Уравнения кривых. Кардиоида. Улитка Паскаля.
Если брать точку не на самой катящейся окружности, а внутри ее, сместив в сторону от центра, тогда будет образована кривая, получившая название Улитка Паскаля или лимакона.
Пусть a – диаметр исходной окружности, а l — расстояние, на которое смещается точка вдоль радиус – вектора. Тогда возможны такие варианты улитки Паскаля: а > l, a = l и a 2 + у 2 +2аx) 2 – 4a 2 (х 2 + у 2 ) = 0;
в полярных координатах:
В прямоугольных координатах (параметрическая запись):
x = 2a cos t – a cos 2t;
Длина дуги одного витка кардиоиды, определяется формулой:
Площадь фигуры, ограниченной кардиоидой, определяется формулой:
.
Улитка Паскаля характеризуется уравнениями:
Площадь, ограниченная улиткой Паскаля:
.
При а > l площадь внутренней петли при вычислении по этой формуле считается дважды.
Улитка паскаля
Улитка Паскаля ― плоская алгебраическая кривая 4-го порядка; подера окружности, конхоида окружности относительно точки на окружности, частный случай Декартова овала, она также является эпитрохоидой. Названа по имени Этьена Паскаля (отца Блеза Паскаля), впервые рассмотревшего её.
Уравнения
Свойства
Полезное
Смотреть что такое «Улитка паскаля» в других словарях:
Улитка паскаля — плоская кривая 4 го порядка; см. Линия … Большая советская энциклопедия
ПАСКАЛЯ УЛИТКА — плоская кривая, множество точек М и М?, расположенных на прямых, исходящих из одной точки О данной окружности, на одинаковом расстоянии по обе стороны от точки Р пересечения прямых с окружностью. Алгебраическая кривая 4 го порядка. Рассмотрена… … Большой Энциклопедический словарь
Паскаля улитка — плоская Линия, впервые рассмотренная французским учёным Э. Паскалем, отцом Б. Паскаля (См. Паскаль) … Большая советская энциклопедия
ПАСКАЛЯ УЛИТКА — плоская алгебраич. кривая 4 го порядка; конхоида окружности диаметра а( см. рис.). Уравнение в прямоугольных координатах: в полярных координатах: Начало координат двойная точка, изолированная при a l, точка возврата при а=l … Математическая энциклопедия
Подера — улитка Паскаля подера окружности Подера (фр. podaire, от греч. πόυς, род. пад. ποδος нога) кривой … Википедия
Линия — I Линия (от лат. linea) геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно. 1) В элементарной… … Большая советская энциклопедия
Улитка Паскаля
Улитка Паскаля ― плоская алгебраическая кривая 4-го порядка; подера окружности, конхоида окружности относительно точки на окружности, частный случай Декартова овала, она также является эпитрохоидой. Названа по имени Этьена Паскаля (отца Блеза Паскаля), впервые рассмотревшего её.
Уравнения
Здесь a — диаметр исходной окружности, а l — расстояние, на которое смещается точка вдоль радиус-вектора (см. конхоида).
Свойства
Циклоида • Эпициклоида • Гипоциклоида • Трохоида (Удлинённая + Укороченная циклоида) • Эпитрохоида (Удлинённая + Укороченная эпициклоида • («Роза») • Гипотрохоида • Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)
Полезное
Смотреть что такое «Улитка Паскаля» в других словарях:
Улитка паскаля — плоская кривая 4 го порядка; см. Линия … Большая советская энциклопедия
ПАСКАЛЯ УЛИТКА — плоская кривая, множество точек М и М?, расположенных на прямых, исходящих из одной точки О данной окружности, на одинаковом расстоянии по обе стороны от точки Р пересечения прямых с окружностью. Алгебраическая кривая 4 го порядка. Рассмотрена… … Большой Энциклопедический словарь
Паскаля улитка — плоская Линия, впервые рассмотренная французским учёным Э. Паскалем, отцом Б. Паскаля (См. Паскаль) … Большая советская энциклопедия
ПАСКАЛЯ УЛИТКА — плоская алгебраич. кривая 4 го порядка; конхоида окружности диаметра а( см. рис.). Уравнение в прямоугольных координатах: в полярных координатах: Начало координат двойная точка, изолированная при a l, точка возврата при а=l … Математическая энциклопедия
Подера — улитка Паскаля подера окружности Подера (фр. podaire, от греч. πόυς, род. пад. ποδος нога) кривой … Википедия
Линия — I Линия (от лат. linea) геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно. 1) В элементарной… … Большая советская энциклопедия
Улитка Паскаля
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
Описание слайда:
Автор: Федорова Анна.
Описание слайда:
Содержание
1). Этьен Паскаль.
2). Улитка Паскаля (или лимакона).
5). Эффекты с кривыми.
6). Создание шедевров.
7). Список использованной литературы, INTERNET-ресурс.
Описание слайда:
Французский математик, физик и философ. В 1641 сконструировал суммирующую машину. К 1645 закончил ряд работ по арифметике, теории чисел, алгебре и теории вероятностей, опубликованную в 1665. Паскаль нашел общий признак делимости любого целого числа на любое другое целое число; дал способ нахождения числа сочетаний из n по m; сформулировал ряд основных положений элементарной теории вероятностей. Труды Паскаля, связанные с циклоидой, явились существенным шагом в развитии анализа бесконечно малых.
В 1625 Этьен Паскаль в своей переписке с Мерсенном, у которого частенько собирались за чашкой чая знаменитые геометры, в том числе и Gilles-Personne Roberval, описал метод построения новой кривой, обладающей интересными свойствами ( которую впоследствии назвали Улиткой).
Описание слайда:
Улитка Паскаля – плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. Уравнение в прямоугольных координатах:
(x²+y²-ax)²=l²(x²+y²);
В полярных координатах: P=a cos φ + l;
Симметрична относительно оси ох. Площадь, ограниченная улиткой паскаля:
S=+πL²;
Из начала координат проведен луч, пересекающий данную окружность x²+y²=2x (а›0) в точке В; на луче по обе стороны от точки В отложены равные между собой отрезки ВМ и ВN постоянной длины b. При вращении луча точки M и N описывают кривую, называемую улиткой Паскаля.
Описание слайда:
Трисекция угла с помощью улитки Паскаля
Опишем метод деления произвольного угла на три равные части с помощью кривой, названной улиткой Паскаля.
Описание слайда:
Описание слайда:
Если использовать две окружности с
одинаковыми радиусами и вращать одну вокруг
другой, то получится кардиоида (греч.кардиа –
кривая отдаленно напоминает сердце
Формула r = 2a(1 + cos(Ө)) рисует
кардиоиду
Описание слайда:
Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемГерман Горохов
Похожие презентации
Презентация на тему: » Улитка Паскаля. Автор: Федорова Анна. Содержание 1). Этьен Паскаль. 2). Улитка Паскаля (или лимакона). 3). Трисекция угла. 4). Кардиоида. 5). Эффекты.» — Транскрипт:
2 Улитка Паскаля. Автор: Федорова Анна.
3 Содержание 1). Этьен Паскаль. 2). Улитка Паскаля (или лимакона). 3). Трисекция угла. 4). Кардиоида. 5). Эффекты с кривыми. 6). Создание шедевров. 7). Список использованной литературы, INTERNET-ресурс.
4 Паскаль.( ) Французский математик, физик и философ. В 1641 сконструировал суммирующую машину. К 1645 закончил ряд работ по арифметике, теории чисел, алгебре и теории вероятностей, опубликованную в Паскаль нашел общий признак делимости любого целого числа на любое другое целое число; дал способ нахождения числа сочетаний из n по m; сформулировал ряд основных положений элементарной теории вероятностей. Труды Паскаля, связанные с циклоидой, явились существенным шагом в развитии анализа бесконечно малых. В 1625 Этьен Паскаль в своей переписке с Мерсенном, у которого частенько собирались за чашкой чая знаменитые геометры, в том числе и Gilles-Personne Roberval, описал метод построения новой кривой, обладающей интересными свойствами ( которую впоследствии назвали Улиткой).
5 Улитка Паскаля. Улитка Паскаля – плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. Уравнение в прямоугольных координатах: Улитка Паскаля – плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. Уравнение в прямоугольных координатах: (x²+y²-ax)²=l²(x²+y²); (x²+y²-ax)²=l²(x²+y²); В полярных координатах: P=a cos φ + l; Симметрична относительно оси ох. Площадь, ограниченная улиткой паскаля: S=+πL²; S=+πL²; Из начала координат проведен луч, пересекающий данную окружность x²+y²=2x (а0) в точке В; на луче по обе стороны от точки В отложены равные между собой отрезки ВМ и ВN постоянной длины b. При вращении луча точки M и N описывают кривую, называемую улиткой Паскаля. Из начала координат проведен луч, пересекающий данную окружность x²+y²=2x (а0) в точке В; на луче по обе стороны от точки В отложены равные между собой отрезки ВМ и ВN постоянной длины b. При вращении луча точки M и N описывают кривую, называемую улиткой Паскаля.
14 Теперь нас отделяет от создания шедевра один маленький шаг делаем толщину линии побольше (например, 55 пикселей) и раскрашиваем каждый четный круг в желтый цвет, а нечетный в черный. И получаем шедевр поп-арта, которому позавидовал бы сам Малевич. Теперь нас отделяет от создания шедевра один маленький шаг делаем толщину линии побольше (например, 55 пикселей) и раскрашиваем каждый четный круг в желтый цвет, а нечетный в черный. И получаем шедевр поп-арта, которому позавидовал бы сам Малевич.
17 Паутина На окружности берутся точки с определенным шагом, и каждая из них соединяется с такой же точкой, но сдвинутой по фазе в какое-то число раз (n). Это число можно задавать или брать случайным образом. Точки пересечения хорд сливаются в муаровый узор самых замысловатых форм. При n= 1 не нарисуется ничего, так как начальные и конечные точки линий совпадают, зато при увеличении n будут появляться фигуры с узлами, причем количество узлов равно n-1. Нас же особенно интересует случай для n= 2, при этом нарисуется фигура, хорошо уже изученная нами кардиоида. При n= 3 так называемая нефроида с двумя узлами. Если n-1 делитель числа 360, то картинка проявляет некоторую упорядоченность. Приводим картинки для значений n= 2 (наша любимая кардиоида) На окружности берутся точки с определенным шагом, и каждая из них соединяется с такой же точкой, но сдвинутой по фазе в какое-то число раз (n). Это число можно задавать или брать случайным образом. Точки пересечения хорд сливаются в муаровый узор самых замысловатых форм. При n= 1 не нарисуется ничего, так как начальные и конечные точки линий совпадают, зато при увеличении n будут появляться фигуры с узлами, причем количество узлов равно n-1. Нас же особенно интересует случай для n= 2, при этом нарисуется фигура, хорошо уже изученная нами кардиоида. При n= 3 так называемая нефроида с двумя узлами. Если n-1 делитель числа 360, то картинка проявляет некоторую упорядоченность. Приводим картинки для значений n= 2 (наша любимая кардиоида)
18 Список литературы: Прохоров «Большая энциклопедия» Угринович Н.Д. «Информатика и информационные Технологии» Учеб. для классов – М.:БИНОМ, 2005г. Интернет-ресурсы: Программное обеспечение: Adobe Photoshop MS Power Point