Построение угла, равного данному
Пример:
Отложить от данного луча угол, равный данному.
Дано: луч ОМ, 
А.
Отложить: от луча ОМ угол, равный А.
Решение:
Произвольно строим с помощью линейки А и луч ОА.
Строим с помощью циркуля окружность произвольного радиуса с центром в вершине А.
Точки пересечения окружности со сторонами А обозначаем В и С, соединяем их с помощью линейки.
Построим с помощью циркуля окружность того же радиуса, как и окружность с центром в вершине А, от начала луча ОМ точке О.
Точку пересечения данной окружности с лучом ОМ обозначим D.
Теперь строим с помощью циркуля окружность радиуса ВС с центром в точке D.
Получаем окружности с центрами в точках О и D пересекаются в двух точках, обозначим одну из этих точек Е.
С помощью линейки проведем луч ОЕ.
Рассмотрим треугольники АВС и ОDE.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Примеры задач на построение
Построение угла, равного данному
Отложить от данного луча угол, равный данному.
Данный угол с вершиной А и луч ОМ изображены на рисунке 84. Требуется построить угол, равный углу А, так, чтобы одна из его сторон совпала с лучом ОМ.
Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла. Эта окружность пересекает стороны угла в точках В и С (рис. 85, а). Затем проведём окружность того же радиуса с центром в начете данного луча ОМ. Она пересекает луч в точке D (рис. 85, б). После этого построим окружность с центром D, радиус которой равен ВС. Окружности с центрами О и D пересекаются в двух точках. Одну из этих точек обозначим буквой Е. Докажем, что угол МОЕ — искомый.
Рассмотрим треугольники АВС и ODE. Отрезки АВ и АС являются радиусами окружности с центром А, а отрезки OD и ОЕ — радиусами окружности с центром О (см. рис. 85, б). Так как по построению эти окружности имеют равные радиусы, то AB = OD, АС = ОЕ. Также по построению ВС = DE.
Следовательно, 
АВС = ODE по трём сторонам. Поэтому ∠DOE = ∠BAC, т. е. построенный угол МОЕ равен данному углу А.
То же построение можно выполнить и на местности, если вместо циркуля воспользоваться верёвкой.
Построение биссектрисы угла
Построить биссектрису данного угла.
Данный угол ВАС изображён на рисунке 86. Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине А. Она пересечёт стороны угла в точках В и С.
Затем проведём две окружности одинакового радиуса ВС с центрами в точках В и С (на рисунке изображены лишь части этих окружностей). Они пересекутся в двух точках, из которых хотя бы одна лежит внутри угла. Обозначим её буквой Е. Докажем, что луч АЕ является биссектрисой данного угла ВАС.
Рассмотрим треугольники АСЕ и АВЕ. Они равны по трём сторонам. В самом деле, АЕ — общая сторона; АС и АВ равны как радиусы одной и той же окружности; СЕ = BE по построению.
Из равенства треугольников АСЕ и АВЕ следует, что ∠CAE = ∠BAE, т. е. луч АЕ — биссектриса данного угла ВАС.
С чего начинается построение угла равного данному
ТЕМА УРОКА: Построение угла, равного данному.
Содержание
Цели урока:
Задачи урока:
План урока:
Повторение.
Плоский угол — неограниченная геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (вершины угла).
Углом также называют фигуру образованную всеми точками плоскости, заключёнными между этими лучами (Вообще говоря, двум таким лучам соответствуют два угла, так как они делят плоскость на две части. Один из этих углов условно называют внутренним, а другой — внешним.
Иногда, для краткости, углом называют угловую меру.
Для обозначения угла имеется общепринятый символ: 
, предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном.
Угол – это геометрическая фигура ( рис.1 ), образованная двумя лучами OA и OB ( стороны угла ), исходящими из одной точки O ( вершина угла ).
Угол обозначается символом и тремя буквами, обозначающими концы лучей и вершину угла: AOB ( причём, буква вершины – средняя ). Углы измеряются величиной поворота луча ОА вокруг вершины O до тех пор, пока луч OA не переходит в положение OB. Широко применяются две единицы измерения углов: радиан и градус. О радианном измерении углов см. ниже в пункте «Длина дуги», а также в главе «Тригонометрия».
