бесконечное поле конечной характеристики

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Бесконечное поле

Мы дадим сейчас другое доказательство предложения 1, годное только для случая алгебр Ли над бесконечными полями характеристики f 2, но зато позволяющее установить в этом случае более общий результат. [31]

Эта топология сильно не отделима; напр. Ай над бесконечным полем k любые два открытые непустые подмножества пересекаются. [35]

Сравнивая ( 2) и ( 3), замечаем, что для систем уравнений над конечными полями алгоритм к по числу операций над элементами поля существенно экономнее алгоритма Гаусса. Заметим еще, что для уравнений над бесконечными полями в худших случаях ( которые будут наиболее вероятными) эти алгоритмы, по существу, совпадают. Так как во второй части алгоритм к осуществляется по схеме алгоритма Гаусса, то по числу элементарных преобразований со строками матриц эти алгоритмы имеют один и тот же порядок сложности. [36]

В формулировке теоремы 6 требуется, чтобы поле Р было бесконечно. Однако если поле Р конечно, то его можно расширить до бесконечного поля ( например, до поля Р ( х) рациональных дробей), н тогда наше рассуждение будет справедливо. [37]

Постепенно вся власть в странах Европы была передана деньгам, отлажены избирательные технологии. Их результаты все равно определяются деньгами, но создается видимость равноправия и бесконечное поле для поучения диктаторов в остальных странах. Даже сами избиратели это понимают, поэтому большинство из них просто не ходит на выборы. [45]

Источник

Конечное поле GF(256) и немного магии

Введение

Будучи студентом я посещаю занятия по криптографии. И разумеется этот курс не мог обойти вниманием стандарт AES.

При реализации данного алгоритма встает вопрос о реализации полей GF(2^8), что будет освещено в данной статье. Будут рассмотрены: битовая магия для умножения элементов поля, шаблоны для генерации таблиц замен на этапе компиляции.

Вторая часть предполагает, что читатель имеет доступ к компилятору с поддержкой C++14. Первая часть будет написана в стиле Си.

Сперва рассмотрим как образуется поле с простым числом элементов GF(p).

Его элементы — числа . Операции сложения и умножения — сложение и умножение по модулю p.

2 + 6 = 8%7 = 1
4 * 3 = 12%7 = 5

На основе полей GF(p) строятся более общие поля GF(p^q), p — простое, q — натуральное.

Элементы таких полей — многочлены над полем GF(p):

Сложение в данном поле будет непосредственно сложением данных многочленов.

Например при p=2, q=3:

С умножением чуть сложнее. Для того что бы определить его требуется многочлен Q(x) степени q, неприводимый над GF(p) (не существует двух многочленов меньшей степени, в произведении дающих данный). К счастью для любых p и q такой многочлен существует.
Когда многочлен Q(x) выбран, для того что бы найти произведение двух элементов a*b поля нужно:

Q(x) = x^3 + x + 1 (Неприводимый многочлен)

a = x^2 + 1, b = x^2
a(x) * b(x) = x^4 + x^2
(x^4 + x^2) % Q(x) = (x^4 + x^2 — x*Q(x)) % Q(x) = (x^3 + x) % Q(x) = (x^3 + x — Q(x)) % Q(x) = 1 = a * b

Q(x) = x^2 + x + 2 (Неприводимый многочлен)

a = x+2
b = 2x + 2
a(x) * b(x) = 2x^2 + (6%3) * x + (4%3) = 2x^2 + 1
(2x^2 + 1) % Q(x) = (2x^2 + 1 — 2Q(x)) % Q(x) = ((-2%3)x + (-3%3)) % Q(x) = x % Q(x) = x

Реализация

Итак, требуется реализовать следующие операции в поле GF(256) над многочленом x^8 + x^4 + x^3 + x + 1:

Первое что приходит на ум — реализовать произведение многочленов наивным алгоритмом:

После чего написать функцию нахождения остатка от деления на многочлен.

В этот момент я задумался что будет дальше. А дальше меня ждал расширенный алгоритм Евклида для многочленов, и хоть на самом деле это не так страшно, было решено подумать. А нельзя ли сделать это как-нибудь красиво? Жаль нельзя используя одну операцию перемножить два таких многочлена, найти остаток от деления на другой.

А точно ли нельзя? Посмотрим что нам мешает реализовать произведение многочленов через простое произведение.

По формуле для произведения многочленов имеем:

Для произведения двух чисел в двоичной системе счисление получаем почти аналогиное выражение:

Разница состоит в том, что для многочленов выражение определяет коэффициент при .

Аналогичное высказывание для чисел не будет верно из-за того, что в предыдущем разряде могло произойти переполнение, меняющее значение рассматриваемого.

Как избавиться от переполнения? Очень просто. Рассмотрим следующую запись:

Поскольку при перемножении многочленов степени не выше 7 нельзя получить многочлен степени выше 14, разряду будет соответствовать сумма не более чем из 15 нулей и единиц (на самом деле легко убедиться что не более 8), а значит переполнение невозможно. Остается только преобразовать непосредственную сумму в сумму по модулю 2, выделив младший бит.

