Как построить треугольник гиббса розебома
Как построить треугольник гиббса розебома
На третьем курсе на занятиях по физической химии мы изучали различные диаграммы состояния. Особо запомнились своим довольно необычным видом такие диаграммы при постоянных температуре и давлении для систем, состоящих из трёх веществ, так как изображались они в виде равностороннего треугольника (т. н. «треугольник Гиббса-Розебома»), где каждая его точка соответствовала смеси какого-либо определённого состава (рис. 1, 2), а концентрации выражались как доли компонентов.
Рис. 1. Трёхкомпонентная система уксусная кислота – хлороформ – вода при комнатной температуре [1, с. 338].
Рис. 2. Диаграмма растворимости KCl и NaCl в воде при 298 К [2, с. 485].
Рис. 3. Определение состава смеси по правилам Гиббса и Розебома.
1) По правилу Гиббса высота треугольника принимается за единицу (или за 100%) и используется тот факт, что сумма длин перпендикуляров, опущенных из точки D на стороны треугольника равна его высоте. В этом случае концентрации (доли) компонентов пропорциональны длинам этих перпендикуляров:
x : y : z = DA’ : DB’ : DC’
2) По правилу Розебома за единицу (за 100%) принимается длина стороны треугольника, при этом из точки D проводятся отрезки, параллельные каждой из его сторон (на рис. 3 это DA», DB», DC»). Сумма их длин равна стороне треугольника и выполняется следующее соотношение:
x : y : z = DA» : DB» : DC»
Легко видеть, что правила Гиббса и Розебома нисколько не противоречат друг другу:
x : y : z = DA’ : DB’ : DC’ = DA» : DB» : DC»
Это обусловлено тем, что △DA’A», △DB’B» и △DC’C» являются подобными (как треугольники с равными углами: ∠DA’A» = ∠DB’B» = ∠DC’C» = 90°; а ∠DA»A’ = ∠DB»B’ = ∠DC»C’ = 60°, поскольку DA» || AB, DB» || BC, DC» || AC).
Простого запоминания описанных правил вполне хватило для подготовки к сдаче экзамена, тем более дальнейшая жизнь сложилась так, что за все последующие годы с диаграммами состояния мне иметь дело особо-то и не доводилось. Тем не менее в те времена появилось ощущение, что что-то в этих правилах определения состава системы меня смущает и спустя год я понял, что же именно. Дело было в следующем. Очевидно, что доли компонентов системы связаны между собой соотношением
однако из такого равенства неизбежно следует, что для графического изображения множества точек, координаты которых удовлетворяют такому равенству, необходимо использовать трёхмерное пространство, потому что переменных в уравнении три, но при этом треугольник Гиббса-Розебома – это именно треугольник, то есть плоская (двумерная) фигура. Почему так? В итоге до меня дошла очень простая вещь: если переписать (3) как
то получается известное из аналитической геометрии «уравнение плоскости в отрезках», которое в общем виде записывается так:
Из этого факта как раз и следует, что для построения диаграммы состояния трёхкомпонентной системы вполне достаточно плоского изображения. А ещё любопытно здесь другое. Взгляните на рис. 4 – на нём изображён треугольник Гиббса-Розебома в «трёхмерном» представлении.
В связи с этим мне в голову уже давно закралась следующая мысль: а может создатели диаграмм состояния, когда разрабатывали способы наглядного преставления характеристик трёхкомпонентых систем, руководствовались схожими соображениями – про уравнение плоскости «в отрезках», про получающиеся при этом подобные треугольники и т. д.? Не удивлюсь, если такое действительно было опубликовано тем же самым Дж.У. Гиббсом в своих научных работах, а теперь, спустя более века и став классикой, успело подзабыться. В учебниках по физической химии, на которые я выше ссылался, и в ряде других [5, с. 422; ; 7, с. 401], сведений, подтверждающих приведённые догадки, нет – такую информацию нужно искать специально, но сначала необходимо суметь заставить себя заняться подобными поисками.
