Как появилось уравнение в математике

Исследовательская работа «Происхождение уравнений»

Комитет по образованию

Городская научно-практическая конференция для учащихся 5-7 классов Обыкновенное чудо

Тема работы: Происхождение уравнений

Автор: Хамаганова Ксения,6 б класс МАОУ СОШ №32

Консультант: Казазаева Е.Б., учитель математики МАОУ СОШ №32

4. Решение уравнений в Древней Греции и Индии……………………………………………7

Тема происхождение уравнений выбрана мною потому, что в дальнейшем будут изучаться на уроках алгебры, которую будем изучать начиная с 7 класса. Алгебра − часть математики, принадлежащая, вместе с арифметикой и геометрией, к числу старейших разделов этой науки. Алгебра изучает общие свойства действий над различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями. В отличие от арифметики, эти величины обозначаются буквами, а не цифрами.

В ходе работы над этой темой я попыталась выяснить историю уравнений, для чего нужны и значение их в математике.

Цель исследования: Выяснить историю происхождения уравнений и значение в нашей жизни.

Задачи исследования: Узнать происхождение уравнений, рассмотреть ряд уравнений.

Кто и когда придумал первые уравнения? Что такое уравнение?

Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти. Неизвестные числа в уравнениях принято обозначать с помощью маленьких латинских букв, например, p, t, u и т.п., но наиболее часто используются буквы x, y и z.

Задачи, приводящие к решению простейших уравнений, люди решали на основе здравого смысла. Еще 3-4 тысячи лет до нашей эры египтяне и вавилоняне умели решать простейшие уравнения, вид которых не был похож на современные.

Математика как наука родилась в Древней Греции. Греки унаследовали знания египтян, и пошли дальше. Алгебраические уравнения 1-й степени с одним неизвестным решали уже в Древнем Египте и Древнем Вавилоне. Вавилонские писцы умели решать и квадратные уравнения, а также простейшие системы линейных уравнений и уравнений 2-й степени. С помощью особых таблиц они решали и некоторые уравнения 3-й степени. В Древней Греции квадратные уравнения решали с помощью геометрических построений. Греческий математик Диофант (III в.) разработал методы решения алгебраических уравнений и систем таких уравнений со многими неизвестными в рациональных числах. Например, он решил в рациональных числах уравнение, систему уравнений, и т.д. (см. Диофантовы уравнения).

Большой вклад в развитие решения уравнений внес узбекский математик и астроном Мухаммед аль Хорезми (IX век). Кстати, название «алгебра» пошло от названия трактата Мухаммеда аль-Хорезми «Китаб аль-джебр валь-мукабала», где он дал общие правила для решения уравнений первой степени. Слово «аль-джебр» (восстановление), от которого алгебра получила своё название, означало перенос отрицательных членов уравнения из одной его части в другую с изменением знака. В алгебраическом трактате аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений.

Многие математики занимались решением уравнений. Одним из них был французский математик Франсуа Виет. Франсуа Виет жил в XVI веке. Он внес большой вклад в изучение различных проблем математики, астрономии, ввел буквенные обозначения в уравнении. Громкую славу Ф.Виет получил при короле Генрихе III во время франко-испанской войны. Испанские инквизиторы изобрели сложную тайнопись, благодаря которой они вели переписку с врагами Генриха III даже в самой Франции. Никто не мог найти шифр. Тогда обратились к Виету. Виет нашел решение за две недели непрерывной работы ключ к шифру, после чего Франция стала неожиданно выигрывать у Испании одно сражение за другим. Будучи уверенными, в том, что шифр разгадать невозможно, обвинили Виета в связи с дьяволом и приговорили к сожжению на костре. К счастью, он не был выдан инквизиторам и вошел в историю как великий математик. Более подробно познакомимся с Виетом в старших классах.

Алгебра как искусство решать уравнения зародились очень давно в связи с потребностью практики, в результате поиска общих приёмов решения однотипных задач. Самые ранние дошедшие до нас рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приёмы решения линейных уравнений. Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) внес важный вклад в теорию уравнений. В 1824 году он опубликовал доказательство неразрешимости в радикалах общего буквенного выражения пятой степени.

Сейчас алгебра как наука значительно расширилась и усложнилась. Однако элементарная алгебра по-прежнему, как и во времена древних египтян, является наилучшим тренажёром для развития мышления.

Что значит решить уравнение? Решить уравнение (найти корни уравнения) это значит, что нужно найти значения неизвестных переменных, при которых это равенство достигается. Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.

Корень уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Давайте рассмотрим некоторые уравнения.