И так, если представлять полином как число, в котором каждому блоку соответствует блок из 4 бит, то произведение можно написать следующим образом:

Теперь разберем произведение как элементов поля Галуа.

Посмотрим на полином . В выбранном представлении он выглядит как q = 0x100011011. Невооруженным глазом видно большое количество нулевых блоков сразу после старшего блока. При умножении Q(x) на полином вида мы получим полином:

или полином, старшие блоки которого есть . Этим мы и воспользуемся для написания функции умножения:

С умножением разобрались. Теперь нужно научиться находить обратный элемент по нему.

Вспоминаем, что поле без сложения и 0 образует группу из 255 элементов. Отсюда получаем, что для любого элемента x найдется число r, равное размеру подгруппы, образованной этим элементом, такое что x^r = 1. Так как порядок подгруппы — делитель порядка группы, , что с свою очередь дает нам что . Тогда согласно определению обратного элемента имеем :

Все? Ах, да, нужно уметь преобразовывать исходные байты в расширенную форму, в которой мы проводим все операции. Это можно сделать в лоб циклом, но не сегодня. Внутренний голос говорит что нужно использовать грязный трюк. В конце концов не я ли читал статью Обстоятельно о подсчёте единичных битов?

Обозначим байт как 0bABCDEFGH. Первое что приходит в голову это умножение на 0b1001001 трех младших бит:

0bFGH * 0b1001001 = 0bFGHFGHFGH

0bFGHFGHFGH | 0b100010001 = 0bF000G000H, или три младших бита встали на свои места.

Аналогично проделывается над средней тройкой бит и старшей парой. Трюк был придуман. Но три умножения это как то слишком много. Нельзя ли делать тоже самое в раз по 4 бита? Рассмотрев многочисленные выборки бит я сумел найти лишь одну четверку с которой это работает:

Обратите внимание на младшие биты 7, 6, 1, 0 блоков. Для них характерны наличие нужного бита на своем месте и что не менее важно, невозможность переполнения за счет младших (относительно данных) бит.

Как было сказано, двух парных четверок бит я не нашел. Неудача? Не совсем. Если мы способны поставить семь из восьми бит на свои места использовав 2 умножения, мы можем поставить все 8, водрузив последний на свое место простым сдвигом.

С сжатием обратно дела обстоят проще. Следующее умножение показывает как сжать 4 бита:

С учетом этого код приобретает следующий вид:

Пусть считает компилятор

Зачем использовать довольно дорогие преобразования байт когда можно воспользоваться просчитанной заранее таблицей? В данной секции я поясню как просчитать её на этапе компиляции при помощи магии шаблонов на примере таблицы обратных элементов по сложению.

Первым делом всем ранее написанным функциям добавим спецификатор constexpr (с этого момента компиляция потребует поддержки с++14). Это позволит использовать данные функции в качестве аргументов шаблонов.

Рассмотрим что происходит при попытке использовать GaloisTable ::data.

Компилятор находит соответствующую специализацию шаблона, в которой data определена как GaloisTable ::data. Она в свою очередь определена через GaloisTable ::data и так далее.

Когда m достигает 0 компилятору удается найти более конкретную специализацию шаблона (А компилятор всегда предпочитает более конкретную). Тут то и завершается рекурсивное задание классов и из последовательности в Data… создается сам массив, заимствованный всеми предыдущими классами.

Data… на это шаге будет ничем иным как inverse(0), inverse(1), …, inverse(255), что нам и было нужно.

Надеюсь, статья была чем-либо полезной.

Update: Префикс Galua заменен на Galois.

Источник

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Поля Галуа

Структура конечного поля

Существование конечных полей, т.е. полей, состоящих из конечного числа элементов установлено в пункте ☞ ПОЛЕ.

Нет ли противоречий в этих построенных таблицах?

В самом деле, возможно, что существует не найденная нами цепочка действий, которая приведет к противоречию с каким-то результатом из полученных таблиц. Ответ на этот вопрос оказывается отрицательным: противоречий мы не получим.

Пример. Рассмотрим множество, состоящее из квадратных матрицы второго порядка

Обобщенная теорема Ферма

Пример конечного поля

Ответ. Нет.

Подсказка: см. доказательство теоремы ☞ ЗДЕСЬ.

Пример. Для

Теорема. Конечные поля одинакового порядка изоморфны, т.е. между элементами этих полей можно установить такое взаимно-однозначное соответствие, которое сохраняет результаты сложения и умножения элементов.

Доказательства этой теоремы, приведенные в литературе, оказались трудны для моего понимания, поэтому я просто привожу проверку этого утверждения на примере ☞ ЗДЕСЬ.

Полиномы, неприводимые по модулю

В настоящем пункте под неприводимым полиномом понимается нормализованный неприводимый полином.

Непосредственным следствием теоремы 2 является

Доказательство (и критерий, часто позволяющий быстро отыскать такие корни) ☞ ЗДЕСЬ.

Полиномы над GF(2)

Заметим, что любой (не тождественно нулевой) полином из такого поля всегда нормализован.

Вывод. Поле Галуа одновременно обладает свойствами циклической группы, линейного пространства и алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. С одной стороны, все ненулевые элементы поля можно представить как степени одного единственного. С другой стороны, операция сложения полиномов эквивалентна сложению векторов, составленных из их коэффициентов. Заметим, что в линейном пространстве не вводится аналога умножения векторов — такого, чтобы при умножении двух векторов получался снова вектор. С третьей стороны, все элементы поля разбиваются на подмножества, каждому из которых соответствует неприводимое алгебраическое уравнение — говорят, что элементы поля являются корнями неприводимых над GF(2) полиномов.

Решение ☞ ЗДЕСЬ.

Решение ☞ ЗДЕСЬ.

Полиномы над GF(p)

Источники

[1]. Чеботарев Н. Основы теории Галуа. Часть I. М.-Л.ОНТИ. 1934.

[2]. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. М.Мир. 1976.

[3]. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1. М.Мир. 1988.

[4]. Ротман Т. Короткая жизнь Эвариста Галуа. Scientific American. N 1, 1983, cc. 84-93. Текст ☞ ЗДЕСЬ.

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Нецикличность мультипликативной группы бесконечного поля

Последний раз редактировалось Ho-DH 12.05.2011, 19:53, всего редактировалось 2 раз(а).

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Sonic86 12.05.2011, 19:52, всего редактировалось 1 раз.

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось VAL 13.05.2011, 00:51, всего редактировалось 3 раз(а).

Любая конечная мультипликативная группа поля циклична. (Само поле конечным быть не обязано.)

Заслуженный участник

А. погодите, ведь ? Тогда у бесконечного поля и мультипликативная группа должна быть бесконечной. В любом случае, мультпликативная группа тоже циклической не является — в какую целую степень ни возведи, тройку не получишь: — число иррациональное.

Ho-DH
Может, покажете все-таки то самое доказательство?

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Ho-DH 13.05.2011, 08:08, всего редактировалось 1 раз.

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Не устроил тем, что элементарные вещи все же лучше (с эстетической точки зрения) доказывать наивными методами (если доказательство просто).

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось VAL 13.05.2011, 17:32, всего редактировалось 1 раз.

Показатель 1 характеристика 2.

Последний раз редактировалось alex1910 13.05.2011, 16:51, всего редактировалось 1 раз.

Доказательства и правда нет:(

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛЯ

целое положительное простое число или число 0, однозначно определяемое для данного поля следующим образом. Если для нек-рого п>0

Смотреть что такое «ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛЯ» в других словарях:

характеристика (поля) — — [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23] Тематики защита информации EN characteristic … Справочник технического переводчика

Характеристика поля — Содержание 1 Определение 2 Примеры 3 Свойства 4 Литература // … Википедия

Характеристика кольца — Содержание 1 Определение 2 Примеры 3 Свойства 4 Литература … Википедия

характеристика направленности преобразователя — Зависимость амплитуды (или интенсивности) акустического поля в дальней зоне преобразователя на постоянном расстоянии от эффективного акустического центра излучения от угла между центральным лучом преобразователя и прямой, проходящей через… … Справочник технического переводчика

Характеристика (в технике) — Характеристика в технике, взаимосвязь между зависимыми и независимыми переменными, определяющими состояние технического объекта (процесса, прибора, устройства, машины, системы), выраженная в виде текста, таблицы, математической формулы, графика и … Большая советская энциклопедия

характеристика — 3.1 характеристика (characteristic): Качественное или количественное свойство элемента. Примечание Примеры характеристик давление, температура, напряжение. Источник: ГОСТ Р 51901.11 2005: Менеджмент риска. Исследование опасности и… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Поля Галуа — Конечное поле или поле Галуа поле, состоящее из конечного числа элементов. Конечное поле обычно обозначается или GF(q), где q число элементов поля. Простейшим примером конечного поля является кольцо вычетов по модулю простого числа. Содержание … Википедия

Поля (река) — У этого термина существуют и другие значения, см. Поля. Поля Заводь на П … Википедия

Характеристика направленности громкоговорителя — 85. Характеристика направленности громкоговорителя Характеристика направленности Зависимость звукового давления в точке свободного звукового поля, находящейся на определенном расстоянии от рабочего центра от угла между рабочей осью… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Характеристика — I Характеристика в математике, 1) целая часть десятичного Логарифма. 2) Понятие теории дифференциальных уравнений (См. Дифференциальные уравнения) с частными производными. Х. дифференциального уравнения 1 го порядка… … Большая советская энциклопедия

Источник