ГДЗ учебник по математике 5 класс Бунимович. 19. Многоугольники. Номер №303
ЗАДАЧА−ИССЛЕДОВАНИЕ
Число диагоналей многоугольника можно подсчитать так:
• найти число диагоналей, выходящих из одной вершины, − их на 3 меньше, чем вершин (рисунок справа);
• умножить это число на число вершин;
• разделить результат на 2 (объясните почему).
Сколько диагоналей у семиугольника? десятиугольника? стоугольника? У какого многоугольника 9 диагоналей? 
Решение
Десятиугольник:
1 ) 10 − 3 = 7 (диагоналей) − выходит из каждой вершины;
2 ) 7 * 10 = 70 (диагоналей) − удвоенное количество;
3 ) 70 : 2 = 35 (диагоналей) − в десятиугольнике.
Стоугольник:
1 ) 100 − 3 = 97 (диагоналей) − выходит из каждой вершины;
2 ) 97 * 100 = 9700 (диагоналей) − удвоенное количество;
3 ) 9700 : 2 = 4850 (диагоналей) − в стоугольнике.
Пусть a ( вершин) в многоугольнике, тогда:
1 ) a − 3 (диагоналей) − выходит из каждой вершины;
2 ) a(a − 3 ) (диагоналей) − удвоенное количество;
3 ) a(a − 3 ) : 2 = 9 (диагоналей) − в многоугольнике;
a(a − 3 ) = 9 * 2
a(a − 3 ) = 18
18 = 3 * 6 = 9 * 2
Путем подбора можно вычислить, что a = 6, т.к.:
6 * ( 6 − 3 ) = 18
6 * 3 = 18
Значит у шестиугольника 9 диагоналей.
Ответ: 14 диагоналей; 35 диагоналей; 4850 диагоналей; у шестиугольника.
Формула кол-ва диагоналей в любом выпуклом многоугольнике.
Выпуклым многоугольником называется многоугольник, обладающий тем свойством, что все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Существует множество эквивалентных определений:
многоугольник будет выпуклым, если для любых двух точек внутри него соединяющий их отрезок полностью лежит в нём. Интуитивно видно, что оба определения эквивалентны.
многоугольник без самопересечений такой, что каждый внутренний угол которого не более 180°;
многоугольник такой, что все его диагонали полностью лежат внутри него;
выпуклая оболочка конечного числа точек на плоскости;
ограниченное множество являющееся пересечением конечного числа замкнутых полуплоскостей.
Для многоугольников, диагональ это отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие на одной стороне. Так, четырёхугольник имеет две диагонали, соединяющие противолежащие вершины. У выпуклого многоугольника диагонали проходят внутри него. Многоугольник выпуклый тогда и только тогда, когда его диагонали лежат внутри.
Пусть n — число вершин многоугольника, вычислим d — число возможных разных диагоналей. Каждая вершина соединена диагоналями со всеми другими вершинами, кроме двух соседних и, естественно, себя самой. Таким образом, из одной вершины можно провести n − 3 диагонали; перемножим это на число вершин
( n-3)* n,
однако, мы посчитали каждую диагональ дважды (по разу для каждого конца) — отсюда,
d =( n-3)* n/2
Как посчитать количество диагоналей в многоугольнике
Тема: Определение зависимости числа диагоналей многоугольника от числа его сторон.
Объект исследования: многоугольник
Предмет исследования: зависимость количества диагоналей от количества его сторон
Цель исследования: Определить зависимость количества диагоналей от количества сторон многоугольника
1. На основе чертежа посчитать количество диагоналей четырехугольника, пятиугольника,…, десятиугольника.
3. Проверить их правильность для 11- угольника.
Вывод формулы на основе метода математической индукции.
2) У многоугольника из каждой вершины выходит одинаковое количество диагоналей. Есть зависимость числа всех диагоналей многоугольника от количества диагоналей, выходящих из одной вершины.
Мы рассмотрели многоугольники: четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник, семиугольник, восьмиугольник, девятиугольник и десятиугольник. Провели в этих многоугольниках диагонали, подсчитали их количество, и результаты представили в виде таблицы.