Например: Уравнение с одной переменной. Нам нужно найти число, при подстановке которого вместо «х» в уравнение, получится верное равенство. Такое число называют решением уравнения или корнем уравнения.

х=710

х=70 – корень уравнения. Проверим, подставив вместо х его числовое значение.

21=21 Уравнение решено верно.

Итак, при решении уравнений используются следующие свойства:

— Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится уравнение равносильное данному;

— Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Также с алгебраическими выражениями, входящими в уравнения, можно выполнять операции, которые не меняют его корней, в частности:

-В любой части уравнения можно раскрыть скобки.

-В любой части уравнения можно привести подобные слагаемые.

-К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же выражение.

-Из обеих частей уравнения можно вычесть одно и то же выражение.

4. Решение уравнений в Древней Греции и Индии

В «геометрической алгебре» древних греков решение уравнений сводилось к построению отрезков, представляющих положительные корни уравнений. Зачатки новой, арифметической алгебры встречаются лишь у Диофанта.

Вот пример задачи из «Арифметики» Диофанта.

«Если прибавить к 20 и отнять от 100 одно и то же число, то полученная сумма будет в 4 раза больше разности. Найти неизвестное.»

В 1881 г. Была найдена зарытой в земле близ Бахшали (северо-западная Индия) рукопись неизвестного автора, которая как полагают, относится к VI-VIII вв. В этом памятнике, написанном на березовой коре и известном в настоящее время под названием «Бахшалийской рукописи», содержится такая задача:

« Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий- втрое больше второго, четвертый вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132. Сколько дал первый?»

Диофантовы уравнения (пример): 5x + 35y=40

Решение: Наибольший общий делитель (5, 35) = 5,

40 можно поделить на 5,

значит, у этого уравнения есть корни,

Как бы мы могли решить это же уравнение в настоящее время:

выразим х через у и перенесем слагаемое 35у в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный и получим

5х=40-35у разделим обе части этого уравнения на 5 (наибольший общий делитель)

х=8-7у Данное уравнение равносильно первому.

Решением данного уравнения с двумя переменными будет пара чисел, обращающих это уравнение в верное равенство. (х=1, у=1)

6. Используемая литература.

История математики в школе. IV—VI кл_Глейзер Г.И_1981

Алгебра 7 класс / Ю.Н.Макарычев –М. Просвещение 2009

Научно-технический энциклопедический словарь.

Источник

Как появилось уравнение в математике

Представители различных цивилизаций: Древнего Египта, Древнего Вавилона, Древней Греции, Древней Индии, Древнего Китая, Средневекового Востока, Европы овладели приемами решения квадратных уравнений.

Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта. В одном из математических папирусов содержится задача:

«Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь 12, а – длины равны ширине». «Длина поля равна 4», – указано в папирусе.

Прошли тысячелетия, в алгебру вошли отрицательные числа. Решая уравнение х²= 16, мы получаем два числа: 4, –4.

Разумеется, в задаче египтян мы приняли бы X = 4, так как длина поля может быть только положительной величиной.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Правило решения квадратных уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом вавилоняне «дошли до этого». Но почти во всех найденных папирусах и клинописных текстах приводятся только задачи с решениями. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел!».

Греческий математик Диофант составлял и решал квадратные уравнения. В его «Арифметике» нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

Задачи на составление квадратных уравнений встречаются уже в астрономическом трактате «Ариа-бхатиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой.

Другой индийский ученый Брахмагупта (VII в.) изложил общее правило решения квадратных уравнений вида ах ² + bх = с.

​ В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг по поводу таких соревнований говорится следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары:

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая на поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам. стали прыгать, повисая. ​

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?

​ Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Наиболее древние из дошедших до нас китайских математических текстов относятся к концу I в. до н.э. Во II в. до н.э. была написана «Математика в девяти книгах». Позднее, в VII в., она вошла в сборник «Десять классических трактатов», который изучали в течение многих столетий. В трактате «Математика в девяти книгах» объясняется, как извлечь квадратный корень с помощью формулы квадрата суммы двух чисел.

Метод получил название «тянь-юань» (буквально – «небесный элемент») – так китайцы обозначали неизвестную величину. ​

Первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр»– со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми стало отправной точкой в становлении науки о решении уравнений. В алгебраическом трактате аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает шесть видов уравнений, выражая их следующим образом:

Трактат аль-Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор самостоятельно разработал некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первым в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» были включены почти во все европейские учебники XVI-XVII в. и частично XVIII в.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х ² + bх = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b и с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако он также признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVII в., благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Источник

Эти загадочные уравнения

Окружная научная конференция учащихся

Эти загадочные уравнения

Наумов Виктор, ученик 6 класса

ГБОУ СОШ ж.-д. ст. Погрузная

ГБОУ СОШ ж.-д. ст. Погрузная

с. Красный Яр, 2013 г.