Градусная система измерения углов.
Прямые линии, образующие прямой угол, называются взаимно перпендикулярными. Если прямые АВ и МK перпендикулярны, то это обозначается: AB 
MK.
Построение угла, равного данному.
Анализ.
Пусть a – данный луч с вершиной A, а угол (ab) искомый. Выберем точки B и C на лучах a и b соответственно. Соединив точки B и C, получим треугольник ABC. В равных треугольниках соответственные углы равны, и отсюда вытекает способ построения. Если на сторонах данного угла каким-то удобным образом выбрать точки C и B, от данного луча в данную полуплоскость построить треугольник AB1C1, равный ABC (а это можно сделать, если знать все стороны треугольника), то задача будет решена.
При проведении каких либо построений будьте предельно внимательны и старайтесь все построения выполнять аккуратно. Так как любые несоответствия могут вылиться в какие то ошибки, отклонения что может привести к неверному ответу. А если задача данного типа выполняется впервые то ошибку будет очень тяжело найти и исправить.
Построение пример первый.
Проведем окружность с центром в вершине данного угла. Пусть B и C – точки пересечения окружности со сторонами угла. Радиусом AB проведем окружность с центром в точке A1 – начальной точке данного луча. Точку пересечения этой окружности с данным лучом обозначим B1. Опишем окружность с центром в B1 и радиусом BC. Точка пересечения C1 построенных окружностей в указанной полуплоскости лежит на стороне искомого угла.
Треугольники ABC и A1B1C1 равны по трем сторонам. Углы A и A1 – соответствующие углы этих треугольников. Следовательно, ∠CAB = ∠C1A1B1
Для большой наглядности можно рассмотреть те же построения подробней.
Построение пример второй.
Задание остается тоже отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.
Шаг 1. Проведем окружность с произвольным радиусом и центров в вершине A данного угла. Пусть В и С – точки пересечения окружности со сторонами угла. И проведем отрезок BC.
Шаг 2. Проведем окружность радиусом AB с центром в точке О – начальной точке данной полупрямой. Точку пересечения окружности с лучом обозначим B1.
Шаг 3. Теперь опишем окружность с центром B1 и радиусом BC. Пусть точка С1 пересечение построенных окружностей в указанной полуплоскости. 
Шаг 4. Проведем луч из точки O, через точку С1. Угол C1OB1 и будет искомый.
Треугольники ABC и OB1C1 равны как треугольники с соответствующими сторонами. И следовательно углы CAB и C1OB1 равны.
Интересный факт:
В предметах окружающего мира вы прежде всего замечаете их отдельные свойства, отличающие один предмет от другого.
Обилие частных, индивидуальных свойств заслоняет собой свойства общие, присущие решительно всем предметам, и обнаружить такие свойства поэтому всегда труднее.
Одним из важнейших общих свойств предметов является то, что все предметы можно считать и измерять. Мы отражаем это общее свойство предметов в понятии числа.
Потребность считать и сравнивать (измерять) предметы возникла у людей не сразу, но очень давно — еще на ранней ступени развития человека, возникла в процессе его трудовой деятельности.
Овладевали люди процессом счета, то-есть понятием числа, очень медленно, веками, в упорной борьбе за свое существование.
Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие счету, но обладать уже способностью отвлекаться при рассматривании этих предметов от всех прочих их свойств, кроме числа, а эта способность есть результат долгого, опирающегося на опыт, исторического развития.
Счету при помощи числа обучается теперь каждый человек незаметно еще в детстве, почти одновременно с тем, как начинает говорить, но этот привычный нам счет прошел длительный путь развития и принимал разные формы.
Было время, когда для счета предметов употреблялись лишь два числительных: один и два. В процессе дальнейшего расширения системы счисления привлекались части человеческого тела и в первую очередь пальцы, а если не хватало такого рода «цифр», то еще палочки, камешки и другие вещи.
 |  |
| Н. Н. Миклухо-Маклай | Туземцы Новой Гвинеи |
Н. Н. Миклухо-Маклай в своей книге «Путешествия» рассказывает о забавном способе счета, применявшемся туземцами Новой Гвинеи:
Список использованных источников:
Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.
