газ в поле тяжести
2.1.4. Идеальный газ в поле силы тяжести
Каково поведение идеального газа в поле внешней силы? Для определенности в качестве внешней силы возьмем хорошо известную силу тяжести mg. Под действием внешней силы механическая система частиц приобретает импульс и перемещается как целое поступательно в направлении силы. В идеальном газе, находящемся во внешнем поле сил, каждая отдельная частица приобретает импульс в направлении силы, а также соответствующую потенциальную энергию. Однако в газе наряду с упорядоченным движением в направлении действия силы существует хаотическое тепловое движение. В результате конкуренции между этими двумя типами движений возникает неравномерное распределение макроскопических параметров: плотности частиц, давления, температуры по объему, занимаемому газом.
Рассмотрим столб газа сечением S, находящийся при постоянной температуре в поле силы тяжести. Выделим слой газа толщинойdz на высотеzи вычислим давление газа на его основания. Давление слоя газа на верхнее и нижнее основания слоя разное — оно различается в результате действия силы тяжести. Очевидно, разность давлений равна весу газа, заключенного в слое, отнесенному к единице площади основания столба.
Пусть разность давлений есть dP. Давление газа с ростом высоты уменьшается, поэтомуdP равно весу слоя со знаком минус. Вес газа в объеме слояdV =dz·S равен ρ·g·dV, где ρ — плотность газа,g — ускорение силы тяжести. Таким образом,
По определению 
. Выразим отношениеN/V с помощью уравнения состояния (2.7), после чего находим:
.
Интегрируя это соотношение, получим 
, гдеP0 — константа, определяемая пределами интегрирования. Окончательно имеем:
. (2.9)
Здесь P0 — давление приz = 0. т. е. у основания столба. Аналогично с высотой изменяется и плотность частиц
. (2.10)
Давление и плотность газа распределены по объему газа неоднородно, они принимают максимальные значения у основания столба и убывают с высотой.
Величина, входящая в показатель экспоненты в формулах (2.9) и (2.10), есть потенциальная энергия частицы в поле тяжести U =mgz-Таким образом, распределение молекул в произвольном потенциальном внешнем поле, в котором частицы обладают потенциальной энергиейU(r), может быть описано формулой:
. (2.11).
Эта формула называется распределением Больцмана. Здесь n0 — плотность частиц в точках пространства, для которых потенциальная энергия принята равной нулю.
Согласно распределению Больцмана число частиц, обладающих определенными значениями потенциальной энергии определяется отношением величины потенциальной энергии U к тепловой энергии частицыkБT. Чем больше энергия теплового движения, тем более разупорядочена система частиц, значит, тем более однородно распределены частицы в пространстве. В самом деле, еслиkБT >>U,
, и из формулы (2.11) следует, чтоn =n0 при любом значенииU. В случаеkБT 17 / 34 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая > >>
Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.
Идеальный газ в поле силы тяжести. Барометрическая формула.Распределение Больцмана.
Макроскопическая система, макроскопические параметры. Идеальный газ, уравнение состояния идеального газа.
Макроскопические параметры – параметры значения, которых можно определить с помощью приборов, ничего не зная об атомно-молекулярном строении вещества (давление, объем, температура).
Идеальным называют газ, взаимодействием, между молекулами которого можно пренебречь.
Уравнения состояния идеального газа:
Законы идеальных газов: Бойля-Мариотта, Гей-Люссака, Авогадро, Дальтона.
Закон Бойля-Мариотта: При постоянной температуре и массе идеального газа произведение его давления и объёма постоянно. Формула: pV = const
Закон Гей-Люссака:при постоянном давлении объём постоянной массы газа пропорционален абсолютной температуре. Формула: V/T=const
Закон Авогадро: в равных объёмах различных газов, взятых при одинаковых температуре и давлении, содержится одно и то же число молекул.
Закон Дальтона: Давление смеси химически не взаимодействующих идеальных газов равно сумме парциальных давлений.
Внутренняя энергия идеального газа. Степени свободы. Теорема о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы.
В теории идеального газа потенциальная энергия взаимодействия молекул считается равной нулю. Поэтому внутренняя энергия идеального газа определяется кинетической энергией движения всех его молекул. Формула: 
Степени свободы — характеристики движения механической системы. Число степеней свободы определяет минимальное количество независимых переменных, необходимых для полного описания движения механической системы.
В состоянии термодинамического равновесия на каждую степень свободы движения частиц вещества приходится кинетическая энергия в среднем, равная kT/2.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Средняя кинетическая энергия молекул, молекулярно-кинетический смысл температуры.
