МОДА (тип колебаний)
Смотреть что такое «МОДА (тип колебаний)» в других словарях:
тип колебаний — virpesių moda statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. oscillation mode vok. Schwingungsart, f; Schwingungsmode, f rus. вид колебаний, m; мода колебаний, f; тип колебаний, m pranc. mode d oscillations, m … Radioelektronikos terminų žodynas
тип колебаний — svyravimų tipas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. mode of oscillation; mode of vibration vok. Schwingungsart, f; Schwingungstyp, m rus. мода колебаний, f; тип колебаний, m pranc. mode d’oscillations, m; type d’oscillations, m … Fizikos terminų žodynas
независимый тип колебаний — nesusietoji moda statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. uncoupled mode vok. ungekoppelte Schwingungsart, f rus. независимый тип колебаний, m; несвязанная мода, f pranc. mode pur, m … Radioelektronikos terminų žodynas
вырожденный тип колебаний — išsigimusioji moda statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. degenerate mode vok. Ausartungsmodus, m; entarteter Wellentyp, m rus. вырожденная мода, f; вырожденный тип колебаний, m pranc. mode dégénéré, m … Fizikos terminų žodynas
МОДА — тип колебаний (нормальные колебания) в распределенных колебательных системах или тип волн (нормальные волны) в волноводных системах и волновых пучках (см. Волновод, Квазиоптика). Термин мода стал употребляться также для любого волнового поля (вне … Большой Энциклопедический словарь
МОДА — тип колебаний (нормальные колебания) в распределённых колебат. системах или тип волн (нормальные волны) в волноводных системах и волновых пучках. Термин М. стал употребляться также для любого волнового поля (вне его источников), обладающего оп… … Естествознание. Энциклопедический словарь
мода — ы; ж. [франц. mode мода; манера, образ действий] 1. Совокупность вкусов и взглядов, господствующих в обществе в определённое (обычно недолгое) время и проявляющихся в увлечениях чем л., формах быта, одежде и т.п. М. на высокие каблуки. Выйти из… … Энциклопедический словарь
мода колебаний — virpesių moda statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. oscillation mode vok. Schwingungsart, f; Schwingungsmode, f rus. вид колебаний, m; мода колебаний, f; тип колебаний, m pranc. mode d oscillations, m … Radioelektronikos terminų žodynas
мода колебаний — svyravimų tipas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. mode of oscillation; mode of vibration vok. Schwingungsart, f; Schwingungstyp, m rus. мода колебаний, f; тип колебаний, m pranc. mode d’oscillations, m; type d’oscillations, m … Fizikos terminų žodynas
МОДА — (фр.). Временный условный обычай в обществе, выражающийся в покрое одежды, в нарядах, в нравах. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. МОДА господство в данное время каких либо вкусов, направлений и т. п … Словарь иностранных слов русского языка
что такое «волновые моды»? как вообще можно понимать «моды», «мода» в оптике, физике?
Если у Вас только один осциллятор с одной степенью свободы, то у него только одна частота собственных колебаний.
Если у Вас два взаимодействующих осциллятора и каждый имеет одну степень свободы, то у такой системы уже будет две собственных частоты колебаний. (Не зависимо от того, равны или не равны частоты свободных колебаний этих осцилляторов, когда они не взаимодействуют друг с другом.) Это частота собственных синфазных колебаний осцилляторов и частота собственных антифазных колебаний осцилляторов. То есть, два взаимодействующих осциллятора могут свободно колебаться или противофазно или с одной и той же фазой.
Вот эти два колебания двух связанных осцилляторов и называются двумя модами колебаний.
Суть их состоит в том, что любые свободные колебания двух осцилляторов (с любыми начальными отклонениями и начальными скоростями) всегда можно представить, как сумму колебаний этих двух мод со своими постоянными коэффициентами.
А теперь представьте себе, что у Вас имеется N таких осцилляторов, которые связаны в цепочку. То есть они взаимодействуют ближайшими соседями. В такой системе будет N собственных мод колебаний. И любые колебания этой цепочки можно представить как линейную суперпозицию этих собственных мод колебаний цепочки осцилляторов.
А теперь представьте, что число N стало равно бесконечности. Это значит, что мы имеем дело с непрерывной средой и колебания этой среды представляют собой волны.
Например, если это натянутая струна с закрепленными концами, то в такой струне могут быть стоячие волны. Их число (теоретически) равно бесконечности. У них целое число полуволн должно укладываться на длине струны. Вот эти стоячие волны и являются модами волн в натянутой струне. Это собственные колебания струны. Любые колебания натянутой струны можно представить себе как линейную комбинацию нескольких стоячих волн. Величина коэффициентов перед конкретной модой в этой сумме зависит от конфигурации начального отклонения струны и конфигурации начальных скоростей разных участков струны.
Для случая бесконечных сред (в том числе и для случая распространения электромагнитных волн в вакууме) всё примерно то же самое. Волна имеет некоторый бесконечный набор своих собственных колебаний, которые называются модами. Поэтому любую волну любой конфигурации можно разложить по этим модам, то есть представить, что любая волна, это суперпозиция нескольких мод со своими коэфииентами.
Собственная мода
Собственные частоты системы зависят от ее геометрии, структуры и свойств материала. Собственные частоты струны музыкального инструмента определяются, например, ее длиной, материалом и натяжением. То же касается всех вибрационных систем.
Оглавление
теория
Уравнения движения системы получаются из уравнений Лагранжа
Подход к решению уравнения:
(Положительные) корни корней многочлена
Таким образом, общее решение системы уравнений колебаний системы является суперпозицией ее собственных колебаний и, возможно, равномерного движения.
Нормальные координаты
а знак равно ( А. я ( k ) ) <\ displaystyle a = \ left (
так что для всех собственных значений, которые не являются вырожденными, все недиагональные элементы должны равняться нулю. Соответствующая нормировка собственных векторов приводит к соотношению ортонормированности а Т Т а <\ displaystyle a ^ <\ mathrm
а Т Т а знак равно 1 <\ displaystyle a ^ <\ mathrm
написано так, что утверждение следует непосредственно умножением на слева. а Т <\ Displaystyle а ^ <\ mathrm
Примеры
Пружинный маятник
с полиномом первой степени от ω 2 <\ displaystyle \ omega ^ <2>>
и собственный вектор
Молекула CO 2
для определителя системы
Включены три его нуля
а собственные векторы равны
Это тоже дает общее решение
Вибрирующая струна
Вибрирующая струна имеет бесконечное количество степеней свободы и, соответственно, бесконечное количество собственных частот. Однако они должны соответствовать граничным условиям задачи. Волновое уравнение является
должен быть. Это приводит к граничному условию
а общее решение волнового уравнения представляет собой суперпозицию по всем собственным колебаниям:
Нормальные колебания молекул
Квантовая механика
является. Если оператор Гамильтона не зависит от времени, то существует формальное решение уравнения Шредингера
СОДЕРЖАНИЕ
Общие определения
Режим
Поскольку никакая реальная система не может идеально вписаться в структуру стоячей волны, концепция режима используется как общая характеристика конкретных состояний колебаний, таким образом, рассматривая динамическую систему в линейном порядке, в котором может выполняться линейная суперпозиция состояний.
Классические примеры включают
Большинство динамических систем можно возбуждать в нескольких режимах, возможно, одновременно. Каждая мода характеризуется одной или несколькими частотами в соответствии с полем модальных переменных. Например, вибрирующий канат в двухмерном пространстве определяется одной частотой (одномерное осевое смещение), а колеблющийся канат в трехмерном пространстве определяется двумя частотами (двухмерное осевое смещение).
Для заданной амплитуды модальной переменной каждый режим будет хранить определенное количество энергии из-за синусоидального возбуждения.
Нормальный или доминирующий режим системы с несколькими режимами будет режим хранения минимального количества энергии для заданной амплитуды модальных переменного, или, что эквивалентно, для данного сохраненного количества энергии, доминирующий режим будет режимом наложения максимальная амплитуда модальной переменной.
Номера режимов
Режим вибрации характеризуется модальной частотой и формой моды. Он нумеруется в соответствии с количеством полуволн в вибрации. Например, если вибрирующая балка с обоими закрепленными концами отображает форму моды, равную половине синусоидальной волны (один пик на вибрирующей балке), она будет вибрировать в режиме 1. Если бы у нее была полная синусоида (один пик и одна впадина). ) он будет вибрировать в режиме 2.
В линейных системах каждый режим полностью независим от всех других режимов. Как правило, все режимы имеют разные частоты (более низкие моды имеют более низкие частоты) и разные формы колебаний.
В одномерной системе в данном режиме вибрация будет иметь узлы или места, где смещение всегда равно нулю. Эти узлы соответствуют точкам формы колебаний, где форма колебаний равна нулю. Поскольку вибрация системы определяется формой моды, умноженной на функцию времени, смещение узловых точек всегда остается нулевым.
В механических системах
Связанные генераторы
где краевые точки зафиксированы и не могут двигаться. Мы будем использовать x 1 ( t ) для обозначения горизонтального смещения левой массы и x 2 ( t ) для обозначения смещения правой массы.
Поскольку мы ожидаем колебательное движение нормального режима (где ω одинаково для обеих масс), мы пробуем:
Подставив их в уравнения движения, мы получим:
Поскольку экспоненциальный множитель является общим для всех терминов, мы его опускаем и упрощаем:
И в матричном представлении:
Первый нормальный режим:
η → 1 знак равно ( Икс 1 1 ( т ) Икс 2 1 ( т ) ) знак равно c 1 ( 1 1 ) потому что ( ω 1 т + φ 1 ) <\ Displaystyle <\ vec <\ eta>> _ <1>= <\ begin
Это соответствует тому, что обе массы движутся в одном направлении одновременно. Этот режим называется антисимметричным.
Второй нормальный режим:
Это соответствует движению масс в противоположных направлениях, в то время как центр масс остается неподвижным. Этот режим называется симметричным.
Стоячие волны
Общий вид стоячей волны:
Эластичные твердые тела
Согласно квантовой теории, средняя энергия нормальной колебательной моды кристаллического твердого тела с характеристической частотой ν равна:
Член (1/2) hν представляет «энергию нулевой точки» или энергию, которую осциллятор будет иметь при абсолютном нуле. E ( ν ) стремится к классическому значению kT при высоких температурах.
Зная термодинамическую формулу,
энтропия в нормальном режиме:
которая при kT >> hν стремится к:
Интегрирование производится по всем частотам кристалла. Тогда внутренняя энергия U будет выражаться как:
В квантовой механике
В сейсмологии
Нормальные моды генерируются на Земле из-за длинноволновых сейсмических волн от сильных землетрясений, мешающих формированию стоячих волн.
Нормальные моды колебаний
Системы с двумя степенями свободы
Особый интерес представляет случай, когда одна колеблющаяся система связана с другой системой, которая тоже может колебаться. В этом случае для каждого из осцилляторов можно записать свое уравнение динамики, эти уравнения в общем случае не являются независимыми. Каждый осциллятор имеет свою частоту, амплитуду и фазу, т.е. система обладает двумя степенями свободы.
Такие системы называются связанными. Простой пример связи – два маятника, соединённые нитью, к середине которой подвешен груз Р (рис.1.1.14). При помощи силы, действующей на нить, маятник А связан с маятником В. Если маятник В во время колебания удалится от А, то сила связи между этими маятниками становится больше, а при сближении – меньше. Маятник А получает в такт с колебаниями маятника В импульс периодически действующей силы, частота которой согласуется с частотой собственных колебаний А, но может отличаться от частоты колебаний В.
Под влиянием силы связи между маятниками разной длины маятник А приходит в колебательное движение. Когда маятник В колеблется, его амплитуда возрастает с каждым новым импульсом, в то время, как амплитуда В убывает. Спустя известное время, амплитуды маятника А убывают, а маятника В возрастают до тех пор, пока не наступит обратное явление. Таком образом, энергия колебаний передаётся через связь от одной колеблющейся системы другой и обратно.
Если периоды собственных колебаний обоих маятников равны, то обмен энергией осуществляется нацело.
Из эксперимента известно, что процесс передачи энергии между маятниками идёт тем быстрее, чем больше масса груза Р. Если два маятника колеблются с одинаковыми периодами, амплитудами и фазами колебаний, то никакого обмена энергией между ними не происходит. Должна быть разница в амплитудах или фазах колебаний, чтобы энергия была получена или отдана.
В общем случае движение системы с двумя степенями свободы может иметь очень сложный вид, не похожий на простое гармоническое движение.
Можно показать, что для двух степеней свободы и при линейных уравнениях движения наиболее общее движение является суперпозицией двух независимых простых гармонических движений, происходящих одновременно. Эти два простых гармонических движения называются нормальными или собственными колебаниями или 
гармониками, а так же нормальными модами колебаний или просто модами. Создавая определённые начальные условия (определённые начальные значения xa, xbи dxa/dt, dxb/dt) можно создать систему, колебания которой соответствуют только одной из мод.
Нормальные колебания (нормальные моды) – это собственные (свободные) гармонические колебания линейных динамических систем с постоянными параметрами, в которых отсутствуют как потери, так и приток извне колебательной энергии. Каждое нормальное колебание характеризуется определенным значением частоты, с которой осциллируют все элементы системы, и формой — распределением амплитуд и фаз по элементам системы. Линейно независимые нормальные колебания, отличающиеся формой, но имеющие одну и ту же частоту, называются вырожденными. Частоты нормальных колебаний называются собственными частотами системы.
В дискретных системах, состоящих из N связанных гармонических осцилляторов (например, механических маятников, колебательных контуров), число нормальных колебаний равно N. В распределённых системах (струна, мембрана, резонатор) существует бесконечное, но счётное множество нормальных колебаний. Произвольное свободное движение колебательной системы может быть представлено в виде суперпозиции нормальных колебаний. При этом полная энергия движения распадается на сумму парциальных энергий, отдельных нормальных колебаний. Таким образом, линейная система ведёт себя, как набор независимых гармонических осцилляторов, которые могут быть выбраны в качестве обобщённых нормальных координат, описывающих движение в целом. Однако в динамических системах могут существовать и собственные движения, не сводящиеся к нормальным колебаниям (равномерные вращения, постоянные токи и др.).