Построение с помощью циркуля и линейки — описание, алгоритмы и задачи
Построение с помощью циркуля и линейки – древнейший способ расчета в евклидовой геометрии. Известен со времен Древней Греции. Данная тема изучается в средних и старших классах на уроках геометрии.
Рассмотрим все случаи построения на конкретных примерах.
Построение отрезка, равного данному
Есть отрезок СD. Задача — начертить равнозначный данному отрезок той же величины.
Строится луч, имеющий начало в т. A. Циркуль отмеряет существующий отрезок CD. Циркулем откладывается отрезок, равнозначный первому отрезку, на том же начерченном луче от его начала (A).
Для подобного чертежа ножку с иглой закрепляют в начале луча A, а с помощью части с грифелем проводится дуга до места соприкосновения с лучом. Данную точку можно обозначить т. B.
Отрезок AB будет равнозначен отрезку СD. Задача решена.
Деление отрезка пополам
Имеется отрезок AB.
Сначала следует нарисовать окружность с радиусом больше половины отрезка AB с центром в т. A.
Далее чертится круг с тем же радиусом с серединой в т. B. В местах пересечения окружностей имеем т. C и т. D.
Сквозь эти точки требуется провести прямую линию. Получаем т. E, которая будет серединой отрезка AB.
Построение угла, равного данному
Вблизи угла проводится луч ED. Далее чертится окружность с серединой в т. B. В итоге имеем точки M и N.
Оставив раствор циркуля прежним, рисуют круг с серединой в т. E. В точке соприкосновения имеем т. K.
Поменяв раствор циркуля на длину расстояния между т. M и т. N, нужно провести окружность с серединой в т. K. В итоге получается т. F. После чертится прямая из т. E через т. F. Образуется угол DEF, который будет равнозначен углу ABC. Задача решена.
Построение перпендикулярных прямых
Пример 1
Точка O находится на прямой a.
Есть прямая и точка, находящаяся на ней. Нанести линию, идущую через существующую точку и находящуюся под прямым углом к имеющейся прямой.
Шаг 1. Чертим круг с рандомным радиусом r с серединой в т. O. Окружность соприкасается с прямой в т. A и т. B.
Шаг 2. Из имеющихся точек строится круг с радиусом AB. Точки С и D являются точками соприкосновения окружностей.
Приложив линейку, чертят прямую, сквозь т. O и одну из т. C или т. D, к примеру отрезок OC.
Доказательство, что прямая OC лежит перпендикулярно a.
Намечаются два отрезка — AC и CB. Получившиеся треугольники будут равны, согласно третьему признаку равенства треугольников. Значит, прямая CO перпендикулярна AB.
Пример 2
Точка O находится вне прямой а.
Нарисовать окружность с радиусом r из т. O. Она должна проходить сквозь прямую a. A и B — точки её соприкосновения с прямой.
Оставив прежний радиус, рисуем окружности с серединой в т. A и т. B. Точка O1 — место их соприкосновения.
Рисуем линию, соединяющая т. O и т. O1.
Доказательство выглядит следующим образом.
Две прямые ОО1 и AB пересекаются в т. C. Согласно третьему признаку равенства всех треугольников AOB = BO1A. Из данного вывода следует, что угол OAC = O1AC. Одноименные треугольники также будут равны (согласно первому признаку равенства всех треугольников).
Исходя из этого, выводим, что угол OCA = O1CA, а, учитывая смежность углов, приходим к пониманию, что они прямые. А это означает, что OC – перпендикулярный отрезок, опущенный из т. O на прямую a. Задача решена.
Построение параллельных (непересекающихся) прямых
Имеется прямая и т. А, не лежащая на этой прямой.
Нужно отметить прямую, проходящую через т. A, и параллельную имеющейся прямой.
