Как порезать квадрат на треугольники
Разрезать квадрат на треугольники
Разрезать квадрат на треугольники так, чтобы каждый из треугольников граничил ровно с четырьмя другими.
у меня не получается.
Точно! Я вторым делом провел весовой тест углов на диаграмме, но углы у меня имели произвольные меры (т.е. я не привязывался к Евклидовой геометрии и сумма углов треугольника у меня была не константа) и ничего плохого не получилось.
Выводы: я тупой и надо было использовать Евклидову геометрию; есть гипотеза, что такое разбиение существует в сферической геометрии.
Задайте свой вопрос по математике
профессионалам
Другие вопросы на эту тему:
Бабушка испекла для 4 внуков
Среди 12 монет имеется одна фальшивая
Вопросы к уважаемым математикам, которые все знают о ЕГЭ.
Можно ли квадрат разрезать на прямоугольники, никакие два из которых не…
Пусть дан тупоугольный треугольник
АнтиЕГЭ — развлекательные задачки (6-11кл.), на каждый день
задачки не сложные, иногда и устные. В свое время набрал их для себя для ежедневной утренней зарядки — спасибо авторам!.
кому интересно — плиз.
ессно, не возбраняется дополнение поста и другими интересными задачками — плиз.
понимаю, что таких задач море — плиз, выкладывайте.
цель поста? да просто народу порешать влёт предлагаемые задачки и перейти к уже проблемным(этого форума!).
Логические задачи и головоломки
Разрежьте квадрат на остроугольные треугольники. Какое минимальное число треугольников для этого необходимо?
Ответ:
Комментарии
Эм, у вас тут минимум 4 прямоугольных. Epic fail, друзья.
Что-то много треугольников нарисовали, хватит и 5 шт.
У меня получилось 6 остроугольных треугольников
Прошу прощения, у меня поучилась описка, нужно всего четыре остроугольных треугольника ))
Нет, друзья, вы не правы.
4 треугольника НЕ может быть точно!
В квадрате 4 стороны, поэтому либо вы используете 2 стороны в одном треугольнике (а значит он выходит по определению прямоугольным) либо у вас четыре треугольника, у которых основания стороны квадрата, следовательно они имеют центр в одной точке!
Вокруг точки 360 градусов, следовательно либо все прямые углы по 90 градусов (это если диагонали в квадрате нарисовать) либо хотя бы один тупой!!
Если же вы попытаетесь разделить один треугольник на два вы НИКОГДА не получите два острых треугольника.
Так что сводить треугольники в одну точку нельзя (в основе будут 4 треугольника с основаниями равными стороне квадрата, которые потом делили на два, потом может еще на два. )
Приведенное в ответе решение абсолютно верное!
бесконечнно треугольников надо. нет решения у данной задачи. деля любой треугольник мы ни когда не получим два острых треугольника внутри. это смежные углы и их сумма 180 градусов, линии падающие из верхних углов квадрата в ответе на большой треугольник внутри образуют по обе стороны два угла из которых один тупой другой острый или оба по 90 градусов, потому что в сумме они 180.
берем произвольную точку (не центр) и проводим в нее линию из каждого угла.
Получаем 4 линии и 8 треугольников. Если у вас получилось 4 треугольника то вы использовали отрезки а не линии.
Из этой задачи можно сделать интересную головоломку: вырезать из картона квадрат, а затем его разрезать так, как показано на рисунке. После этого перемешать все фрагменты (треугольники) и попросить кого-нибудь собрать из них квадрат. Человеку, не видевшему этого рисунка, будет сделать это непросто.
Презентация к уроку
Опыт показывает, что при использовании практических методов обучения удается сформировать у учащихся ряд мыслительных приемов, необходимых для правильного вычленения существенных и несущественных признаков при ознакомлении с геометрическими фигурами. развивается математическая интуиция, логическое и абстрактное мышление, формируется культура математической речи, развиваются математические и конструкторские способности, повышается познавательная активность, формируется познавательный интерес, развивается интеллектуальный и творческий потенциал.В статье приводится ряд практических задач на разрезания геометрических фигур на части с целью составить из этих частей новую фигуру. Ученики работают над заданиями в группах. Затем каждая группа защищает свой проект.
Две фигуры называются равносоставленными, если, определённым образом разрезав одну из них на конечное число частей, можно (располагая эти части иначе) составить из них вторую фигуру. Итак, метод разбиения основан на том, что всякие два равносоставленных многоугольника равновелики. Естественно поставить обратный вопрос: всякие ли два многоугольника, имеющих одинаковую площадь, равносоставлены? Ответ на этот вопрос был дан (почти одновременно) венгерским математиком Фаркашем Бойяи (1832г.) и немецким офицером и любителем математики Гервином (1833г.): два многоугольника, имеющих равные площади, равносоставленны.
