Как посчитать длину дуги сектора
Как посчитать длину дуги сектора
Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Центр данной окружности называется центром круга, а расстояние от центра до любой точки окружности — радиусом круга:
O — центр круга, OA — радиус круга.
Площадь круга
Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса. Формула нахождения площади круга:
где S — площадь круга, а r — радиус круга.
Так как диаметр круга равен удвоенному радиусу, то радиус равен диаметру, разделённому на 2:
| D = 2r, значит r = | D | . |
| 2 |
Следовательно, формула нахождения площади круга через диаметр будет выглядеть так:
| S = π( | D | ) 2 = π | D 2 | = π | D 2 | . |
| 2 | 2 2 | 4 |
Сектор круга. Площадь сектора
Сектор — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Два радиуса разделяют круг на два сектора:
Чтобы найти площадь сектора, дуга которого содержит n°, надо площадь круга разделить на 360 и полученный результат умножить на n.
Формула площади сектора:
| S = | πr 2 | · n = | πr 2 n | , |
| 360 | 360 |
где S — площадь сектора. Выражение
можно представить в виде произведения
| πr 2 n | = n · | πr | · | r | , |
| 360 | 180 | 2 |
| где | nπr | — это длина дуги сектора. |
| 180 |
Следовательно, площадь сектора равна длине дуги сектора, умноженной на половину радиуса:
где S — это площадь сектора, s — длина дуги данного сектора, r — радиус круга.
Сегмент. Площадь сегмента
Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой. Любая хорда делит круг на два сегмента:
Площадь сегмента равна половине радиуса, умноженной на разность между дугой сегмента и половиной хорды двойной дуги.
Площадь сегмента AMB будет вычисляться по формуле:
где S — это площадь сегмента, r — радиус круга, s — длина дуги AB, а BC — длина половины хорды двойной дуги.
Длина дуги
Вы будете перенаправлены на Автор24
Из этой статьи вы узнаете, как выглядит формула длины дуги окружности через угол, а также научитесь определять длину дуги сектора по формуле Гюйгенса. Также на страницу добавлены онлайн-калькуляторы для вычисления по данным формулам.
Дугой окружности (сектора) называют часть окружности, ограниченную двумя точками.
Чтобы определить длину дуги окружности, введите заданные данные в поля для ввода онлайн-калькулятора.
Длина дуги через радиус и угол
Для определения длины дуги можно воспользоваться формулой:
$l = π \cdot R \cdot \frac<α><180°>$, где
$R$ — радиус окружности;
$α$ — угол, которым характеризуется дуга;
Рассмотрим пример на использование этой формулы.
Задача
Решение:
$l = 3.14 \cdot 9 \cdot \frac<50> <180>= 7.85$ см.
Проверим длину дуги окружности с помощью онлайн-калькулятора. Результат совпадает, значит ответ верный.
Длина дуги по формуле Гюйгенса
По формуле Гюйгенса длина дуги рассчитывается следующим образом:
$AC$ — хорда, соединяющая концы дуги;
Также посмотрим, как использовать формулу Гюйгенса.
Задача
Решение:
$l = 2 \cdot 2.19 + \frac13 \cdot (2 \cdot 2.19 — 3.51) = 4.67$ см.
Результат совпадает, а значит, ответ — верный.
Способы нахождения площади кругового сектора
Определение кругового сектора
Пусть имеется окружность радиусом R. Из центра проведем два радиуса под углом α друг к другу, при этом радиусы будет стягивать дуга длиной L.
Полученная поверхность, ограниченная радиусами окружности и образованной этими радиусами дугой, называется круговым сектором.
Угол α — центральный угол.
Важно знать, что круговой сектор представляет собой развертку боковой поверхности конуса. При этом образующая конуса соответствует радиусу сектора, длина основания конуса — длине дуги сектора.
Формулы площади кругового сектора
Площадь кругового сектора выражается через центральный угол дуги. Как известно, угол может быть задан в радианной мере или в градусной.
Тогда выражение для вычисления площади кругового сектора через радиус и длину дуги будет иметь вид:
Из курса геометрии (8-9 классы) известно следующее выражение для нахождения длины дуги сектора круга:
где α р а д — центральный угол, Рад.
Узнаем, как найти площадь сектора через центральный угол, заданный в радианах. Для этого подставим в выражение для L в формулу площади.
S = R · L 2 = R · α р а д · R 2 = α р а д · R 2 2
Теперь переведем угол в радианах в градусы и приведем соответствующую формулу для расчета площади.
S = α р а д · R 2 2 = R 2 · α · π 2 · 180 ° = π α R 2 360 °
Примеры решения задач
Вычислить площадь кругового сектора, если его радиус 15 м, а центральный угол равен 2 Рад.
