Как посчитать частоту колебаний маятника
Амплитуда, период, частота колебаний.
Амплитуда колебаний (лат. amplitude — величина) — это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.
Для маятника это максимальное расстояние, на которое удаляется шарик от своего положения равновесия (рисунок ниже). Для колебаний с малыми амплитудами за такое расстояние можно принимать как длину дуги 01 или 02, так и длины этих отрезков.
Амплитуда колебаний измеряется в единицах длины — метрах, сантиметрах и т. д. На графике колебаний амплитуда определяется как максимальная (по модулю) ордината синусоидальной кривой, (см. рис. ниже).
Период колебаний.
Период колебаний — это наименьший промежуток времени, через который система, совершающая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, выбранный произвольно.
Другими словами, период колебаний (Т) — это время, за которое совершается одно полное колебание. Например, на рисунке ниже это время, за которое грузик маятника перемещается из крайней правой точки через точку равновесия О в крайнюю левую точку и обратно через точку О снова в крайнюю правую.
За полный период колебаний, таким образом, тело проходит путь, равный четырем амплитудам. Период колебаний измеряется в единицах времени — секундах, минутах и т. д. Период колебаний может быть определен по известному графику колебаний, (см. рис. ниже).
Понятие «период колебаний», строго говоря, справедливо, лишь когда значения колеблющейся величины точно повторяются через определенный промежуток времени, т. е. для гармонических колебаний. Однако это понятие применяется также и для случаев приблизительно повторяющихся величин, например, для затухающих колебаний.
Частота колебаний.
Частота колебаний — это число колебаний, совершаемых за единицу времени, например, за 1 с.
Единица частоты в СИ названа герцем (Гц) в честь немецкого физика Г. Герца (1857-1894). Если частота колебаний (v) равна 1 Гц, то это значит, что за каждую секунду совершается одно колебание. Частота и период колебаний связаны соотношениями:
.
В теории колебаний пользуются также понятием циклической, или круговой частоты ω. Она связана с обычной частотой v и периодом колебаний Т соотношениями:
.
Циклическая частота — это число колебаний, совершаемых за 2π секунд.
Формулы математического маятника
Определение и формулы математического маятника
Обычно математический маятник представляют как шарик, подвешенный на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая гармонические колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику массивный маленький шарик, осуществляющий колебания на тонкой длинной нити.
Галилей первым изучал свойства математического маятника, рассматривая качание паникадила на длинной цепи. Он получил, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Если при запуске мятника отклонять его на разные малые углы, то его колебания будут происходить с одним периодом, но разными амплитудами. Это свойство получило название изохронизма.
Уравнение движения математического маятника
Циклическая частота и период колебаний математического маятника
Циклическая частота математического маятника зависит только от длины его подвеса:
Период колебаний математического маятника ($T$) в этом случае равен:
Выражение (4) показывает, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.
Уравнение энергии для математического маятника
При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы часто берут в качестве исходного не уравнения движения Ньютона, а уравнение энергии. Так как его проще составлять, и оно является уравнением первого порядка по времени. Предположим, что трение в системе отсутствует. Закон сохранения энергии для совершающего свободные колебания математического маятника (колебания малые) запишем как:
Максимальное значение потенциальной энергии математического маятника равно:
Максимальная величина кинетической энергии:
Примеры задач с решением
Решение. Сделаем рисунок.
Из уравнения (1.1) найдем искомую высоту:
Решение. За основу решения задачи примем формулу для вычисления периода малых колебаний:
Выразим из нее ускорение:
Проведем вычисления ускорения силы тяжести:
Примеры движения
Колебательное движение является одним из наиболее распространенных в природе. Например, можно представить себе струны музыкальных инструментов, качели или голосовые связки человека.
В физике колебаниями называются процессы, которые повторяются через равные промежутки времени. Подобные движения рассматривается посредством нескольких моделей:
Амплитуда, период и частота
Если подвесить одновременно два груза на две разные нити и запустить их, то можно заметить, что расстояние отклонения груза от среднего положения до крайнего — разное.
Это величина носит название амплитуды. Обозначается буквой А и измеряется в системе Си в метрах. Также для обозначения подобного движения применяются следующие термины:
Выделяют понятие свободных колебаний. Когда системе, например, математическому маятнику, придают импульс, чтобы начать движение, дальнейшие его колебания (самостоятельные) будут считаться свободными.
Математический маятник
Эта модель рассматривает движение груза, подвешенного на нитке. Описывается система, в которой масса нитки намного меньше массы груза, а ее длина намного больше его размеров.