Теорема Бойяи-Гервина гласит: любой многоугольник можно так разрезать на части, что из этих частей удастся сложить квадрат.
Разрежьте прямоугольник a х 2a на такие части, чтобы из них можно было составить квадрат.
Прямоугольник ABCD разрежем на три части по линиям MD и MC (М – середина АВ)
Треугольник АMD переместим так, чтобы вершина М совместилась с вершиной С, катет АМ переместится на отрезок DС. Треугольник МВС переместим влево и вниз так, что катет МВ наложится на половину отрезка DС. (Рисунок 1)
Разрезать равносторонний треугольник на части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.
Обозначим данный правильный треугольник АВС. Необходимо разрезать треугольник АВС на многоугольники так, чтобы из них можно было сложить квадрат. Тогда эти многоугольники должны иметь по крайней мере по одному прямому углу.
Пусть К – середина СВ, Т – середина АВ, точки М и Е выберем на стороне АС так, что МЕ=АТ=ТВ=ВК=СК=а, АМ=ЕС=а/2.
Проведем отрезок МК и перпендикулярные к нему отрезки ЕР и ТН. Разрежем треугольник на части вдоль построенных линий. Четырехугольник КРЕС повернем по часовой стрелке относительно вершины К так, что СК совместится с отрезком КВ. Четырехугольник АМНТ повернем по часовой стрелке относительно вершины Т так, что АТ совместится с ТВ. Треугольник МЕР переместим так, что в результате получится квадрат. (Рисунок 2)
Разрезать квадрат на части так, чтобы из них можно было сложить два квадрата.
Обозначим исходный квадрат ABCD. Отметим середины сторон квадрата – точки M, N, K, H. Проведем отрезки МТ, НЕ, КF и NР – части отрезков МС, НВ, КА и ND соответственно.
Разрезав квадрат ABCD по проведенным линиям, получим квадрат PTEF и четыре четырехугольника MDHT, HCKE, KBNF и NAMP.
PTEF – уже готовый квадрат. Из оставшихся четырехугольников составим второй квадрат. Вершины A, B, C и D совместим в одну точку, отрезки АМ и ВК, MD и КС, BN и СН, DH и АN совместятся. Точки Р, Т, Е и F станут вершинами нового квадрата. (Рисунок 3)
Из плотной бумаги вырезаны равносторонний треугольник и квадрат. Разрезать эти фигуры на многоугольники так, чтобы из них можно было сложить один квадрат, при этом части должны полностью его заполнять и не должны пересекаться.
Треугольник разрежем на части и составим из них квадрат так, как показано в задании 2. Длина стороны треугольника – 2а. Теперь следует разделить на многоугольники квадрат так, чтобы из этих частей и того квадрата, который получился из треугольника, составить новый квадрат. Возьмем квадрат со стороной 2а, обозначим его LRSD. Проведем взаимно перпендикулярные отрезки UG и VF так, что DU=SF=RG=LV. Разрежем квадрат на четырехугольники.
Возьмем квадрат, составленный из частей треугольника. Выложим четырехугольники – части квадрата так, как показано на рисунке 4.
Крест составлен из пяти квадратов: один квадрат в центре, а остальные четыре прилежат к его сторонам. Разрезать его на такие части, чтобы из них можно было составить квадрат.
Соединим вершины квадратов так, как показано на рисунке 5. Отрежем “внешние” треугольники и переместим их на свободные места внутри квадрата АВСК.
Перекроить два произвольных квадрата в один.
На рисунке 6 показано, как нужно разрезать и переместить части квадратов.
Разрезания и складывания
Задача
а) Разрежьте произвольный треугольник на несколько кусочков так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник.
б) Разрежьте произвольный прямоугольник на несколько кусочков так, чтобы из них можно было сложить квадрат.
в) Разрежьте два произвольных квадрата на несколько кусочков так, чтобы из них можно было сложить один большой квадрат.
Подсказка 1
б) Сначала составьте из произвольного прямоугольника такой прямоугольник, отношение большей стороны которого к меньшей не превышает четырех.
в) Используйте теорему Пифагора.
Подсказка 2
а) Проведите высоту или среднюю линию.
б) Наложите прямоугольник на квадрат, который должен получиться, и проведите «диагональ».
в) Приложите квадраты друг к другу, на стороне большего квадрата отмерьте отрезок, равный длине меньшего квадрата, после чего соедините ее с «противоположными» вершинами каждого из квадратов (см. рис. 1).