Воспользуемся формулой: S = α р а д · R 2 2
Подставим известные значения и найдем площадь.
S = 2 · 15 2 2 = 225 м 2
Дана окружность с центром O и радиусом 10 см. Через окружность проведена хорда MN так, что в результате получился правильный треугольник MON. Найти площадь заштрихованной фигуры.
Узнаем, чему равна площадь кругового сектора. Для этого воспользуемся формулой для угла в градусной мере.
Теперь найдем площадь треугольника MON.
Найдем площадь искомой поверхности
Известен радиус кругового сектора R и длина его дуги L. Определить, чему равна высота конуса, полученного из заданного сектора.
Круговой сектор есть развертка боковой поверхности конуса. Сделаем рисунок, на котором покажем конус в продольном разрезе. Получим равнобедренный треугольник. Обозначим его MNK, а высоту — NH.
Высоту MH найдем как катет прямоугольного треугольника MNH. Образующая конуса MN равна радиусу кругового сектора, то есть MN=NK=R. Сторона MH равна радиусу основания конуса — R_<конуса>. Радиус основания вычислим через длину.
L к о н у с а = 2 π R к о н у с а ⇒ R к о н у с а = L к о н у с а 2 π
Теперь по теореме Пифагора вычислим NH.
Как посчитать длину дуги сектора
Найдите площадь сектора круга радиуса 20, длина дуги которого равна 2.
Площадь сектора круга с дугой n° равна произведению площади окружности с радиусом R на отношение угла сектора n° к углу полной окружности, т. е. 360°, следовательно,
Длина дуги сектора определяется формулой:
тогда 
Подставляя полученное выражение в формулу для площади сектора круга, получаем:
Найдите площадь сектора круга радиуса 6, длина дуги которого равна 3.
Площадь сектора круга с дугой n° равна произведению площади окружности с радиусом R на отношение угла сектора n° к углу полной окружности, т. е. 360°, следовательно,
Длина дуги сектора определяется формулой:
тогда 
Подставляя полученное выражение в формулу для площади сектора круга, получаем:
Найдите площадь сектора круга радиуса 40, длина дуги которого равна 1.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого равна 2.
Площадь сектора круга с дугой n° равна произведению площади окружности с радиусом R на отношение угла сектора n° к углу полной окружности, т. е. 360°, следовательно,
Длина дуги сектора определяется формулой:
тогда
Подставляя полученное выражение в формулу для площади сектора круга, получаем:
как посчитать длину сектора окружности
Нахождение длины дуги сектора круга
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить длину дуги сектора круга, а также разберем примеры решения задач для демонстрации их применения на практике.
Определение дуги сектора круга
Дуга – это участок между двумя точками на окружности.
Дуга сектора круга – это участок между двумя точками на окружности, которые получены в результате пересечения этой окружности двумя радиусами, образовавшими сектор круга.
На рисунке ниже: AB – это дуга зеленого сектора круга с радиусом R (или r).
Формулы для нахождения длины дуги сектора
Через центральный угол в градусах и радиус
Через угол сектора в радианах и радиус
Длина (L) дуги сектора равна произведению радиуса (r) и центрального угла, выраженного в радианах (aрад).
Примеры задач
Задание 1
Дан круг с радиусом 15 см. Найдите длину дуги сектора, угол которого равен 30°.
Решение
Воспользуемся формулой расчета, в которой используется центральный угол в градусах:
Задание 2
Длина дуги сектора равняется 24 см. Найдите, чему равен его угол (в радианах и градусах), если радиус круга составляет 12 см.
Решение
Для начала вычислим угол в радианах:
Следовательно, центральный угол приблизительно равняется 114,59 ° (2 рад ⋅ 57,2958°).
Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
| Основные определения и свойства. Число π |
| Формулы для площади круга и его частей |
| Формулы для длины окружности и ее дуг |
| Площадь круга |
| Длина окружности |
| Длина дуги |
| Площадь сектора |
| Площадь сегмента |
Основные определения и свойства
| Фигура | Рисунок | Определения и свойства |
| Окружность | |
Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Часть круга, ограниченная хордой
Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность
Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Часть круга, ограниченная хордой
Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность
Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.
Формулы для площади круга и его частей
| Числовая характеристика | Рисунок | Формула |
| Площадь круга | |
,
где R – радиус круга, D – диаметр круга
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
,
где R – радиус круга, D – диаметр круга
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Формулы для длины окружности и её дуг
| Числовая характеристика | Рисунок | Формула |
| Длина окружности | |
где R – радиус круга, D – диаметр круга
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
где R – радиус круга, D – диаметр круга
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Площадь круга
Длина окружности
откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :
Длина дуги
Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Площадь сектора
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Площадь сегмента
Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем
В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем
Сегмент круга
Сегмент круга
Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).
