Как построить внутреннее сопряжение двух окружностей

Сопряжения

В этой небольшой статье, будут рассмотрены основные виды сопряжений и Вы узнаете о том, как построить сопряжение углов, прямых линий, окружностей и дуг, окружностей с прямой.

Сопряжением называют плавный переход одной линии в другую. Для того чтобы построить сопряжение, нужно найти центр сопряжения и точки сопряжений.

Точка сопряжения – это общая точка для сопрягаемых линий. Точку сопряжения также называют точкой перехода.

Ниже будут рассмотрены основные типы сопряжений.

Сопряжение углов (Сопряжение пересекающихся прямых)

Сопряжение прямого угла(Сопряжение пересекающихся прямых под прямым углом)

В данном примере будет рассмотрено построение сопряжения прямого угла заданным радиусом сопряжения R. Первым делом найдём точки сопряжения. Для нахождения точек сопряжения, нужно поставить циркуль в вершину прямого угла и провести дугу радиусом R до пересечения со сторонами угла. Полученные точки и будут являться точками сопряжения. Далее нужно найти центр сопряжения. Центром сопряжения будет точка равноудалённая от сторон угла. Проведём из точек a и b две дуги радиусом сопряжения R до пересечения друг с другом. Полученная на пересечении точка О и будет центром сопряжения. Теперь из центра сопряжения точки О описываем дугу радиусом сопряжения R от точки a до точки b. Сопряжение прямого угла построено.

Сопряжение острого угла(Сопряжение пересекающихся прямых под острым углом)

Ещё один пример сопряжения угла. В этом примере будет построено сопряжение
острого угла. Для построения сопряжения острого угла раствором циркуля,равным радиусу сопряжения R, проведём из двух произвольных точек на каждой стороне угла по две дуги. Затем проведём касательные к дугам до пересечения в точке О, центре сопряжения. Из полученного центра сопряжения опустим перпендикуляр к каждой из сторон угла. Так мы получим точки сопряжения a и b. Затем проведём из центра сопряжения, точки О, дугу радиусом сопряжения R, соединив точки сопряжения a
и b. Сопряжение острого угла построено.

Сопряжение тупого угла(Сопряжение пересекающихся прямых под тупым углом)

Сопряжение тупого угла строится по аналогии с сопряжением острого угла. Мы также, сначала радиусом сопряжения R проводим по две дуги из двух произвольно взятых точек на каждой из сторон, а затем проводим касательные к этим дугам до пересечения в точке О, центре сопряжения. Затем опускаем перпендикуляры из центра сопряжения к каждой из сторон и соединяем дугой, равной радиусу сопряжения тупого угла R, полученные точки a и b.

Сопряжение параллельных прямых линий

Построим сопряжение двух параллельных прямых. Нам задана точка сопряжения a, лежащая на одной прямой. Из точки a проведём перпендикуляр до пересечения его с другой прямой в точке b. Точки a и b являются точками сопряжения прямых линий. Проведя из каждой точки дугу, радиусом больш отрезка ab, найдём центр сопряжения — точку О. Из центра сопряжения проведём дугу заданного радиуса сопряжения R.

Сопряжение окружностей(дуг) с прямой линией

Внешнее сопряжение дуги и прямой линии

В этом примере будет построено сопряжение заданным радиусом r прямой линии, заданной отрезком AB, и дуги окружности радиусом R.

Внутреннее сопряжение прямой линии с дугой

Из центра сопряжения(точка О r ) опустим перпендикуляр на прямую AB. Точка D, полученная на основании перпендикуляра, и будет точкой сопряжения.

