Как посчитать определитель в маткаде

Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 12

Вычисление определителей и обращение квадратных матриц. Определитель квадратной матрицы.

Рассмотрим еще несколько исключительно важных действий линейной алгебры, связанных с понятием определителя матрицы. Несмотря на то, что некоторые из них реализованы в Mathcad также в виде операторов, они требуют (при проведении расчетов по численным алгоритмам) несравненно больше внимания, нежели операторы упомянутые в двух предыдущих разделах.

Определитель (Determinant) матрицы обозначается стандартным математическим символом. Чтобы ввести оператор нахождения определителя матрицы, можно нажать кнопку Determinant (Определитель) на панели инструментов Matrix (Матрица) (листинг 7.14) или набрать на клавиатуре | (нажав клавиши SHIFT + \). В результате любого из этих действий появляется местозаполнитель, в который следует поместить матрицу. Чтобы вычислить определитель уже введенной матрицы:

Внимание!
Не путайте операторы вычисления определителя квадратной матрицы и длины вектора. В Matncad 12 введен принудительный контроль действий пользователя при вводе этих операторов во избежание путаницы (т. к. один и тот же символ используется для этих двух операций). При попытке вычислить определитель матрицы с помощью оператора |А|, введенного с панели Calculator (Калькулятор), а не Matrix (Матрица), будет выдано сообщение об ошибке, а результат вычисления детерминанта появится только после того, как пользователь вызовет контекстное меню и подтвердит в нем, что он собирается вычислить именно определитель матрицы. То же самое касается и длины вектора, если попытаться ввести его не с панели Calculator (Калькулятор), а с панели Matrix (Матрица).

Листинг 7.14. Вычисление определителя квадратной матрицы:

Источник

Как посчитать определитель в маткаде

Совет
Никогда не применяйте для обозначения скалярного произведения символ х,который является общеупотребительным символом векторного произведения (см. разд. 9.1.7).

Рис. 9.3. Оператор векторизации
Листинг 9.16. Использование векторизациидля перемножения элементов вектора

Оператор векторизации можно использовать только с векторами и матрицами одинакового размера.
Большинство неспецифических функций MathCAD не требуют векторизации для проведения одной и той же операции над всеми элементами вектора. Например, аргументом тригонометрических функций по определениюявляется скаляр. Если попытаться вычислить синус векторной величины,MathCAD осуществит векторизацию по умолчанию, вычислив синус каждого элемента и выдав в качестве результата соответствующий вектор. Пример показан в листинге 9.17.
Листинг 9.17. Векторизация необязательнадля большинства функций MathCAD

9.1.12. Символьные операции с матрицами
Все матричные и векторные операторы, о которых шла речь выше, допустимо использовать в символьных вычислениях. Мощь символьных операцийзаключается в возможности проводить их не только над конкретными числами, но и над переменными. Несколько примеров приведены в листинге 9.18.
Листинг 9.18. Примеры символьных операций над векторами и матрицами

Cовет
Смело используйте символьный процессор в качестве мощного математического справочника. Например, когда вы хотите вспомнить какое-либо определение из области линейной алгебры (так, правила перемножения и обращенияматриц показаны в первых строках листинга 9.18).

Примечание
О вложенных массивах читайте в разд. «Создание тензора» гл. 4.

Пример использования функции CreateSpace показан на рис. 9.4. Заметьте, дляпостроения графика спирали не потребовалось никакого дополнительногокода, кроме определения параметрической зависимости в вектор-функции F!

Примечание
Размер NXM матрицы А для функции geninv должен быть таким, чтобы N>M.

Примечание
Выделить из матрицы один столбец или строку можно и с помощью функции submatrix.

Примечание
Число элементов вектора и индекс его последнего элемента совпадают, еслииндексы нумеруются с 1, т. е. системная константа ORIGIN равна 1 (см. гл. 4).

Примечание
Если элементы матриц или векторов комплексные, то сортировка ведется подействительной части, а мнимая часть игнорируется.

Совет
В большинстве задач неважно, какую норму использовать. Как видно, в обычных случаях разные нормы дают примерно одинаковые значения, хорошо отражая порядок величины матричных элементов. Определение остальных нормзаинтересованный читатель отыщет в справочниках по линейной алгебре илив Центре Ресурсов MathCAD.

Примечание
Как нетрудно понять, матрицы А и в из предыдущего листинга 9.30 обладаютодинаковыми числами обусловленности, т.к. в=100-А, и, следовательно, обематрицы определяют одну и ту же систему уравнений.

Примечание
К системам линейных уравнений сводится множество, если не сказать большинство, задач вычислительной математики. Один из таких примеров приведен в разд. «Разностные схемы»гл. 12.