· Введение. Актуальность проблемы изучения способов решения

Глава 1. Исторические сведения…………………………………….4-8

Глава 2. Эти загадочные уравнения………………………………..8-15

2.1. Что мне было известно про уравнение………………………..8-9

2.2. Решение простейших уравнений …………………..……

2.3. Что я нового узнал об уравнениях из школьных учебников……………………………………………………………11-15

Глава 3. Что я нового узнал об уравнении из дополнительной

3.1. Тайное становится явным (исследование)………….……… 15-18

3.2. Способы решения уравнений……………………….……….. 18-20

а) Решение уравнений с помощью правила нахождения неизвестной компоненты…………………………………………………….…………..18

б) Решение уравнений методом весов…………………………..18

в) Решение уравнений методом проб и ошибок………………..19

г) Решением уравнений методом перебора……………. 19

3.3 Математические фокусы…………………………………. 21-23

· Список использованной литературы……………………. 25

· Приложения. Задания для моих одноклассников

Введение. Актуальность проблемы

Уравнение – одно из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую-то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить выражение, которым оно удовлетворяет. Так получают уравнение для определения неизвестной величины. Кто и когда придумал уравнения? Кто ввёл неизвестные величины? Как решаются уравнения? Эти проблемные вопросы, думаю, интересны многим, в том числе и мне. Я высказал гипотезу, что существуют какие-то определенные способы решения уравнений и поставил перед собой цель:

• изучить способы решения уравнений

• углубить математические знания по этой теме

• расширить представления о математике как о языке описания окружающего мира

• изучить литературу и систематизировать материал по данной теме

• исследовать свойства преобразования уравнений

• выявить основные доступные способы решения уравнений

• выработать навыки поисково-исследовательской работы

• систематизация изученного материала

• классификация уравнений по способам их решения

Объект исследования: Уравнения

Предмет исследования: Способы решения уравнений

Слова уравнение и равенство имеют один и тот же корень. Да, и на самом деле, уравнение – это равенство, содержащее неизвестную величину, значение которой нужно найти.

Уравнения в школьном курсе математики занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники.

В начальной школе я научился решать самые простые уравнения, в пятом и шестом классах мы уже решали более сложные уравнения, а в старших классах я научусь решать разные виды уравнений. Существует целая наука алгебра, которая изучает различные виды уравнений и способы их решения. С алгеброй, как учебным предметом, мне предстоит встретиться только в седьмом классе.

Но мне не захотелось ждать седьмого класса. Из дополнительной литературы я решил узнать новое, интересное и загадочное об уравнениях. Поэтому тема моей работы «Эти загадочные уравнения».

Глава 1.Исторические сведения

Кто и когда придумал первое уравнение?

Задачи, которые довольно просто мы сегодня можем решить при помощи уравнений, решали хорошо обученные науке мудрецы, чиновники и жрецы ещё в Древнем Вавилоне и Древнем Египте, Древнем Китае, Древней Индии и Древней Греции. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние учёные владели какими-то общими приёмами решения задач с неизвестными. Однако ни в одном папирусе, ни на одной глиняной табличке не дано описание приёмов. Авторы лишь изредка снабжают выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты верно нашёл!» В те времена не было ещё общепринятых теперь обозначений неизвестных буквами, а действий – знаками. Древние египтяне для удобства рассуждений придумали специальное слово, обозначающее неизвестное число, но так как у них не было ещё знаков равенства и знаков действий, то записывать уравнения они, конечно, не умели. Уравнения записывались словами.

Но и в «словесной форме» уравнения существенно облегчали решение задач.

Первым придумал обозначение для

неизвестных греческий математик

Диофант, живший в III веке.

Посредством уравнений, теорем

Он уйму всяких разрешал проблем.

И засуху предсказывал, и ливни –

Поистине его познанья дивны.

Его книга «Арифметика» содержала большое количество интересных задач, её изучали математики всех поколений. Книга сохранилась до наших дней и переведена на русский язык.

Во времена Диофанта языком науки был греческий. Но греки ещё не знали цифр и обозначали числа при помощи букв своего алфавита. Первые девять букв: обозначали числа от 1 до 9; следующие девять:обозначали числа от 10 до 90; наконец, следующие девять: обозначали числа от 100 до 900. чтобы не ошибиться и не принять число за слово, над буквами, обозначающими число, ставилась чёрточка. Букв в алфавите было 28, одна из них была особой – она обозначалась (сигма концевая), ставилась только в конце слов и числового значения не имела. Вот ею-то Диофант и стал обозначать неизвестную величину, так же как мы обычно обозначаем её буквой х.