Сопряжение окружностей (дуг)

Внешнее сопряжение дуг окружностей

Внешним сопряжением считается сопряжение, при котором центры сопрягаемых окружностей(дуг) O1( радиус R1) и O2 (радиус R2) располагаются за сопрягающей дугой радиуса R. На примере рассмотрено внешнее сопряжение дуг. Сначала находим центр сопряжения. Центром сопряжения является точка пересечения дуг окружностей с радиусами R+R1 и R+R2, построенных из центров окружностей O1(R1) и O2(R2) соответственно. Затем центры окружностей O1 и O2 соединяем прямыми с центром сопряжения, точкой O, и на пересечении линий с окружностями O1 и O2 получаем точки сопряжения A и B. После этого, из центра сопряжения строим дугу заданного радиуса сопряжения R и соединяем ей точки A и B.

Внутреннее сопряжение дуг окружностей

Внутренним сопряжением называется сопряжение, при котором центры сопрягаемых дуг O1, радиуса R1, и O2, радиус R2, располагаются внутри сопрягающей их дуги заданного радиуса R. На картинке ниже приведён пример построения внутреннего сопряжения окружностей(дуг). Вначале мы находим центр сопряжения, которым является точка O, точка пересечения дуг окружностей с радиусами R-R1 и R-R2 проведённых из центров окружностей O1и O2 соответственно. После чего соединяем центры окружностей O1 и O2 прямыми линиями с центром сопряжения и на пересечении линий с окружностями O1 и O2 получаем точки сопряжения A и B. Затем из центра сопряжения строим дугу сопряжения радиуса R и строим сопряжение.

Смешанное сопряжение дуг окружностей

Смешанным сопряжением дуг является сопряжение, при котором центр одной из сопрягаемых дуг (O1) лежит за пределами сопрягающей их дуги радиуса R, а центр другой окружности(O2) – внутри её. На иллюстрации ниже приведён пример смешанного сопряжения окружностей. Сначала находим центр сопряжения, точку O. Для нахождения центра сопряжения строим дуги окружностей с радиусами R+R1, из центра окружности радиуса R1 точки O1, и R-R2, из центра окружности радиуса R2 точки O2. После чего соединяем центр сопряжения точку O с центрами окружностей O1 и O2 прямыми и на пересечении с линиями соответствующих окружностей получаем точки сопряжения A и B. Затем строим сопряжение.

Источник

Сопряжения

Очертания многих предметов представляют собой сочетание ряда линий, в большинстве своём плавно переходящих одна в другую.

Плавный переход одной линии в другую называют касанием, а точку, в которой происходит касание, точкой касания или перехода (рис. 49).

Через любую точку касания можно провести общую касательную, которая будет перпендикулярна к радиусам дуг, проведенным в точку касания.

Плавный переход одной линии в другую при помощи промежуточной линии называют сопряжением. На рис. 50 такой линией является дуга АВ радиуса Rc. Её называют дугой сопряжения, радиус R c — радиусом сопряжения, а центр сопрягающей дуги – центром сопряжения.

При сопряжении всегда имеются две точки перехода и через каждую из них можно провести по одной общей касательной.

Таким образом, построение сопряжений основано на свойствах касательной к дуге окружности и касания двух дуг окружностей.

Построение касательной к окружности в заданной на ней точке.

Через точку А и центр О (рис. 51) проводят прямую и в точке А восстанавливают к ней перпендикуляр (построение перпендикуляра к прямой в заданной на ней точке рассмотрено на рис. 32).

Построение касательной к окружности из точки А вне окружности.

Из точки О₁ описывают окружность радиусом O₁ A, которая пересекает заданную окружность в точках касания В и С.

Построение касательных окружностей.

При внутреннем касании расстояние между центрами касающихся окружностей равно разности радиусов R-r. Точка касания А расположена на продолжении прямой, соединяющей центры О₁ и О₂ (рис. 53б).

Построение общей внешней касательной к двум окружностям.

Из центра O 1 большей окружности описывают окружность радиусом R-r (рис. 54а).

Обе проведенные окружности пересекаются в точках А и В. Точки O₁ и В соединяют прямой и в пересечении её с окружностью радиуса R определяют точку касания D (рис. 54б). Из точки О 2 параллельно прямой O₁ D проводят линию до пересечения с окружностью радиуса г и получают вторую точку касания С.