Основное уравнение МКТ связывает макроскопические параметрыгазовой системы с микроскопическими.
Средняя кинетическая энергия молекул: 
Температура определяется через микроскопические характеристики системы и служит мерой энергии неупорядоченного движения частиц.
5. 
Функция распределения молекул по скоростям. Распределение Максвелла.
Идеальный газ в поле силы тяжести. Барометрическая формула.Распределение Больцмана.
В идеальном газе, находящемся во внешнем поле сил, каждая отдельная частица приобретает импульс в направлении силы, а также соответствующую потенциальную энергию. Однако в газе наряду с упорядоченным движением в направлении действия силы существует хаотическое тепловое движение. В результате конкуренции между этими двумя типами движений возникает неравномерное распределение макроскопических параметров: плотности частиц, давления, температуры по объему, занимаемому газом.
Барометрическая формула — зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести.
В присутствии гравитационного поля (или, в общем случае, любого потенциального поля) на молекулы газа действует сила тяжести. В результате, концентрация молекул газа оказывается зависящей от высоты в соответствии с законом распределения Больцмана: 
Идеальный газ в поле силы тяжести
Каково поведение идеального газа в поле внешней силы? Для определенности в качестве внешней силы возьмем хорошо известную силу тяжести mg. Под действием внешней силы механическая система частиц приобретает импульс и перемещается как целое поступательно в направлении силы. В идеальном газе, находящемся во внешнем поле сил, каждая отдельная частица приобретает импульс в направлении силы, а также соответствующую потенциальную энергию. Однако в газе наряду с упорядоченным движением в направлении действия силы существует хаотическое тепловое движение. В результате конкуренции между этими двумя типами движений возникает неравномерное распределение макроскопических параметров: плотности частиц, давления, температуры по объему, занимаемому газом.
Рассмотрим столб газа сечением S, находящийся при постоянной температуре в поле силы тяжести. Выделим слой газа толщиной dz на высоте z и вычислим давление газа на его основания. Давление слоя газа на верхнее и нижнее основания слоя разное — оно различается в результате действия силы тяжести. Очевидно, разность давлений равна весу газа, заключенного в слое, отнесенному к единице площади основания столба.
Пусть разность давлений есть dP. Давление газа с ростом высоты уменьшается, поэтому dP равно весу слоя со знаком минус. Вес газа в объеме слоя dV = dz·S равен ρ·g·dV, где ρ — плотность газа, g — ускорение силы тяжести. Таким образом,
По определению 
. Выразим отношение N/V с помощью уравнения состояния (2.7), после чего находим:
.
Интегрируя это соотношение, получим 
, где P0 — константа, определяемая пределами интегрирования. Окончательно имеем:
. (2.9)
Здесь P0 — давление при z = 0. т. е. у основания столба. Аналогично с высотой изменяется и плотность частиц
. (2.10)
Давление и плотность газа распределены по объему газа неоднородно, они принимают максимальные значения у основания столба и убывают с высотой.
Величина, входящая в показатель экспоненты в формулах (2.9) и (2.10), есть потенциальная энергия частицы в поле тяжести U = mgz-Таким образом, распределение молекул в произвольном потенциальном внешнем поле, в котором частицы обладают потенциальной энергией U(r), может быть описано формулой:
. (2.11).
Эта формула называется распределением Больцмана. Здесь n0 — плотность частиц в точках пространства, для которых потенциальная энергия принята равной нулю.
Согласно распределению Больцмана число частиц, обладающих определенными значениями потенциальной энергии определяется отношением величины потенциальной энергии U к тепловой энергии частицы kБT. Чем больше энергия теплового движения, тем более разупорядочена система частиц, значит, тем более однородно распределены частицы в пространстве. В самом деле, если kБT >> U, 
, и из формулы (2.11) следует, что n = n0 при любом значении U. В случае kБT
Дата добавления: 2015-08-08 ; просмотров: 1327 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Барометрическая формула. Рассмотрим поведение идеального газа в поле силы тяжести
Рассмотрим поведение идеального газа в поле силы тяжести. Как известно, по мере подъема от поверхности Земли давление атмосферы уменьшается. Найдем зависимость давления атмосферы от высоты над уровнем моря, используя следующую упрощенную модель.
1. Температура газа и его молекулярный состав не зависят от высоты.
2. Ускорение свободного падения на всех высотах, где существует атмосфера, постоянно.