Количество сторон, n
Заметив, что с увеличением количества сторон, количество диагоналей для каждого последующего многоугольника увеличивается на 3, 4, 5, и т.д.
Исходя из этого можно записать следующие равенства:
Переписав эти равенства в виде:
П олучим общую формулу для определения количества диагоналей n – угольника:
Эта формула является реккурентной и позволяет находить количество диагоналей n-угольника, зная количество диагоналей (n – 1)-угольника. Она неудобна для применения тем, что если мы не знаем количество диагоналей 13-угольника, то не сможем определить количество диагоналей 14-угольника.
Проверим справедливость этой формулы для 10-угольника. Подставив вместо n число 10. Получим К10=К10-1 + 10 – 2=К9 + 8 =
=27 + 8 = 35. Формула верна.
Проводя диагонали в многоугольниках, мы заметили, что из одной вершины выходит одно и то же число диагоналей.
Количество сторон, n
из одной вершины, d
Из данных приведенных в таблице видно, что количество диагоналей, выходящих из одной вершины на 3 меньше количества сторон, т.е. можно записать d = n – 3.
Кроме того, проводя диагонали последовательно, мы увидели, что в четырехугольнике мы провели 1 диагональ из 1-й вершины и 1 диагональ из второй вершины. В пятиугольнике – 2 диагонали из 1-й вершины, 2 диагонали из 2-й вершины и одну диагональ из 3-й вершины. В шестиугольнике – 3 диагонали из 1-й вершины, 3 диагонали из 2-й вершины, 2 диагонали из 3-й вершины и 1 диагональ из 4-й вершины. Такая закономерность при проведении диагоналей наблюдалась в каждом многоугольнике.
Д ля определения количества диагоналей n-угольника применим формулу суммы n первых натуральных чисел:
Вынесем (n-3) за скобки:
Отсюда получаем формулу:
Проверим её истинность для 11-угольника. Применив также реккурентную формулу, выведенную выше.
К11 = (11-3) · = 4 · 11 = 44
Результаты применения этих формул оказались одинаковыми. Значит можно на основании неполной математической индукции сделать вывод о том, что формулы верны.
Г ипотезы, выдвинутые вначале исследования, нашли своё подтверждение. Действительно, зная количество диагоналей (n-1)-угольника, можно найти число диагоналей n-угольника, для этого применив реккурентную формулу:
Ч исло диагоналей многоугольника зависит от количества диагоналей выходящих из одной вершины, что доказывает вторая формула:
Н.М. Бескин «Изображения пространственных фигур». Москва, изд. «Наука», 1999г.
Э.Г. Готман. Математика 8,9,10. «Геометрия преобразования». Москва, изд. «Чистые пруды», 2007г.
Что такое многоугольник в математике — виды, свойства и примеры фигур с названиями
Геометрическую фигуру, ограниченную со всех сторон ломанной линией, называют многоугольником. В математике такое понятие применимо для множества объектов, образованных из трёх и более отрезков. Фигуры, относящиеся к этому классу, могут иметь как произвольную форму, так и строгую. Например, семиугольник, квадрат. Но при этом их всех объединяют одинаковые свойства и ряд правил.
Общие сведения
Основной линией, с помощью которой образовывается многоугольная фигура, называется ломанная. Это несколько последовательно соединённых между собой отрезков. Если при этом они друг друга не пересекают, кривую считают простой. В ином случае говорят про ломанную с самопересечением. Каждый отрезок, входящий в кривую, называют звеном. Точки, ограничивающие его — вершинами.
Нарисовать ломанную можно по-разному. Главное, соблюдать правило последовательного соединения точек отрезков. Если при этом получится рисунок, на котором первая вершина начального отрезка совпадёт с последней вершиной (ломанная замкнётся), такая кривая называется замкнутой. Но чаще используется другое название — многоугольник. Другими словами, это фигура, образованная соединёнными между собой прямыми, состоящая из отрезков без самопересечения.