Построение общей внутренней касательной к двум окружностям.

Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданного радиуса.

Проводят две прямые, параллельные заданным и удалённые от них на величину радиуса Rc (рис. 56а). В пересечении отмечают точку О – центр сопряжения. Из точки О опускают перпендикуляры на заданные прямые и получают точки касания А и В дуги сопряжения. Такое построение справедливо для любого угла между заданными прямыми.

Для сопряжения сторон прямого угла можно воспользоваться способом, указанным на рис. 56б.

Сопряжение дуги и прямой дугой окружности заданного радиуса.

Может быть два случая такого сопряжения: внешнее касание сопрягающей дуги с заданной (рис. 57а) и внутреннее (рис. 57б). При внешнем касании из центра О₁ проводят дугу радиусом R+R c и прямую, параллельную заданной, на расстоянии R c от неё. На пересечении получают точку О центра сопряжения. На прямой ОО₁ отмечают точку касания А. Точку В касания получают, опустив перпендикуляр из центра О на заданную прямую.

При внутреннем касании построения аналогичны, только радиус вспомогательной дуги равен Rс-R.

Сопряжение двух дуг дугой окружности заданного радиуса.

Различают три вида такого сопряжения: внешнее, внутреннее и смешанное.

При смешанном сопряжении (рис. 58в) построения аналогичны и ясны из чертежа.

Источник

СОПРЯЖЕНИЕ ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ

Возможны два варианта построений сопряжений двух окружностей:

· Задан радиус сопряжения.

· Задана точка сопряжения на одной из окружностей.

Сопряжение может быть внешним, внутренним и смешанным.

1. Сопряжение двух окружностей дугой заданного радиуса R (Рисунок16)

При внешнем сопряжении (рисунок 16) центр сопряжения О определяется пересечением двух геометрических мест – вспомогательных окружностей радиусов R₁ + R и R₂ + R, проведенных соответственно из центров сопрягаемых дуг, то есть из точек О₁ и О₂. Точки сопряжения А и В определяются как точки пересечения заданных дуг с прямыми ОО₁ и ОО₂.

При внутреннем сопряжении (рисунок 17) центр сопряжения О определяется пересечением двух геометрических мест – вспомогательных окружностей радиусов R – R₁ и R – R₂, проведенных соответственно из О₁ и О₂ (рисунок 17).

2. Сопряжение двух окружностей, если задано точка сопряжения А на одной из окружностей (рисунок 19).

Соединяют точку А с центром О₁ и откладывают на этой прямой отрезок АС, равный R₂. К середине отрезка СО₂ восставляют перпендикуляр до пересечения с продолжением линии О₁А. Точка О пересечения и является центром сопряжения. Вторая точка сопряжения В лежит на пересечении линии центров ОО₂ с дугой второй окружности.

Рисунок 19

ПОСТРОЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ

Построение касательных к окружности основано на том, что касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

1. Касательная к окружности из точки А, лежащей вне окружности (рисунок 20).

Отрезок ОА, соединяющий данную точку с центром окружности, делят пополам и из полученной О₁, как из центра описывают вспомогательную окружность радиусом R = О₁А. Вспомогательная окружность пересекает заданную в точке С. Прямая АС является касательной к окружности, так как угол АСО прямой, как вписанный в окружность и опирающийся на ее диаметр.

2. Касательная к двум окружностям может быть внешней, если обе окружности расположены с одной стороны от нее, и внутренней, если окружности расположены с разных сторон от касательных.

2.1 Внешняя касательная к окружностям радиусов R₁ и R₂ (рисунок 21).

Из центра О₁ большей окружности проводят вспомогательную окружность радиусом R₁ – R₂. Отрезок О₁О₂ делят пополам и проводят вспомогательную окружность радиусом R = О₃О₁. Точки пересечения этих окружностей соединяют с центром О₁ и продолжают до пересечения с окружностью радиуса R₁ в точках В и D. Эти точки являются точками касания окружности большего диаметра. Из центра О₂ проводят прямые О₂А и О₂С, соответственно параллельные О₁В и ОD, до пересечения с контуром окружности в точках А и С. Прямые АВ и СD – искомые внешние касательные к двум окружностям.