Известно, что давление жидкости высотой h на дно сосуда определяется формулой P=rgh, где r – плотность жидкости, а g – ускорение свободного падения. Эта формула справедлива, если r=const. Для жидкостей это условие хорошо выполняется, т.к. жидкость мало сжимаема. С другой стороны, для воздуха это условие нарушается, т.к. с ростом высоты r уменьшается.
Выделим на некоторой высоте h над поверхностью моря объем газа высотой dh и сечением S (рис. 8.6). Тогда давление воздуха на нижнее основание выделенного цилиндра будет
 Рис. 8.6. |
 , | (8.20) |
где r – плотность воздуха на высоте h, а знак «минус» указывает, что с ростом высоты, давление атмосферы падает.
Найдём плотность воздуха r из уравнения Менделеева–Клапейрона
 |
и подставим в (8.20). После разделения переменных получим:
 . |
Интегрируя последнее выражение в пределах от h0 до h, получаем
 , | (8.21) |
где P и P0 – давление атмосферы на высоте соответственно h и h0.
Последняя формула выражает зависимость давления атмосферы от высоты над уровнем моря и называется барометрической формулой.
Если в выражении (8.21) положить h0=0 (т.е. высоту отсчитывать от уровня моря), то барометрическая формула примет вид
 , | (8.22) |
 Рис. 8.7. |
Следует отметить, что несмотря на значительное число упрощений, формула (8.22) достаточно хорошо описывает изменения атмосферного давления с высотой и применяется при определении высоты полета.
Нетрудно видеть, что при возрастании температуры зависимость P(h) будет более пологой (рис. 8.7), что может приводить к рассеиванию атмосферы на больших высотах – покиданию более быстрыми молекулами сферы притяжения данной планеты. Дальнейший анализ (8.22) позволяет также сделать ряд важных для астрономии выводов (отсутствие атмосферы на Луне вследствие малости g и т.д.).
Идеальный газ в поле силы тяжести. Барометрическая формула. Распределение Больцмана.
Макроскопическая система, макроскопические параметры. Идеальный газ, уравнение состояния идеального газа.
Макроскопические параметры – параметры значения, которых можно определить с помощью приборов, ничего не зная об атомно-молекулярном строении вещества (давление, объем, температура).
Идеальным называют газ, взаимодействием, между молекулами которого можно пренебречь.
Уравнения состояния идеального газа:
Законы идеальных газов: Бойля-Мариотта, Гей-Люссака, Авогадро, Дальтона.
Закон Бойля-Мариотта: При постоянной температуре и массе идеального газа произведение его давления и объёма постоянно. Формула: pV = const
Закон Гей-Люссака: при постоянном давлении объём постоянной массы газа пропорционален абсолютной температуре. Формула: V/T=const
Закон Авогадро: в равных объёмах различных газов, взятых при одинаковых температуре и давлении, содержится одно и то же число молекул.
Закон Дальтона: Давление смеси химически не взаимодействующих идеальных газов равно сумме парциальных давлений.
Внутренняя энергия идеального газа. Степени свободы. Теорема о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы.
В теории идеального газа потенциальная энергия взаимодействия молекул считается равной нулю. Поэтому внутренняя энергия идеального газа определяется кинетической энергией движения всех его молекул. Формула: 
Степени свободы — характеристики движения механической системы. Число степеней свободы определяет минимальное количество независимых переменных, необходимых для полного описания движения механической системы.
В состоянии термодинамического равновесия на каждую степень свободы движения частиц вещества приходится кинетическая энергия в среднем, равная kT/2.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Средняя кинетическая энергия молекул, молекулярно-кинетический смысл температуры.
Основное уравнение МКТ связывает макроскопические параметры газовой системы с микроскопическими.
Средняя кинетическая энергия молекул: 
Температура определяется через микроскопические характеристики системы и служит мерой энергии неупорядоченного движения частиц.
5. 
Функция распределения молекул по скоростям. Распределение Максвелла.
Идеальный газ в поле силы тяжести. Барометрическая формула. Распределение Больцмана.
В идеальном газе, находящемся во внешнем поле сил, каждая отдельная частица приобретает импульс в направлении силы, а также соответствующую потенциальную энергию. Однако в газе наряду с упорядоченным движением в направлении действия силы существует хаотическое тепловое движение. В результате конкуренции между этими двумя типами движений возникает неравномерное распределение макроскопических параметров: плотности частиц, давления, температуры по объему, занимаемому газом.
Барометрическая формула — зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести.
В присутствии гравитационного поля (или, в общем случае, любого потенциального поля) на молекулы газа действует сила тяжести. В результате, концентрация молекул газа оказывается зависящей от высоты в соответствии с законом распределения Больцмана: 