Примечание
Соответствующая матрице А и вектору B система уравнений выписана явнов листинге 9.35.

Листинг 9.33. Решение СЛАУ

Листинг 9.34. Символьное решение СЛАУ (продолжение листинга 9.33)

В некоторых случаях, для большей наглядности представления СЛАУ, егоможно решить точно так же, как систему нелинейных уравнений (см. гл. 8). Пример численного решения СЛАУ из предыдущих листингов показан влистинге 9.35. Не забывайте, что при численном решении всем неизвестнымтребуется присвоить начальные значения (это сделано в первой строке листинга 9.35). Они могут быть произвольными, т. к. решение СЛАУ с невырожденной матрицей единственно.

Примечание
Фактически, треугольное разложение матрицы системы линейных уравненийпроизводится при ее решении численным методом Гаусса.

Источник

Работа с матрицами в MathCAD

Рассмотрим простейшие операции матричной алгебры, реализованные в MathCAD в виде операторов, причем следует отметить, что их запись максимально приближена к математической форме записи. Наиболее часто используемые операции расположены на панели инструментов Матрица (Matrix) (рис. 13), остальные можно найти используя меню Вставка → Функция… категории функций Vector and Matrix.

Рис. 6.13. Панели инструментов Матрица и Логика

Сложение и вычитание. В MathCAD можно как складывать матрицы, так и вычитать их друг из друга. Для этих операторов применяются стандартные символы «+» или «-», соответственно. Матрицы должны иметь одинаковую размерность, иначе будет выдано сообщение об ошибке. Каждый элемент суммы двух матриц равен сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых. Результат унарной операции смены знака матрицы эквивалентен смене знака всех ее элементов. Для того, чтобы изменить знак матрицы, достаточно ввести перед ней знак минуса, как перед обычным числом.

При умножении следует помнить, что матрицу размерности M×N допустимо умножать только на матрицу размерности N×P (P может быть любым). В результате получается матрица размерности M×P.

Чтобы ввести символ умножения, нужно нажать клавишу со звездочкой или воспользоваться панелью инструментов Матрица (Matrix), нажав на ней кнопку Dot Product (Умножение). Умножение матриц обозначается по умолчанию точкой.

Для получения сведений о характеристиках матриц или векторов предусмотрены следующие встроенные функции:

Скалярное произведение векторов (vector inner product) определяется как скаляр, равный сумме попарных произведений соответствующих элементов. Векторы должны иметь одинаковую размерность, скалярное произведение имеет ту же размерность. Скалярное произведение двух векторов u и v равно , где — угол между векторами. Если векторы ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю. Обозначается скалярное произведение тем же символом, что и умножение.

Определитель матрицы обозначается стандартным математическим символом. Чтобы ввести оператор нахождения определителя матрицы, можно нажать кнопку Determinant (Определитель) на панели инструментов Матрица(Matrix) или набрать на клавиатуре (нажав клавиши + ).

Как известно, поиск обратной матрицы возможен, если матрица квадратная и ее определитель не равен нулю. Произведение исходной матрицы на обратную по определению является единичной матрицей. Для ввода оператора поиска обратной матрицы нажмите кнопку Инверсия (Inverse) на панели инструментов Матрица(Matrix).

В линейной алгебре используются различные векторные и матричные нормы (norm), которые ставят в соответствие матрице некоторую скалярную числовую характеристику. Норма матрицы отражает порядок величины матричных элементов. В разных специфических задачах линейной алгебры применяются различные виды норм. MathCAD имеет четыре встроенных функции для расчета разных норм квадратных матриц:

· normi (A) — max-норма, или -норма (infinity norm):

Часто бывает нужно переставить элементы матрицы или вектора, расположив их в определенной строке или столбце в порядке возрастания или убывания. Для этого имеются несколько встроенных функций, которые позволяют гибко управлять сортировкой матриц:

Примеры работы рассмотренных выше операторов представлены на рис. 6.14.

Рис. 6.14. Работа с матрицами в MathCAD

Для задания логических функций в MathCAD имеется панель инструментов Логические (Boolean) рис. 6.13. На ней расположены кнопки, отражающие отношения (=, >,

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Источник

Урок 21. Векторы и матрицы в Mathcad

С этими понятиями Вы могли сталкиваться, работая в Excel – столбец чисел называется вектор-столбцом, строка – вектор-строкой. Блок объектов является матрицей. Вычисления в Excel, по сути, являются операциями с векторами и матрицами. В этом уроке мы познакомимся с аналогичными вычислениями в Mathcad, и мы поймем, почему в Mathcad их проводить проще.