2.2 Внутренняя касательная к двум окружностям радиусов R₁ и R₂ (рисунок 22).

Рисунок 22

Из центра окружности О₁ проводят вспомогательную окружность радиусом R₁ + R₂. Делят отрезок О₁О₂ пополам, и из полученной точки О₃ проводят вторую вспомогательную окружность радиусом R = О₃О₁. Точки пересечения этих окружностей соединяют с центром О₁ и на пересечении с окружностью радиуса R₁ получают точки касания А и С. Из точки О₂ проводят прямую, параллельную прямой О₁А, и получают точку касания В на малой окружности. Аналогично построена точка касания D. Прямые АВ и СD – искомые внутренние касательные к двум окружностям.

Источник

Сопряжения в инженерной графике на чертежах с примерами

Содержание:

В очертаниях технических форм часто встречаются плавные переходы от од- ной линии к другой. Плавный переход одной линии в другую, выполненный при помощи промежуточной линии, называется сопряжением. Построение сопряжений основано на следующих положениях геометрии.

Точка касания К и центры окружностей

Для выполнения сопряжений необходимо определить три элемента построения: 1) радиус сопряжения; 2) центр сопряжения; 3) точки сопряжения.

Сопряжение двух пересекающихся прямых линий

Пусть даны две пересекающиеся прямые m, n и радиус сопряжения R (рис. 12). Необходимо построить сопряжение данных прямых дугой окружности радиусом R.

Выполним следующие построения:

Проведем дугу сопряжения AB. Теперь будут определены все элементы сопряжения: радиус, центр и точки сопряжения.

Сопряжения прямой с окружностью

Сопряжение прямой с окружностью может быть внешним или внутренним. Рассмотрим построение внешнего сопряжения прямой с окружностью.

Пример 1. Пусть задана окружность радиусом R с центром в точке и прямая m. Требуется построить сопряжение окружности с прямой дугой окружности заданного радиуса R (рис. 13).

Для решения задачи выполним следующие построения:

Пример 2. При построении внутреннего сопряжения (рис. 14) последовательность построений остается та же, что и в примере 1. Однако центр сопряжения определяется с помощью вспомогательной дуги окружности, проведенной из центра , радиусом

Сопряжение двух окружностей

Сопряжение двух окружностей может быть внешним, внутренним и смешанным. Пусть задан радиус сопряжения R, а центры сопряжения и точки сопряжения следует найти.

Пример 1. Построим сопряжение с внешним касанием двух данных окружностей m и n с радиусами дугой заданного радиуса R (рис. 15а).

Пример 2. Построим сопряжение с внутренним касанием двух данных окружностей m и n с радиусами дугой радиусом R (рис. 15б).

Пример 3. На рис. 16 приведен пример построения сопряжения с внешне- внутренним касанием.

Построение касательных

Пример 1. Дана окружность с центром в точке и точка вне её. Через данную точку провести касательную к данной окружности (рис. 17).

Для решения задачи выполним следующие построения.

Пример 2. Построим общую касательную АВ к двум заданным окружностям радиусов (рис. 18).

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Урок инженерной графикм. Тема: «Сопряжение»

Модуль: Графическое оформление чертежей.

Результат 1: Уметь оформлять форматы стандартных листов в соответствии с ГОСТ 2.303 – 68. Иметь навыки по вычерчиванию контуров деталей, уметь наносить размеры, уметь выполнять надписи в соответствии с ГОСТ 2.303 – 68.

Результат 2: Знать правила построения и иметь навыки по построению сопряжения. Уметь объяснять правила построения.

1. Правила оформления форматов, правила заполнения основной надписи в соответствии со стандартом.
2. Правила нанесения размеров, типы линий.
3. Правила выполнения надписей шрифтами в соответствии с ГОСТ 2.303 – 68.
4. Правила вычерчивания контуров технических деталей. Геометрические построения.
5. Правила вычерчивания и построение сопряжений.