Аль-Хорезми одним из первых стал обращаться с уравнениями так, как торговец обращается с рычажными весами. Пусть, например, имеется равенство 5х – 16 = 20 – 4х. Считая, что оно задаёт равновесие некоторых грузов на чашах весов, торговец вправе заключить, что равенство не изменится, если он на обе чаши добавит одно и то же количество:

было 5х – 16 = 20 – 4х,

После этой операции прибавления одинаковых количеств число 16 исчезло из левой части исходного равенства, зато со знаком плюс оно возникло (восстановилось) в правой части. Точно так же на обе чаши весов можно добавить одно и то же количество 4х:

Опять из правой части равенства выражение 4х пропало, а в левой части оно восстановилось со знаком плюс. Из полученного простого равенства 9х = 36 уже легко вычислить, что х = 4.

Взгляд на уравнение как на равенство грузов на весах, на обеих чашах которых можно производить одинаковые преобразования, оказался очень плодотворным. Равные количества можно не только прибавлять к обеим частям уравнения или вычитать из них. Равенство не нарушится и тогда, когда обе части умножаются или делятся на одно и то же число (если оно не нуль). Главный принцип: если над равными количествами произвести одинаковые действия, то в результате снова получатся равные количества – стал своеобразной «волшебной палочкой», которую обнаружили вдумчивые читатели руководства аль-Хорезми.

Новый великий прорыв в решении уравнений связан с именем французского учёного XVI века Франсуа Виета. Он первым из математиков ввёл буквенные обозначения для неизвестных величин. А традицией обозначать неизвестные величины последними буквами латинского алфавита (х, у или z) мы обязаны соотечественнику Виета – Рене Декарту.

Таким образом, решению уравнений уделялось всегда большое внимание. В древности считалось, что уравнения связаны с тайной, которую нужно разгадать, найдя значение неизвестной величины. Людей, которые могли решать уравнения, считали мудрецами, посвященными в эту тайну, так как уравнения были связаны с решением житейских проблем.

Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы» С. Коваль

Сезам – заклинание в арабской сказке, силой которого раскрывалась тайная сокровищница.

Глава 2. Эти загадочные уравнения.

2.1.Что мне было известно про уравнение

В учебнике «Математика – 4, часть 2» в разделе «Справочный материал» на странице 92 про уравнение можно прочитать следующее:

« Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти. Неизвестное число в таком равенстве обозначают латинской буквой (например, х, а, b и др.). Решить уравнение – значит найти такое значение буквы, чтобы равенство стало верным. Например: 15 + х = 18 – уравнение. х = 3 – решение уравнения, так как 15 + 3 = 18 – верное равенство».

В учебнике Виленкина «Математика – 5», в п.10 на страницах 58-59 мы прочтём про уравнение почти то же самое.

Задача. На левой чашке весов лежит арбуз и гиря в 2 кг, а на правой чашке – гиря в5 кг. Весы находятся в равновесии. Чему равна масса арбуза?

Решение. Обозначим неизвестную массу арбуза буквой х. Так как весы находятся в равновесии, то должно выполняться равенство х + 2 = 5.

Нужно найти такое значение х, при котором выполняется это равенство. По смыслу вычитания таким значением будет разность чисел 5 и 2, то есть 3. Значит, масса арбуза равна 3 кг. Пишут: х = 3.

Если в равенство входит буква, то равенство может быть верным при одних значениях этой буквы и неверным при других её значениях.

Например, равенство х + 2 = 5 верно при х = 3 и неверно при х = 4.

Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти. Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения. (Например, корнем первого уравнения х + 2 = 5 является число3).

Решить уравнение – значит найти все его корни (или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня).

Таким образом, уравнение характеризуется двумя свойствами, которые легко определить на глаз, по внешнему виду: 1) уравнение – это равенство; 2) в этом равенстве есть буква.

2.2. Решение простейших уравнений

Пример 1. Решим уравнение х + 37 = 85.

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Пример 2. Решим уравнение у – 94 = 18.

Решение. По смыслу вычитания у является суммой чисел 18 и 94. Значит, у = 18 + 94, то есть у = 112.Число 112 является корнем уравнения у – 94 = 18, так как верно равенство у – 94 = 18.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность.

Пример 3. Решим уравнение 91 – z = 36.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

Пример 4. Решим уравнение 35х = 175.

Решение. По смыслу деления имеем: х = 175 : 35, то есть х = 5. Число 5 является корнем уравнения 35х = 175, так как верно равенство 355 = 175.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на другой множитель.

