Как посчитать нср в статистике

Дисперсионный анализ данных однофакторного полевого

Опыта

Цель занятия:

1.Ознакомиться с сущностью и основными понятиями дисперсионного анализа.

2. Освоить проведение дисперсионного анализа данных однофакторного полевого опыта, проведенного методом организованных повторений.

3. Освоить методику проверки нулевой гипотезы и составления выводов по результатам дисперсионного анализа.

Сущностью дисперсионного анализа является разделение общей суммы квадратов отклонений (С_у) и общего числа степеней свободы (N-1) на части – компоненты, соответствующие структуре эксперимента, и оценка значимости действия и взаимодействия изучаемых факторов по F-критерию.

Основной задачей дисперсионного анализа является определение доли или степени влияния различных факторов (вариант, повторение, ошибка) в отдельности и суммарного их воздействия на изменчивость результативного признака. При дисперсионном анализе одновременно обрабатывают данные нескольких вариантов (выборок) опыта по повторениям.

Схема дисперсионного анализа определяется числом изучаемых факторов и методом размещения вариантов.

Если обрабатывают однофакторные опыты, состоящие из нескольких, например, l-вариантов в вегетационном опыте или при размещении вариантов в полевом опыте методом полной рендомизации, то общая изменчивость результативного признака, измеряемая общей суммой квадратов­ (Су), расчленяется на два компонента: варьирование между вариантами (C_v)и внутри выборок (C_z). Следовательно, общая изменчивость признака может быть представлена выражением:

Изменчивость (варьирование) между выборками (вариантами) представляет ту часть общей дисперсии, которая обусловлена действием изучаемых факторов, а дисперсия внутри выборок характеризует случайное варьирование изучаемого признака, т. е. ошибку эксперимента.

Общее число степеней свободы (N-1) также расчленяется на две части – степени свободы для вариантов (l-1) и для случайного варьирования (N-l:

Если обрабатывают однофакторные полевые опыты при размещении вариантов методом организованных повторений (систематический и метод рендомизированных повторений), общая изменчивость (Су) разделяется на три части: варьирование повторений (С_Р),вариантов (C_V) и случайное (C_z). Общее число степеней свободы (N-1) также расчленяется на три части – степени свободы для повторений (n-1), степени свободы для вариантов (l-1) и для случайного варьирования (n-1)(l-1). Общая изменчивость и общее число степеней свободы могут быть представлены выражениями:

Суммы квадратов отклонений по данным полевого опыта – статистического комплекса с l-вариантами и n-повторениями – находят в следующей последовательности. В исходной таблице определяют суммы по повторениям (Р), вариантам (V)и общую сумму всех наблюдений (∑Х). Затем вычисляются:

1) общее число наблюдений N = ln;

2) корректирующий фактор (поправка) С= (∑Х ) 2 : N;

5) сумма квадратов для вариантов C_V = ∑V 2 :n-С;

Две последние суммы квадратов (C_V) и (C_z)делят на соответствующие им степени свободы, т. е. приводят к сравниваемому виду – одной степени свободы вариации. В результате получают два средних квадрата (дисперсии): вариантов и ошибки .

Эти средние квадраты и используют в дисперсионном анализе для оценки значимости действия изучаемых факторов. Оценка проводится путем сравнения дисперсии вариантов(s 2 _v)с дисперсией ошибки (s 2 _z) по критерию F_ф= s 2 _v/ s 2 _z.

Теоретическое значение критерия (F_т)для принятого в исследовании уровня значимости (приложение Б) определяют с учетом числа степеней свободы для вариантов(l-1)-по горизонтали и ошибки (N-l) при размещении вариантов в полевом опыте методом полной рендомизации или (n-1)(l-1) при размещении вариантов методом организованных повторений – по вертикали. В большинстве случаев избирают 5 %, а при более строгом подходе 1 % или даже 0,1% уровень значимости.

По результатам дисперсионного анализа необходимо сделать предварительный вывод (проверить нулевую гипотезу).

Для проверки нулевой гипотезы сравнивают F_фс F_т. Нулевая гипотеза (Н₀) – предположение об отсутствии реального различия между фактическим наблюдением и теоретическим предположением. Например, различия между средними значениями вариантов по урожаю, его качеству, высоте растений и т.д. Для двух средних арифметических и нулевую гипотезу записывают следующим образом: — = 0.