Берется рандомная точка на имеющейся прямой и именуется B. С помощью циркуля строится окружность радиуса AB с серединой в т. B. В месте пересечения окружности и данной прямой отмечается т. C.
Оставив прежний радиус, рисуется еще одна окружность, теперь уже с центром в т. C. При правильных расчетах дуга должна пройти через т. B.
C тем же радиусом AB строится окружность с серединой в т. A. Точку соприкосновения второй и третьей окружностей назовем D. Третья окружность, учитывая верность расчетов, также пройдет через т. B.
Проводится прямая через т. A и т. D, которая станет параллельной первой. В итоге, получились две параллельные прямые, BC и AD.
Построение правильного треугольника, вписанного в окружность
Правила построения правильного треугольника, вписанного в окружность:
Отметить отрезок AB, чья длина будет равняться а.
Взять циркуль. Часть с иголкой расположить на т. А, а часть с карандашом на т. B. Прочертить окружность. В итоге, радиус круга будет равнозначен длине отрезка AB.
Далее иглу размещают на т. B, а часть с грифелем на т. A. Чертится круг. В итоге, его радиус будет равнозначен длине отрезка AB.
На чертеже окружности пересеклись в двух точках. Далее нужно соединить т. A и т. B и одну из вышеупомянутых точек. В результате получится равносторонний треугольник.
Стороны такого треугольника равнозначны радиусам двух окружностей, которые равны длине а. Задача решена.
Построение правильного четырехугольника вписанного в окружность
Вариант 1
Исходя из данности, что диагонали любого квадрата пересекаются в середине окружности и находятся по отношению к его осям под углом 45 градусов, производят следующие действия. Пользуясь линейкой и уголком с углами 45 градусов (см. рисунок), размечают вершины т. 1 и т. 3.
Сквозь данные точки чертят отрезки, стороны четырехугольника, расположенные по горизонтали. Это т. 4 и т. 1, т. 3 и т. 2. В конце линейкой и уголком по его катету проводятся линии, расположенные по вертикали (высоты), отрезок т.1 — т. 2 и отрезок т. 4 — т. 3.
Вариант 2
Так как вершины правильного четырехугольника разделяют наполовину дуги окружностей, между точками диаметра (см. рисунок), то для достижения результата делают следующее: отмечают на точках перпендикулярных диаметров т. A, т. B и т. C и рисуют дуги до их соприкосновения.
После чертят прямые через места соприкосновения дуг, которые выделены на фигуре линиями. Точки соприкосновения с окружностью будут являться вершинами — это т. 1 и т. 3, т. 4 и т. 2. Данные вершины полученного квадрата соединяют друг с другом.
Задача выполнена двумя способами.
Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника
Поместить на окружность т. 1, считая ее за вершину пятиугольника. Разделить отрезок AO пополам. Чтобы произвести подобную операцию, из т. A чертят дугу до места соприкосновения с окружностью в т. M и т. B.
Расположив конкретные точки на прямой, получаем т. K, и после совмещаем с т. 1. Радиусом, длина которого – отрезок А1, сделать изгиб из т. K до места соприкосновения с линией АО в т. H. После совместить т. 1 и т. H, образуя одну из пяти сторон пятиугольника.
Взять циркуль, величина раствора которого будет равна отрезку т.1 — т. H, нарисовать изгиб из т. 1 до соприкосновения с кругом. Так находят вершины 2 и 5. Отметив точки на вершинах 2 и 5, получают вершины 3 и 4. В конце все точки совмещают друг с другом.
Построение правильного шестиугольника, вписанного в окружность
Решение подобной задачи строится на свойствах, где сторона шестиугольника равнозначна радиусу круга.
Для расчета разделяют круг на шесть ровных частей и последовательно совмещают все полученные точки (см. рисунок). Задача решена.
Конспект урока по теме «Построение угла, равного данному»
Тема: «Задачи на построение. Построение угла, равного данному»
Эталоны (для повторения):
Плакат «Построение середины отрезка»;
Плакат «Построение прямой, перпендикулярной данной»;
1. Самоопределение к учебной деятельности
– Добрый день, ребята!
