алгебраически замкнутое поле это
Алгебраически замкнутое поле
Алгебраически замкнутое поле — поле 
, в котором всякий многочлен ненулевой степени над имеет хотя бы один корень.
Для любого поля существует единственное с точностью до изоморфизма его алгебраическое замыкание, то есть его алгебраическое расширение, являющееся алгебраически замкнутым.
Свойства
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Алгебраически замкнутое поле» в других словарях:
АЛГЕБРАИЧЕСКИ ЗАМКНУТОЕ ПОЛЕ — поле А:, в к ром всякий многочлен ненулевой степени над kимеет хотя бы один корень. В действительности, из алгебраич. замкнутости поля будет следовать, что каждый многочлен степени пнад kимеет в kровно пкорней, т. е. каждый неприводимый многочлен … Математическая энциклопедия
Поле (алгебраич.) — Поле алгебраическое, важное алгебраическое понятие, часто используемое как в самой алгебре, так и в др. отделах математики и являющееся предметом самостоятельного изучения. Над обычными числами можно производить четыре арифметических действия… … Большая советская энциклопедия
Поле — I Поле 1) обширное, ровное, безлесное пространство. 2) В сельском хозяйстве участки пашни, на которые разделены площадь Севооборота, а также внесевооборотные (запольные) участки, используемые для выращивания с. х. растений. 3)… … Большая советская энциклопедия
ЛИ РАЗРЕШИМАЯ АЛГЕБРА — алгебра Ли над полем К, удовлетворяющая одному из следующих эквивалентных условий: 1) члены производного ряда для равны <0>при достаточно большом k; 2).существует конечная убывающая цепочка идеалов алгебры таких, что и (т. е. алгебры Ли абелевы) … Математическая энциклопедия
КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — гомоморфизм конечной группы Gв группу обратимых линейных операторов в векторном пространстве над полем К. Теория К … Математическая энциклопедия
ШЕВАЛЛЕ ГРУППА — линейная алгебраич. группа над нек рым полем, связанная с полупростой комплексной алгеброй Ли. Пусть Ли полупростая алгебра над ее подалгебра Картана, система корней алгебры относительно система простых корней, базис Шевалле алгебры его линейная… … Математическая энциклопедия
Теорема Гильберта о нулях — (теорема Гильберта о корнях, во многих языках, в том числе иногда и в русском, часто используют изначальное немецкое название Nullstellensatz, что переводится как теорема о нулях ) теорема, устанавливающая фундаментальную связь между… … Википедия
ВИТТА КОЛЬЦО — поля k, кольцо типов квадратичных форм над k, кольцо W(k).классов невырожденных квадратичных форм на конечномерных векторных пространствах над kпо следующему отношению эквивалентности: форма f1 эквивалентна форме тогда и только тогда, когда для… … Математическая энциклопедия
Алгебраическое замыкание поля
Полезное
Смотреть что такое «Алгебраическое замыкание поля» в других словарях:
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЗАМЫКАНИЕ — поля k алгебраич. расширение поля k, являющееся алгебраически замкнутым полем. Такое расширение для любого поля kсуществует п определено однозначно с точностью до изоморфизма. А. з. поля действительных чисел является поле комплексных чисел (см.… … Математическая энциклопедия
Замыкание (математика) — Замыкание: Термины В математике Замыкание (геометрия) Алгебраическое замыкание поля Оператор замыкания Замыкание отношения Замыкание относительно операции Замыкание (программирование) подпрограмма, сохраняющая контекст (привязку к переменным)… … Википедия
Замыкание множества — Замыкание: Термины В математике Замыкание (геометрия) Алгебраическое замыкание поля Оператор замыкания Замыкание отношения Замыкание относительно операции Замыкание (программирование) подпрограмма, сохраняющая контекст (привязку к переменным)… … Википедия
Замыкание — В Викисловаре есть статья «замыкание» Замыкание процесс или результат действия, сводящегося к ограничению или спрямлению чего либо … Википедия
Замыкание (алгебра) — У этого термина существуют и другие значения, см. Замыкание. Замыкание в алгебре это замыкание относительно алгебраических операций. Определение Пусть подмножество некоторой алгебраической структуры (например, группы или кольца).… … Википедия
Характеристика поля — Содержание 1 Определение 2 Примеры 3 Свойства 4 Литература // … Википедия
Замкнутая операция — Замыкание относительно алгебраических операций. Пусть M подмножество некоторой алгебраической структуры K (например, группы или кольца). Замыканием множества M относительно алгебраических операций в K называется минимальная подструктура… … Википедия
Нормальное расширение — Нормальное расширение алгебраическое расширение поля EÉ K для которого каждый неприводимый многочлен f(x) над K, имеющий хотя бы один корень в E, разлагается в E на линейные множители. Равносильное определение: Если KÌ EÌ K*, где K* … … Википедия
Характеристика кольца — Содержание 1 Определение 2 Примеры 3 Свойства 4 Литература … Википедия
АЛГЕБРАИЧЕСКИ ЗАМКНУТОЕ ПОЛЕ
поле А:, в к-ром всякий многочлен ненулевой степени над kимеет хотя бы один корень. В действительности, из алгебраич. замкнутости поля будет следовать, что каждый многочлен степени пнад kимеет в kровно пкорней, т. е. каждый неприводимый многочлен из кольца многочленов k[х]имеет степень 1. Поле kалгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда оно не имеет собственного алгебраич. расширения (см. Расширение поля).