Если F_ф F_т=3,33. Это означает наличие существенности различий между вариантами в данном опыте, нулевая гипотеза (Н_о : d = 0) отвергается.

Однако неизвестно, между какими вариантами имеются существенные различия. Для этого составляют итоговую таблицу (таблица 1). Рассчитывают среднюю величину результативного признака по вариантам (например, урожайность, приложение Г), средняя урожайность 1 варианта (норма высева 5 млн шт./га) – = (3,28+3,35+3,29)/3=3,31 т/га, затем вычисляют среднюю урожайность 2 варианта и т.д. Вычисляют отклонения (разность d) по опытным вариантам в сравнении с контролем т.е. из результата опытного варианта вычитается результат контрольного варианта ( — =3,27-3,31=-0,04; — =3,17-3,31=-0,14 и т.д.) или сравнивают опытные варианты между собой и выражают отклонения в процентах от среднего значения в контроле (|-0,04|/3,31·100=1,2 %; |-0,14|/3,31·100=4,2 % и т.д.).

Различия между вариантами сравнивают с НСР₀₅. Если фактическая разность d ≥ НСР, то она существенна, а если d 2 )выполнить команду Формат ячеек – вкладка Выравнивание, установить флажок надстрочный – ОК.

6. На Листе 1 теперь можно в таблицу исходных данных внести результаты другого учета, изменить название таблицы и автоматически дисперсионный анализ проведен, и его результаты будут на Листе 2 (страница 1). Необходимо сохранить данные Листа 2 (страница 1-это рабочая ссылками) без ссылок. Копироватьданные Листа 2 (страница 1) и вставить на свободную страницу (Листа 2) через специальную ставку, активировать ячейку на свободной странице (верхнюю левую) и выбирается команда –Специальная ставка – Форматы – ОК – Специальная ставка – Значения и форматы чисел – ОК. В результате отменяются все формулы и ссылки, и получается (F05, Fф, НСР05), необходимо их отформатировать и поставить подстрочно (F₀₅, F_ф, НСР₀₅), и выбирается команда правой кнопкой мыши –Формат ячеек – Шрифт – вкладка подстрочный – ОКили копировать из образца и вставить в свой пример.

7. По результатам дисперсионного анализа необходимо сделать предварительный вывод (проверить нулевую гипотезу). Для этого сравнивают критерий Фишера фактический (F_ф) с критерием Фишера табличным (F_т). Если по результатам дисперсионного анализа нулевая гипотеза подтверждается, то в таблицу с отклонениями вместо значений НСР₀₅ вставить подтверждение нулевой гипотезы F_ф

Источник

Пример расчета дисперсионного анализа однофакторного опыта

1. Заполняется исходная таблица со значениями признака (х) по вариантам (l) и повторениям (n):

Урожайность козлятника восточного в зависимости от нормы высева, т/га

2. Рассчитывается вспомогательная таблица квадратов, где каждое значение возводится в квадрат. Не производится никаких других действий.

3. Определяется общее число наблюдений N = n х l = 4 х 3 = 12

4. Рассчитывается корректирующий фактор C = (SX) 2 / N = 3442,17 / 12 = 286,85

5. Заполняется таблица дисперсионного анализа:

6. Делается вывод по критерию F: Fф> Fт, значит дисперсия по вариантам существенна, между средними есть различия, обусловленные изучаемыми нормами высева (приложение 7).

7. Ошибка средней s_x = Ö0,05/4 = 0,112

8. Ошибка разности s_d = Ö 2 х 0,05/4 = 0,158

9. НСР₀₅ = t х s_d = 2,4469 х 0,158 = 0,39 (t – критерий Стъюдента из таблицы по числу степеней свободы остатка и вероятности a = 0,05) (Приложение 8).

10. Заполняется таблица сравнения вариантов:

Таблица сравнения вариантов

Вывод: Норма высева 3 и 4,5 млн. всхожих семян на гектар являются равноценными по своему влиянию на урожай сухого вещества козлятника восточного, отклонение находится в пределах ошибки опыта (меньше НСР₀₅). Снижение нормы высева до 1,5 млн. всхожих семян на гектар существенно снижает урожайность по сравнению с контролем, при норме высева 3,0 млн. Отклонение достоверно.