На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота
Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:
Формулы вычисления параметров сегмента
Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:
Сегмент
Однако, как справедливо заметил наш пользователь:«на практике часто случается, что как радиус дуги, так и угол неизвестны» (см. длина дуги ). Для этого случая для расчета площади сегмента и длины дуги можно использовать следующий калькулятор:
Параметры сегмента по хорде и высоте
Калькулятор вычисляет радиус круга по длине хорды и высоте сегмента по следующей формуле:
Далее, зная радиус и длину хорды, легко найти угол сегмента по формуле:
Остальные параметры сегмента вычисляются аналогично первому калькулятору, по формулам, приведенным в начале статьи.
Следующий калькулятор вычисляет площадь сегмента по высоте и радиусу:
Как посчитать длину сектора окружности
Сегмент круга
Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).
На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота
Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:
Формулы вычисления параметров сегмента
Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:
Сегмент 
Однако, как справедливо заметил наш пользователь:«на практике часто случается, что как радиус дуги, так и угол неизвестны» (см. длина дуги ). Для этого случая для расчета площади сегмента и длины дуги можно использовать следующий калькулятор:
Параметры сегмента по хорде и высоте
Калькулятор вычисляет радиус круга по длине хорды и высоте сегмента по следующей формуле:
Далее, зная радиус и длину хорды, легко найти угол сегмента по формуле:
Остальные параметры сегмента вычисляются аналогично первому калькулятору, по формулам, приведенным в начале статьи.
Следующий калькулятор вычисляет площадь сегмента по высоте и радиусу:
Формулы площади сектора круга и длины его дуги
Понятие об окружности и круге
Перед тем как приводить формулу площади сектора окружности, рассмотрим, что собой представляет указанная фигура. Согласно математическому определению, под окружностью понимают такую фигуру на плоскости, все точки которой равноудалены от некоторой одной точки (центра).
Вам будет интересно: Вячеславна или Вячеславовна? Учимся правильно писать.
Когда рассматривают окружность, то пользуются следующей терминологией:
Площадь круга и длина окружности
Отмеченные в названии пункта величины рассчитываются с использованием двух простых формул. Они приведены ниже:
Как видно из приведенных выражений, чтобы рассчитать площадь и длину достаточно знать только радиус окружности.
Площадь сектора круга и длина его дуги
Перед тем как рассматривать соответствующие формулы, напомним, что угол в геометрии принято выражать двумя основными способами:
Получив представление о том, что такое сектор для круга, легко понять, как вычислить его площадь и длину соответствующей дуги. Из рисунка выше видно, что дуге сектора соответствует угол θ. Мы знаем, что полная окружность соответствует 2*pi радианам, значит, формула площади кругового сектора примет вид: S1 = S*θ/(2*pi) = pi*R2*θ/(2*pi) = θ*R2/2. Здесь угол θ выражен в радианах. Аналогичная формула площади сектора в случае, если угол θ измеряется в градусах, будет иметь вид: S1 = pi*θ*R2/360.
Длина дуги, образующей сектор, вычисляется по формуле: L1 = θ*2*pi*R/(2*pi) = θ*R. И если θ известен в градусах, тогда: L1 = pi*θ*R/180.
Пример решения задачи
Покажем на примере простой задачи, как пользоваться формулами площади сектора круга и длины его дуги.
Известно, что колесо имеет 12 спиц. Когда колесо делает один полный оборот, то оно преодолевает расстояние 1,5 метра. Чему равна площадь, заключенная между двумя соседними спицами колеса, и чему равна длина дуги между ними?
Как видно из соответствующих формул, чтобы ими пользоваться, необходимо знать две величины: радиус окружности и угол дуги. Радиус можно вычислить, исходя из знания длины окружности колеса, поскольку пройденное им расстояние за один оборот, точно ей соответствует. Имеем: 2*R*pi = 1,5, откуда: R = 1,5/(2*pi) = 0,2387 метра. Угол между ближайшими спицами можно определить, зная их число. Полагая, что все 12 спиц делят равномерно круг на равные сектора, мы получаем 12 одинаковых секторов. Соответственно, угловая мера дуги между двумя спицами равна: θ = 2*pi/12 = pi/6 = 0,5236 радиан.
Мы нашли все необходимые величины, теперь их можно подставить в формулы и посчитать требуемые условием задачи значения. Получаем: S1 = 0,5236*(0,2387)2/2 = 0,0149 м2, или 149 см2; L1 = 0,5236*0,2387 = 0,125 м, или 12,5 см.