Введение

В предыдущих уроках наши векторы начинались с элемента с номером «0». В этом уроке для простоты сделаем номер первого элемента равным «1». Это можно сделать с помощью вкладки Расчет –> Параметры документа –> ORIGIN:

Это значение можно вывести прямо в документ, чтобы не забыть его и не запутаться:

Теперь рассмотрим несколько матриц:

Как видно, они могут включать в себя числа, символы и даже функции. Они также могут содержать текстовые элементы (строки).

Элемент матрицы можно вывести, используя подстрочные индексы:

Матрицы выше являются квадратными 2х2, но у них может быть любой размер по строкам и столбцам:

Запомните: первое число – номер строки (или их количество), второе – столбца.

Элементы, выделенные с помощью подстрочных индексов:

Для вектор-столбца второй индекс можно опустить, но не для вектор-строки:

Во вкладке Математика –> Операторы и символы –> Операторы –> Векторы и матрицы Вы найдете команды для выделения столбцов и строк:

Многие операции для векторов и матриц аналогичны операциям для обычных чисел, переменных и функций: сложение, вычитание, некоторые виды умножения. Поиск обратной матрицы близко к операции деления. Вы можете записать эти операторы, используя имена векторов и матриц. В качестве примера рассмотрим векторное произведение матрицы и вектора:

Мы рассмотрим эту операцию подробнее позже. Однако стоит заметить, что она требует девять операций умножения и девять – сложения. Расписывать их утомительно и чревато ошибками – для больших матриц сделать это очень трудно.

Применение векторов очень широко. Вспомните пиксели на экране монитора – их могут быть миллионы. Они обрабатываются с помощью операций с матрицами.

В Mathcad

Для создания вектора или матрицы откройте вкладку Матрицы/таблицы. Когда курсор находится в пустой области щелкните по самой левой кнопке «Вставить матрицу». Появится сетка с маленькими квадратами:

Перемести указатель на сетку, выберите желаемый размер матрицы, затем щелкните левой кнопкой мыши. Появится пустая матрица:

Матрице можно присвоить имя, щелкнув на левую скобку, нажав [:] для оператора присваивания и введя имя:

Вставку и удаление строк и столбцов легко осуществлять с помощью команд из меню «Операторы с векторами/матрицами» на вкладке Матрицы и таблицы:

Операции с матрицами

Эффект от различных операций с матрицами и векторами будет проще понять, используя символы. Будем использовать две матрицы и два вектора:

Оператор транспонирования находится на вкладке Математика –> Операторы –> Векторы и матрицы:

Щелкните по правой границе матрицы и примените оператор. Он работает как для символьных, так и для числовых матриц:

Часто операции в векторами приходится совершать поэлементно. Для этого служит оператор векторизации. Операции в Excel зачастую являются поэлементными, они также важны и в Mathcad. Чтобы перемножить два вектора поэлементно, сначала введите простое умножение:

Затем выберите все выражение и примените векторизацию:

Вычислите, чтобы посмотреть результат: первый элемент умножается на первый, второй – на второй, и т.д.:

Другие поэлементные операции:

Поэлементные операции применимы только к массивам одного размера.

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание выполняется поэлементно:

Эта операция также применима лишь к массивам одного размера.

С помощью оператора суммирования можно найти сумму всех элементов вектора (не матрицы):

Умножение на константу работает так:

При скалярном умножении матриц происходит умножение строк на столбцы. При этом используется тот же символ, что и при обычном умножении. Эта операция допустима только для тех матриц, в которых число строк в первой матрице равно числе столбцов во второй. Для наших матриц 2х2:

Заметьте, что последовательность множителей играет роль:

Скалярное произведение не коммутативно, за исключением особых случаев:

Скалярное произведение двух векторов дает результат с комплексно-сопряженными числами (с чертой сверху). Для действительных чисел на это можно не обращать внимания:

Этот оператор применим только для двух вектор-столбцов, состоящих из трех элементов:

Векторное произведение имеет широкое применение в механике, гидродинамике, электромагнетизме и в других областях.

Обратная матрица определяется только для квадратных матриц:

Произведение матрицы и ее обратной матрицы является единичной матрицей:

Произведение матрицы и единичной матрицы дает изначальную матрицу:

Определитель можно найти только для квадратной матрицы. Его значение может быть равно нулю, даже если все элементы матрицы не равны нулю. Обратная матрица содержит дроби, в знаменателе которых находится определитель:

Если определитель равен нулю, обратной матрицы не существует, а матрица является сингулярной. Вспомните деление на ноль в обычной алгебре. Mathcad сообщит, если матрица является сингулярной:

Для скаляра определитель равен его модулю:

Для вектора команда Определитель вычисляет длину вектора:

Резюме

В этом уроке мы рассмотрели векторы и матрицы (массивы).