Также нить должна быть невесомой и нерастяжимой.
Груз в этом случае считается материальной точкой.
При выполнении этих условий частота колебаний маятника и период не будут зависеть от массы груза. Движение математического маятника рассматривается при небольшом угле отклонения (α). Последний измеряется в радианах, поэтому приблизительно соответствует по значению его синусу и тангенсу. Этот же угол пропорционален отношению смещения на длину нити:
На маятник действует синусовая составляющая силы тяжести и тангенсовая сила натяжения нити. Согласно второму закону Ньютона: ma=-mgsin (α). Откуда можно получить a=-gx/l
Вторая производная уравнения движения дает a=-(ω)^2x
Период: T=2π /ω T=2π*sqrt (g/l)
Это формула Галилея, которая описывает движение математического маятника.
Формула частоты колебаний для математического маятника: v=sqrt (l/g)/2π.
Пружинный маятник
Подобным термином называется система, в которой движения совершает груз, подвешенный на легкой пружине.
Тело находится в положении равновесия, если пружина не деформирована. Если ее растянуть или сжать, то система начнет колебания под действием силы упругости, которая направлена на приведение маятника в положение равновесия.
Сила упругости пропорциональна смещению тела (x), но направлена противоположно. Коэффициент пропорциональности между этими двумя величинами носит название жесткости пружины (k). Таким образом:
Сила упругости достигает наибольшей величины в положении максимального отклонения тела (амплитуда, смещение) от равновесия. В этой точке наибольшую величину имеет и ускорение.
По мере того, как тело приближается к положению равновесия, уменьшается сила упругости и ускорение. В средней точки обе величины равны нулю, но ненулевое значение имеет скорость тела. Поэтому груз не останавливается, а продолжает движение.
После прохождения положения равновесия он двигается в обратном направлении по инерции, а сила упругости тянет его назад. Благодаря трению воздуха скорость уменьшается, и маятник останавливается.
Все эти модели можно отнести к классическому гармоническому осциллятору — системе, которая имеет одну степень свободы и описывается единственным уравнением.
Явление резонанса
Это понятие имеет особое значение для описания колебаний. Если имеется некое воздействие, частота которого приближается к собственной частоте системы, то последняя реагирует резким увеличением амплитуды.
Явление резонанса можно представить себе на примере того же математического маятника. Для этого необходимо маятник привязать к веревке, к которой привязать еще один такой же, но с более длинной нитью. При этом длина нитки второго маятника может регулироваться. Если привести в движение оба маятника, а длину второй нитки постепенно изменять, то можно будет заметить, что амплитуда увеличивается по мере приближения размеров обеих ниток.
В этом случае первый маятник будет приемником колебаний, а второй — передатчиком. Причиной увеличения амплитуды является колебание подвески с такой же частотой.
Колебательный контур
Является еще одним примером колебаний, на котором основаны все радиоприемники. Контур играет роль приемника сигнала.
В простейшем примере представляет собой замкнутую цепь из катушки индуктивности и конденсатора. При определенных обстоятельствах в подобном контуре могут возникать и поддерживаться электрические колебания.
Для возбуждения колебаний необходимо подключить источник постоянного напряжения к конденсатору и зарядить его. После этого источник убрать, а цепь замкнуть.
Конденсатор разряжается через катушку индуктивности, а в цепи создается ток, интенсивность которого увеличивается по мере разряда конденсатора. Вокруг катушки создается магнитное поле.
Электрический заряд конденсатора преобразовался в магнитное поле. После этого магнитное поле катушки будет уменьшаться, а конденсатор обратно заряжаться. Процесс повторяется циклически и описывается теми же характеристиками, что и механические колебания: частотой, амплитудой и периодом.
Они являются свободными и затухающими. Чтобы их поддерживать, необходимо периодически заряжать конденсатор.
Звук и электромагнитные волны
Понятие частоты вводится и для звуковых и электромагнитных волн. Первые представляют собой колебания плотности среды. Вторые — изменение со временем напряженности магнитного и электрического полей.
От частоты звука зависит его тональность. Этим свойством пользуются для стандартизации описания музыки и создания музыкальных инструментов — каждой ноте соответствует своя частота.
До 16 Гц человеческое ухо не воспринимает, так же как и выше 20 КГЦ. Более высокие частоты используются в эхолокации, ультразвуковой диагностике.