Пример расчета данных двухфакторного опыта, проведенных методом

1. Составляют исходную таблицу – матрицу для данных

Действие известкования и доз фосфорных удобрений на урожайность

сена многолетних трав

2. Составляют вспомогательную таблицу квадратов, где каждое значение возводят в квадрат.

3. Находят общее число наблюдений N = l_А l_В х n = 2 х 5 х 4 = 40

4. Корректирующий фактор С = (S Х) 2 / N = 1449616 / 40 = 36240,4

5. Вычисляют суммы квадратов:

6. Составляют таблицу для определения главных эффектов и взаимодействий

7. Составляют вспомогательную таблицу квадратов главных эффектов и взаимодействий

8. Вычисляют взаимодействие АВ

9. Вычисляют ошибку I для делянок первого порядка составлением таблицы, куда записывают суммы урожаев по делянкам первого порядка (известкование) суммируя данные по повторениям. (Для 1 повторения если известкование не проводилось сумма равна 22+26+29+31+31=139)

11. Составляют таблицу дисперсионного анализа двухфакторного опыта

Значение F05 берут из таблицы критерия Фишера по числу степеней свободы для факторов А, В и взаимодействия АВ (числитель) и соответствующих им ошибок (знаменатель). Из таблицы следует, что эффект известкования и фосфора доказан (Fф>F₀₅), взаимодействие этих факторов несущественно (Fф 2 _z1 / n = Ö8,83 / 4 = 1,49

ошибка разности s1_d = Ö 2 s 2 _z1 / n = Ö2 х 8,83 / 4 = 2,10 ц

НСР₀₅ = t₀₅ х s1_d = 3,18 х 2,10 = 6,68 (t₀₅ – при 3 степенях свободы ошибки 1)

2). делянки второго порядка (дозы фосфора):

ошибка средней s2_x = Ö s 2 _z2/n = Ö4,09 / 4 = 1,00

ошибка разности s2_d = Ö 2 s 2 _z2 / n = Ö2 х 4,09 / 4 = 1,41 ц

НСР₀₅ = t₀₅ х s2_d = 2,06 х 1,41 = 2,90 (t₀₅ – при 24 степенях свободы ошибки 2)

13. Оценка существенности главных эффектов

Для главного эффекта известкования А

sd = Ö2 s 2 _z1 / nlb = Ö2 х 8,83/(4 х 5) = 0,94

Для главного эффекта фосфора В

sd = Ö2 s 2 _z2 / nlа = Ö2 х 4,09 / (4 х 2) = 1,00 ц

Для лучшего сравнения и наглядности необходимо сделать сводную таблицу:

Влияние известкования и доз фосфора на урожай сена многолетних трав, ц/га

Полученные значения НСР₀₅ оценивают:

НСР₀₅ = 6,68 – значимость разностей между частными различиями по делянкам первого порядка (известкования) при разных уровнях фосфатного питания – (А1В0 (Р₃₀) – А0В0 (Р₃₀) = 24,8-23,0 = 1,8 ц/га – действие извести без применения фосфора несущественно, так как отклонение меньше НСР₀₅; А1В4 (Р₁₂₀) – А0В4 (Р₁₂₀) = 38,5-30,8 = 7,7 ц/га – действие извести при внесении фосфора в дозе Р120 дает существенную прибавку по сравнению с неизвесткованным фоном, так как отклонение больше НСР₀₅.) и т.д.

НСР₀₅ = 2,90 – значимость разностей частными средними по делянкам второго порядка – эффект доз на известкованном и неизвесткованном фоне. (А0В1(Р₃₀) – А0В0 (Р₀) = 26,0-23,0 = 3,0 ц/га – при отсутствии известкования внесение фосфора в дозе Р30 обеспечивает существенную прибавку по сравнению с вариантом без внесения фосфора, так как отклонение больше НСР_05.) и т.д.

Дисперсионный анализ многофакторного опыта проведенного методом рендомизации проводятся по другой методике (Доспехов Б.А. Методика полевого опыта. – М. : Агропромиздат, 1985. – 315 с.)

Приложение 4.

Корреляционный и регрессионный анализ

Наличие связи между двумя или более признаками определяют при помощи коэффициента корреляции, показывающий на тесноту и направление связи. Для постройки теоретической линии расположения признаков используют уравнение регрессии.

Источник

Математическая обработка результатов опыта

Математическая обработка результатов опытов включает агрономический анализ и статистическую оценку.

Агрономический анализ представляет собой критический обзор данных об урожаях, сопоставление их с результатами полевых наблюдений, анализ методики и техники проведения опыта, а также проверку первичных данных по опыту на наличие разного рода неточностей или описок. Опыты, где допущены серьезные нарушения методики и техники, грубые ошибки, искажающие агрономическую сущность изучаемых агротехнических приемов, не представляют ценности и выбраковываются.

Первичная обработка данных. Анализ любого опыта начинают с предварительной цифровой обработки данных, которая включает пересчет урожаев с делянок на урожай с гектара и приведение данных к стандартной влажности. Для удобства пересчетов вычисляют переводной коэффициент, показывающий, какую часть гектара составляет учетная площадь делянки. Например, если учетная площадь равна 500 м 2 и урожай с делянки выражен в килограммах, то переводной коэффициент в ц/га будет равен:

= 0,2.

При урожае 110,5 кг зерна с делянки урожай в пересчете на 1 га составит: 110,5 х 0,2 = 22,1 ц.

Все данные урожая с гектара заносят в таблицу 15, определяют прибавки урожая в абсолютных (ц или кг) и относительных (в %) показателях по отношению к контрольному опыту.

Таблица 15. Поделяночные урожаи, средние урожаи и прибавки по вариантам.

Выявление степени влияния на урожай случайных причин возможно при помощи математической обработки результатов опыта. Она позволяет обнаружить случайные ошибки и определить границы отклонений, т. е. Точность опыта.

Наиболее распространенным методом математической обработки результатов опыта является метод дисперсионного анализа или анализа рассеяний (по Доспехову Б.А.). При этом методе сравнение и оценка разностей средних арифметических производятся на базе обобщенной ошибки, которая едина для любой пары сравниваемых вариантов.

В основу дисперсионного анализа положено разложение общего варьирования опытных данных на части и выделение так называемого остаточного варьирования, возникающего в связи с экспериментальными ошибками. Важнейшей задачей дисперсионного анализа является определение случайного варьирования. Это дает возможность установить ошибку опыта (S ) и наименьшую существенную разность (НСР_0,5), т. е. ту минимальную разностьмежду средними урожаями, которая в данном опыте признается существенной по сравнению с 5%-ным уровнем значимости, когда риск сделать ошибочное заключение составляет 5% ( 5 случаев из 100).

Технику дисперсионного анализа рассмотрим на конкретном примере полевого опыта, к котором сравнивается урожайность различных сортов озимой пшеницы (по Гордиенко Г.И.). Результаты опыта приведены в таблице 16.

Таблица 16. Поделяночные урожаи, их суммы и средние урожаи озимой пшеницы по вариантам опыта, ц/га

Варианты (сорта)	Урожаи по повторностям Х	Cумма по вариантам V	Средние урожаи по вариантам х
I	II	III	IV
А (контроль)	51,8	49,4	50,9	48,1	200,2	50,0
B	57,7	54,6	54,3	52,0	218,6	54,6
C	50,7	47,4	46,0	44,7	118,8	47,2
D	52,0	49,9	51,0	46,7	202,6	50,6
E	44,8	47,0	44,0	46,9	182,7	45,6
Суммы по повторностям Р	257,0	248,3	246,2	241,4	Σ V=992,9	х0=49,6

Цифровую обработку результатов опыта осуществляют в следующей последовательности:

1. В исходной таблице урожаев различных сортов озимой пшеницы подсчитывают суммы урожаев по вариантам Σ V, повторностям Σ Р и определяют среднюю урожайность по вариантам х. Для этого подсчитывают полную сумму всех урожаев Σ Х, которая одновременно должна быть равна результату сложения всех сумм по строкам Σ Р:

Среднее по вариантам получают путем деления соответствующих сумм Σ V на число повторностей n (в нашем опыте n=4). Делением общей суммы урожаев Σ Х=992,9 на общее число делянок в опыте, которое равно произведению числа вариантов l (l=5) на число повторностей n, получают средний урожай по всему опыту х₀:

х₀ = = = 49,6 ц/га

2. Для вычисления сумм квадратов отклонений исходные данные целесообразно преобразовать в значения: Х₁ = Х-А, приняв за условное среднее А число 49, близкое к среднему урожаю по опыту. Для числа 51,8 значение Х₁ = Х-А = 51,8 – 49,0 = 2,8 и т. д. Преобразования значительно упрощают все последующие вычисления и не оказывают влияния на величину сумм квадратов отклонений. Преобразованные данные записывают в таблицу 17.

Таблица 17. Отклонения поделяночных урожаев от условного среднего числа А = 49

Определяют суммы по повторностям, вариантам и проверяют правильность расчетов по равенству:

3. Суммы квадратов отклонений для различных источников варьирования вычисляют в такой последовательности:

а). определяют общее число отклонений N = l n = 5х4 = 20;

б). находят корректирующий фактор С = (Σ Х₁) 2 : N = (12,9) 2 : 20 =166,41 : 20 = 8,32;

в). определяют сумму квадратов отклонений для общего варьирования: С_у = Σ Х₁ 2 – С = (2,8 2 + 0,4 2 +…+ 2,1 2 ) – 8,32 = 246,53;

г). определяют сумму квадратов отклонений для повторений С_р = Р₁ 2 :l – C = (12,0 2 + 3,3 2 + 1,2 2 + 3,6 2 ) : 5 – 8,32 = 25,54;

д). находят сумму квадратов отклонений для вариантов:

С _v = Σ V₁ 2 : n – C = (4,2 2 + 22,6 2 + 7,2 2 + 6,6 2 + 13,3 2 ) : 4 – 8,32 = 191,79

4. Устанавливают ошибку опыта S _x и наименьшую существенную разность (НСР_0,5), т. е. предельную экспериментальную ошибку при 5%-ном уровне значимости по формулам:

S _x = = = = 0,78 ц/га

Теоретическое значение К_0,5 находят по таблице 18. Предварительно устанавливают число степеней свободы, которое равно произведению (1-1) на (n –1), где 1 – число вариантов опыта; n – число повторностей. Для нашего опыта число степеней свободы равно 12.

Таблица 18. Значение коэффициента К на 5%-ном уровне значимости

Значение НСР _0,5 выражают в процентах по отношению к среднему урожаю на контроле по формуле:

НСР _5% = = 4,8

5. Результаты опыта и статистической обработки записывают в итоговую таблицу 19, сравнивают разности в урожайности по отношению к контролю с НСР _0,5, оценивают существенность различий, распределяют варианты (сорта) по группам и делают выводы.

Таблица 19. Урожай озимой пшеницы

Все варианты распределяют на три группы по отношению к величине существенной разности (НСР _0,5), руководствуясь следующим:

I группа – отклонение средней урожайности от контроля выражается величиной с положительным знаком, по значению больше НСР _0,5 (существенное повышение урожайности, перспективные варианты);

II группа – отклонение не выходит за пределы ± НСР _0,5 (разность несущественная, можно при желании продолжить испытание данных вариантов);

III группа – отклонение с отрицательным знаком, по абсолютной величине больше НСР _0,5 (существенное снижение урожайности, варианты исключаются из дальнейших исследований).

Таким образом, статистическая обработка данных полевого опыта с пятью вариантами (сортами) озимой пшеницы показывает, что вариант (сорт) В в данных условиях позволяет получить более высокий урожай, чем контрольный вариант А.

Приложения

Приложение 1. Правила смешивания удобрений

N_aa – азотнокислый аммоний; N_m – мочевина; N_a – сернокислый аммоний; Р_с – суперфосфат; Р_сн – суперфосфат нейтрализованный; Р_сг – суперфосфат гранулированный; суперфосфат двойной; Р_п – преципитат; Р_ф – фосфоритная мука; Р_т – томасшлак; Р_аф – аммофос, моноаммоний фосфат, диаммоний фосфат; К_х – хлористый калий; К_к – калийная соль; К_с – сернокислый калий.

Приложение 2. Нормы посева, масса 100 семян и глубина заделки семян овощных и бахчевых культур

Приложение 3. Примерные схемы посева и посадки овощных культур

Приложение 4. Технология возделывания овощных культур безрассадным способом

Источник