Операции над векторами и матрицами, которые мы рассмотрели:

Источник

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ В МАТКАД.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2.

Понятие о встроенных функциях Маткад. Большинство задач в Маткад решаются с помощью так называемых встроенных функций, т.е. с помощью заранее составленных программ решения той или иной задачи. Каждая такая программа имеет свое имя, по которому она вызывается. Имя можно набирать с клавиатуры, но можно и вызывать с помощью кнопки f(x). Нажав эту кнопку, мы вызовем панель Insert Function (вставить функцию), в которой имеется два поля: Function Category (тип функции) и Function Name (имя функции). Выбрав тип и имя, и нажав кнопку ОК, мы вызовем данную функцию (Рис.1).

Пусть, например, нужно найти синус числа 45. Вызвав панель вставки функции, выберем категорию Trigonometric и название sin, нажмем ОК. На экране появится шаблон со словом sin внутри и скобками. Вставив в скобки число 45, нажмем «=». Получим sin(45)=0.851. Можно было бы набрать левую часть на клавиатуре и, после нажатия знака =, получить тот же ответ. Аналогично используются и другие встроенные функции Маткад. В Маткад массивы могут записываться в виде векторов (одномерные массивы), в виде матриц (двумерные массивы) и в виде таблиц. Мы рассмотрим пока только запись матриц и векторов. Для действий над ними имеется панель Matrix (матрица), показанная на рисунке 2.

Рисунок 2 – Панель матриц

Для ввода матриц и векторов нажмем кнопку панели матриц и вызовем этим окно ввода Insetrt Matrix (ввести матрицу), показанное на рисунке 3.

Рисунок 3 – Окно ввода матриц и векторов

Рисунок 4 – Шаблон вектора

При вводе вектора в графе columns (столбцы) следует проставить 1, а в графе rows(строки) проставить размер вектора. Появится шаблон, показанный на рисунке 4. Ниже представлено три пятиэлементных массива-вектора: Два из них – численные, третий – буквенный, четвертый состоит из выражений. При задании буквенных массивов и массивов – выражений необходимо предварительно присваивать им численные значения (за каждой буквой в компьютере должно стоять число). После задания выражений вектора можно, записав его имя и поставив знак =, получить его значение. Рисунок лишний раз иллюстрирует, что Маткад различает строчные и заглавные буквы.

Над векторами определены показанные на рисунке 5 операции сложения и вычитания, транспонирования, умножения по математическим правилам умножения матриц. Знак транспонирования следует вводить с панели Matrix (матрица). Порядковый номер элемента, который является его адресом, называется индексом. Нижняя граница индексации задается значением системной переменной ORIGIN, которая может принимать значение 0 или 1.

Рисунок 5 – Запись векторов в Маткад

Задача 1. Ввести все векторы рис.5 и произвести над ними все действия, проведенные на рисунке. Матрицы в Маткаде вводятся так же, как и векторы, но число столбцов в них больше единицы. Элементами матрицы могут быть также числа, буквы, выражения. Как и в случае векторов, буквенные элементы и элементы – выражения должны быть предварительно определены численно. На рис.6 показаны различные способы ввода матриц.

Рисунок 7 – Роль переменной ORIGIN

В Маткад определены следующие действия над векторами и матрицами:

А) сложение – вычитание,

В) скалярное и векторное умножение,

Ж) выделение столбцов.

Они выполняются с использованием следующих кнопок панели Matrix:

Рисунок 8 – Кнопки действия над матрицами

Задача.3: Произвести над матрицами все действия, показанные на рис.8.

Задача.4: ввести две произвольные матрицы. Перемножить. Например:

Задача 5. Введите произвольную квадратную матрицу, найдите обратную ей и вычислите определитель, используя показанные выше кнопки встроенных операторов.

Задача 6. Найти скалярное и векторное произведения двух заданных трехэлементных векторов: Проверить на бумаге правильность вычислений.

Задача 7. Используя кнопку выделения столбцов, выделите столбцы произвольной матрицы, например:

Рисунок 13 – Пример выполнения задачи 7

В Маткаде имеется большое количество встроенных функций для действий над матрицами и векторами. Рассмотрим некоторые из них. Вычисление максимального и минимального элементов матрицы или вектора производится с помощью встроенных функций Max(A)и Min(A).

Задача 8. Вычислить максимальный и минимальный элемент произвольной матрицы, например:

Задача 9. Определить число строк и столбцов в произвольной матрице, например

Источник