–С каким разделом математики вы познакомились на предыдущих уроках? ( С геометрией)
–Как переводится слово «геометрия» (измерение земли)
–Объясните происхождение этого слова (геометрия зародилась в Др. Египте и ее появление было связано с решением задач на построение (необходимо было делить земельные участки))
– Какие задачи на построение вы уже научились решать? (строить отрезок, равный данному; строить середину отрезка; строить прямую, перпендикулярную данной)
– Какие инструменты при этом используем? (циркуль и линейку без делений)
2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном действии
1. Представьте, что вы оказались в Др. Египте. На берегу реки Нил изображены два угла
Вам необходимо выяснить, равны ли эти углы. При этом у вас есть только веревка.
(Учащиеся предлагают свои решения, отвечая у доски)
2. Дан угол
Постройте угол, равный данному, используя только циркуль и линейку без делений (1 мин)
3. Выявление места и причины затруднения
-Какое задание должны были выполнить? (за минуту построить угол, равный данному)
— Почему не справились с заданием? ( Не знаем как строить угол, равный данному )
4. Построение проекта выхода из затруднения
— Определите цель работы на уроке (Научиться строить угол, равный данному)
5. Реализация построенного проекта
–Как вы думаете, каким инструментом можно было бы заменить веревку в задании 1? (циркулем)
–Выполните задание 1, заменив веревку циркулем. (Учащиеся предлагают свои решения, отвечая у доски).
– Составьте алгоритм с помощью которого можно выяснить равны ли данные углы А и А1, имея в наличии только циркуль.
Построить окружность с центром в точке А, произвольного радиуса R . (окр(А; R ) пересекает стороны угла А точках В и С)
С помощью циркуля измерить расстояние между точками В и С
–Теперь вернемся к задаче 2. Какая задача стоит перед вами? ( Построить угол равный данному).
–Можно ли для решения этой задачи воспользоваться выведенным алгоритмом? (нет).
Измените алгоритм (1), так чтобы им можно было воспользоваться для построения угла, равного данному.
Используя полученный алгоритм, решите задачу 2.
2.Обсуждение результатов работы групп
3. Проверка по эталону
Построить окружность с центром в точке А, произвольного радиуса R . (окр(А; R ) пересекает стороны угла А точках В и С)
Построить луч с началом в точке А1.
С помощью циркуля измерить расстояние между точками В и С
Построить окружность с центром в точке В1, радиуса r =ВС
6. Первичное закрепление во внешней речи.
1.Выберите произвольный угол и постройте угол, равный данному.
(Работа у доски с проговариванием)
Постройте угол в два раза больше данного.
7. Самостоятельная работа с проверкой по эталону.
№ 381(1) (Проверка по эталону)
Учащиеся проверяют свои работы, исправляют ошибки.
8. Включение в систему знаний и повторение.
9. Рефлексия учебной деятельности.
– Что нового узнали на уроке?
– Что использовали для «открытия» нового знания?
– Какие трудности встретили?
– Что нам помогло справиться с затруднениями?
– Проанализируйте и оцените свою работу на уроке, заполнив карточку рефлексии.
Карточка самооценки ________________________________ Ф.И. учащегося (класс)
Тема: Построение угла, равного данному.
* «5» — всё понимаю; «4» — понимаю, но есть вопросы; «?» — затрудняюсь выполнять работу
Домашнее задание: № 381(2), № 382 (2), № 390 (б)
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
данный урок разработан в системе деятельностного метода. Этот метод обучения позволяет учащимся самостоятельно формулировать цели урока, искать пути решения поставленной проблемы. То есть дети являются активными участниками учебного процесса, а не пассивными слушателями. ПРи этом учитель является их помощьником, направляет их, помогает найти верное решение
Номер материала: 268156
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
Минпросвещения подготовило проект плана по модернизации детских лагерей в России
Время чтения: 3 минуты
Когда дети начинают шутить
Время чтения: 2 минуты
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
В Госдуме предлагают сделать бесплатным проезд на общественном транспорте для детей до 16 лет
Время чтения: 2 минуты
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Детский омбудсмен предложила обучать педагогов мотивированию учащихся
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.