Решение
а) Пусть дан произвольный треугольник ABC. Проведём среднюю линию MN параллельно стороне AB, а в полученном треугольнике CMN опустим высоту CD. Кроме того, опустим на прямую MN перпендикуляры AK и BL. Тогда легко видеть, что ∆AKM = ∆CDM и ∆BLN = ∆CDN как прямоугольные треугольники, у которых равны соответствующие пара сторон и пара углов.
Отсюда вытекает метод разрезания данного треугольника и последующего перекладывания кусочков. Именно, проведём разрезы по отрезкам MN и CD. После этого переложим треугольники CDM и CDN на место треугольников AKM и BLN соответственно, как показано на рис. 2. Мы получили прямоугольник AKLB, как того и требовалось в задаче.
Отметим, что этот метод не сработает, если один из углов CAB или CBA — тупой. Так происходит из-за того, что в этом случае высота CD не лежит внутри треугольника CMN. Но это не слишком страшно: если проводить среднюю линию параллельно самой длинной стороне исходного треугольника, то в отсечённом треугольнике мы будем опускать высоту из тупого угла, а она обязательно будет лежать внутри треугольника.
б) Пусть дан прямоугольник ABCD, стороны которого AD и AB равны a и b соответственно, причём a > b. Тогда площадь того квадрата, который мы хотим получить в итоге, должна быть равной ab. Следовательно, длина стороны квадрата составляет √ab, что меньше, чем AD, но больше, чем AB.
Построим квадрат APQR, равный искомому, таким образом, чтобы точка B лежала на отрезке AP, а точка R — на отрезке AD. Пусть PD пересекает отрезки BC и QR в точках M и N соответственно. Тогда легко видеть, что треугольники PBM, PAD и NRD подобны, а кроме того, BP = (√ab – b) и RD = (a – √ab). Значит,
Следовательно, ∆PBM = ∆NRD по двум сторонам и углу между ними. Также отсюда несложно вывести равенства PQ = MC и NQ = CD, а значит, ∆PQN = ∆MCD тоже по двум сторонам и углу между ними.
Из всех приведённых рассуждений вытекает метод разрезания. Именно, сначала мы откладываем на сторонах AD и BC отрезки AR и CM, длины которых равны √ab (о том, как строить отрезки вида √ab, см. задачу «Правильные многоугольники» — врезку в разделе «Решение»). Далее, восстанавливаем перпендикуляр к отрезку AD в точке R. Теперь осталось только отрезать треугольники MCD и NRD и переложить их так, как показано на рис. 3.
Отметим, что для того, чтобы этим методом можно было воспользоваться, требуется, чтобы точка M оказалась внутри отрезка BK (иначе не весь треугольник NRD содержится внутри прямоугольника ABCD). То есть необходимо, чтобы
Если это условие не выполняется, то сначала нужно сделать данный прямоугольник более широким и менее длинным. Для этого достаточно разрезать его пополам и переложить кусочки так, как показано на рис. 4. Ясно, что после проведения такой операции отношение большей стороны к меньшей уменьшится в четыре раза. А значит, проделывая её достаточно большое число раз, в конце концов мы получим прямоугольник, к которому применимо разрезание с рис. 3.
в) Рассмотрим два данных квадрата ABCD и DPQR, приложив их друг к другу так, чтобы они пересекались по стороне CD меньшего квадрата и имели общую вершину D. Будем считать, что PD = a и AB = b, причём, как мы уже отмечали, a > b. Тогда на стороне DR большего квадрата можно рассмотреть такую точку M, что MR = AB. По теореме Пифагора 
.
Пусть прямые, проходящие через точки B и Q параллельно прямым MQ и BM соответственно, пересекаются в точке N. Тогда четырёхугольник BMQN является параллелограммом, а так как у него все стороны равны, то это ромб. Но ∆BAM = ∆MRQ по трём сторонам, откуда следует (учитывая, что углы BAM и MRQ прямые), что 
. Таким образом, BMQN — квадрат. А так как его площадь равна (a 2 + b 2 ), то это именно тот квадрат, который нам надо получить.
Для того чтобы перейти к разрезанию, осталось заметить, что ∆BAM = ∆MRQ = ∆BCN = ∆NPQ. После этого то, что нужно сделать, становится очевидным: необходимо отрезать треугольники BAM и MRQ и переложить их так, как изображено на рис. 5.