Тема урока: Правила построения сопряжений.

1. Организационно-мотивационный этап – 10 минут.

1.2. Деление группы на подгруппы по 5-6 человек (на четыре подгруппы).

Всем студентам группы предлагается выбрать из четырех видов геометрических фигур одну на выбор, после того, как выбор сделан, студенты объединяются в подгруппы, для самостоятельной работы в подгруппах.
Студентам сообщается, какую тему им предстоит изучить, познакомиться с правилами построения сопряжений, которые помогут им понять, как строятся плавные переходы (сопряжения). Каждой группе предлагается изучить и представить один из видов сопряжения (преподаватель каждому раздает материал по теме занятия по разделам).

2. Организация самостоятельной деятельности учащихся по теме урока – 25 минут.

2.1. Понятие сопряжения.
2.2. Общий алгоритм построения сопряжений.
2.3. Виды сопряжения. Правила их построения.
2.3.1. Сопряжение между двух прямых.
2.3.2. Сопряжение внутреннее и внешнее между прямой и дугой окружности.
2.3.3. Сопряжение внутренне и внешнее между двух дуг окружностей.
2.3.4. Смешанное сопряжение.
3. Подведение итогов, доклады групп по теме после самостоятельной работы в подгруппах- 25 минут.
4. Проверка степени усвоения материала – 10 минут.
5. Заполнение дневников (о проведенном занятии ) – 5 минут.
6. Оценка деятельности учащихся.

Сопряжение – это плавный переход одной линии в другую.

Общий алгоритм построения сопряжения:

1. Необходимо найти центр сопряжения.
2. Необходимо найти точки сопряжения.
3. Построить сопряжение (плавный переход одной линии в другую)
2. 3.1. Построение сопряжения двух сторон угла окружности заданного радиуса.

Сопряжение двух сторон угла (острого и тупого) дугой заданного радиуса R выполняют следующим образом:

Сопряжение – это плавный переход одной лини в другую.

Общий алгоритм построения сопряжения:

1. Необходимо найти точку сопряжения.
2. Необходимо найти точки сопряжения.
3. Построение сопряжения (плавного перехода одной линии в другую).
2.3.2 Построение внутреннего и внешнего сопряжения между прямой и дугой окружности.

Сопряжение прямой с дугой окружности может быть выполнено при помощи дуги с внутренним касанием дуги и внешним касанием. На рисунке 2(а, б) показано сопряжение дуги окружности радиусом Rи прямой линии АВ дугой окружности радиуса r с внешним касанием. Для построения такого сопряжения проводят окружность радиуса R и прямую АВ. Параллельно заданной прямой на расстоянии, равному радиусу r (радиус сопрягающей дуги), проводят прямую ab. Из центра О проводят дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов R и r, до пересечения ее с прямой ab в точке О1. Точка О1 является центром дуги сопряжения. Точку сопряжения с находят на пересечении прямой ОО1 с дугой окружности радиуса R. Точка сопряжения О1 на данную прямую АВ. При помощи аналогичных построений могут быть найдены точки О2, с2, с3. На рисунке 2(а, б) показан кронштейн, при вычерчивании которого необходимо выполнить построения, описанные выше.

При вычерчивании маховика, выполнено сопряжение дуги радиуса R с прямой АВ дугой радиуса r с внутренним касанием. Центр дуги сопряжения О1 находится на пересечении вспомогательной прямой, проведенной параллельно данной прямой на расстоянии r, с дугой вспомогательной окружности, описанной из центра О радиусом, равным разности R-r. Точка сопряжения с 1 является основанием перпендикуляра, опущенного из точки О1 на данную прямую. Точку сопряжения с находят на пересечении прямой ОО1 с сопрягаемой дугой. Пример построения сопряжения прямой с дугой окружности показан на рисунке 3.

Сопряжение – это плавный переход одной лини в другую.

Общий алгоритм построения сопряжения:

1. Необходимо найти центр сопряжения.
2. Необходимо найти точки сопряжения.
3. Построение линии сопряжения (плавного перехода одной лини в другую).

2.3.3. Построение сопряжения между двух дуг окружностей.

Сопряжение двух дуг окружностей может быть внутреннее и внешнее.
При внутреннем сопряжении центры О и О1 сопрягаемых дуг находятся внутри сопрягающей дуги радиуса R. При внешнем сопряжении центры О и О1 сопрягаемых дуг радиусов R1 и R2 находятся вне сопрягающей дуги радиуса R.
Построение внешнего сопряжения:

а) радиусы сопрягаемых окружностей R и R1;
б) расстояния между центрами этих дуг;
в) радиус R сопрягающей дуги;

а) определить положение центра О2 сопрягающей дуги;
б) найти точки сопряжения s и s1;
в) провести дугу сопряжения;

Построение внутреннего сопряжения:

Построение внутреннего сопряжения:

а) радиусы R и R1 сопрягаемых дуг окружностей;
б) расстояния между центрами этих дуг;
в) радиус R сопрягающей дуги;

а) определить положение О2 сопрягающей дуги;
б) найти точки сопряжения s и s1;
в) провести дугу сопряжения;

Построение внешнего сопряжения показано на рисунке 4(в). По заданным расстояниям на чертеже находят точки О и О1, из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R1 и R2. Из центра О проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги R2 и сопрягающей R. Вспомогательные дуги пересекутся в точке О2, которая будет искомым центром сопрягающей дуги. Для нахождения точек сопряжения центры дуг соединяют прямыми линиями ОО2 и О1О2. Эти две прямые пересекают сопрягаемые дуги в точках сопряжения s и s1. Из центра О2 радиусом Rпроводят сопрягающую дугу, ограничивая ее точками S и S1.

2.3.4. Построение смешанного сопряжения.

Пример смешанного сопряжения показан на рисунке 5.

а) Заданы радиусы R и R1 сопрягаемых дуг сопряжения;
б) расстояния между центрами этих дуг;
в) радиус R сопрягающей дуги;

а) определить положение центра О2 сопрягающей дуги ;
б) найти точки сопряжения s и s1;
в) провести дугу сопряжения;

По заданным расстояниям между центрами на чертеже намечают центры О и О1, из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R1 и R2. Из центра О проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги R1 и сопрягающей R, а из центра О1 – радиусом, равным разности радиусов R и R2. Вспомогательные дуги пересекутся в точке О2, которая будет искомым центром сопрягающей дуги. Соединив точки О и О2 прямой, получают точку сопряжения s1; соединив точки О1 и О2, находят точку сопряжения s. Из центра О2 проводят дугу сопряжения от s до s1. На рисунке 5 показан пример построения смешанного сопряжения.

3. Подведение итогов самостоятельной работы студентов в группах. Доклады студентов по каждому разделу темы занятия у доски.
4. Проверка степени усвоения знаний учащихся. Студенты каждой из групп задают вопросы студентам другой группы.
5. Заполнение дневников. Каждому студенту по итогам занятия предлагается заполнить дневник.

Для того чтобы получить хороший объем знаний, важно зафиксировать, насколько успешно прошло занятие. Этот дневник дает возможность записывать в течение занятия каждую деталь вашей работы при изучении модуля. Если вы довольны, удовлетворены, разочарованы тем, как пошло ваше занятие, то отметьте ваше отношение к элементам урока в соответствующей клетке анкеты.

КомментарииПростота и доступность раздаточного материала.Понятны ли были задания.Насколько комфортно вы себя чувствовали во время занятия.Интересен ли был данный урок.Как вы оцениваете свою работу на уроке.

В этом месте вы можете сделать любые пометки к уроку __________________________________________________________________________

6. Подведение итогов занятия, оценка работы студентов на занятии.

Источник