Пример 5. Решим уравнение у : 8 = 16.

Решение. По смыслу деления у – произведение множителей 8 и 16. Значит, у = 168, то есть у = 128. Число 128 является корнем уравнения у : 8 = 16, так как верно равенство 128 : 8 = 16.

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Пример 6. Решим уравнение 252 : z = 21.

Решение. По смыслу деления число 252 – произведение множителей 21 и z, то есть 21z = 252. Применяя правило нахождения неизвестного множителя, находим: z = 252 : 21, то есть z = 12. Число 12 является корнем уравнения 252 : z = 21, так как верно равенство 252 : 12 = 21.

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Таким образом, при решении этих уравнений я использовал правила нахождения неизвестных компонентов арифметических действий (слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого и делителя).

2.3.Что я узнал об уравнениях из школьных учебников

При решении уравнений кроме способа нахождения неизвестного компонента, мы использовали еще второй способ, при котором упрощали выражение, стоящее в левой части уравнения, используя свойства сложения, вычитания и умножения.

Рассмотрю несколько заданий из учебника.

№ 000. Решите двумя способами уравнение:

Решу первое уравнение двумя способами:

1) сначала найду неизвестное слагаемое х + 98:

а потом найду слагаемое х: х = 155 – 98,

2) сначала упростим выражение, стоящее в левой части уравнения, используя сочетательное свойство сложения

а затем найду неизвестное слагаемое х:

Решу второе уравнение двумя способами:

1) сначала найду неизвестное уменьшаемое 35 + у:

а потом найду слагаемое у: у = 46 – 35,

2) сначала упростим выражение, стоящее в левой части уравнения, используя свойство вычитания: (35 + у) – 15 = 31,

а затем найду неизвестное слагаемое у:

№ 000. Решите уравнение:

а) 3х + 5х + 96 = 1568;

Используя распределительное свойство умножения относительно сложения, упрощу левую часть первого и третьего уравнения, а распределительное свойство умножения относительно вычитания для второго и получу более простые уравнения. а) 8х + 96 = 1568;

б) 208z – 1843 = 11469;

После этого найду неизвестные компоненты: слагаемое, вычитаемое и множитель а) 8х + 96 = 1568,

б) 208z – 1843 = 11469,

Еще в пятом классе я научился решать задачи с помощью уравнений.

Решу задачи из нашего учебника.

№ 000. Для школы купили 220 столов и стульев, причем стульев – в 9 раз больше, чем столов. Сколько столов и сколько стульев купили?

Решение. Пусть столов купили х штук, тогда стульев – 9х штук. Всего купили (х + 9х) штук, или 220. Получил уравнение: х + 9х = 220. Решу его. х + 9х = 220,

№ 000(1). Первое число в 2,4 раза больше третьего, а второе число на 0,6 больше третьего числа. Найдите эти три числа, если их среднее арифметическое равно 2, 4.

(2,4х + х + 0,6 + х) : 3 = 2,4,

4,4х + 0,6 = 2,43,

1,5 –третье число, тогда 1,5 + 0,6 = 2,1 – второе число и 1,52,4 = 3,6 – первое число. Ответ: 3,6; 2,1 и 1,5.

Я провел маленькое исследование и убедился, что в учебнике «Математика – 5» достаточно много заданий, связанных с решением уравнений. Это задания первого вида: «Решите уравнение», «Угадайте корни уравнения» или «Найдите корни уравнения» и задания второго вида: «Решите задачу с помощью уравнения», «Придумайте задачу по уравнению», «Решите задачу».

878, 1018, 1022, 1036, 1042, 1058, 1107, 1127, 1165, 1210, 1236, 1238, 1251, 1268, 1326, 1329, 1348, 1358, 1362, 1373, 1379, 1389, 1441, 1459, 1489, 1517, 1752, 1817.

373, 377, 397, 410, 440, 447, 484, 486, 489, 512, 526, 571,

572, 577, 578,579, 580, 581, 582, 583, 584, 585, 586, 587, 588, 589, 594, 602, 603, 607, 618, 619, 621, 622, 623, 624, 641, 643, 665, 669, 704, 705, 706, 726, 777, 837, 870, 871, 997, 1126, 1081, 1073, 1105,

1140, 1170, 1253, 1328, 1349, 1350, 1351, 1430,1460, 1461, 1462, 1463, 1490, 1491, 1558, 1559, 15 97, 1647, 1669, 1755, 1756, 1757, 1758, 1760, 1838, 1839, 1840.