Частота электромагнитных волн также определяет их способность взаимодействовать с человеческим организмом. Рентгеновское излучение проходит насквозь, при этом взаимодействуя с молекулами, вызывая их ионизацию. Ультразвук провоцирует процессы загара, фотосинтеза. Радиоволновое излучение практически не оказывает прямого воздействия, но хорошо подходит для передачи информации. В видимом диапазоне частота определяет цвет.
Есть также такая характеристика, как частота колебаний молекул. Она зависит от температуры тела и определяет его агрегатное состояние.
Таким образом, частота колебаний описывает большое количество процессов и оказывает воздействие на их характеристики.
Частота колебаний маятника
Всего получено оценок: 103.
Всего получено оценок: 103.
Маятник – простейшая колебательная система, в которой можно изучать особенности колебательных процессов. Колебания, происходящие в маятнике, обладают рядом характеристик, важнейшей из которых является частота. Рассмотрим частоту колебаний маятника более подробно.
Маятник и процессы, происходящие в нем
Изначально под термином «маятник» понимался груз, подвешенный на нити, который может совершать свободные качания под действием силы тяжести. Такой маятник называется «нитяным». Идеальной моделью нитяного маятника является математический маятник, который отличается отсутствием потерь, точечным размером массы и нерастяжимой нитью.
Рис. 1. Нитяной маятник.
Сила тяжести в маятнике может быть заменена на силу упругости. Такой маятник называется «пружинным».
Рис. 2. Пружинный маятник.
В обоих маятниках свободные колебания возникают потому, что при выведении их из равновесия возникает сила, направленная в сторону равновесия, тем большая, чем больше отклонение.
В точке наибольшего отклонения маятник обладает потенциальной энергией, которая по мере движения превращается в кинетическую. В точке равновесия потенциальная энергия равна нулю, а вся энергия маятника имеет кинетическую форму. Поэтому маятник не может остановиться, и будет продолжать движение, при этом кинетическая энергия будет уменьшаться переходя в потенциальную. В противоположной точке отклонения вся кинетическая энергия перейдет в потенциальную, и станет равной нулю. Маятник начнет обратный ход, при котором потенциальная энергия снова будет переходить в кинетическую.
Идеальный маятник не имеет потерь энергии, а поэтому колебания будут незатухающими.
Частота колебаний маятника
Ускорение является второй производной координаты. То есть:
В высшей математике доказывается, что единственная функция, удовлетворяющая данному условию – это круговая функция (синус или косинус):
Сравним эту формулу с формулой гармонических колебаний:
$$x(t)=A cos( \omega t+\varphi)$$
Процессы, происходящие в нитяном маятнике, очень близки к процессам, происходящим в пружинном. Поэтому частота колебаний нитяного маятника имеет формулу такого же вида, только в ней жесткость пружины является аналогом ускорения свободного падения, а аналогом массы является длина маятника:
На графике частота колебаний маятника равна количеству полных колебаний, происходящих в единицу времени:
Рис. 3. График колебаний маятника.
Что мы узнали?
И в нитяном и в пружинном маятнике колебания возникают потому, что при выведении их из положения равновесия возникает сила, стремящаяся вернуть маятник в равновесие, тем большая, чем больше отклонение. Единственная функция, удовлетворяющая этому условию – это круговая функция, частоту которой можно получить из ее формулы или графика.
Как сказал.
Есть только два способа прожить жизнь. Первый — будто чудес не существует. Второй — будто кругом одни чудеса.
А.Эйнштейн
Вопросы к экзамену
Для всех групп технического профиля
Список лекций по физике за 1,2 семестр
Я учу детей тому, как надо учиться
Часто сталкиваюсь с тем, что дети не верят в то, что могут учиться и научиться, считают, что учиться очень трудно.
Частота колебаний
Частота колебаний — физическая величина, равная количеству колебаний, совершаемых за единицу времени.
Чтобы найти частоту колебаний надо количество колебаний разделить на время совершения этих колебаний:
Частота – величина, обратная периоду колебаний:
Частота колебаний ν показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – герц (Гц).
Частота колебаний на графике:
красная кривая отличается от синей только значением частоты ( ν’= 2ν )
Разновидности частот колебаний:
Циклическая частота 
Частота колебаний пружинного маятника 
Частота колебаний математического маятника 
Частота электромагнитных колебаний 
Частота колебаний физического маятника 
Частота колебаний крутильного маятника 
ν — частота колебаний
ω — циклическая частота
T — период колебаний маятника
m — масса груза, или масса маятника
k — жесткость пружины
g — ускорение свободного падения
J — момент инерции маятника относительно оси вращения
l — расстояние от оси вращения до центра масс
I — момент инерции тела
K — вращательный коэффициент жёсткости маятника