Кстати, схожая ситуация наблюдается и в отношении «правила креста» – очень легко отыскать литературу и сайты, где подробно рассказывается как решать задачи на смешение растворов с использованием этого правила, а вот материала, в котором описано откуда именно это правило берётся (то есть его математическое обоснование), мне обнаружить не удалось – пришлось восполнять этот пробел самостоятельно написанием соответствующей заметки.
ДИАГРАММЫ СОСТОЯНИЯ ТРЕХКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМ
Лекция 8-9
Список использованной и рекомендованной литературы
2.Философия: Учебник для вузов / Отв.ред. В.П. Кохановский. – Ростов н/Дону: Феникс, 2003
Используемые в технике материалы очень часто содержат больше двух компонентов, поэтому нужен способ представления фазовых диаграмм более сложных систем.
В трехкомпонентной системе, согласно правилу фаз Гиббса, максимальное число сосуществующих фаз Ф=4. В области существования одной гомогенной фазы К=3. Переменными величинами являются p, T, c1,с2. Обычно p=const, поэтому остаются три параметра: T, c1,с2. Для построения диаграммы состояния необходимы 3 оси координат, по которым можно было бы откладывать T, c1,с2. Тогда с3 надо определять по разности, а это неудобно.
Чтобы избежать неудобств, используют прием, предложенный Гиббсом. От основан на геометрических свойствах правильных треугольников.
Зависимость свойств системы от трех переменных изображают в виде пространственной диаграммы, представляющей собой трехгранную прямоугольную призму. В основании призмы – равносторонний треугольник, характеризующий состав тройной системы (концентрационный треугольник), а высотой служит температура. Вершины равностороннего треугольника соответствуют чистым веществам А, В и С. Стороны АВ, ВС и СА служат для изображения составов соответствующих двойных систем. Все точки, расположенные внутри треугольника, выражают составы трехкомпонентных систем. Содержание каждого из компонентов тем больше, чем ближе расположена данная точка к соответствующей вершине. Концентрации компонентов выражают в масс.% или в мольных долях. Соответственно, каждая сторона концентрационного треугольника принимается равной 100% или 1.
Для определения состава трехкомпонентной системы используют два способа, предложенные Гиббсом и Розебумом.
Треугольник Гиббса. Этот способ определяется тем, что сумма перпендикуляров, опущенных из любой точки внутри треугольника на его стороны, равна высоте этого треугольника. Высота соответствует 100% какого-либо из компонентов. Из интересующей нас фигуративной точки М на каждую из сторон треугольника опускают перпендикуляры. Сумма их длин Ма+Мв+Мс=100%, а содержание компонентов A, В и С пропорционально длинам отрезков Ма, Мв и Мс (каждый отрезок лежит напротив вершины, отвечающей соответствующему компоненту). Таким образом и определяют содержание каждого из компонентов. В нашем примере точка М соответствует составу А 20%, В 50%, С 30%.
Треугольник Розебома. В этом способе за 100% принимают сторону треугольника и наносят сетку линий, параллельных каждой стороне. Сумма отрезков таких линий, исходящих из фигуративной точки М и кончающихся на сторонах треугольника, есть постоянная величина, равная любой из сторон. Для точки М проекции этих отрезков на стороны треугольника Ab’, Ca’ и Вс’ дают процентное содержание каждого из компонентов: А 20%, В 50%, С 30%.
Можно видеть, что состав смеси в том и другом способе представления оказался идентичен.
Далее будем использовать треугольник Розебома.
Отметим три важных свойства линий (проекций) внутри треугольника Розебома.
1) Линии, параллельные одной из сторон треугольника, представляют собой геометрические мести точек, соответствующих ряду смесей с одинаковым содержанием компонента, характеризуемого вершиной треугольника против этой стороны. В нашем примере это 50 % компонента В:
2) Линии, проведенные из вершины треугольника до пересечения с противолежащей стороной, являются геометрическими местами точек, соответствующих ряду систем, в которых соотношение между содержанием двух компонентов остается постоянным (в нашем примере С/В=3:2).