То есть, 155 номеров всех заданий учебника, а их 1849, связаны с решением уравнений, то есть = 0, 083 829…. 8,4%. Но если учесть, что в данном учебнике первое задание, связанное с решением уравнения начинается с номера 372, то 1849 – 371 = 1478 и = 0, 10 487… 10%.

Теперь можно сделать вывод, что после изучения темы «Уравнение», каждое 10-е задание учебника требует умений решать уравнения. И это еще раз подчеркивает важность изучения темы «Уравнение»

Глава 3. Что я узнал об уравнении из дополнительной литературы.

3.1.Тайное становится явным (исследование)

Представьте, что в очень лёгком — практиче­ски невесомом — кошельке содержится какое-то количество монет одинакового достоинства. Как узнать, сколько монет в кошельке, не за­глядывая внутрь? Есть очень простой способ: положим кошелёк на одну чашу рычажных ве­сов и уравновесим его монетками на другой чаше. Сколько монет для этого потре­буется — столько же их и в кошельке.

В кошельке семь монет.

На левой чаше находящихся в равновесии весов лежат кошелёк с неизвестным числом монет и ещё 5 монет рядом с ним, а на правой чаше — 15 точно таких же монеток. Для того чтобы узнать, сколько монет в кошельке, снимем по 5 монет с обеих чаш — равновесие при этом не нарушится.

Следовательно, внутри кошелька 10 монет

Взгляд на уравнение как на равенство грузов на весах, на обеих чашах которых можно производить одинаковые преобразования, оказался очень плодотворным. В своём сочинении об уравнениях арабский учёный аль – Хорезми замечает, что равные количества можно не только прибавлять к обеим частям уравнения или вычитать из них. Равенство не нарушится и тогда, когда обе части умножаются или делятся на одно и то же число, если оно не равно нулю. Главный принцип: если над равными количествами произвести одинаковые действия, то в результате снова получатся равные количества – стал своеобразной «волшебной палочкой», которую обнаружили вдумчивые читатели руководства аль – Хорезми. Попробую и я воспользоваться этой палочкой, и насколько мне позволяют знания, исследовать и доказать, что аль – Хорезми был прав. Рассмотрю это на простом уравнении.

Проведу исследования и узнаю, на самом ли деле значение х = 19, останется везде одинаковым.

1) Прибавлю к обеим частям уравнения число 12, получу новое уравнение 2х + 28 + 12 = 66 + 12,

воспользуюсь правилом, что два соседних слагаемых можно заменять их суммой, тогда 2х + 40 = 78,

2) Вычту из обеих частей уравнения 16,

чтобы найти неизвестное уменьшаемое (2х + 28) нужно к разности прибавить вычитаемое 2х + 28 = 50 + 16,

1) Умножу обе части уравнения на 3,

(2х + 28) 3= 663,

воспользуюсь правилом, что при умножении суммы на число можно на него умножить каждое слагаемое в отдельности и полученные результаты сложить. 2х 3 + 28 3 = 198, применю правило, что от перестановки множителей произведение не изменяется, и получу 3 2х + 84 = 198,

4) Разделю обе части уравнения на 2,

Чтобы разделить сумму на число, можно разделить каждое слагаемое и полученные результаты сложить 2х : 2 + 28 :2 = 66 : 2,

Вывод: значение корня не изменится, если :

— к обеим частям уравнения прибавить или отнять одно и то же число;

— обе части уравнения умножить или разделить на число, неравное нулю.

Эти правила применяются для решения уравнений методом весов.

3.2. Способы решения уравнений.

Из дополнительной литературы я узнал о некоторых способах решения уравнений, с которыми я разобрался, и они оказались мне понятными.

а) Решение уравнений с помощью правила нахождения неизвестного компонента. Решение уравнений этим методом я подробно рассмотрел в главе 2.

б) Решение уравнений методом весов. Решение уравнений методом весов я рассматривал в главе «Исторические сведения».

Решу уравнения таким методом.

а) 4х – 9 = 2х + 11, в) 8х – 10 = 5х + 8,

из обеих частей уравнения из обеих частей уравнения

отнимем по 2х и прибавим 9, отнимем по 5х и прибавим 10,

получим уравнение получим уравнение

Проверка. 4 10 – 9 = 2 10 + 11, Проверка. 8 6 – 10 = 56 + 8,

40 – 9 = 20 + 11, 48 – 10 = 30 + 8,

Ответ: х = 10. Ответ: х = 6.

Уравнения такого вида мы научимся решать в конце 6 класса, используя правила преобразования выражений, а пока их можно решать методом весов.

в) Решение уравнений методом проб и ошибок

а) Решите уравнение х (х + 3) = 70.

Никакие известные нам правила не помогают найти решение этого уравнения. Попробуем тогда подобрать решение «экспериментально», так называемым методом проб и ошибок.

Нам надо найти такое число х, чтобы значение выражения х(х + 3) было равно 70. Попробуем подставить в это выражение, например, х = 4: 4 (4 + 3) = 28. Мы видим, что выбранное число х слишком мало.

Возьмём теперь х = 6: 6 (6 + 3) = 54, и снова выбранное значение мало, хотя ближе к искомому. А следующая попытка оказывается удачной: при х = 7, имеем 7 (7 + 3) = 70. Значит, при х = 7 данное в условии равенство верно.

Казалось бы, уравнение уже решено, но это не так: ведь может оказаться, что буквенное выражение равно 70 при разных значениях букв. Поэтому нужны некоторые дополнительные рассуждения. Если бы число х было больше 7, то число х + 3 было больше 10, и тогда произведение оказалось бы больше 70. Точно так же число х не может быть меньше 7, иначе произведение будет меньше 70. Следовательно, среди натуральных чисел, есть только одно решение этого уравнения. Ответ: х = 7.

Итак, метод проб и ошибок позволяет найти ответ даже в случае, если уравнение представляет собой новый, не изученный ещё объект. Однако при использовании этого метода следует всегда помнить о том, что подбор одного решения не гарантирует полноты решения. Поэтому требуется дополнительное обоснование того, что найдены все возможные решения, и ни одно не пропущено.

г). Решение уравнений методом перебора.

При решении уравнений методом проб и ошибок мы видели, что простой подбор одного неизвестного числа не даёт уверенности в том, что найдены все искомые значения. В этом состоит существенный недостаток метода проб и ошибок.

Указанного недостатка лишен другой метод решения уравнений – метод полного перебора. При поиске неизвестного числа полным перебором рассматриваются все мыслимые возможности: если мы упустим хотя бы одну, то может оказаться, что именно она и даёт решение уравнение.

Например, глядя на уравнение х (х + 3) = 54, можно заметить, что его натуральные корни должны быть делителями числа 54. Значит, х может принимать лишь значения: 1, 2, 3,6, 9, 18, 27, 54. Подставляя эти числа вместо буквы х в уравнение, находим единственный корень х = 6.

Решим еще одно уравнение методом перебора.

Делители числа 20 – 1, 2, 4, 5, 10, 20.

Можно проанализировать и сделать вывод, что среди натуральных решений могут быть только числа большие 3, но меньшие 7. такими числами будут 4 и 5. проверим это.

х = 4, 4( 4 –– 4) = 4 13 = 12.

х = 5, 5(5 – 2)(7 – 5) = 52 2 = 20.

х= 5 – корень уравнения.

Если бы мы не делали анализа, то нам нужно было проверить все 6 чисел. А если число имеет много делителей, то перебор вариантов может оказаться слишком громоздким. Не всегда удаётся подобрать корни уравнения, и тем более доказать единственность решения. Может оказаться, что среди натуральных чисел решения нет, а среди других чисел оно есть.

Именно поэтому математики всегда стремились найти общие решения различных классов уравнений.

3.3. Математические фокусы.

Задумайте число. Обозначаю его буквой х. Прибавьте к нему число 5. Получается число х + 5.

Из результата вычтите 2. Получается (х + 5) – 2.

К результату прибавьте 7. Получается ((х + 5) – 2) + 7. Скажите ваш результат. Допустим, он равен 17.

Приравнивая составленное выражение ((х + 5) – 2) + 7 к 17, получаю уравнение. ((х + 5) – 2) + 7 = 17, Упростим левую часть уравнения, воспользовавшись свойствами сложения и вычитания: ((х + 5) – 2) + 7 = (х + (5 – 2)) + 7 = (х + 3) + 7 = х + (3 + 7) = х + 10. Уравнение теперь получилось совсем простое : х + 10 = 17. Задуманное число х = 17 – 10, х = 7. Такие фокусы нетрудно придумать и самому. Например, эти два фокуса я придумал сам.

· Задумайте число, утройте его. Прибавьте к результату 10, а затем вычтите 1.Скажите, сколько получилось? А я скажу, какое число вы задумали (нужно от названного числа отнять 9 и результат разделить на 3).

· Задумайте число, прибавьте к нему 15, затем вычтите 7 и прибавьте задуманное число. Скажите, сколько получилось? А я скажу, какое число вы задумали (нужно от названного числа отнять 8 и результат разделить на 2).

Удивительной для непосвященных кажется способность отгадывать задуманное другим число. Но если вы узнаете секреты математических фокусов, то сможете не только их показывать, но и придумывать новые. Вы просите товарища задумать любое число, затем отнять от него 1, результат умножить на 2, из произведения вычисть задуманное число и сообщить вам результат. Прибавив к нему число 2, вы отгадаете задуманное. Секрет фокуса становится понятен, если записать предложенные действия в виде алгебраического выражения (x-1)2 – x, где x – задуманное число. Раскрыв скобки, и выполнив действия, мы получим, что это выражение равно x-2. Если ответ равен 23, то задумано число 21. Чтобы угадать задуманное число нужно от результата отнять 2

1.Задумайте число. Умножьте его на 3. К полученному прибавьте полученное разделите на 3. Скажите, сколько получилось?

Решение. (3х + 6) : 3 = х + 2. Чтобы получить задуманное число, нужно от названного числа отнять 2.

2. Задумайте число. Умножьте его на 4. Из полученного вычтите 3. Полученное умножьте на 3, К полученному прибавьте 5. Полученное разделите на 4. К полученному прибавьте 1. Скажите, сколько получилось? Решение. ((4х – 3)3 + 5) : 4 + 1 = (12х – 9 + 5) : 4 + 1 = ( 12х – (9 – 5)) : 4 + +1 = (12х – 4) : 4 + 1 = 3х – 1 + 1 = 3х – (1 – 1) = 3х – 0 = 3х.

Чтобы получить задуманное число, нужно названное число разделить на 3.

3. Задумайте число. Прибавьте к нему 3. Умножьте полученное на 6. Отнимите от полученного 3. Вычтите из полученного результата задуманное число. Полученное разделите на 5. Скажите”, сколько получилось?

4. Задумайте любое число. Удвойте его. К полученному прибавьте 3. Полученное число умножьте на задуманное. От полученного результата отнимите задуманное. Полученное разделите на удвоенное задуманное число. Скажите, сколько получилось? Чтобы получить задуманное число, надо от названного числа отнять 1.

Очень эффектно выглядят фокусы на отгадывание даты рождения и возраста зрителей, особенно в малознакомой компании.

Возраст и дата рождения

Работа над данной темой помогла узнать мне много нового из истории математики. Мне пришлось рассмотреть дополнительную математическую литературу, чтобы узнать что-то новое про уравнения, и я подтвердил гипотезу, что существуют различные способы решения уравнений.

Просмотрев все учебники по математики с 5 по 11 классы, я убедился в важности выбранной темы. В течение всех лет мы расширяем знания по теме «Уравнения». Я узнал решение более сложных уравнений с помощью правила

Конечно, эти названия мне ни о чём не говорят, но я теперь знаю, какие бывают уравнения, и что со временем я научусь их решать.

Мне было интересно узнать, что уравнения и математические фокусы, которые сейчас могут решать ученики 5-6 класса, в древности были по силам только математикам и мудрецам. И что, используя известные мне свойства сложения и умножения, я смог провести исследования и доказал на простых уравнениях, что значение корня не изменится, если:

— к обеим частям уравнения прибавить или вычесть одно и то же число;

— обе части уравнения умножить или разделить на число, неравное нулю.

Я научился решать более сложные уравнения, используя 4 способа, о них я прочитал в дополнительной литературе. При выполнении работы мне пришлось решить более 120 уравнений. Во время недели математики я показал математические фокусы в 5-х классах и в 3 – 4 классах.

Вместе с моим руководителем мы составили задания для одноклассников. Среди этих заданий есть те, для решения которых достаточно знаний, полученных на уроках. Но есть и такие уравнения, которые решаются новыми способами, о которых я рассказал в работе, то есть требуют дополнительных знаний. Это для тех ребят, кто захочет научиться решать уравнения, используя новые способы.

Я, думаю, что новые знания, которые я получил, пригодятся мне в дальнейшей учёбе. Все цели и задачи, которые я ставил перед собой, я выполнил.

Список использованной литературы

общеобразовательных учреждений. // М.: Мнемозина, 2005.

2. , БеленковаЕ. Ю. Математика 5 класс.

Задания для обучения и развития учащихся.// М.: Интеллект-

3. Математика: Учебник-собеседник для 5 – 6 классов средних школ//

Просвещение, 1989. (Б-ка учителя математики), стр.187

4. , и др. Математика. Учебник для 4 класса нач.

Школы в 2 ч. Ч. 2. (Второе полугодие) – М.: Просвещение, 2005.

5. Энциклопедический словарь юного математика //

6. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика // Ред. коллегия:

М. Аксёнова, В. Володин и др. – М.: Аванта, 2005, стр.237

Источник