Существует единственное с точностью до изоморфизма алгебраич. расширение поля k, являющееся А. з. п.; оно наз. алгебраическим замыканием поля kи обычно обозначается через k. Всякое А. з. п., содержащее k, содержит подполе, изоморфное k.
Алгебраич. замыканием поля действительных чисел является поле комплексных чисел. Его алгебраич. замкнутость устанавливается Алгебры, основной теоремой.
Лит.:[1 ] 3арисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, т. 1, пер. с англ., М., 1963; [2] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968. О. А. Иванова.
Полезное
Смотреть что такое «АЛГЕБРАИЧЕСКИ ЗАМКНУТОЕ ПОЛЕ» в других словарях:
Поле (алгебраич.) — Поле алгебраическое, важное алгебраическое понятие, часто используемое как в самой алгебре, так и в др. отделах математики и являющееся предметом самостоятельного изучения. Над обычными числами можно производить четыре арифметических действия… … Большая советская энциклопедия
Поле — I Поле 1) обширное, ровное, безлесное пространство. 2) В сельском хозяйстве участки пашни, на которые разделены площадь Севооборота, а также внесевооборотные (запольные) участки, используемые для выращивания с. х. растений. 3)… … Большая советская энциклопедия
ЛИ РАЗРЕШИМАЯ АЛГЕБРА — алгебра Ли над полем К, удовлетворяющая одному из следующих эквивалентных условий: 1) члены производного ряда для равны <0>при достаточно большом k; 2).существует конечная убывающая цепочка идеалов алгебры таких, что и (т. е. алгебры Ли абелевы) … Математическая энциклопедия
КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — гомоморфизм конечной группы Gв группу обратимых линейных операторов в векторном пространстве над полем К. Теория К … Математическая энциклопедия
ШЕВАЛЛЕ ГРУППА — линейная алгебраич. группа над нек рым полем, связанная с полупростой комплексной алгеброй Ли. Пусть Ли полупростая алгебра над ее подалгебра Картана, система корней алгебры относительно система простых корней, базис Шевалле алгебры его линейная… … Математическая энциклопедия
Теорема Гильберта о нулях — (теорема Гильберта о корнях, во многих языках, в том числе иногда и в русском, часто используют изначальное немецкое название Nullstellensatz, что переводится как теорема о нулях ) теорема, устанавливающая фундаментальную связь между… … Википедия
ВИТТА КОЛЬЦО — поля k, кольцо типов квадратичных форм над k, кольцо W(k).классов невырожденных квадратичных форм на конечномерных векторных пространствах над kпо следующему отношению эквивалентности: форма f1 эквивалентна форме тогда и только тогда, когда для… … Математическая энциклопедия
Содержание
Примеры
Эквивалентные свойства
Учитывая поле F, утверждение «F алгебраически замкнуто «эквивалентно другим утверждениям:
Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда единственный неприводимые многочлены в кольцо многочленов F[Икс] имеют степень один.
Каждый многочлен является произведением многочленов первой степени
Если F обладает этим свойством, то очевидно, что каждый непостоянный многочлен из F[Икс] имеет корень в F; другими словами, F алгебраически замкнуто. С другой стороны, указанное здесь свойство выполняется для F если F алгебраически замкнуто следует из предыдущего свойства вместе с тем фактом, что для любого поля K, любой многочлен от K[Икс] можно записать как произведение неприводимых многочленов.
Многочлены простой степени имеют корни
Если каждый многочлен над F простой степени имеет корень в F, то каждый непостоянный многочлен имеет корень в F. [1] Отсюда следует, что поле алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда каждый многочлен над F простой степени имеет корень в F.
Поле не имеет собственного алгебраического расширения
Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда у него нет собственного алгебраическое расширение.
