видеть, что правая часть представляет собой развернутый определитель третьего порядка. Окончательно формула принимает такой вид:

Как мы увидим, эта замечательная формула вместе с формулой разложения векторно-векторного произведения в известном смысле замыкает всю векторную алгебру, позволяя все вычисления сводить к вычислениям лишь скалярных произведений.

Источник

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением ненулевых векторов x и y называется произведение

Если x=0 или y=0, то скалярное произведение равно нулю.

Пусть в n-мерном пространстве задан ортонормированный базис

Вариант 1. Начальные точки всех векторов совпадают с началом координат.

Пусть заданы векторы

тогда скалярное произведение (x,y) векторов x и y определяется соотношением:

На рисунке Рис. 1 в двухмерном пространстве представлены векторы x=(7,0) и y=(5,5).

Для вычисления скалярного произведения методом (1), вычислим нормы векторов x и y:

Учитывая что , получим:

Теперь вычислим скалярное произведение векторов x и y используя выражение (2):

Получили одинаковые результаты, но посдедний вариант вычисления проще и не требует знания угла между векторами.

Вариант 2. Начальные точки векторов произвольные.

Пусть заданы векторы x= AB и y= CD, где ,,,.

Переместим векторы x и y так, чтобы начальные точки векторов совпали с началом координат. Получим векторы x’ и y’ с координатами (т.е. с конечными точками):

Учитывая (2) получаем:

На рисунке Рис. 2 в двухмерном пространстве представлены векторы x= AB и y= CD, где A(4,1), B(9,-2), C(1,2), D(5,6).

Источник

Как посчитать скалярное произведение векторов

Обозначим через угол между векторами Тогда

Возведя эти равенства в квадрат и сложив, мы получим следующее тождество:

Но квадрат модуля вектора равеп скалярному квадрату этого вектора. Поэтому

в силу чего предыдущее тождество принимает такой вид:

Это тождество мы и будем называть о с Его полезно сформулировать так: сумма квадратов скалярного и векторного произведений двух векторов равна произведению квадратов этих векторов.

2. Формула, выражающая векторно-скалярное произведение через попарные скалярные произведения сомножителей.

Квадрат векторно-скалярного произведения трех векторов, т. е.

можно рассматривать как квадрат скалярного произведения двух векторов: .

Согласно основному тождеству (4.32) квадрат скалярного произведения двух векторов равен произведению квадратов этих векторов минус квадрат их векторного произведения. Поэтому

Квадрат векторного произведения мы пайдем, пользуясь основным тождеством (4.32):

Для вычисления квадрата векторно-векторного произведения воспользуемся формулой разложения (4.11) этого произведения:

Подставив все это в выражение для квадрата векторно-скалярного произведения (4.33), мы получим

Эта формула и является по существу искомой. Мы только приведем ее к более удобному для запоминания виду.

Для этого перегруппируем члены так:

Нетрудно видеть, что правая часть представляет собой развернутый определитель третьего порядка. Окончательно формула принимает такой вид:

Как мы увидим, эта замечательная формула вместе с формулой разложения векторно-векторного произведения в известном смысле замыкает всю векторную алгебру, позволяя все вычисления сводить к вычислениям лишь скалярных произведений.

Источник

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением ненулевых векторов x и y называется произведение

Если x=0 или y=0, то скалярное произведение равно нулю.

Пусть в n-мерном пространстве задан ортонормированный базис

Вариант 1. Начальные точки всех векторов совпадают с началом координат.

Пусть заданы векторы

тогда скалярное произведение (x,y) векторов x и y определяется соотношением:

На рисунке Рис. 1 в двухмерном пространстве представлены векторы x=(7,0) и y=(5,5).

Для вычисления скалярного произведения методом (1), вычислим нормы векторов x и y:

Учитывая что , получим:

Теперь вычислим скалярное произведение векторов x и y используя выражение (2):

Получили одинаковые результаты, но посдедний вариант вычисления проще и не требует знания угла между векторами.

Вариант 2. Начальные точки векторов произвольные.

Пусть заданы векторы x= AB и y= CD, где ,,,.

Переместим векторы x и y так, чтобы начальные точки векторов совпали с началом координат. Получим векторы x’ и y’ с координатами (т.е. с конечными точками):

Учитывая (2) получаем:

На рисунке Рис. 2 в двухмерном пространстве представлены векторы x= AB и y= CD, где A(4,1), B(9,-2), C(1,2), D(5,6).

Источник

Скалярное произведение векторов

Содержание

Определение [ править ]

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Если один из векторов нулевой, то угол не определен, и произведение считают равным нулю.

Свойства скалярного произведения:

Геометрический смысл скалярного произведения [ править ]

Связь с проекциями [ править ]

Таким образом, скалярное произведение

Связь с длинами [ править ]

Рассмотрим скалярное произведение вектора на самого себя.

Связь с углами [ править ]

Рассмотрим скалярное произведение единичных векторов. Поскольку их длины равны 1, то

Скалярное произведение в ортонормированной системе координат [ править ]

a ⋅ b = ( a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) ⋅ ( b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 ) = = a 1 b 1 e 1 ⋅ e 1 + a 2 b 2 e 2 ⋅ e 2 + a 3 b 3 e 3 ⋅ e 3 + ( a 1 b 2 + a 2 b 1 ) e 1 ⋅ e 2 + ( a 1 b 3 + a 3 b 1 ) e 1 ⋅ e 3 + ( a 2 b 3 + a 3 b 2 ) e 2 ⋅ e 3 <\displaystyle <\begin\mathbf \cdot \mathbf &=(a_<1>\mathbf _<1>+a_<2>\mathbf _<2>+a_<3>\mathbf _<3>)\cdot (b_<1>\mathbf _<1>+b_<2>\mathbf _<2>+b_<3>\mathbf _<3>)=\\&=a_<1>b_<1>\mathbf _<1>\cdot \mathbf _<1>+a_<2>b_<2>\mathbf _<2>\cdot \mathbf _<2>+a_<3>b_<3>\mathbf _<3>\cdot \mathbf _<3>+(a_<1>b_<2>+a_<2>b_<1>)\mathbf _<1>\cdot \mathbf _<2>+(a_<1>b_<3>+a_<3>b_<1>)\mathbf _<1>\cdot \mathbf _<3>+(a_<2>b_<3>+a_<3>b_<2>)\mathbf _<2>\cdot \mathbf _<3>\end>>

Аксиоматический подход [ править ]

При аксиоматическом подходе скалярное произведение определяется как некоторая функция, аргументы которой — два вектора, результат — число, не зависящее от системы координат, обладающее свойствами:

Тогда производными понятиями становятся

Источник