Послесловие
Прорешав предложенные задачи, читатель, вполне возможно, задумается над таким вопросом: а когда вообще можно один данный многоугольник разрезать прямыми линиями на конечное число таких кусочков, из которых складывается другой данный многоугольник? Немножко поразмыслив, он поймёт, что как минимум необходимо, чтобы площади этих многоугольников были равны. Таким образом, исходный вопрос превращается в следующий: правда ли, что если два многоугольника имеют одинаковую площадь, то один из них можно разрезать на кусочки, из которых складывается второй (это свойство двух многоугольников называется равносоставленностью)? Оказывается, это действительно так, и об этом нам говорит теорема Бойяи—Гервина, доказанная в 30-х годах XIX века. Более точно, её формулировка заключается вот в чём.
Теорема Бойяи—Гервина. Два многоугольника равновелики тогда и только тогда, когда они равносоставлены.
Идея доказательства этого замечательного результата заключается в следующем. Во-первых, мы будем доказывать не само утверждение теоремы, а то, что каждый из двух данных равновеликих многоугольников можно разрезать на кусочки, из которых складывается квадрат той же площади. Для этого сначала мы разобьём каждый из многоугольников на треугольники (такое разбиение называется триангуляцией). А потом каждый треугольничек превратим в квадратик (например, при помощи метода, описанного в пунктах а) и б) настоящей задачи). Осталось сложить из большого количества маленьких квадратиков один большой — это мы умеем делать благодаря пункту в).
Аналогичный вопрос для многогранников составляет одну из знаменитых проблем Давида Гильберта (третью), представленных им в докладе на II Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Характерно, что ответ на него оказался отрицательным. Уже рассмотрение двух таких простейших многогранников, как куб и правильный тетраэдр, показывает, что ни один из них не получается разрезать на конечное число частей так, чтобы из них составлялся другой. И это не случайно — подобного разрезания просто не существует.
Решение третьей проблемы Гильберта было получено одним из его учеников — Максом Деном — уже в 1901 году. Ден обнаружил инвариантную величину, которая не изменялась при разрезании многогранников на кусочки и складывании из них новых фигур. Однако эта величина оказалась различной для некоторых многогранников (в частности, куба и правильного тетраэдра). Последнее обстоятельство явно указывает на тот факт, что эти многогранники равносоставленными не являются.
Ответы к странице 100 №371-380 ГДЗ к учебнику Математика 5 класс Мерзляк, Полонский, Якир
Задание № 371
Прямоугольник ABCD разрезали на квадраты так, как показано на рисунке 139. Сторона наименьшего из квадратов равна 4 см. Найдите длины сторон прямоугольника ABCD.
Задание № 372
Начертите прямоугольник, соседние стороны которого равны 3 см и 6 см. Разделите его на три равных прямоугольника. Вычислите периметр каждого из полученных прямоугольников. Сколько решений имеет задача.
Задача имеет 2 решения:
1) AK = KM = MD = BN = NP = PC = 6 : 3 = 2 (см)
P ABNK = P KNPM = P MPCD = 2 * 2 + 2 * 3 = 10 (см)
2) AK = KM = MD = BN = NP = PC = 3 : 3 = 1 (см)
P ABNK = P KNPM = P MPCD = 2 * 1 + 2 * 6 = 14 (см)
Ответ: 10 см или 14 см.
Задание № 373
Существует ли среди прямоугольников с периметром 12 см такой, который можно разделить на два равных квадрата? В случае положительного ответа выполните рисунок и вычислите периметр каждого из полученных квадратов.
Задание № 374
Как надо разделить квадрат на четыре равные части, чтобы из них можно было сложить два квадрата?
Затем из каждой пары треугольников складываем квадрат.
Задание № 375
Как надо разрезать равнобедренный прямоугольный треугольник на четыре равные части, чтобы из них можно было сложить квадрат?
Задание № 376
Как надо разрезать прямоугольник со сторонами 8 см и 4 см на четыре части, чтобы из них можно было сложить квадрат?
Задание № 377
Как надо разрезать квадрат на треугольник и четырехугольник, чтобы из них можно было сложить треугольник?
Треугольник ставим поверх четырехугольника и получается большой треугольник.
Задание № 378
Как надо разрезать квадрат со стороной 6 см на две части по ломанной, состоящей из трех звеньев, чтобы из полученных частей можно было сложить прямоугольник?
Задание № 379
Проведите прямую MK, луч PS и отрезок AB так, чтобы луч пересекал отрезок AB и прямую MK, а прямая MK не пересекала отрезок AB.
Задание № 380
В магазине имеются лимоны, апельсины и мандарины, всего 740 кг. Если бы продали 55 кг лимонов, 36 кг апельсинов и 34 кг мандаринов, то оставшиеся массы лимонов, апельсинов и мандаринов оказались бы равными. Сколько килограммов фруктов каждого вида имеется в магазине?
Поделить нацело не получится, так как в задаче опечатка. В принципе, можно решить эту задачу, используя дроби: