модуль сдвига в чем измеряется

Подставив это выражение в формулу (3), получим зависимость угла закручивания стержня φo от закручивающего момента MЗ, в следующем виде:

Таким образом, сравнивая (4) с (1), находим, что модуль кручения f равен:

Отметим, что размерность модулей упругости на растяжение Е и изгиб G одна и та же. В самом деле, размерность модуля Е:

а размерность модуля сдвига:

Числовая величина модулей упругости зависит, таким образом, от единиц, в которых измерена сила и площадь. В системе СГС модули упругости выражаются в дин/см2, в практической системе в кг/мм2 и в системе СИ в Н/м2.

Если желают перейти от значения модуля в практической системе к значению модуля в СГС, то, очевидно, значение модуля в практической системе нужно умножить на 9,82*107.

Измерение модуля кручения может быть выполнено статическим методом. В этом случае измеряется угол закручивания проволоки под действием определенного закручивающего момента.

Описание прибора

К нижнему концу стержня АВ, закрепленного в кронштейне С, прикреплен металлический диск D (рис.3).

По окружности диска навиты в одну сторону две нити, пропущенные через блоки M и N и несущие на концах два одинаковых груза m1и m2. Эти грузы действуют, как пара сил, приложенных в точках одного и того же диаметра диска.

С диском жестко связано зеркальце, поворачивающееся на некоторый угол при закручивании проволоки под влиянием приложенной пары сил. Поворот зеркальца фиксируется на шкале S, по которой перемещается отраженный от зеркальца световой “зайчик”.

Если при равновесии нить совпадает с делением no, а после поворота с делением n, то при малых углах поворота имеет место соотношение:

Подставляя значение момента M = 2PR и G из (5) в равенство (1) и решая его относительно G, будем иметь

Угол закручивания определяется по формуле (6). Другие, входящие в формулу (7) величины, измеряются непосредственно.

Измерения

При помощи отвеса установить стойку прибора в вертикальном направлении. Установить трубу осветителя так, чтобы видеть на шкале отражение “зайчика” от зеркальца. При этом шкала должна быть перпендикулярна к оси трубы.

Малым поворотом трубы осветителя добиваются того, чтобы один край светового зайчика был наиболее резким, по этому краю и следует делать отсчет. Записывают нулевой отсчет no т. е. деление шкалы, на которое приходится резкий край “зайчика” до подвешивания грузов. Прикрепив к концам нитей платформы, нагружают их грузами, записывают отсчет по шкале n, соответствующий новому положению равновесия (веса грузов на платформе должны быть между собой примерно равны), и затем, сняв грузы, вновь производят нулевой отсчет no. Подобные измерения повторяют для двух, трех и т. д. грузов, каждый раз предварительно определяя нулевой отсчет.

Проделав измерение с максимальным грузом, повторяют измерения в обратном порядке, постепенно уменьшая величину грузов на платформах. За угол закручивания, соответствующий тому или иному грузу, берут среднее значение из измерений в одном и другом направлениях.

(штрихами отмечены отчеты, производящиеся при уменьшении грузов). Измеряют расстояние d от зеркальца до шкалы, определяют вес платформ и грузов, вычисляют модуль кручения для каждой нагрузки. Сравнивая значения модуля кручения, полученные при различных моментах сил, убеждаются, что все они имеют приблизительно одинаковое значение, т. е. в пределах применявшихся нагрузок, закон Гука выполняется.

После этого, промерив все входящие в формулу (7) величины, вычисляют модуль сдвига. Измерения диаметра стержня следует произвести в нескольких местах.

1. Что такое модуль сдвига, модуль кручения?

2. В работе описана методика измерения модуля кручения, какие из полученных значений можно считать наиболее точными?

Физический практикум. Механика и молекулярная физика. 1967 г.

Стрелков курс физики. Том 1. Механика. 1956.

Источник

МОДУЛЬ СДВИГА G

Смотреть что такое «МОДУЛЬ СДВИГА G» в других словарях:

Модуль сдвига — характеристика деформируемости, определяемая отношением интенсивности касательных напряжений к интенсивности деформаций сдвига. Остальные термины, используемые в настоящем стандарте, приведены в ГОСТ 25100. Источник: ГОСТ 30416 96: Грунты.… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Модуль сдвига — – характеристика сопротивления материала изменению его формы при сохранении объема, численно равная отношению касательного напряжения, возникающего при чистом сдвиге, к соответствующей ему упругой деформации сдвига. [ГОСТ 23404 86] Модуль… … Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов

модуль сдвига — Модуль 2., характеризующий сопротивление упругого материала деформациям сдвига [Терминологический словарь по строительству на 12 языках (ВНИИИС Госстроя СССР)] Тематики строительная механика, сопротивление материалов EN shear modulus DE… … Справочник технического переводчика

Модуль сдвига — Сдвиговая деформация В материаловедении модулем сдвига (обозначается буквой G или μ), называется отношение касательного напряжения к сдвиговой деформации … Википедия

Модуль сдвига (G) — Shear modulus Модуль сдвига (G). Отношение касательного напряжения к соответствующей деформации сдвига для касательных напряжений, меньших предела пропорциональности материала. Значения модуля сдвига обычно определяются испытанием на кручение.… … Словарь металлургических терминов

модуль сдвига — šlyties modulis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Liestinio įtempio ir santykinės šlyjamosios deformacijos dalmuo, t. y. G = τ/γ ; čia τ – liestinis įtempis, γ – santykinė šlyjamoji deformacija. atitikmenys: angl.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

модуль сдвига — šlyties modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. modulus of rigidity; shear modulus vok. Gleitmodul, m; Schermodul, m; Schubmodul, m rus. модуль сдвига, m pranc. module de cisaillement, m; module de rigidité, m; module d’élasticité au… … Fizikos terminų žodynas

МОДУЛЬ СДВИГА — модуль 2., характеризующий сопротивление упругого материала деформациям сдвига (Болгарский язык; Български) модул на хлъзгане (Чешский язык; Čeština) modul pružnosti ve smyku (Немецкий язык; Deutsch) Schubmodul (Венгерский язык; Magyar) csúszási… … Строительный словарь

расчетное значение жесткости (модуль упругости или модуль сдвига) при пожаре — Sd,fi — [Англо русский словарь по проектированию строительных конструкций. МНТКС, Москва, 2011] Тематики строительные конструкции Синонимы Sd,fi EN design stiffness property (modulus of elasticity of shear modulus) in the fire situation … Справочник технического переводчика

динамический модуль сдвига при постоянной намагниченности — Отношение комплекса сдвигового механического напряжения к комплексу относительной деформации сдвига, вызывающей эти напряжения в образце из магнитного материала при постоянной намагниченности. Примечание При этом одна из величин механическое… … Справочник технического переводчика

Источник

Моделирование линейных упругих материалов — насколько это сложно?

Наиболее основополагающей моделью материала в механике сплошных сред является модель линейной упругой среды. Как не банально это звучит, но некоторые важные особенности этой модели могут быть не очевидны с первого взгляда. В данной статье мы углубимся в теорию и прикладные аспекты применения этой модели среды и дадим представление об изотропии и анизотропии, допустимых значениях свойств материалов, несжимаемости и влиянии геометрической нелинейности.

Изотропная линейная упругая среда

В подавляющем большинстве случаев при моделировании, включающем применение линейных упругих материалов, имеют дело с изотропной средой, упругие свойства которой не зависят от направления. Для описания такого материала требуется лишь два независимых параметра, определяющих свойства материала. Существует много разных способов выбора этих параметров, однако некоторые из них более популярны, чем другие.

Модуль Юнга, модуль сдвига и коэффициент Пуассона

Модуль Юнга может быть непосредственно измерен в эксперименте по одноосному растяжению, тогда как модуль сдвига измеряется, например, в эксперименте чистого кручения.

С учетом возможных значений \nu допустимые значения отношения модуля сдвига к модулю Юнга лежат внутри интервала

Модуль объемной упругости

Когда \nu = 1/3, значение модуля объемной упругости равно значению модуля Юнга, но для несжимаемого материала ( \nu \to 0.5), K стремится к бесконечности.

Модуль объемной упругости обычно задается вместе с модулем сдвига. Эти две величины являются, в некотором смысле, более физически независимыми параметрами. Изменение объема материала определяется только модулем объемной упругости, тогда как искажение его формы — только модулем сдвига.

Параметры Ламе

Параметры Ламе́ (коэффициенты Ламе, константы Ламе, постоянные Ламе, упругие постоянные Ламе, модули упругости Ламе) \mu и \lambda в основном используются для математического описания явлений упругости. Полная система 3-х мерных материальных соотношений между тензором напряжений \boldsymbol \sigma и тензором деформаций \boldsymbol \varepsilon (в случае однородной изотропной упругой среды) может быть записана в компактной форме с помощью параметров Ламе в виде:

Параметр \mu является просто модулем сдвига, тогда как параметр \lambda может быть представлен как

Полную таблицу преобразований между различными упругими параметрами можно посмотреть здесь.

Несжимаемость линейных упругих материалов

более не существует, и вместо этого оно должно быть заменено на ограничение, констатирующее, что

Другой подход к проблеме несжимаемости следует из факта, что член (1-2\nu) появляется в знаменателе материальных уравнений, так что деление на ноль может произойти только при условии \nu = 0.5. Не попробовать ли, в таком случае, смоделировать несжимаемый материал приблизительно, установив значение \nu = 0.499?

Это можно сделать, но в данном случае, стандартное смещение узлов сетки, полученное на основе формализма метода конечных элементов, может привести к неожиданным результатам. Это вызвано явлением, называемым блокирование. Возможные эффекты:

Коррекция результатов возможна при использовании смешанной формулировки, в которой давление вводится в качестве дополнительной степени свободы. В среде COMSOL Multiphysics, включить смешанную формулировку можно, выбрав пункт Почти несжимаемый материал в настройках модели материала.

Часть настроек модели линейного упругого материала, с включенной поддержкой смешанной формулировки.

При величине коэффициента Пуассона большей, чем 0,45 (но, естественно, не большей 0,5), или когда модуль объемной упругости более чем на порядок превышает модуль сдвига, целесообразно использовать смешанную формулировку. Эффект от ее использования показан на рисунке ниже.

Распределение напряжений в простой модели плоских деформаций, \nu = 0.499. Верхнее изображение показывает решение, основанное на стандартной формулировке, тогда как нижнее относится к смешанной формулировке.

В решении, использующем в качестве степеней свободы только смещения узлов, картина распределения напряжений обнаруживает искажения в левой части, где имеется ограничение. Эти искажения практически полностью устраняются при использовании смешанной формулировки.

Ортотропия и анизотропия

К счастью, как правило, неизотропные материалы обладают определенной симметрией. В частном случае ортотропного материала, есть три выделенных ортогональных направления, в которых сдвиг отделяется от осевого действия. То есть, растягивание материала вдоль одного из этих главных направлений, приведет только сжатию (без сдвига) в двух других ортогональных направлениях. Полное описание ортотропного материала требует девяти независимых материальных параметров.

Материальные соотношения в ортотропном материале легче воспринимаются, когда они записаны в виде матрицы податливости (обратной к матрице упругих модулей), \boldsymbol \varepsilon= \mathbf C \boldsymbol \sigma :

Поскольку матрица податливости должна быть симметричной, то двенадцать независимых используемых параметров (ненулевых компонентов) сокращаются до девяти, с помощью трех соотношений симметрии типа

Обратите внимание, что \nu_ <\rm YX>\neq \nu_ <\rm XY>, поэтому при работе с ортотропными данными необходимо быть уверенным в том, что используется значение нужного коэффициента Пуассона. В разных источниках обозначения и, соответственно, значения могут различаться.

Анизотропия и ортотропия обычно возникают в неоднородных материалах. Зачастую эти свойства не измеряются, а вычисляются с помощью процесса гомогенизации, когда микроскопические свойства масштабируются до макроскопического уровня. (Суть процесса заключается в усреднении микроскопических уравнений — уравнений, описывающих поведение и свойства одной микрочастицы — по макроскопическому объему, выявляя и сохраняя при этом свойства, которые характеризуют, как индивидуальную микрочастицу, так и весь ансамбль микрочастиц в целом.) Обсуждение такой гомогенизации, правда в несколько ином контексте, можно найти в данной блог-статье.

Для неизотропных материалов имеются ограничения на допустимые значения материальных параметров, аналогичные описанным для изотропных материалов. Затруднительно в явном виде продемонстрировать эти ограничения, но есть две вещи, на которые стоит обратить внимание:

Геометрическая нелинейность

При решении геометрически нелинейных задач значение термина “линейная упругость” в действительности является вопросом соглашения. Проблема состоит в том, что существует несколько возможных представлений для описания напряжений и деформаций. Обсуждению различных мер деформаций и напряжений посвящена предыдущая блог-статья.

Так как в качестве исходных величин напряжений и деформаций в среде COMSOL Multiphysics приняты второй тензор напряжений Пиола-Кирхгофа и тензор меры деформации Грина-Лагранжа, то естественное свойство линейной упругости состоит в том, что эти величины имеют линейную зависимость друг относительно друга. Такой материал иногда называют материалом Сен-Венана.

Интуитивно можно предположить, что термин “линейная упругость” означает существование линейной зависимости между прикладываемой силой и смещением в простом эксперименте по растяжению. Однако это не так, поскольку и напряжения, и деформации изменяются по мере растяжения. Чтобы показать это, рассмотрим стержень с квадратным поперечным сечением.

Стержень, подвергнутый равномерному растяжению.

Сила может быть выражена через составляющую тензора напряжения Коши \sigma_x в осевом направлении, помноженную на текущую площадь поперечного сечения:

Чтобы использовать линейную упругую зависимость тензоров напряжения и деформации, тензор напряжение Коши \boldsymbol \sigma необходимо выразить через второй тензор напряжения Пиола-Кирхгофа \mathbf S с помощью преобразования вида

где \mathbf F — тензор градиента деформации, а масштабирование объема определяется J = det(\mathbf F) якобианом перехода из одной системы координат в другую. Опуская детали, для одноосного случая получим

С учетом того, что осевой член тензора деформации Грина-Лагранжа определяется выражением

выражение для силы в зависимости от смещения преобразуется к виду

Мы видим, что с учетом геометрической нелинейности линейный упругий материал в действительности подразумевает кубическую зависимость между силой и относительным удлинением (или силы от смещения, поскольку \Delta =L_0\xi ), как показано на рисунке ниже.

Одноосный отклик линейного упругого материала, обусловленный геометрической нелинейностью.

Сжатие — это не единственная проблема. В приведенном выше анализе коэффициент Пуассона не входил в уравнения. Так что же, на самом деле, происходит с поперечным сечением?

По определению, в одноосном случае поперечная деформация связана с осевой посредством отношения

Поскольку эти деформации являются компонентами тензора деформаций Грина-Лагранжа, значит они подчиняются нелинейным выражениям

Таким образом, при деформации имеется сильная нелинейная зависимость в изменении поперечного сечения. Решение этого квадратного уравнения приводит к следующему соотношению между поперечной и продольной деформациями

Результат показан на рисунке ниже.

Поперечное смещение как функция осевого смещения для одноосного растяжения материала Сен-Венана. Показаны зависимости для пяти различных значений коэффициента Пуассона.

Как видно, поперечное сечение быстро сжимается при больших растяжениях с ростом значений коэффициента Пуассона.

Если бы был выбран другой способ представления напряжения и деформации, например, если бы тензор напряжения Коши был пропорционален логарифмической, или “истинной” деформации, то это привело бы, скорее всего, к совсем другому результату. Такой материал имеет жесткость, которая, напротив, уменьшается при удлинении, когда связь между силой и смещением определяется значением коэффициента Пуассона. Тем не менее, оба материала можно корректно называть “линейно упругими”, хотя результаты вычислений для больших упругих деформаций в рамках двух различных платформ моделирования могут сильно различаться между собой.

Заключительные замечания по линейным упругим материалам

Мы проиллюстрировали некоторые ограничения на использование линейных упругих материалов. В частности, указали на возможные подводные камни, связанные с несжимаемостью, и комбинацией линейной упругости с большими деформациями.

Для интересующихся вопросами моделирования материалов в строительной механике и механике сплошных сред рекомендуем ознакомиться со следующими блог-статьями:

Источник