3) К треугольной диаграмме, так же, как и к диаграмме бинарных систем, приложимо правило рычага. Если фигуративная точка М отвечает общему составу системы и система распадается на две равновесные фазы, характеризуемые точками S и T, то количество первой фазы (S) относится к количеству второй (T) как длины отрезков МT/MS:
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Треугольник Розебома
При этом используется одно из свойств концентрационного треугольника, согласно которому любая прямая, параллельная его стороне, есть геометрическое место точек с постоянным содержанием компонента, расположенного в вершине, противолежащей этой стороне.
При построении диаграммы по методу Розебома строят равносторонний треугольник; каждую сторону треугольника делят на 10 – 100 частей; через точки деления проводят линии, параллельные сторонам треугольника; вершины треугольника – 100% содержание компонентов.
Рис. 45. Треугольник Розебома.
Определить состав системы по методу треугольника Розебома можно, например, так. Выбрать точку внутри треугольника (точка Р). Провести через эту точку две прямые, параллельные двум сторонам треугольника, например, (mn) и (kq). Линия (mn) проходит через стороны треугольника, идущие от вершины «А», следовательно, она определяет концентрацию компонента А – точка пересечения со стороной АС или АВ. Линия (kl) проходит через стороны треугольника, идущие от вершины «С», следовательно, она определяет концентрацию компонента С – точка пересечения со стороной СА или СВ. Содержание третьего компонента можно определить по разности или провести еще одну линию, параллельную стороне АС – линия (rt), пересекающая стороны треугольника, идущие из вершины В – она будет определять концентрацию компонента В в точке пересечения со
 |
стороной ВА или ВС.
Рис. 46. Определение состава системы по треугольнику Розебома.
Трехкомпонентные системы
Так как в вершине треугольника концентрация вещества максимальна (100%), а на стороне ВС, противоположной этой вершине, она равна нулю, концентрация вещества в системе возрастает при движении от стороны к вершине по любой линии.
Для определения состава трехкомпонентной системы пользуются следующими свойствами прямых, проведенных в треугольнике Гиббса-Розебома:
1. Все точки, лежащие на прямой, параллельной стороне треугольника, отвечают растворам с одинаковым содержанием компонента, расположенного в противоположной вершине, и с изменяющимся количеством двух других.
Например, на линии fde’g (рис. 1.За) концентрация вещества А постоянна и равна 30%;
2. На прямой, проходящей через вершину треугольника, например на линии Ае (рис. 1.За),отношение концентраций компонентов В и С одинаково и равно в данном случае отношению отрезков Се: Be = 7:3.
Для нахождения состава раствора, отвечающего точке d на диаграмме, достаточно через данную точку провести линии, параллельные сторонам треугольника. Отрезки, отсеченные этими линиями на сторонах треугольника, укажут содержание соответствующих компонентов. Отрезок, gВ (или fC) соответствует 30% вещества А. Отрезок Аb, отсекаемый на стороне АС, линией, параллельной стороне АВ, отвечает 50% вещества С. Концентрация вещества В равна 20%.
Число степеней свободы для трехкомпонентной системы при постоянных температуре и давлении рассчитывается по формуле:
Треугольник Гиббса
Применяется чаще для описания водно-солевых систем. Основан на свойстве равносторонних треугольников: сумма длин перпендикуляров, опущенных из любой точки внутри равностороннего треугольника, равна высоте этого треугольника.
Рис. 43. Треугольник Гиббса.
Для построения диаграммы по методу Гиббса проводят высоты из вершин треугольника; каждую высоту делят на 10 – 100 равных частей; через каждую точку деления проводят линии, параллельные сторонам треугольника (рис. 44).
 |
Рис. 44. Определение состава системы по методу треугольника Гиббса.
Чтобы определить состав системы по методу Гиббса (рис. 44) нужно из заданной точки опустить перпендикуляры к сторонам треугольника. Содержание компонента будет определяться длиной перпендикуляра, противоположного вершине треугольника, соответствующей 100% содержанию этого компонента.
Так относительное количество компонента А определяется длиной отрезка а:
;
относительное количество компонента В определяется длиной отрезка b:
;
относительное количество компонента С определяется длиной отрезка с:
.