При внешнем возбуждении системы нормальные колебания в значительной мере определяют её резонансные свойства. Резонанс может возникнуть лишь в том случае, когда частота гармонического внешнего воздействия близка к одной из собственных частот системы либо к их линейной комбинации, если внешнее воздействие меняет параметры системы (параметрический резонанс). При этом важным оказывается также и пространственное распределение воздействия — максимальный эффект достигается при соблюдении не только временного, но и «пространственного синхронизма».
В линейных системах с переменными параметрами при выполнении определенных условий также возможно представление движений в виде суперпозиции нормальных колебаний, отличающихся, однако, от гармонических. Понятие нормальных колебаний может быть приближённо распространено на системы, содержащие неконсервативные и нелинейные элементы, если их воздействие приводит к медленным изменениям амплитуд и фаз квазигармонических нормальных колебаний (в масштабе периода самих нормальных колебаний или периода биений между ними).
Свойства мод. Если существует лишь одна мода колебаний, то в системе совершается простое гармоническое движение. Все части системы колеблются с одной частотой, одновременно проходя через положение равновесия (для которого х=0). Например, движения 
или 
не могут соответствовать одной моде, так как в первом случае различны фазовые постоянные, во втором – частоты.
Рассмотрим моду, движение которой описывается уравнением
. (1.6.1)
назовем ее мода 1. Из уравнения движения видно, что у обеих степеней свободы одна и та же частота и фаза. Для моды 2 получаем
. (1.6.2)
Каждая мода имеет свою собственную частоту: 
для моды 1 и 
для моды 2.
Для каждой моды система имеет характерную “конфигурацию” или “форму”, определяемую отношением амплитуд движений по двум направлениям: 
для моды 1 и 
для моды 2. Для данной моды отношение xa/xbпостоянно и не зависит от времени, оно определяется в нашем случае отношением или , которые могут быть либо положительными, либо отрицательными.
Наиболее общим движением является суперпозиция, при которой движение содержит обе моды колебаний одновременно:
. (1.6.3)
В качестве примера рассмотрим двумерный гармонический осциллятор (рис.1.6.5). Масса М, укреплённая на двух парах взаимно перпендикулярных пружин, может свободно двигаться в плоскости ХУ. В направлении оси Х она соединена со стенками двумя невесомыми пружинами с коэффициентами жёсткости 
, а в направлении У – двумя другими невесомыми пружинами с коэффициентом жёсткости 
. В случае малых колебаний x-компонента возвращающей силы полностью обусловлена пружинами , а у-составляющая возвращающей силы зависит только от пружин . В положении равновесия система имеет вид, представленный на рис.1.6.5. Сообщим массе М небольшое смещение х в направлении +х, тогда возвращающая сила станет равна
Теперь из этого положения дадим массе небольшое смещение у в направлении +у. Нужно выяснить, изменилось ли значение 
.
Тогда можно считать, что величина не изменилась, то же можно сказать и о 
. Мы получили два линейных уравнения: 
решения которых
(1.6.4)
Из этих уравнений следует, что движения в направлениях Х и У не связаны между собой, и каждое движение представляет собой гармоническое колебание с собственной частотой. Движение вдоль оси Х соответствует одной нормальной моде колебаний, а вдоль оси У – другой моде. Колебания вдоль оси Х (1 мода) имеют амплитуду 
и фазу 
, которая зависит только от начальных условий х(0) и х‘(0), то есть от смещения и скорости в момент времени t=0. Аналогично, для колебаний вдоль оси У (2 мода) амплитуда 
и фаза 
зависят только от начальных значений у(0) и у‘(0).
Нормальные координаты. Естественный выбор координат х и у вдоль осей пружин дал нам независимые уравнения (1.6.4), каждое из которых соответствует одной моде. С точки зрения общих решений (1.6.3) это эквивалентно тому, что в выражении для 
амплитуда 
, а для 
=0. Столь удачно выбранные нами координаты х и у называются нормальными координатами. Рассмотрим систему координат х‘у’, которая связана с ху поворотом на угол α.
В большинстве задач, содержащих системы с двумя степенями свободы, не так легко «на глаз» найти нормальные координаты. Как правило, уравнения движения для систем с двумя степенями свободы – это два связанных уравнения. Один из методов решения таких связанных дифференциальных уравнений – это поиск новых переменных, которые являлись бы линейной комбинацией первоначальных, неудачно выбранных координат и которые давали бы не связанные, а разделённые уравнения движения. Такие новые координаты называются нормальными.
В нашем примере для получения нормальных координат нам нужно повернуть оси х’ и у’ на угол α до совпадения их с осями х и у.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет