Как посчитать объем усеченной пирамиды

Объем усеченной пирамиды

Чтобы найти объём усечённой пирамиды, достаточно запомнить одну несложную формулу, которая включает три неизвестных параметра. Но для начала давайте вспомним, что описывает каждое слово из обозначенного понятия.

Рассчитать объем усеченной пирамиды

Определения и формулы

Объём (от лат. volume–«наполнение») – это количественная характеристика пространства, которое занимает тело или вещество.

Пирамида (древнегреч. слово, означающее «поминальный пирог конической формы») – это многогранник (полиэдр), у которого одна грань – [произвольный] многоугольник (он же её основание), а все остальные (они считаются боковыми) – треугольники с общей вершиной.

Усечение же обозначает некую «отрезанность».

Другими словами, это – часть пирамиды, которая заключена между основанием и плоскостью, параллельной ему.

Формула для вычисления объема усеченной пирамиды следующая:

где h– высота «отрезанной» пирамиды,

S₁ и S₂– площади верхнего и нижнего её оснований соответственно.

Введём в соответствующие поля нашего калькулятора известные значения и получим искомый ответ, т.е.

Источник

Геометрические фигуры. Усеченная пирамида.

Усеченной пирамидой является многогранник, заключенный меж основанием пирамиды и секущей плоскостью, которая параллельна ее основанию.

Или другими словами: усеченная пирамида — это такой многогранник, который образован пирамидой и ее сечением, параллельным основанию.

Сечение, которое параллельно основанию пирамиды делит пирамиду на 2 части. Часть пирамиды меж ее основанием и сечением — это усеченная пирамида.

Это сечение для усеченной пирамиды оказывается 1-ним из оснований этой пирамиды.

Расстояние меж основаниями усеченной пирамиды является высотой усеченной пирамиды.

Усеченная пирамида будет правильной, когда пирамида, из которой она была получена, тоже была правильной.

Высота трапеции боковой грани правильной усеченной пирамиды является апофемой правильной усеченной пирамиды.

Свойства усеченной пирамиды.

1. Каждая боковая грань правильной усеченной пирамиды является равнобокими трапециями одной величины.

2. Основания усеченной пирамиды являются подобными многоугольниками.

3. Боковые ребра правильной усеченной пирамиды имеют равную величину и один наклонен по отношению к основанию пирамиды.

4. Боковые грани усеченной пирамиды являются трапециями.

5. Двугранные углы при боковых ребрах правильной усеченной пирамиды имеют равную величину.

Формулы для усеченной пирамиды.

Для произвольной пирамиды:

Объем усеченной пирамиды равен 1/3 произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S₁ (abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S₂ (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.

h — высота усеченной пирамиды.

Площадь боковой поверхности равняется сумме площадей боковых граней усеченной пирамиды.

Для правильной усеченной пирамиды:

Правильная усеченная пирамида — многогранник, который образован правильной пирамидой и ее сечением, которое параллельно основанию.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна ½ произведения суммы периметров ее оснований и апофемы.

φ — двугранный угол у основания пирамиды.

CH является высотой усеченной пирамиды, P₁ и P₂ — периметрами оснований, S₁ и S₂ — площадями оснований, S_бок — площадью боковой поверхности, S_полн — площадью полной поверхности:

Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Сечение пирамиды плоскостью, которое параллельно ее основанию (перпендикулярной высоте) разделяет высоту и боковые ребра пирамиды на пропорциональные отрезки.

Сечение пирамиды плоскостью, которое параллельно ее основанию (перпендикулярной высоте) – это многоугольник, который подобен основанию пирамиды, при этом коэффициент подобия этих многоугольников соответствует отношению их расстояний от вершины пирамиды.

Площади сечений, которые параллельны основанию пирамиды, относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.

Источник

Найти объем усеченной пирамиды

Усеченная пирамида образуется путем отсечения плоскостью, параллельной основанию, части пирамиды.
Основаниями усеченной пирамиды являются подобные многоугольники.

Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты пирамиды на сумму площадей верхнего и нижнего основания, а также на квадратный корень из произведения оснований усеченной пирамиды.

Формула для вычисления объема усеченной пирамиды:

Дано:

Решение:

По формуле для объема усеченной пирамиды:

Ответ:

Дано:

Решение:

По фомуле нахождения объема усеченной пирамиды:

$$ V = \frac<1> <3>\cdot 6 \cdot (8 + \sqrt <(8*2)>+ 2) = 2 \cdot 14 = 28 \ см^3$$

Ответ:

Дано:

Решение:

Найдем площадь верхнего основания:

По фомуле нахождения объема усеченной пирамиды:

Ответ:

Дано:

Решение:

Найдем площадь нижнего основания:

Найдем площадь верхнего основания:

По фомуле нахождения объема усеченной пирамиды:

$$ V = \frac<1> <3>\cdot 3 \cdot (12 + \sqrt < (12 \cdot 3) >+ 3) = 21 \ см^3$$

Ответ:

Дано:

Решение:

По формуле площади для равностороннего треугольника, найдем площадь нижнего основания:

$$ S = \sqrt< \frac<3> <4>> \cdot 4 \cdot a^2 = 27 \ см^2$$

По формуле площади для равностороннего треугольника, найдем площадь верхнего основания:

По фомуле нахождения объема усеченной пирамиды:

$$ V = \frac<1> <3>\cdot 3 \cdot (12 + \sqrt < (12 \cdot 27) >+ 27) = 57 \ см^3$$

Источник

Усеченные пирамиды. Теорема Эйлера. Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности усеченной пирамиды

Усеченные пирамиды

Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований усеченной пирамиды называют высотой усеченной пирамиды.

Множество всех боковых граней усеченной пирамиды составляет боковую поверхность усеченной пирамиды.

Полная поверхность усеченной пирамиды состоит из оснований усеченной пирамиды и ее боковой поверхности.

Теорема Эйлера. Для любой усеченной пирамиды справедливо равенство:

то теорема Эйлера доказана.

Правильные усеченные пирамиды

Определение 2. Высоту боковой грани правильной усеченной пирамиды называют апофемой правильной усеченной пирамиды (рис 4).

Свойства правильной усеченной пирамиды:

Все боковые ребра правильной усеченной пирамиды равны.

Все боковые грани правильной усеченной пирамиды являются равными равнобедренными трапециями.

У любой правильной усеченной пирамиды все апофемы равны.

Все боковые ребра правильной усеченной пирамиды образуют с плоскостью нижнего основания усеченной пирамиды равные углы.

Все боковые ребра правильной усеченной пирамиды образуют с плоскостью верхнего основания усеченной пирамиды равные углы.

Все боковые грани правильной усеченной пирамиды образуют с плоскостью нижнего основания усеченной пирамиды равные двугранные углы.

Все боковые грани правильной усеченной пирамиды образуют с плоскостью верхнего основания усеченной пирамиды равные двугранные углы.

Отрезок, соединяющий центры верхнего и нижнего оснований правильной усеченной пирамиды, перпендикулярен плоскостям оснований правильной усеченной пирамиды. Длина этого отрезка равна высоте правильной усеченной пирамиды.

Источник

Что являет собою формула объема усеченной пирамиды четырехугольной?

Содержание:

Пирамидой называется объемное тело с многоугольником в основании – трёх-, четырёхугольник и т.д. Боковые грани – треугольники, выходящие из одной точки – его вершины. Геометрические тела бывают трехгранными (тетраэдр), правильными, произвольными, усеченными.

Понятие

Основание геометрического тела представлено правильным многоугольником, с расположенной над его центром вершиной. Свойства пирамиды:

Усеченная пирамида – часть геометрического тела, ограниченная нижней гранью и параллельной ей плоскостью сечения. Верхняя, отсеченная, часть образует подобную пирамиду – уменьшенную в n раз. Если основание усеченного геометрического тела – неправильный многоугольник, она называется неправильной. Обладает разными боковыми гранями – это трапеции.

Правильная усеченная пирамида получается из правильного геометрического тела. Имеет равные боковые ребра и апофемы. Свойства:

Объем усеченной пирамиды

Формула объема усеченной пирамиды:

В зависимости от формы нижней поверхности, формула объема усеченной пирамиды (четырехугольной или треугольной) остается неизменной. Меняются только способы вычисления площадей верхнего и нижнего многоугольников:

Также можно воспользоваться формулой Герона или иной в зависимости от исходных данных.

Рассмотрим, как найти объем усеченной пирамиды с квадратом в основании на примере. Известно, что:

, здесь:

S₁ = a * a = a₂, S₂ = b* b = b₂ – стороны квадрата одинаковы.

Сложность задачи вычисления площади усеченной пирамиды может заключаться в определении площадей ее оснований, особенно если они имеют нестандартную форму (пятиугольник). Иногда в задаче предоставляются косвенные данные, например, диагонали прямоугольника, на основе которых придется отыскать площадь либо длину его сторон.

Источник