Любого вида многоугольник состоит из следующих частей:
Две прямые линии, соединяющиеся у вершины, образуют угол. Он получается при пересечении лучей, проходящих по сторонам фигуры. Именно от количества углов, получаемых при построении, тот или иной геометрический объект может иметь своё уникальное название. Например, тело с тремя углами — треугольник, четырьмя — четырёхугольник, пятью — пятиугольник.
Понятия применимы не только к плоскости, но и к пространству. Так, во втором случае с помощью ломанной образовывается пространственный многоугольник. Его особенность в том, что вершины тела не лежат в одной плоскости и как минимум фигура должна иметь их по меньшей мере 4. Многоугольник с n вершинами называется n—угольником.
Каждая фигура со множеством углов имеет особые линии. Это такие отрезки, построение которых помогает охарактеризовать тело. Одной из них является диагональ. Это элемент, который получается при соединении отрезком двух несоседних вершин. Таких замкнутых прямых в многоугольнике может быть много. При этом из одной вершины можно строить несколько диагоналей.
А также все многоугольники разделяют на 2 типа — выпуклые и невыпуклые. Тело хотя бы с одним углом, смотрящим внутрь, относится ко второму типу, а тот, чьи углы направлены наружу — к первому. В школьном курсе геометрии изучают только второй вид, расположенный на плоскости. Более сложными видами многоугольников занимается стереометрия и планиметрия.
Простейшие четырёхугольники
Любой многоугольник, который состоит из четырёх углов, называют четырёхугольным. Он относится к простейшим геометрическим телам. Если о нём ничего не известно, его считают произвольным, то есть фигурой, у которой нет особенных углов или сторон. В другом случае четырёхугольники имеют собственные названия.
Наиболее часто приходится сталкиваться со следующими видами:
Для всех этих видов характерно, что каждая из фигур имеет 2 пересекающиеся диагонали. Причём точка их соприкосновения делит отрезок на 2 равные части. Кроме этого, для прямоугольника и квадрата длина одной диагонали равна другой. Если у четырёхугольного прямоугольника обозначить стороны a и b, противоположные им грани также будут a и b.
Каждый отрезок, образующий многоугольник, имеет свою длину. При их сложении получается периметр фигуры. Для его обозначения используют заглавную латинскую букву P. Например, если есть многоугольник, образованный сторонами AB, BC, CA, его периметр будет равняться: Pabc = AB + BC + CA. Можно обратить внимание, что количество углов соответствует числу сторон, складываемых для нахождения P. Это важный параметр, позволяющий оценить размер фигуры.
Прямая четырёхугольная фигура является частным случаем ромба. А значит, что все формулы, указанные для квадрата, справедливы и при применении к нему. Следует отметить, что площадь ромба может быть найдена и как половина произведения его диагоналей.
Треугольный многоугольник
Такую фигуру называют треугольником. Она состоит из трёх углов и такого же числа сторон. Их, принято обозначать маленькими буквами a, b, c или подписывать двумя заглавными по названиям вершин, которые являются началом и концом отрезка. Например, треугольник ABC содержит стороны: AB = a, BC = b, AC = c.
В зависимости от особенностей, фигура может называться:
Но несмотря на классификацию, все перечисленные виды обладают общими свойствами. Считается, что угол любого плоского треугольника образуется при пересечении двух лучей, содержащих его стороны, то есть если говорят об ∠A, то подразумевают, что был лучи AB и АС, при построении которых он и образовался. Таким образом, он заключается не между сторонами, а лучами.
Как и для любого другого многоугольника, у треугольника есть периметр и площадь. Следуя из определения первого, для фигуры с вершинами ABC он будет равен сумме длин всех сторон: P = a + b + c. У треугольников существуют так называемые замечательные линии: медиана, биссектриса, высота.
Эти 3 параметра определяют свойства треугольной фигуры. С их помощью можно находить, площадь, стороны, значения углов. Определение медианы звучит так: это прямая, проведённая из угла к противолежащей стороне таким образом, что разделяет её пополам. Под биссектрисой же понимают отрезок, разделяющий угол на 2 равные части. Высотой называют перпендикуляр, опущенный на противоположную сторону из вершины.