С другой стороны, если F имеет собственное алгебраическое расширение K, то минимальный многочлен элемента в K F неприводимо и его степень больше 1.
Поле не имеет собственного конечного расширения
Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда у него нет собственного конечное расширение потому что если в пределах предыдущее доказательство, термин «алгебраическое расширение» заменяется термином «конечное расширение», тогда доказательство остается в силе. (Обратите внимание, что конечные расширения обязательно алгебраические.)
Каждый эндоморфизм F п имеет собственный вектор
Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда для каждого натурального числа п, каждый линейная карта из F п в себе имеет некоторые собственный вектор.
Разложение рациональных выражений
Если F алгебраически замкнуто, так как неприводимые многочлены от F[Икс] имеют степень 1, указанное выше свойство выполняется теорема о частичном разложении.
может быть записано как отношение двух многочленов, знаменатель которых является произведением многочленов первой степени. С п(Икс) неприводимо, он должен делить это произведение и, следовательно, также должен быть полиномом первой степени.
Относительно простые многочлены и корни
Для любого поля F, если два полинома п(Икс),q(Икс) ∈ F[Икс] находятся относительно простой то у них нет общего корня, ибо если а ∈ F был общий корень, тогдап(Икс) иq(Икс) оба будут кратны Икс − а и поэтому они не будут относительно простыми. Поля, для которых имеет место обратная импликация (то есть такие поля, что если два многочлена не имеют общего корня, они взаимно просты), в точности являются алгебраически замкнутыми полями.
Другие свойства
Если предложение, которое может быть выражено на языке логика первого порядка верно для алгебраически замкнутого поля, то оно верно для любого алгебраически замкнутого поля с тем же характеристика. Более того, если такое утверждение верно для алгебраически замкнутого поля с характеристикой 0, то оно не только верно для всех других алгебраически замкнутых полей с характеристикой 0, но существует некоторое натуральное число N такое, что предложение справедливо для любого алгебраически замкнутого поля с характеристикойп когда п > N. [2]
Каждое поле F имеет некоторое расширение, алгебраически замкнутое. Такое расширение называется алгебраически замкнутое расширение. Среди всех таких расширений одно и только одно (с точностью до изоморфизма, но нет уникальный изоморфизм) который является алгебраическое расширение из F; [3] это называется алгебраическое замыкание из F.
Теория алгебраически замкнутых полей имеет исключение квантора.
Алгебраическое замыкание
Полезное
Смотреть что такое «Алгебраическое замыкание» в других словарях:
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЗАМЫКАНИЕ — поля k алгебраич. расширение поля k, являющееся алгебраически замкнутым полем. Такое расширение для любого поля kсуществует п определено однозначно с точностью до изоморфизма. А. з. поля действительных чисел является поле комплексных чисел (см.… … Математическая энциклопедия
Замыкание (математика) — Замыкание: Термины В математике Замыкание (геометрия) Алгебраическое замыкание поля Оператор замыкания Замыкание отношения Замыкание относительно операции Замыкание (программирование) подпрограмма, сохраняющая контекст (привязку к переменным)… … Википедия
Замыкание множества — Замыкание: Термины В математике Замыкание (геометрия) Алгебраическое замыкание поля Оператор замыкания Замыкание отношения Замыкание относительно операции Замыкание (программирование) подпрограмма, сохраняющая контекст (привязку к переменным)… … Википедия
Замыкание — В Викисловаре есть статья «замыкание» Замыкание процесс или результат действия, сводящегося к ограничению или спрямлению чего либо … Википедия
Замыкание (алгебра) — У этого термина существуют и другие значения, см. Замыкание. Замыкание в алгебре это замыкание относительно алгебраических операций. Определение Пусть подмножество некоторой алгебраической структуры (например, группы или кольца).… … Википедия
АФФИННОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОЖЕСТВО — аффинное алгебраическое множество, множество решений нек рой системы алгеб раич. уравнений. Пусть поле и его алгебраич. замыкание. Подмножество Xдекартова произведения наз. аффинным алгебраическим множеством, если его точки являются общими нулями … Математическая энциклопедия
Замкнутая операция — Замыкание относительно алгебраических операций. Пусть M подмножество некоторой алгебраической структуры K (например, группы или кольца). Замыканием множества M относительно алгебраических операций в K называется минимальная подструктура… … Википедия
Нормальное расширение — Нормальное расширение алгебраическое расширение поля EÉ K для которого каждый неприводимый многочлен f(x) над K, имеющий хотя бы один корень в E, разлагается в E на линейные множители. Равносильное определение: Если KÌ EÌ K*, где K* … … Википедия