Треугольник, который выглядит, как прямой угол, называют прямоугольным. То есть построив в любом многоугольнике с тремя углами высоту, можно получить две фигуры, обе из которых точно будут прямоугольными. Боковые грани, перпендикулярные друг другу, называют катетами, а оставшуюся сторону — гипотенузой. По сути, тело представляет собой разделённый диагональю квадрат. Отсюда площадь многоугольника будет равняться произведению катетов, делённых на 2: S = a*b/2. А также следует отметить, что у равнобедренного треугольника медиана, высота и биссектриса совпадают.
Теорема об углах
Многоугольники бывают выпуклые и вогнутые. Чтобы узнать, какой из них приходится рассматривать в том или ином случае, можно сделать следующее. Через каждую сторону провести прямую. Если по отношению к любой из них фигура будет лежать в одной полуплоскости относительно неё, многоугольник считается выпуклым, в ином случае — вогнутым.
Для первого типа существуют важные соотношения. Пусть имеется произвольный многоугольник. Интерес представляет сумма всех его углов. Посчитать её можно следующим образом. Нужно взять любую вершину и соединить её со всеми оставшимися прямой линией. В результате получится несколько треугольников. Затем нужно посчитать их количество. Например, в шестиугольнике их будет 4, восьмиугольнике — 6. Это число легко находится, так как существует правило, согласно которому в любой n-угольной фигуре можно построить n-2 треугольника.
энциклопедия жизненных ответов
мы стараемся находить самые интересные вопросы и давать на них исчерпывающие ответы. заходите к нам почаще и вы всегда будете находить для себя что-нибудь новое и интересное.
темы вопросов
актуальные комментарии к ответам
По какой формуле рассчитывается количество диагоналей у многоугольника?
Диагональ в многоугольнике (полиэдре) — отрезок, соединяющий любые две несмежные вершины, другими словами, вершины, не принадлежащие одной стороне многоугольника (одному ребру полиэдра).
У полиэдров различают диагонали граней (рассматриваемых как плоские многоугольники) и пространственные диагонали, выходящие за границы граней. У полиэдров, имеющих треугольные грани есть только пространственные диагонали.
Диагоналей нет у треугольника на плоскости и у тетраэдра в пространстве, так как все вершины этих фигур попарно связаны сторонами (ребрами).
Количество диагоналей N у многоугольника просто вычислить по формуле:
где n — число вершин многоугольника. По этой формуле несложно отыскать, что
Количество диагоналей полиэдра с числом вершин n просто подсчитать только для варианта, когда в каждой верхушке полиэдра сходится однообразное число ребер k. Тогда есть возможность воспользоваться формулой:
которая даем сумманое число пространственных и граневых диагоналей. Отсюда есть возможность отыскать, что
В том случае в различных верхушках полиэдра сходится различное число ребер, подсчет приметно усложняется и должен проводится персонально для каждого варианта.
Фигуры с равными диагоналями
На плоскости существует два правильных многоугольника, у каких все диагонали равны меж собой. Это квадрат и верный пятиугольник. У квадрата две схожих диагонали, пересекающихся в центре под прямым углом. У правильного пятиугольника 5 схожих диагоналей, которые совместно образуют набросок пятиконечной звезды (пентаграммы).
Единственный верный полиэдр, у которого все диагонали равны меж собой — верный восьмигранник октаэдр. У него три диагонали, которые попарно перпендикулярно пересекаются в центре. Все диагонали октаэдра — пространственные (диагоналей граней у октаэдра нет, т.к. у него треугольные грани).
Кроме октаэдра еще есть один верный полиэдр, у которого все пространственные диагонали равны меж собой. Это куб (гексаэдр). У куба четыре схожих пространственных диагонали, которые также пересекаются в центре. Угол меж дигоналями куба состаляет или arccos(1/3) ≈ 70,5° (для пары диагоналей, проведенных к смежным вершинам), или arccos(-1/3) ≈ 109,5° (для пары диагоналей, проведенных к несмежным вершинам).
Дополнительно в базе данных New-Best.comа:
Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.
Добавить комментарий Отменить ответ
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.